人教版九年級數(shù)學(xué)下冊同步練習(xí) 28.2.1 解直角三角形（分層練習(xí)）（原卷版+解析）

28.2.1解直角三角形基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇一、單選題：1．在中，，，，下列四個(gè)選項(xiàng)，正確的是（

）A． B． C． D．2．在Rt中，，如果，，那么AC的長是（）A． B． C． D．3．如圖，菱形中，對角線，，．下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．4．如圖，在中，，，，平分交于點(diǎn)，則線段的長為（

）A． B．12 C． D．65．如圖，在中，于D，如果，E為的中點(diǎn)，那么的值為（）A． B． C． D．6．如圖，已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，第二象限的點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，且，則k的值為（）A． B． C． D．7．將矩形紙片，按如圖所示的方式向上折疊，當(dāng)折痕與邊的夾角為，時(shí)，圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．二、填空題：8．在中，，，，則___________．9．已知在中，、是銳角，且，，，則的面積等于__．10．如圖：兩張寬度都為的紙條交叉重疊在一起，兩張紙條交叉的夾角為α（見圖中的標(biāo)注），則重疊（陰影）部分的面積表示為_____．11．如圖，點(diǎn)，，點(diǎn)是一點(diǎn)，若，則的面積為______．12．如圖，線段與相切于點(diǎn)C，連接、，交于點(diǎn)D，已知，，則圖中陰影部分的面積為_______．13．如圖，反比例函數(shù)在第一象限的圖象上一點(diǎn)，在軸上，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，若，的面積是，則的值是______．14．如圖，△ABC中，，垂足H在BC邊上，如果，，，那么___（用含和的式子表示）．三、解答題：15．如圖，在中，已知，，，解這個(gè)直角三角形．16．如圖，是銳角三角形，，，，求和的值．17．如圖，在中，，，，求長．提升篇提升篇1．如圖，點(diǎn)E是矩形中邊上一點(diǎn)，沿折疊為，點(diǎn)F落在上．若，則的值為（）A． B． C． D．2．如圖，在中，，點(diǎn)O在上，經(jīng)過點(diǎn)A的與相切于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，若則圖中陰影部分面積為（）A． B． C． D．3．如圖，已知正方形，延長至點(diǎn)E使，連接，，與交于點(diǎn)N，取得中點(diǎn)F，連接，，交于于點(diǎn)M，交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)4．在△ABC中，，AC＝2，AD是BC邊上的高，∠ACD＝45°，則BC的長為_____．5．如圖，在中，D為BC上一點(diǎn)，連接，將沿著翻折得到，E點(diǎn)恰好在邊上且，若，，則線段___________；6．如圖，矩形紙片ABCD中，AB=8cm，把矩形紙片沿直線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE交DC于點(diǎn)F，若AD=6cm，則∠EAD的正弦值為_____．7．如圖，以的邊上一點(diǎn)O為圓心，為半徑的經(jīng)過B點(diǎn)與交于D點(diǎn)，連接，已知，．(1)求證：為的切線；(2)若，求；(3)設(shè)為的平分線，，求的半徑．28.2.1解直角三角形基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇一、單選題：1．在中，，，，下列四個(gè)選項(xiàng)，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用勾股定理求出的長，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義判斷即可．【詳解】解：如圖，根據(jù)勾股定理得：，∴，，，，∴C正確，A、B、D錯(cuò)誤，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，掌握正弦、余弦、正切的定義是解題的關(guān)鍵．2．在Rt中，，如果，，那么AC的長是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】畫出圖形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出即可．【詳解】如圖：在Rt中，AC．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形邊角之間的關(guān)系．3．如圖，菱形中，對角線，，．下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由菱形的性質(zhì)得出，，，由勾股定理求出，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可得出答案．【詳解】解：如圖，與交于點(diǎn)，四邊形是菱形，，，，，，，，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識(shí)，掌握菱形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．4．如圖，在中，，，，平分交于點(diǎn)，則線段的長為（

）A． B．12 C． D．6【答案】B【分析】過點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，在，中，求得的長，進(jìn)而證明是等腰三角形，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，在中，，在中，，∵中，，，∴，∵是的角平分線，∴，∴，∴，∴．故選:B．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)與判定，解決問題的關(guān)鍵是將作輔助線，將斜三角形劃分為直角三角形．5．如圖，在中，于D，如果，E為的中點(diǎn)，那么的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，求出長度，再由勾股定理求出，再由勾股定理求出，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半可得，即．【詳解】解：在中，，，∴，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，∵E為中點(diǎn)，∴，∴，∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，解題關(guān)鍵是熟練掌握解直角三角形的方法，掌握直角三角形斜邊上的中線長度等于斜邊的一半．6．如圖，已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，第二象限的點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，且，則k的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】作軸于C，軸于D，如圖，利用反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義得到，再根據(jù)正切的意義得到，接著證明，利用相似三角形的性質(zhì)得，所以，然后根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)確定k的值．【詳解】解：作軸于C，軸于D，如圖，則，在中，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，而，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)（k為常數(shù)，）的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．7．將矩形紙片，按如圖所示的方式向上折疊，當(dāng)折痕與邊的夾角為，時(shí)，圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)矩形對邊平行的性質(zhì)與折疊的性質(zhì)推出，得到，過點(diǎn)F作，結(jié)合矩形角的性質(zhì)推出四邊形是矩形，得到，根據(jù)正弦定義推出，根據(jù)三角形面積公式求出陰影部分面積．【詳解】∵矩形中，，∴，由折疊知，，∴，∴，過點(diǎn)F作于點(diǎn)G，則，∵，∴四邊形DAGF是矩形，∴，∴，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形折疊，正弦，三角形面積等，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形性質(zhì)，折疊性質(zhì)，正弦定義，三角形面積公式．二、填空題：8．在中，，，，則___________．【答案】【分析】根據(jù)正切的定義得，則可設(shè)，利用勾股定理計(jì)算出，可求出t，即可．【詳解】解：如圖，∵，∴設(shè)，∴，∵，∴解得：，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．9．已知在中，、是銳角，且，，，則的面積等于__．【答案】220【分析】過點(diǎn)作的垂線，得到兩個(gè)直角三角形，根據(jù)題意求出兩直角三角形中，和的長，用三角形的面積公式求出三角形的面積．【詳解】解：如圖：過點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)．，設(shè)，，，可設(shè)，，，，，由，得，則故．故答案是：220【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形與勾股定理結(jié)合求面積，如何解直角三角形是解題的關(guān)鍵．10．如圖：兩張寬度都為的紙條交叉重疊在一起，兩張紙條交叉的夾角為α（見圖中的標(biāo)注），則重疊（陰影）部分的面積表示為_____．【答案】【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)E．由題意即得出四邊形為菱形，從而得出，．再根據(jù)正弦的定義可求出，最后由菱形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)E．由題意可知四邊形為菱形，∴，．∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定和性質(zhì)，解直角三角形．正確的作出輔助線并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．11．如圖，點(diǎn)，，點(diǎn)是一點(diǎn)，若，則的面積為______．【答案】3【分析】根據(jù)點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，得到和的長度，根據(jù)角相等，得到正切值相等，再得到長度，最后求出的面積．【詳解】解：由題意可知，，，，，，，．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形性質(zhì)和三角函數(shù)的定義，掌握銳角正切三家函數(shù)的定義是關(guān)鍵．12．如圖，線段與相切于點(diǎn)C，連接、，交于點(diǎn)D，已知，，則圖中陰影部分的面積為_______．【答案】【分析】連接．由切線的定義得，由等腰三角形“三線合一”得，利用勾股定理求出，進(jìn)而求出；計(jì)算出的正切值，求出，進(jìn)而求出，再求出扇形的面積，則陰影部分的面積等于的面積減去扇形的面積．【詳解】解：如圖，連接．線段與相切于點(diǎn)C，，，，，在中，，，．，，，．，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積公式，等腰三角形的性質(zhì)，切線的定義，勾股定理，特殊角的三角函數(shù)等，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，難度不大，解題的關(guān)鍵是得出陰影部分的面積等于的面積減去扇形的面積．13．如圖，反比例函數(shù)在第一象限的圖象上一點(diǎn)，在軸上，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，若，的面積是，則的值是______．【答案】【分析】作軸于點(diǎn)H，則，由的面積是可得長，再由可得，解直角三角形即可解得，從而求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，進(jìn)而求解．【詳解】解：作軸于點(diǎn)H，則，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵點(diǎn)E在反比例函數(shù)的圖象上，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，解題關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)及解直角三角形的方法．14．如圖，△ABC中，，垂足H在BC邊上，如果，，，那么___（用含和的式子表示）．【答案】【分析】先在中由求出，再在中由求出．【詳解】∵，∴，在中，，，，∴，在中，，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，準(zhǔn)確的選擇合適的三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．三、解答題：15．如圖，在中，已知，，，解這個(gè)直角三角形．【答案】，，【詳解】解：在中，∵，，，∴∵∴∴16．如圖，是銳角三角形，，，，求和的值．【答案】，【分析】過作于點(diǎn)，利用面積公式求出高的長，從而求出、的長，再根據(jù)勾股定理求出的長，之后直接解直角三角函數(shù)求和即可．【詳解】過作于點(diǎn)，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，在中，，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)，注意輔助線的添加法和面積公式，解直角三角形公式的靈活應(yīng)用．17．如圖，在中，，，，求長．【答案】【分析】過點(diǎn)A作，構(gòu)造兩個(gè)直角三角形，再利用三角函數(shù)解直角三角形即可求得BC的長度．【詳解】解：過點(diǎn)A作，垂足為在中，，，在中，長為【點(diǎn)睛】本題考查了用三角函數(shù)解直角三角形，掌握利用三角函數(shù)求線段長度的方法是解決本題的關(guān)鍵．提升篇提升篇1．如圖，點(diǎn)E是矩形中邊上一點(diǎn)，沿折疊為，點(diǎn)F落在上．若，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可知，故可設(shè)，則．再根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，，，從而可求出．又易證，即得出，即又可設(shè)，則．根據(jù)勾股定理可求出，從而可求出，最后根據(jù)正切的定義求解即可．【詳解】∵，∴．設(shè)，則．由折疊的性質(zhì)可知，，，∴．∵，∴．∵，∴，∴．∵，∴．設(shè)，則．∵，即，∴（舍去負(fù)值），∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查矩形與折疊，勾股定理，解直角三角形．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．2．如圖，在中，，點(diǎn)O在上，經(jīng)過點(diǎn)A的與相切于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，若則圖中陰影部分面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)O作，可得，可得四邊形是矩形，進(jìn)而可得，在和中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出和的長，最后根據(jù)面積公式，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：連接，過點(diǎn)O作，垂足為F，∴，∵與相切于點(diǎn)D，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，在中，，∴，在中，，∴，，∴陰影部分面積的面積扇形的面積，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰直角三角形，三角形和扇形面積的計(jì)算，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．3．如圖，已知正方形，延長至點(diǎn)E使，連接，，與交于點(diǎn)N，取得中點(diǎn)F，連接，，交于于點(diǎn)M，交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，得到，故①正確；由直角三角形的性質(zhì)可得，即可得，故②錯(cuò)誤；通過證明，可得，作于G，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，正切的定義求出，可求，故③正確；根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，可判斷④正確，設(shè)，，可求，，可得，故⑤正確；即可求解．【詳解】解：∵四邊形為正方形，，∴，，∴，∴，∴，，故①正確；如圖，連接，∵，，∴，∵，，∴，故②錯(cuò)誤；∵，，F(xiàn)是的中點(diǎn)，∴，，，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，如圖，作于G，則，∴，∴，∴，故③正確；∵，∴，∴，∴，∵F是的中點(diǎn)，∴，∴，故④正確；∵，∴設(shè)，，∴，∴，∴，∴，故⑤正確；故選C．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，三角形的面積等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．4．在△ABC中，，AC＝2，AD是BC邊上的高，∠ACD＝45°，則BC的長為_____．【答案】或【分析】分兩種情況討論：當(dāng)AD在△ABC的內(nèi)部時(shí)，當(dāng)AD在△ABC的外部時(shí)，即可求解．【詳解】解：如圖，當(dāng)AD在△ABC的內(nèi)部時(shí)，∵AD是BC邊上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°，在中，∠ACD＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∵AC＝2，∴，在中，，∴，∴AB=4，∴，∴；如圖，當(dāng)AD在△ABC的外部時(shí)，∵AD是BC邊上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°，在中，∠ACD＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∵AC＝2，∴，在中，，∴，∴AB=4，∴，∴；綜上所述，BC的長為或．故答案為：或【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在中，D為BC上一點(diǎn)，連接，將沿著翻折得到，E點(diǎn)恰好在邊上且，若，，則線段___________；【答案】【分析】過作交的延長線于，得到，設(shè)，，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，求得，得到，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：過作交的延長線于，，，，，設(shè)，，將沿著翻折得到，，，，，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），解直角三角形，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．6．如圖，矩形紙片ABCD中，AB=8cm，把矩形紙片沿直線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE交DC于點(diǎn)F，若AD=6cm，則∠EAD的正弦值為_____．【答案】【分析】首先根據(jù)勾股定理計(jì)算出AC的長，再根據(jù)折疊的方法可得△ABC≌△AEC，△ADF≌△CEF，進(jìn)而可得到可知AE=AB=8cm,CE=BC=AD=6cm,再設(shè)AF=x,則EF=DF=（8-x）cm,在Rt△ADF中利用勾股定理可得，求得AF的長，再通過勾股定理求得DF的長，最后可得結(jié)果．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，AD=6cm,∴BC=AD=6cm,∵