2024春七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第4章三角形1認(rèn)識(shí)三角形課件新版北師大版

1認(rèn)識(shí)三角形第四章三角形逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2三角形及相關(guān)元素的定義三角形內(nèi)角和直角三角形的性質(zhì)三角形的三邊關(guān)系三角形中三條重要的線段知識(shí)點(diǎn)三角形及相關(guān)元素的定義知1－講11.三角形的定義由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.特別解讀1.構(gòu)成三角形的“條件”：(1)三條線段；(2)不在同一直線上；(3)首尾順次相接.知1－講三角形的表示法：用符號(hào)“△”表示三角形.如圖4-1-1，頂點(diǎn)是A，B，C的三角形，記作△ABC，讀作“三角形ABC”.字母的順序可以自由安排知1－講2.三角形的“三元素”(1)頂點(diǎn)：三角形相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn).如圖4-1-1，點(diǎn)A，B，C是△ABC的三個(gè)頂點(diǎn).(2)邊：組成三角形的線段叫做三角形的邊.如圖4-1-1，線段AB，BC，AC是△ABC

的三條邊.2.三角形的邊是線段，既可用兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫(xiě)字母表示，也可用邊所對(duì)的頂點(diǎn)的小寫(xiě)字母表示，如頂點(diǎn)A所對(duì)的邊BC可用a表示.知1－講(3)內(nèi)角：在三角形中，相鄰兩邊組成的角，叫做三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形的角.如圖4-1-1，∠A，∠B，∠C

是△ABC的三個(gè)內(nèi)角.知1－練例1如圖4-1-2，在△ABC中，D，E分別是BC，AC上的點(diǎn)，連接BE，AD交于點(diǎn)F.解題秘方：緊扣“三角形及相關(guān)元素的定義”和幾何圖形計(jì)數(shù)的常用方法進(jìn)行解答.知1－練(1)圖中共有多少個(gè)三角形？請(qǐng)把它們分別表示出來(lái).(2)請(qǐng)寫(xiě)出△BDF的三個(gè)頂點(diǎn)、三條邊及三個(gè)內(nèi)角.解：圖中共有8個(gè)三角形，分別是△ABF，△AEF，△ABE，△ABD，△ACD，△ABC，△BDF，△BCE.△BDF的三個(gè)頂點(diǎn)是B，D，F(xiàn)，三條邊是線段BD，DF，BF，三個(gè)內(nèi)角是∠FBD,∠FDB，∠BFD.知1－練(3)以AB為邊的三角形有哪些？(4)以∠C為內(nèi)角的三角形有哪些？解：以AB為邊的三角形有△ABF，△ABD，△ABE，△ABC.以∠C為內(nèi)角的三角形有△ACD，△BCE，△ACB.知1－練方法點(diǎn)撥幾何圖形計(jì)數(shù)的常用方法：按序計(jì)數(shù)法；畫(huà)圖計(jì)數(shù)法；基本圖形計(jì)數(shù)法；分類(lèi)計(jì)數(shù)法.知1－練1-1.如圖所示，圖中共有_____個(gè)三角形.在△ABE中，AE所對(duì)的角是______，∠BAE所對(duì)的邊是______.AD在△ADE中是______所對(duì)的邊，在△ADC中是_______所對(duì)的邊.6∠BBE∠AED∠C知2－講知識(shí)點(diǎn)三角形內(nèi)角和21.三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.幾何語(yǔ)言：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.知2－講2.三角形內(nèi)角和的說(shuō)明思路思路一：利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角及同位角相等”將三角形的三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角.如圖4-1-3①②.思路二：利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”將三角形的三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化為兩平行線間的一組同旁內(nèi)角.如圖4-1-3③.知2－講特別解讀1.三角形內(nèi)角和定理揭示了三角形三個(gè)內(nèi)角之間的數(shù)量關(guān)系.2.已知三角形中任意兩角或兩角的和可以計(jì)算出第三個(gè)角的度數(shù).知2－練

例2解題秘方：緊扣三角形的內(nèi)角和等于180°建立方程求解.知2－練解：設(shè)∠B＝∠C＝m°.因?yàn)椤螦＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝40°.所以40°＋m°＋m°＝180°，解得m°＝70°.所以∠B＝∠C＝70°.(1)已知∠A＝40°，∠B＝∠C，求∠B，∠C的度數(shù)；知2－練解：設(shè)∠A＝x°，則∠B＝x°－16°.因?yàn)椤螦＋∠B＋∠C＝180°，∠C＝54°，所以x°＋x°－16°＋54°＝180°，解得x°＝71°.所以∠A＝71°，∠B＝55°.(2)已知∠A－∠B＝16°，∠C＝54°，求∠A，∠B

的度數(shù)；知2－練

知2－練三角形中求角的度數(shù)問(wèn)題一般用方程思想求解，當(dāng)角之間存在數(shù)量關(guān)系或比例關(guān)系時(shí)，一般根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°列方程.知2－練2-1.在△ABC中，若∠A＝60°，∠B

∶∠C＝2∶1，則∠B等于()A.10° B.40°C.50° D.80°D知2－練2-2.如圖，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，且DE∥BC，則∠AED等于()A.40°B.60°C.80°D.120°B知2－練2-3.在△ABC中，∠A＝∠B＋20°，∠C＝∠A＋50°，求△ABC各內(nèi)角的度數(shù).解：因?yàn)椤螦＝∠B＋20°，∠C＝∠A＋50°，所以∠C＝∠B＋20°＋50°＝∠B＋70°.因?yàn)椤螦＋∠B＋∠C＝180°，所以∠B＋20°＋∠B＋70°＋∠B＝180°.解得∠B＝30°.

所以∠A＝50°，∠C＝100°.知3－講知識(shí)點(diǎn)直角三角形的性質(zhì)3

知3－講2.直角三角形的表示直角三角形可以用符號(hào)“Rt△”表示，“直角三角形ABC”可以寫(xiě)成“Rt△ABC”.注意：“Rt△”后必須緊跟表示直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的大寫(xiě)字母，不能單獨(dú)使用．如“直角三角形的邊”不能寫(xiě)成“Rt△的邊”.知3－講3.直角三角形的性質(zhì)直角三角形的兩個(gè)銳角互余.幾何語(yǔ)言：在△ABC中，因?yàn)椤螩＝90°，所以∠A＋∠B＝90°.知3－講特別解讀1.三角形的三個(gè)內(nèi)角中最多只有一個(gè)鈍角或直角，或者說(shuō)至少有兩個(gè)銳角.2.直角三角形的性質(zhì)的理論依據(jù)是三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.3.在直角三角形中，若已知兩個(gè)銳角之間的關(guān)系，則可結(jié)合兩個(gè)銳角互余求出每個(gè)銳角的大小.知3－練[母題教材P84習(xí)題T4]如圖4-1-5，AB，CD相交于點(diǎn)O，AC⊥CD于點(diǎn)C，若∠BOD＝35°，則∠A＝______.例3解題秘方：根據(jù)直角三角形中兩銳角之間的數(shù)量關(guān)系求出角的度數(shù).55°知3－練解：因?yàn)椤螧OD＝35°，所以∠AOC＝35°.又因?yàn)锳C⊥CD，所以∠ACD＝90°.所以∠A＝90°－∠AOC＝90°－35°＝

55°.知3－練3-1.[中考·黃岡]如圖，Rt△ABC的直角頂點(diǎn)A在直線a上，斜邊BC在直線b上，若a∥b，∠1＝55°，則∠2＝()A.55° B.45°C.35° D.25°C知4－講知識(shí)點(diǎn)三角形的三邊關(guān)系41.等腰三角形有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角.如圖4-1-6.特別地：三邊都相等的三角形叫做等邊三角形，即底邊與腰相等的等腰三角形叫做等邊三角形，也叫正三角形.知4－講2.三角形的三邊關(guān)系文字語(yǔ)言數(shù)學(xué)語(yǔ)言理論依據(jù)圖形三角形任意兩邊之和大于第三邊a＋b﹥c，b＋c﹥a，a＋c﹥b兩點(diǎn)之間線段最短三角形任意兩邊之差小于第三邊a－b﹤c，b－c﹤a，a－c﹤b(a﹥b﹥c)知4－講特別提醒1.應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系時(shí)，必須用任意兩邊的和及差與第三邊作比較.2.已知三角形兩條邊的長(zhǎng)度分別為a，b(a>b)，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知，第三條邊的長(zhǎng)度c的取值范圍是a－b<c<a＋b.知4－練[母題教材P86習(xí)題T1]下列長(zhǎng)度的四組線段中能組成三角形的是()A.1cm，2cm，3.5cmB.4cm，5cm，9cmC.5cm，8cm，15cmD.6cm，8cm，9cm例4知4－練解題秘方：緊扣“三角形的三邊關(guān)系”進(jìn)行判斷.用較短的兩條線段的和與最長(zhǎng)的線段作比較解：因?yàn)?cm＋2cm<3.5cm，所以A不能組成三角形；因?yàn)?cm＋5cm＝9cm，所以B不能組成三角形；因?yàn)?cm＋8cm<15cm，所以C不能組成三角形；因?yàn)?cm＋8cm>9cm，所以D能組成三角形.答案：D知4－練4-1.[中考·河北]四邊形ABCD的邊長(zhǎng)如圖所示，對(duì)角線AC的長(zhǎng)度隨四邊形形狀的改變而變化.當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)，對(duì)角線AC的長(zhǎng)為()A.2B.3C.4D.5B知5－講知識(shí)點(diǎn)三角形中三條重要的線段51.三角形的中線在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線段，叫做這個(gè)三角形的中線.三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)稱(chēng)為三角形的重心.知5－講

知5－講特別解讀三角形的一條中線將這個(gè)三角形分成的兩個(gè)三角形的面積和周長(zhǎng)的關(guān)系：1.兩個(gè)三角形的面積相等；2.兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)的差等于這兩個(gè)三角形另兩邊的長(zhǎng)度的差.知5－講

知5－講特別提醒1.角的平分線是一條射線，而三角形的角平分線是一條線段.2.三角形的角平分線是其內(nèi)角的平分線的一部分.故三角形的角平分線都具有角平分線的性質(zhì).知5－講3.三角形的高從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形的高.三角形的三條高所在的直線交于一點(diǎn).幾何語(yǔ)言：如圖4-1-9，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D.線段AD是△ABC中BC邊上的高.知5－講拓展三角形中三個(gè)重要的點(diǎn)：三條高所在直線的交點(diǎn)叫垂心；三條中線的交點(diǎn)叫重心；三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)叫內(nèi)心.知5－練[母題教材P89習(xí)題T2]如圖4-1-10，在△ABC中，AD，BE分別是△ABC，△ABD的中線.例5解題秘方：利用中線將三角形分成的兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)和面積之間的關(guān)系解題.知5－練解：因?yàn)锳D為BC邊上的中線，所以BD＝CD.所以△ABD與△ADC的周長(zhǎng)之差為(AB＋AD＋BD)－(AC＋AD＋CD)＝AB－AC.因?yàn)椤鰽BD與△ADC的周長(zhǎng)之差為3，AB＝8，所以8－AC＝3，解得AC＝5.(1)若△ABD與△ADC的周長(zhǎng)之差為3，AB＝8，求AC的長(zhǎng)；知5－練

(2)若S△ABC＝8，求S△ABE.知5－練5-1.[中考·常州]如圖，在△ABC中，E是中線AD的中點(diǎn)．若△AEC的面積是1，則△ABD的面積是______．2知5－練如圖4-1-11，AD是△ABC的角平分線，DE∥AB，DF∥AC，EF與AD相交于點(diǎn)O.試問(wèn)：DO是否為△DEF的角平分線？并說(shuō)明理由.解題秘方：根據(jù)三角形的角平分線的定義進(jìn)行說(shuō)明.例6知5－練解：DO是△DEF的角平分線.理由：因?yàn)锳D是△ABC的角平分線，所以∠1＝∠2.因?yàn)镈E∥AB，DF∥AC，所以∠3＝∠2，∠1＝∠4.所以∠3＝∠4.所以DO是△DEF的角平分線.知5－練6-1.如圖，AD是△ABC的角平分線，AE是△ABD的角平分線，若∠BAC＝80°，則∠EAD等于()A.20°B.30°C.45