福建專版2024春七年級數學下冊第五章生活中的軸對稱素養(yǎng)集訓4等腰三角形中作輔助線的七種常用方法作業(yè)課件新版北師大版

第五章生活中的軸對稱素養(yǎng)集訓4.等腰三角形中作輔助線的七種常用方法方法1等腰三角形中有底邊中點時，常作底邊上的中線1.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O為BC的中點.（1）直接寫出點O到△ABC的三個頂點A，B，C的距離的大

小關系.解：（1）如圖，連接OA.OA＝OB＝OC.1234567方法1等腰三角形中有底邊中點時，常作底邊上的中線1.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O為BC的中點.1234567（2）若點M，N分別是AB，AC上的點，且BM＝AN，試判斷

△OMN的形狀，并說明你的理由.解：（2）△OMN是等腰直角三角形.理由如下：因為AB＝AC，O為BC的中點，∠BAC＝90°，所以AO⊥BC，∠B＝∠C＝45°，1234567

又因為∠CON＋∠AON＝90°，所以∠AOM＋∠AON＝90°，即∠MON＝90°.所以△OMN是等腰直角三角形.1234567方法2等腰三角形中沒有底邊中點時，常作底邊上的高2.如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于點D.試說明：∠BAC＝2∠DBC.1234567解：如圖，過點A作AE⊥BC于點E.因為AB＝AC，所以∠BAC＝2∠CAE.因為AE⊥BC，BD⊥AC，所以∠CAE＋∠C＝∠DBC＋∠C＝90°.所以∠CAE＝∠DBC.所以∠BAC＝2∠DBC.1234567方法3等腰三角形中說明與腰有關的線段之間的關系時，常作腰的平行線（或垂線）3.如圖，在△ABC中，AB＝AC，EF交AB于點E，交AC的延長線于點F，交BC于點D，且BE＝CF.試說明：DE＝DF.1234567解：如圖，過點E作EG∥AC，交BC于點G，過點E作EH⊥BD于點H，則∠F＝∠DEG，∠ACB＝∠EGB，∠EHB＝∠EHD＝90°.因為AB＝AC，所以∠ACB＝∠B.所以∠B＝∠EGB.1234567又因為EH＝EH，所以△EHB≌△EHG（AAS）.所以BE＝EG.因為BE＝CF，所以EG＝CF.

所以△EGD≌△FCD（AAS）.所以DE＝DF.1234567方法4等腰三角形中說明與底有關的線段之間的關系時，常作底的平行線4.如圖，在等邊三角形ABC中，D在AC上，延長BC至E，使CE＝AD，DG⊥BC于G.試說明：（1）DB＝DE.1234567解：（1）如圖，過點D作DF∥BC，交AB邊于點F.1234567因為△ABC是等邊三角形，所以AB＝AC，∠ABC＝∠AFD＝∠ACB＝∠ADF＝∠A＝60°.所以△ADF是等邊三角形.所以AD＝DF＝AF.所以CD＝BF.因為AD＝CE，所以FD＝CE.又因為∠DFB＝∠DCE＝180°－60°＝120°，所以△BFD≌△DCE（SAS）.所以DB＝DE.解：（2）因為DB＝DE，DG⊥BC，所以BG＝EG.1234567（2）BG＝EG.方法5等腰三角形中說明一腰上的中線與其他線段的倍分關系時，常用倍長中線法5.如圖，CE，CB分別是△ABC，△ADC的中線，且AB＝AC.試說明：CD＝2CE.1234567解：如圖，延長CE到點F，使EF＝CE，連接FB，則CF＝2CE.因為CE是△ABC的中線，1234567所以AE＝BE.

所以△BEF≌△AEC（SAS）.所以∠EBF＝∠A，BF＝AC.因為AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB.所以∠CBD＝180°－∠ABC＝∠A＋∠ACB＝∠EBF＋∠ABC＝∠CBF.因為CB是△ADC的中線，所以AB＝BD.又因為AB＝AC，AC＝BF，所以BF＝BD.

1234567所以△CBF≌△CBD（SAS）.所以CF＝CD.所以CD＝2CE.

1234567

因為∠ABC＝2∠C，1234567

所以∠E＝∠C.因為AD⊥BC，所以∠ADE＝∠ADC＝90°.又因為AD＝AD，所以△ADE≌△ADC（AAS）.所以CD＝DE.1234567因為點M為BC的中點，所以BM＝MC.所以CD＝DM＋MC＝DM＋BM.又因為DE＝EB＋BD＝AB＋BD＝AB＋（BM－DM），CD＝DE，所以AB＋（BM－DM）＝DM＋BM.

1234567方法7補短法構造等腰三角形7.如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一點，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°.試說明：BD＋DC＝AB.1234567解：如圖，延長BD至E，使BE＝AB，連接CE，AE，過點D作DF⊥CE于點F，則∠DFC＝∠DFE＝90°.因為∠ABE＝60°，BE＝AB，1234567所以∠BAE＝∠BEA＝60°＝∠ABE.所以△ABE為等邊三角形.所以AB＝AE.又因為∠ACD＝60°，所以∠ACD＝∠AEB.因為AB＝AC，AB＝AE，所以AC＝AE.所以∠ACE＝∠AEC.123