湖南省湘西自治州2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷

湘西自治州2023年下學(xué)期高一年級(jí)期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合，再由交集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)椋瑒t，所以，所以，又因?yàn)?，所?故選：A.2.已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函數(shù)定義結(jié)合誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】根據(jù)三角函數(shù)定義，可得，所以.故選：D3.“”是“”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】判斷“”和“”之間的邏輯推理關(guān)系，可得答案.【詳解】由可得，則，即“”是“”的充分條件，當(dāng)時(shí)，成立，但推不出，故“”是“”充分不必要條件，故選:B4.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性及特殊值排除ABC即可.【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)椋?所以函數(shù)為奇函數(shù)，故排除C；由可排除A；由排除B.故選：D5.磚雕是我國(guó)古建筑雕刻中的重要藝術(shù)形式，傳統(tǒng)磚雕精致細(xì)膩、氣韻生動(dòng)、極富書卷氣．圖（2）是根據(jù)一個(gè)磚雕（如圖（1））所作的扇環(huán)形，該扇環(huán)可視為將扇形OAB截去同心扇形OCD所得的圖形，若，，分別在OA，OB上，，的長(zhǎng)度，則該扇環(huán)形磚雕的面積為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)公式及面積公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，所?由扇形面積公式可得扇環(huán)形磚雕的面積為：，故選：A6.若是偶函數(shù)，則（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義，利用求解即可得解.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，即，所以，故選：C7.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意得：在上單調(diào)遞增，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式即可.【詳解】由題意得：在上單調(diào)遞增，所以對(duì)稱軸，所以.故選：B.8.在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度（單位：）、燃料的質(zhì)量（單位：）、火箭的質(zhì)量m（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系式為．已知當(dāng)燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量的比值為時(shí)，火箭的最大速度可達(dá)到，當(dāng)燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量的比值為時(shí)，火箭的最大速度可達(dá)到，則（）A.1 B.3 C.－1 D.－3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可得與的關(guān)系，代入式子，立方差公式化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】由題意，，所以，所以.故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列各式的值為1的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)兩角和差的余弦公式判斷AD，根據(jù)二倍角的正弦公式判斷B，根據(jù)兩角和的正切公式判斷C.【詳解】因?yàn)椋蔄錯(cuò)誤；因?yàn)?，故B正確；因?yàn)椋蔆正確；因?yàn)?，故D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知函數(shù)的最小正周期為，則（）A. B.的圖象與軸交于點(diǎn)C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)周期求出判斷A，計(jì)算可判斷B，計(jì)算判斷C，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性判斷D.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以，解得，故A正確；由，令，則，即函數(shù)與軸交于點(diǎn)為，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以函?shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確；當(dāng)時(shí)，，由余弦函數(shù)單調(diào)性知在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ACD11.已知函數(shù)圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.在區(qū)間上單調(diào)遞減C.若，則函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)D.若，則函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)圖象特點(diǎn)及條件確定，由函數(shù)解析式計(jì)算可判斷A，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可判斷BCD.【詳解】令，解得或，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，所以或，當(dāng)時(shí)，不成立，舍去，當(dāng)時(shí)，成立，故，所以，故A正確；作函數(shù)的圖象，如圖，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，故B正確；令，可得方程，即方程的根為函數(shù)零點(diǎn)，由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，與圖象有3個(gè)交點(diǎn)，所以方程有3個(gè)根，即有3個(gè)不同的零點(diǎn)，故C正確；由圖象可知，斜率大于2時(shí)，與圖象中左下方射線部分無(wú)交點(diǎn)，與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)有3個(gè)不同的零點(diǎn)表述錯(cuò)誤，故D錯(cuò)誤.故選：ABC12.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)換底公式判斷A，找中間量，分別與之比較判斷B，作差后換底公式化簡(jiǎn)判斷CD.【詳解】，又，，所以，即，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，即，又，，所以，即，故B正確；因而，，所以，即，故C錯(cuò)誤；由，所以，故D正確.故選：BD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)在于B選項(xiàng)思路的探求，關(guān)鍵在于找到合適的中間量，分別比較大小，在比較大小的時(shí)候，采用對(duì)數(shù)、指數(shù)的性質(zhì)運(yùn)算，技巧性很強(qiáng)，不好處理.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則______．【答案】4【解析】【分析】待定系數(shù)法求出解析式，利用解析式求函數(shù)值.【詳解】設(shè)冪函數(shù)，則，即，所以，所以.故答案為：414.已知，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)，可得到，從而得到的值.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系，二倍角正弦公式，屬于簡(jiǎn)單題.15.不等式的解集為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】由所給分式不等式，根據(jù)分子非負(fù)可轉(zhuǎn)化為不等式組，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】由可得，即，解得，所以不等式的解集為.故答案為：16.若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】通過(guò)解方程，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍.【詳解】令，得，若，則，有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.若，，要使在區(qū)間上有且僅有個(gè)零點(diǎn)，則需，解得.若，，要使在區(qū)間上有且僅有個(gè)零點(diǎn)，則需，解得.綜上所述，的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，可以從來(lái)進(jìn)行分析.求解含參數(shù)的三角函數(shù)的問(wèn)題，要注意參數(shù)的取值范圍.本題中，并沒(méi)有限制范圍是正實(shí)數(shù)，所以在分析的過(guò)程中，要對(duì)進(jìn)行分類討論.四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)集合，根據(jù)補(bǔ)集、交集的運(yùn)算求解；（2）分類討論，根據(jù)交集為空集列出不等式求解即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，，所以，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)滿足；當(dāng)時(shí)，由可得：或，解得或,綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍或.18.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求的解析式；（2）若在區(qū)間[0，m]上的值域?yàn)椋蟮闹担敬鸢浮浚?）（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合圖象，直接求出，求得周期得到，再代入點(diǎn)求出即可求的解析式；（2）由（1）知，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求得的值.【小問(wèn)1詳解】由函數(shù)圖象，可得，，∴，∵，可得，∴，又∵圖象過(guò)點(diǎn)，∴，即，∴，，解得，，又∵，∴，故函數(shù)解析式；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，∵，則，又∵的值域?yàn)椋?，故?9.已知函數(shù)．（1）若，且，，求的取值范圍；（2）若關(guān)于的不等式的解集為，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)不等式，根據(jù)一元二次不等式恒成立，利用判別式求解；（2）由一元二次不等式的解集求出，再由均值不等式求最小值即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，，即恒成立，所以，解得，即取值范圍為.【小問(wèn)2詳解】由可得，因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以由根與系數(shù)關(guān)系可得，解得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即所求函數(shù)的最小值為.20.已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，且．（1）求；（2）若為奇函數(shù)，求的值；（3）解不等式．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用賦值法求得.（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性列方程來(lái)求得.（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得不等式的解集.【小問(wèn)1詳解】依題意，，令得.【小問(wèn)2詳解】由于為奇函數(shù)，所以，所以，由，令得，所以，所以.【小問(wèn)3詳解】任取，，由于，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，由，，令得，由，得，，所以，所以不等式的解集為.21.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在區(qū)間[a，b]（其中）上的值域?yàn)?，求的取值范圍．【答案】?）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）【解析】分析】（1）根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可分類得到結(jié)果；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)不等實(shí)根，通過(guò)分析二次函數(shù)的圖象得到不等式組，由不等式組可求得的范圍.【小問(wèn)1詳解】令，則，則或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋鶕?jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】函數(shù)在上的增函數(shù)，所以在區(qū)間上的值域?yàn)?，則，根據(jù)條件，可得，即，所以，可知，即為方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，因而，要使得實(shí)數(shù)存在，則方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)不等零點(diǎn)；所以，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.22.已知函數(shù)，將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若對(duì)任意的，總存在唯一的，使得，求的取值范圍．【答案】22.2