（江蘇版）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題2.3 函數(shù)奇偶性（講）-江蘇版高三全冊數(shù)學(xué)試題

專題2.3函數(shù)奇偶性【考綱解讀】內(nèi)容要求備注ABC函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ函數(shù)的基本性質(zhì)

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1．了解奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，并能運用奇偶性的定義判斷一些簡單函數(shù)的奇偶性．2．掌握奇函數(shù)與偶函數(shù)的圖像對稱關(guān)系，并能熟練地利用對稱性解決函數(shù)的綜合問題．【直擊考點】題組一常識題1．[教材改編]函數(shù)f(x)＝x2－1，f(x)＝x3，f(x)＝x2＋cosx，f(x)＝eq\f(1,x)＋|x|中偶函數(shù)的個數(shù)是________．【答案】2【解析】f(x)＝x2－1和f(x)＝x2＋cosx為偶函數(shù)．2．[教材改編]已知f(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)＝eq\r(x)－1，則f(－2)＝________．【答案】1－eq\r(2)【解析】f(－2)＝－f(2)＝－(eq\r(2)－1)＝1－eq\r(2).3．[教材改編]已知函數(shù)f(x)滿足f(x＋3)＝f(x)，當(dāng)x∈(0，1]時，f(x)＝log4(x2＋3)，則f(2017)＝________．【答案】1題組二常錯題4．函數(shù)f(x)＝eq\f(lg（1－x2）,|x＋3|－3)是________(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”)函數(shù)．【答案】奇【解析】由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x2＞0，,|x＋3|－3≠0，))得－1＜x＜1，且x≠0，∴函數(shù)f(x)的定義域為(－1，0)∪(0，1)．∵f(x)＝eq\f(lg（1－x2）,|x＋3|－3)＝eq\f(lg（1－x2）,x)，∴f(－x)＝eq\f(lg（1－x2）,－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)．5．具有性質(zhì)：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝－f(x)的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負”變換的函數(shù)，給出下列函數(shù)：①f(x)＝x－eq\f(1,x)；②f(x)＝x＋eq\f(1,x)；③f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，0<x<1，,0，x＝1，,－\f(1,x)，x>1.))其中滿足“倒負”變換的函數(shù)是________．(填序號)【答案】①③6．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))，且f(1)＝2，則f(2014)＝________．【答案】2【解析】∵f(x)＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))，∴f(x＋3)＝feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))＋\f(3,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))＝f(x)，∴f2014＝f(671×3＋1)＝f(1)＝2.題組三?？碱}7．下列函數(shù)為奇函數(shù)的是________．(填序號)①y＝eq\f(1,x2)，②y＝tan2x，③y＝x＋cosx，④y＝ex＋e－x.【答案】②【解析】y＝eq\f(1,x2)和y＝ex＋e－x是偶函數(shù)，y＝x＋cosx是非奇非偶函數(shù)，只有y＝tan2x是奇函數(shù)．8．已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)－g(x)＝x2＋1，則f(1)＋g(1)＝________．【答案】2【解析】令x＝－1得，f(－1)－g(－1)＝(－1)2＋1＝2.因為f(x)，g(x)分別是偶函數(shù)和奇函數(shù)，所以f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，即f(1)＋g(1)＝2.9．函數(shù)f(x)＝eq\f(2x＋a,a·2x＋b)是R上的奇函數(shù)，則a·b＝________．【答案】1【知識清單】1函數(shù)奇偶性的判斷奇偶性定義圖像特點偶函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于原點對稱2函數(shù)奇偶性的應(yīng)用(1)已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式．利用奇偶性關(guān)于f(x)的方程，從而可得f(x)的解析式．(2)已知帶有字母參數(shù)的函數(shù)的表達式及奇偶性求參數(shù)．常常采用待定系數(shù)法：利用f(x)±f(－x)＝0產(chǎn)生關(guān)于字母的恒等式，由系數(shù)的對等性可得知字母的值．(3)奇偶性與單調(diào)性綜合時要注意奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反．（4）抽象函數(shù)的奇偶性就是要判斷－x對應(yīng)的函數(shù)值與x對應(yīng)的函數(shù)值之間的關(guān)系，從而得到函數(shù)圖象關(guān)于原點或y軸對稱，結(jié)合函數(shù)的圖形作出進一步的判斷．【考點深度剖析】函數(shù)的奇偶性在高考中占有重要的地位，在命題時主要是與函數(shù)的概念、圖像、性質(zhì)綜合在一起考查．而近幾年的高考中加大了對非三角函數(shù)的周期性和抽象函數(shù)的奇偶性、周期性的考查力度．【重點難點突破】考點1函數(shù)奇偶性的判斷【1-1】判斷函數(shù)f(x)＝eq\r(1－x2)＋eq\r(x2－1)的奇偶性；【答案】f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．【解析】解：∵由得x＝±1∴f(x)的定義域為{－1,1}．又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．【1-2】判斷函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(4－x2),|x＋3|－3)的奇偶性；【答案】f(x)是奇函數(shù)．【解析】∵由得－2≤x≤2且x≠0.∴f(x)的定義域為[－2,0)∪(0,2]，∴f(x)＝eq\f(\r(4－x2),|x＋3|－3)＝eq\f(\r(4－x2),x＋3－3)＝eq\f(\r(4－x2),x)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)．【1-3】判斷函數(shù)f(x)＝的奇偶性；【答案】f(x)是偶函數(shù)．【1-4】判斷函數(shù)f(x)＝eq\r(3－2x)＋eq\r(2x－3)的奇偶性；【答案】f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．【解析】∵函數(shù)f(x)＝eq\r(3－2x)＋eq\r(2x－3)的定義域為，不關(guān)于坐標原點對稱，∴函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)【思想方法】1．判斷函數(shù)奇偶性的兩個方法(1)定義法：(2)圖像法：2.判斷分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段分別證明f(－x)與f(x)的關(guān)系，只有對各段上的x都滿足相同的關(guān)系時，才能判斷其奇偶性．【溫馨提醒】定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件考點2函數(shù)奇偶性的應(yīng)用【2-1】已知y＝f(x)＋x2是奇函數(shù)，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，則g(－1)＝________.【答案】－1.【2-2】設(shè)偶函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，且f(2)＝0，則不等式的解集為________.【答案】(－∞，－2)∪(0,2)．【解析】∵f(x)為偶函數(shù)，∴∴xf(x)>0.或又f(－2)＝f(2)＝0，f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，故x∈(0,2)或x∈(－∞，－2)．【2-3】設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意x∈R都有f(x)＝f(x＋4)，當(dāng)x∈[－2，0)時，f(x)＝2x，則f(2014)－f(2013)的值為_______.【答案】eq\f(1,4)【解析】由題可知函數(shù)的周期為4，故f(2014)－f(2013)＝f(2)－f(1)．因為f(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(2)＝－f(－2)＝－2－2＝－eq\f(1,4)，f(1)＝－f(－1)＝－2－1＝－eq\f(1,2)，所以f(2014)－f(2013)＝－eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).【2-4】已知函數(shù)f(x)＝x2－m是定義在區(qū)間[－3－m，m2－m]上的奇函數(shù)，則f(m)＝________.【答案】-1【思想方法】①若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則函數(shù)在y軸兩側(cè)單調(diào)性相反；若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則函數(shù)在原點兩側(cè)的單調(diào)性相同．②利用函數(shù)的奇偶性把研究整個函數(shù)具有的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化到只研究部分(一半)區(qū)間上的問題，是簡化問題的一種途徑．【溫馨提醒】奇偶函數(shù)的不等式求解時，要注意到：奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間上有相反的單調(diào)性．【易錯試題常警惕】f(0)＝0既不是f(x)是奇函數(shù)的充分條件，也不是必要條件.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)有最小正周期2，且當(dāng)x∈(0，1)時，f(x)＝eq\f(2x,4x＋1).(1)求f(1)和f(－1)的值；(2)求f(x)在[－1，1]上的解析式.解(1)∵f(x)是周期為2的奇函數(shù)，∴f(1)＝f(1－2)＝f(－1)＝－f(1)，∴f(1)＝0，f(－1)＝0