2024年中考數(shù)學復習：直角三角形中的解題模型與方法及練習題匯編（含答案解析）

2024年中考數(shù)學復習：直角三角形中的解題模型與方法及練習題匯編

【解題模型與方法】

直角三角形是特殊三角形中最重要的一類三角形，它的重要性與等腰三角形有所不同，到初

二初三，特別是到了初三，直角三角形往往不是獨立成題，而是融入到各種圖形中，可以說，多

數(shù)的幾何圖形，都能找到直角三角形的影子。

一、常見的涉及到直角三角形問題中的解題模型：

類型一邊不確定的直角三角形

類型二角不確定的直角三角形

類型三折疊中的直角三角形

類型四動點中的直角三角形

二、【典型例題】

例1.如圖，在RtZkABC中,NACB=90。,AB=10,AC=8,E.F分別為AB、AC上的點,沿直線EF將NB

折疊，使點B恰好落在BC上的D處，當4ADE恰好為直角三角形時，BE的長為—.

【分析】先在RtAABC中利用勾股定理求出AC=6,再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到BE=DE,直線EF將NB折

疊，使點B恰好落在BC上的D處，4ADE恰好為直角三角形，有兩種可能：①NADE=90°,②N

AED=90°,設BE=x，運用三角形相似列比例式解方程即可得解.

解：在RtZkABC中,VZC=90°,AC=8,AB=10,

/.BC=6.直線EF將/B折疊，使點B恰好落在BC上的D處，當4ADE恰好為直角三角形時,

根據(jù)折疊的性質(zhì)：BE=DE

設BE=x,則DE=x,AE=10-x

①當NADE=90°時,則DE〃BC,

第1頁共37頁

?DEAE

''CBAB

.x10—a?

‘'610

解得：L坦

4

②當NAED=90。時，

則△AEDS/\ACB

.DEAE

''BCAC

.x_10—x

??_

68

解得：L雙

7

故所求BE的長度為：豆或生.

47

常考經(jīng)典考試題同步檢測

考試范圍：三角形；考試時間：100分鐘；

一.選擇題（共8小題）

1.己知Rt△力8a47=3,BC=\,則Rt△力比1的面積為（）

A.6或B.6或2救C.12或3々D.12或4々

2

2.已知一直角三角形的兩邊長分別為8和10,則此直角三角形的第三邊長為（）

A.6或2741B.6C.2741D.12

3.現(xiàn)有兩根木棒的長度分別為40金和50面.若要釘成一個直角三角形框架，那么所需要最短的木

棒長是（）

A.50cmB.40cmC.30cmD.以上都不對

4.如果直角三角形有兩條邊的長分別為3M和4面，那么斜邊上的中線等于（）

A.2cmB.2.5cm

C.2.5c0或D.2cm或2.3cm

5.已知中，/8=13,AC=15,ADLBC于■D,且"=12,則6c的長為（）

A.14B.4C.14或4D.14或9

6.如圖，XABC,點尸為△45C外一點（點。不在直線46、BC、4C上），連接抬、PC.若/物=a,

第2頁共37頁

4PCA=P,4BAC=y,對于

①a+y-B；

②a-B-Y;

③B-a-y；

@360°-a-p-y,

則/罰守的度數(shù)可能是（）

7.在口△/園中，ZJ,ZB,NC的對邊分別為a,b,c,a=3,6=5,則c的長為（）

A.2B.V34C.4D.4或

8.若實數(shù)例"滿足41g互=0,且加，。恰好為直角三角形的兩條邊，則該直角三角形的斜

邊長為（）

A.5B.4C.5或4D.V7

二.填空題（共5小題）

9.己知a是泥的整數(shù)部分，2/=b+c，其中。是整數(shù)，且0<c<l,那么以a、6為兩邊的直角

三角形的第三邊的長度是.

10.如圖，將一張三角形紙片/8C的一角折疊，使得點1落在四邊形及3的外部的位置，且/'

與點C在直線46的異側(cè)，折痕為的已知NC=90°,/4=30°.若保持△4龐、的一邊與比‘

平行，則N4"的度數(shù).

11.在中，18=13,比1邊上的高10=12,AC=15,比1的長為.

12.在一張直角三角形紙片的兩直角邊上各取一點，分別沿斜邊中點與這兩點的連線剪去兩個三角

形，剩下的部分是一個四邊形46切，NB=NC=90°,且46、BC、5邊長分別為4,8,6,則

原直角三角形紙片的斜邊長是.

第3頁共37頁

13.如圖，在中，ZO=90°,4c=3,6c=4,點〃在邊4C上，點反尸在邊力6上，點G

在邊比1上，連接應；DG,FG,當四邊形則是菱形時，發(fā)現(xiàn)菱形的個數(shù)隨著點〃的位置變化而

變化，若存在兩個菱形第心則線段切的長的取值范圍是

三.解答題(共7小題)

14.如圖1,直線46、切相交于點。，AAOC-.匕B0C=5：7,將一直角三角板中60°角的頂點放在

點。處，一直角邊〃獷在射線神上，另一直角邊網(wǎng)，在直線46的下方.

圖1備用圖1備用圖2

(1)在圖1中，求/〃QV的度數(shù)；

(2)將圖1中的三角板繞點0逆時針旋轉(zhuǎn)角a(0°VaW360°),恰好使得隨V〃⑶，求此時旋

轉(zhuǎn)角a的大小；

(3)將圖1中的三角板繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)角a,當0Va<105°時，求/口物與/仇邠的數(shù)量關

系.

15.如圖，在中，ZJ=30°,N8=90°,〃為18的中點，￡在線段4C上，且坦口，則座

ABBCAC

第4頁共37頁

A

16.如圖1,等邊△4%的邊長為4,點〃是直線4?上異于4,8的一動點，連接切，以切為邊長,

在切右側(cè)作等邊△碗；連接8反

(1)求證：BE//ACx

(2)當點。在直線46上運動時，

①△頌■的周長是否存在最小值？若存在，求此時4?的長；若不存在，說明理由；

②△叱能否形成直角三角形？.若能，求此時的長；若不能，說明理由.

17.如圖，點只。分別是邊長為4金的等邊△力歐的邊被加上的動點，點P從頂點4沿四向8

點運動，點。同時從頂點6沿向點C運動，它們的速度都為lc〃/s,當?shù)竭_終點時停止運動，

設它們的運動時間為t秒，連接40、"交于點機

(1)求證：△ABgXCAP；

(2)點只0在運動過程中，N砥的大小有變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，則求出它

的度數(shù)；

(3)當方為何值時，△哪是直角三角形？

第5頁共37頁

18.折紙，常常能為證明一個命題提供思路和方法.例如，在△力比■中，4?>力。（如圖1）,怎樣證

明NO/8呢？

把4c沿N4的平分線4?翻折，因為4Q4G所以點，落在"上的點C'處（如圖2）.于是，

由NIC'ANC,NACD>NB,可得

【感知】（1）①如圖2,在△49。中，若N8=35°,ZC=70：則NC'DB=°.

②如圖2,在△/6C中，若/C=2N8,求證：AB-AC^CD-,

【探究】（2）若將圖2中成是角平分線的條件改成4?是高線，其他條件不變（圖3）,即在△居「

中，NC=2N8,ADLBC,請?zhí)剿骶€段4C、BC、徵之間的等量關系，并說明理由.

【拓展】（3）如圖4,在Rt△力比1中，ZACB=90°,BC=i,4C=5,點尸是花■邊上的一個動點

（不與反。重合），將△加石沿4〃翻折，點C的對應點是點（7".若以B、aC為頂點的三角

形是直角三角形，直接寫出外的長度.

19.過四邊形/靦的頂點/作射線4%P為射線4"上一點，連接隴將繞點/順時針方向旋

轉(zhuǎn)至AQ,記旋轉(zhuǎn)角APAQ=a,連接BQ.

第6頁共37頁

(1)【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1,數(shù)學興趣小組探究發(fā)現(xiàn)，如果四邊形是正方形，且a=90°.無

論點"在何處，總有8g8，請證明這個結(jié)論.

(2)【類比遷移】如圖2,如果四邊形4靦是菱形，ADAB=a=60°,N物415°,連接他.當

PQLBQ,/Q加/時，求4P的長;

(3)【拓展應用】如圖3,如果四邊形切是矩形，力46,15=8,41/平分/%C,a=90°.在

射線40上截取/凡使得4火=_14只當△臉是直角三角形時，請直接寫出尸的長.

3

D

20.如圖，在RtZvlSC中，Z5=90°,AC=60cm,ZA=60°，點〃從點力出發(fā)沿4C方向以4c/s

的速度向點。勻速運動，同時點6從點6出發(fā)沿劭方向以2cw/s的速度向點力勻速運動，設點D、

￡運動的時間是1秒(0<t<lS),過點〃作加U6C于點尸，連接龍，EF.

(1)求證：四邊形4萬口是平行四邊形;

(2)當t為何值時，四邊形1物為菱形？說明理由;

(3)當￡為何值時，施與△?1比相似？說明理由.

第7頁共37頁

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

1.已知就△4%7,AC=3,BC=4,則的面積為（）

A.6或③B.6或2救C.12或377D.12或

2

【答案】A

【解答】解：在RtZi4?C中，當4C=4是直角邊，此時△械=/x3X4=6；

在RtZ\46C中，當4C=4是斜邊，此時另一直角邊長為:此時X3XA/7

=3V7_

2_

綜上所述，Rt447C的面積為6或盟工.

2

故選：A,

2.已知一直角三角形的兩邊長分別為8和10,則此直角三角形的第三邊長為（）

A.6或2V4IB.6C.2A/41D.12

【答案】A

【解答】解：若8、10均為該直角三角形的兩直角邊，

則第三邊的長為在可商=2

若10為該直角三角形的斜邊，

則第三邊的長=五區(qū)項=6?

綜上所述，此直角三角形的第三邊長為6或2741.

故選：A.

3.現(xiàn)有兩根木棒的長度分別為40面和50M.若要釘成一個直角三角形框架，那么所需要最短的木

棒長是（）

A.50anB.40cmC.30cmD.以上都不對

【答案】C

【解答】解：分兩種情況：

當40頌和50的為直角三角形的兩條直角邊時，

.,.所需要的木棒長={502+4（）2=10，五（cm）；

當50c卬為直角三角形的斜邊時,

第8頁共37頁

，所需要的木棒長=j5"0^40^=30(cm)；

綜上所述：所需要最短的木棒長為30金，

故選：C.

4.如果直角三角形有兩條邊的長分別為3的和4面，那么斜邊上的中線等于()

A.2cmB.2.5cm

C.2.5cz?或1.5cmD.2cm或2.3cm

【答案】D

【解答】解：(1)當邊長為4CR的邊為斜邊時，則斜邊上的中線為：1X4=2(c加;

2

(2)當邊長為4面的邊為直角邊時，

則根據(jù)勾股定理得斜邊長為+42=5(腐)，

所以斜邊上的中線為：—X5=2.5(cm).

2

綜上所述，則斜邊上的中線為：2cm或2.5cm.

故選：D.

5.已知比'中，48=13,然=15,AD1.BC于D,且49=12,則比?的長為()

A.14B.4C.14或4D.14或9

【答案】C

【解答】解：①如圖，銳角△4宏中，4Q13,AC^15,6c邊上高力412,

在比/\48〃中46=13,4g12,由勾股定理得

4=44-初=13?-122=25,

即BD=5,

在口△/劭中47=15,力312,由勾股定理得

5=Ad-<)=152-122=81,

即CD=9,

：.6c的長為BD^DC=9+5=14,

②鈍角△力6c中，力以13,力仁15,BC邊上高4Q12,

在RtZ\4劭中49=13,4g12,由勾股定理得

Blf=慮-JZ?=132-122=25,

即BD=5,

第9頁共37頁

在Rt△力切中/1C=15,月412,由勾股定理得

Cb=Ad-4=15?-12'=81,

:.CD=9,

：.BC=DC-BD=9-5=4.

故A選：C.

6.如u圖，/XABC,點、P為AABC外一點、（點戶不在直線4?、BC、/C上），連接陽、PC.若NPBA=a,

ZPCA=8,NBAC=y,對于

①a+丫-B；

②a-B-丫；

③6-a-y；

④360°-a-B-Y，

則N8PC的度數(shù)可能是（）

A

△

A.①④B.②③④C.①②③D.①②③④

【答案】A

【解答】解：如圖一，NRN/Wa=N/mB+Y,

"：APDB=AADC,

：./2a=B+丫，

???NAB+Y-a；

第10頁共37頁

A

D

a/

B匕----------------

圖一

如圖二，在四邊形45PC中，Q+B+Y+NP=360°,

—3600-a-0-y；

.：/ADB=/PDC,

.?.a+丫=/ae,

AZP=a+y-P；

???/孫是△筋的外角，

:?/BDA=/PrB,

TN物。是△力切的外角，

.?.丫=a+ZBDA=a+B+NR

???ZP=y-a-0.

第11頁共37頁

D,

圖四

綜上判斷①、④正確，

故選：A.

7.在口△/J6C中，ZA,ZB,NC的對邊分別為a,b,c,a=3,6=5,則c的長為（）

A.2B.V34C.4D.4或

【答案】D

【解答】解：在中，N8,NC的對邊分別為a,b,c,a=3,6=5,

則c="+b2=A/32+52=V34^。="52-32=4,

故選：D.

8.若實數(shù)〃滿足|/”4|+后互=0,且m,〃恰好為直角三角形的兩條邊，則該直角三角形的斜

邊長為（）

A.5B.4C.5或4D.77

【答案】C

【解答】解：???W-4I+后三=0,

Az?/-4=0,n-3=0,

解得勿=4,〃=3,

①當加，〃是直角邊時，該直角三角形的第三邊長={42+32=5,

②當m=4是斜邊時，即該直角三角形的斜邊長為4.

故該直角三角形的第三邊長為5或4.

故選：C.

二.填空題（共5小題）

9.已知a是返的整數(shù)部分，2/=b+c，其中人是整數(shù)，且0<cVl,那么以a、。為兩邊的直角

三角形的第三邊的長度是2&或2y.

【答案】2娓或2a.

第12頁共37頁

【解答】解：：4V6<9,

.\2<>/6<3,

.??戈的整數(shù)部分是2,

??a=2f

V2<V6<3,

.\4<2+V6<5,

,*,2+V6=b+c?其中6是整數(shù)，且0<c<l,

：.b=^,c=2+娓-4=娓-2,

分兩種情況：

當6=4為直角邊時，

2222

第三邊的長度=7a+b=72+4=2顯；

當6=4為斜邊時，

第二邊的長度='卜2-a2=d二2-22=2。*^；

綜上所述：第三邊的長度是2遙或2我，

故答案為：2遙或2次.

10.如圖，將一張三角形紙片/仇?的一角折疊，使得點4落在四邊形比）%的外部4'的位置，且

與點C在直線48的異側(cè)，折痕為%已知NC=90°,ZJ=30°.若保持△/'龍的一邊與a1

平行，則的度數(shù)45°或30°?

【答案】45°或30°.

【解答】解：當以'〃比'時，如圖,

第13頁共37頁

Z/DA=ZACB=90a,

龐沿膜折疊至應，

/.AADE^Z/^y/ADA7=45。，

當即〃比1時，如圖，連接AA,

N2=N/1仇=60°,

：.Z/AB^AAA￡=30°,

...NZH4'=/%'{=60°,

二△加'〃是等邊三角形，

.\Zl=120o,

,/應'沿龐、折疊到ADE,

：.Z.ADE=Z.A^=—ZADA7=.（180。-Zl）=30。,

綜上所述，//①的度數(shù)為：45°或30°.

故答案為：45°或30°.

11.在中，/15=13,比1邊上的高10=12,AC=15,8c的長為14或4.

第14頁共37頁

【答案】14或4.

【解答】解：分兩種情況：

(1)如圖，銳角△4?。中，祖?=13,4c=15,%邊上高A9=12,

在Rt△/初中，/8=13,4。=12,由勾股定理，得

BD=AB-JZf=132-122=25,

:.BD=5,

在Rt△力徵中，47=15,AD=12,由勾股定理，得

切=/d-4)=152-*2=81,

:.CD=9,

的長為：9■47=5+9=14；

(2)如圖，鈍角△49C中，48=13,然=15,比1邊上高4>=12,

在口△/即中48=13,AD=12,由勾股定理，得

BB=A4-JZ/=132-122=25,

:.BD=5.

在RtZ\15中4。=15,AD=\2,由勾股定理，得

5=Ad-JZX=152-122=81,

；.5=9.

.?.比?的長為：”?-89=9-5=4.

綜上，況1的長為14或4.

故答案為：14或4.

12.在一張直角三角形紙片的兩直角邊上各取一點，分別沿斜邊中點與這兩點的連線剪去兩個三角

形，剩下的部分是一個四邊形46徵，N5=/C=9(T,且/氏BC、5邊長分別為4,8,6,則

第15頁共37頁

原直角三角形紙片的斜邊長是8f或20

【答案】8代或20.

【解答】解：①如圖1：

圖】

因為AC=^2+g2=41\/5>

點力是斜邊距的中點，

所以原=24。=8遙；

②如圖2：

圖2

22

因為^=-^g+g=10,

點〃是斜邊旗的中點，

所以EF=2BD=20.

綜上所述，原直角三角形紙片的斜邊長是8遙或20,

故答案為：8遙或20.

13.如圖，在RtA4Z?C中，Zr=90°,AC=3,J3C=4,點0在邊4c上，點E,尸在邊4?上，點G

在邊以上，連接％DG,FG,當四邊形麗是菱形時，發(fā)現(xiàn)菱形的個數(shù)隨著點〃的位置變化而

變化，若存在兩個菱形兩，則線段8的長的取值范圍是逝.

-378-

第16頁共37頁

c

【答案】36<C7^_9.

378

【解答】解：：NC=90°,4仁3,BC=4,

仙=VAC2+BC2=5-

①當四邊形瓦底。是正方形時，

過點。作如_4?于點〃，CH與DG交手點M,如圖,

.?&ABC蔣父的3獷?園

0/=￡

5

設正方形的邊長為x,則HM=x,

:.CM=CH-削=m-x,

5

,JDG//AB,

:.XCDGsMCAB,

.CMDG

??----二--------，

CHAB

12

"T--X

.5x

**12

V

.-沖世

37

:次=也.

37

'：XCDGsXCAB,

?CDDG

"CA=AB'

第17頁共37頁

60

?CD37"

??:z---,

35

CD=雙

37

觀察圖形可知：當owa?〈適時，菱形的個數(shù)為o,當切=理時，菱形的個數(shù)為1；

3737

②當四邊形的房是菱形時，如圖，

設菱形的邊長為處則5=3-而，

'：DG//AB,

：./\CDG^/\CAB,

?CDDG

'FF'

-

???3---m=—m,

35

；.7=義_,

8

:.CD=3-西=9,

88

觀察圖形可知：當選時，菱形的個數(shù)為2；

378

③當四邊形必仍是菱形時，如圖,

:NDGsMCAB'

?CGDG

"CB"AB"

???-4----n--=--n-,

45

第18頁共37頁

9

.?.34-型=西.

99

■:XCDGsMCAB,

?CGCD

??旗F，

16

?CDV

??-二,

34

:.CD=魚,

3

觀察圖形可知：當9＜但」2時，菱形的個數(shù)為1,當居＜。k3時，菱形的個數(shù)為o,

893

綜上，當理_＜。運9時，菱形的個數(shù)為2,

378

故答案為：迤＜限9.

378

三.解答題(共7小題)

14.如圖1,直線46、繆相交于點0,ZAOC：4B0C=3：7,將一直角三角板中60°角的頂點放在

點。處，一直角邊在射線OB上,另一直角邊,眥在直線46的下方.

圖1備用圖1備用圖2

(1)在圖1中，求N2QV的度數(shù)；

(2)將圖1中的三角板繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)角a(0°＜aW360°),恰好使得助V〃=，求此時旋

轉(zhuǎn)角a的大??；

(3)將圖1中的三角板繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)角a,當0Va＜105°時，求/aV與/況江的數(shù)量關

系.

【答案】(1)15°.

第19頁共37頁

(2)15°或195°.

(3)ACOM-/BON=45"或於/灰/=45°.

【解答】解：(1)VZAOC：ZB0C=5：7,：.ZAOC=180°X_§_=75°

12

'：ABOD=AAOC=1^,

：.ADON=ABOD-60°=15°；

(2)①如圖，當0°<aW105°時，

AZ2?6!M=ZA；=30",

Aa=Z￡)a\\-ZZ?6?V=30°-15°=15°,

②如圖，當105°VaW360°時，

第20頁共37頁

Nz

.:隨電〃CD,

???NC〃%+N/%=180°,

???/口%=180°-90°=90°,

Aa=ZBOOZCOM,=105°+90°=195°；

(3)①如圖，當0°VaW60°時，

???NC〃Q105°-a,ZBON=QO°-a，

第21頁共37頁

"COM-ZW=105°a(60°-a)=45°,

②如圖，當60°<a<105°時,

仁105°-a,N6Q■ka-60°,

.../0!附/8。*=105°-a+(a-60°)=45°.

綜上，ACOM-NB0N=45°或濟N8QV=45°.

15.如圖，在中，ZJ=30°,N8=90°,〃為的中點，￡在線段47上，且處理，則座

ABBCAC

42

【答案】工或工.

42

【解答】解：???〃為四中點，

?.坦捶』，BPDE^BC,取“1中點昂連接陽，則因是的中位線，此時加6C,

ABBC22

DE\=LBC,

2

第22頁共37頁

.AE1AD1

??----~二--,

ACAB2

在C上取一點與，使得的=%，則%

2

：/4=30°,N6=90°,

：.ZC=GO°,BC=kAC,

2

：.DEX//BC,

㈤旦=60°,

△瓦;瓦是等邊三角形，

DE\—DE—E\E——BC,

2-22

：.ExE2=kAC,即士也=_L,綜上，嶇的值為：工或工，

4AC4AC24

故答案為：工或工.

24

16.如圖1,等邊的邊長為4,點〃是直線46上異于46的一動點，連接切，以切為邊長,

在⑺右側(cè)作等邊△碗連接BE.

（1）求證：BE//AC-,

（2）當點〃在直線用上運動時，

①△以）￡的周長是否存在最小值？若存在，求此時｛。的長；若不存在，說明理由；

②△應應能否形成直角三角形？.若能，求此時/〃的長；若不能，說明理由.

圖1備用圖

【答案】（1）見解答；

(2)①2；

②8或4.

【解答】（1）證明：：△48。、40定都是等邊三角形,

：.CA=CB=AB,NA=NACB=NABC=60°,ZDCE=ZDCE=DEC=60°,CD=CE=DE,

AACD=ABCE,

第23頁共37頁

:.△AC2XBCE(SAS'),

.?./鹿=4=60°,

：.￡ABE=\2^,

.?.//+//緲=180°,

：.BE//AB-,

（2）解：①△應應的周長存在最小值，

由（1）得彩（S1S）,

：.BE=AD,

:.B1RB計DE=AB+DE,要使△反應的周長最小，則〃最小,

'：CD=DE,

...當必時，⑺的長最小，如圖2,

'：CA=CB=A,CDVAB,

.?./〃=二6=2；

2

②當點。在直線46上運動時，應'能形成直角三角形，分兩種情況,

圖3

,:AB=AC=BC=4,

第24頁共37頁

:.AH=、AB=2,

2

VAC2-AH2=V42-22=2V3，

.：/BDE=90°,/CDE=6Q°,

...N4ZT=30°,

：.CD=2CH=4^/3,

仞=?2-CH2=V(4V3)2-(2V3)2=6:

：.AD=A/f^//D=8；

當N6項=90°時，作CfLLAB于氤H,如圖4,

同理得///=2,C//=2A/3-

設由(1)得XACg/XBCEqSAS),

:.BE=AD=x,

°：CD=DE,

...由勾股定理得，麻+出=龐-應S

即(x+2)2+(2V3)2=(x+4)2-x2f

解得，x-4,

綜上，當點〃在直線力6上運動時，△叱能形成直角三角形，的值為8或4.

17.如圖，點只。分別是邊長為4金的等邊△/回的邊/反勿上的動點，點P從頂點/沿向8

點運動，點。同時從頂點6沿比向點C運動，它們的速度都為Isz/s,當?shù)竭_終點時停止運動，

設它們的運動時間為t秒，連接40、"交于點機

(1)求證：△ABgXCAP；

(2)點只0在運動過程中，/C%的大小有變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，則求出它

第25頁共37頁

的度數(shù)；

（3）當t為何值時，△蹴是直角三角形？

(2)/。跖的大小不變，N6W=60°,理由見解答過程;

(3)1或旦.

33

【解答】(1)證明：；△45C為等邊三角形，

：.AB=AC,NB=NBAC=60°,

由題意可知，AP^BQ,

在△力制和中，

'AB=CA

<ZB=ZCAP-

BQ=AP

：./\ABQ^/\CAP(弘S)；

(2)解：/C圈的大小不變，NCM=60°,

理由如下：由(1)可知：XABgXCAP,

：.ZACP=ZBAQ,

：.ZCMQ=Z04冊ZACP^ZC4班ABAQ=ACAB^=60°；

(3)解：由題意得：AP=BQ=tcm,

貝I」BP=(4-t)cm,

當/酰=90°時，

???N6=60°,

:"BPgAN,

:.BQ=、BP,即f=A(4-t),

22

第26頁共37頁

解得：r=&,

3

當N60g9O°時，Bg2BP,即t=2（4-t）,

解得：t=l,

3

綜上所述，當力=4或2時，△哪是直角三角形.

33

18.折紙，常常能為證明一個命題提供思路和方法.例如，在△/比1中，4Q/C（如圖1）,怎樣證

明呢？

把力。沿//的平分線力〃翻折，因為所以點。落在48上的點C'處（如圖2）.于是，

由N/JCg/GZACD>AB,可得NSN6.

【感知】（1）①如圖2,在中，若/8=35°,4C=70；則DB=35°.

②如圖2,在△4?。中，若NC=2N8,求證：AB-AC=CD-,

【探究】（2）若將圖2中是角平分線的條件改成力〃是高線，其他條件不變（圖3）,即在△<比

中，/U2/6,ADVBC,請?zhí)剿骶€段4GBC、5之間的等量關系，并說明理由.

【拓展】（3）如圖4,在口△/及；中，/4/=90°,BC=4,4C=5,點尸是8c邊上的一個動點

（不與8、C重合），將沿/一翻折，點C的對應點是點C.若以反aC為頂點的三角

形是直角三角形，直接寫出"的長度2或3.

AA

【答案】（1）①35；②證明見解析；（2）線段AC.BC、W之間的等量關系為：BC=AC+2CD,理

由見解析；（3）2或3.

2

【解答】（1）①解：；〃'沿乙4的平分線四翻折，

AZACD=ZC=70°,

第27頁共37頁

VAACDB,N8=35°,

：.ZC施=35°,

故答案為：35；

②證明：???〃1沿//的平分線翻折，

.?.△力，'D^^ACD,

：.Z.ACg4C,AC'=AC,CD^CD.

,:NC=2NB,

：.ZACD=2AB.

VAACD^AB+ZCDB,

：.￡CDB=4B,

：.CD=CB.

,：AB-AC=AB-AC=CB,

：.AB-AC^CD,

：.AB-AC=CD；

(2)解：線段47、BC、密之間的等量關系為：BC=AC+2CD,理由:

在線段仍上取一點￡,使龍=〃C,連接Af,如圖，

〃為龍的垂直平分線，

J.AE^AC,/AEC=4G

,：2C=22B,

：.NAEC=2NB.

'：ZAEC=AB^AEAB,

:./B=NEAB,

:.BE=AE,

：.BE=AC.

BC=BE+EaDC=AC+2DC,

第28頁共37頁

即BC=AC+2CD；

（3）解：若以從aC為頂點的三角形是直角三角形，外的長度為3或2,理由:

2

①當NC'a'=90°時，

?.?將沿翻折，點c的對應點是點。,，

：.AC=4C=5,PC=PC,

vzr8c=90°,//龐=90°,￡CDC=90°,

四邊形6W為矩形，

：.BC=CD,CD=BC=A,

："D={AC，2_(y，=V52-42=3-

:.CD=AC-初=5-3=2,

：.C6=2.

設BP=x,貝ljPC=BC-BP=4-x,

：.CP=\-x.

在Rt△即C中，

■:BF+BCJ<7),

.,.?+22=(4-X)2,

解得：x=--,

2

:將△4%'沿心翻折，點C的對應點是點C,

：.PC=PC,Z.ACA/4g90°,

第29頁共37頁

:./PCg4PCC,

?：ACBC+APCC=90°,4PCPC6=90°,

：.ACBC=NPCB,

：.PC=PB,

:.BgPC,

:*BP=%C=2,

2

綜上，分的長度為2或3,

2

故答案為：2或3.

2

19.過四邊形48繆的頂點/作射線4伙戶為射線41/上一點，連接〃A將/尸繞點/順時針方向旋

轉(zhuǎn)至AQ,記旋轉(zhuǎn)角NPAga,連接BQ.

(1)【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1,數(shù)學興趣小組探究發(fā)現(xiàn)，如果四邊形力時是正方形，且a=90°.無

論點"在何處，總有止如請證明這個結(jié)論.

(2)【類比遷移】如圖2,如果四邊形4%力是菱形，ADAB=a=60°,乙加?=15°,連接他.當

PQ1BQ,止=氓啦時,求小的長；

(3)【拓展應用】如圖3,如果四邊形/I靦是矩形，Ag6,AB=8,AM平分N%C,a=90°.在

射線40上截取4?,使得/"=44只當△加"是直角三角形時,請直接寫出/一的長.

3

口，

VQ

圖1圖2

/M/M

-------------'B------------'B

圖3、備用圖、

第30頁共37頁

【答案】(1)證明見解答；

(2)AP=2；

(3)4夕的長為虺區(qū)或竺叵.

211

【解答】(1)證明：如圖1,；四邊形4?必是正方形,

圖1

：.AD=AB,ZBAD=90°,

處小=90°,

.?.N加仆N胡M=90°,

：.ZDAP=ABAQ,

:將AP繞點、/順時針方向旋轉(zhuǎn)至AQ,

：.AP^AQ,

：.^ADF^/\ABQ(弘S),

：.BQ=DP.

(2)解：如圖2,過點P作PHUB于點H,連接BP,

?.?四邊形4仍9是菱形，

圖2

由旋轉(zhuǎn)得：AP^AQ,

,：ZDAB=a=60",

即NZMQ/必g60°,

第31頁共37頁

:.XADP^XABQ(S4S),

:?BQ=DP,NAPD=/AQB,

a

\AP=AQfZPAQ=&00,

，△力園是等邊三角形，

???N4火=60°,

■:PQ1BQ,

?,.N用火=90°,

:?/AQB=/AQP+/BQ—6C+90°=150°,

：.ZAPD=ZA0S=15O°,

：.ZDPjif=180°-ZAPD=180°-150°=30°,

TN揚切=15°,

???ZADP=ADPM-N物〃=30°-15°=15°，

:./ADP=/MAD,

:?AP=DP,

:?AQ=BQ=PQ=AP,

：.ZABQ=ZBAQ=AMAD=15°,

：.APAH=Z.PAQ-ZBAQ=G0Q-15°=45°,

■:PHLAB,

:?/AHP=4BHP=9G,

???△力加是等腰直角三角形，

:.AH=PH='^AP,

2

?：BQ=PQ,NPQB=9G,

.?.△8網(wǎng)是等腰直角三角形，

：.NW=45°,

：.4PBH=4PBQ-NABQ=45°-15°=30°,

■^-APr~

：.BH=PH=_&"_=?AP,

tanZPBHtan30°2_

/.46=腑防^返心2痣AP,

222

第32頁共37頁

???返也巳片加+加，

2

：.AP=2；

(3)解：①當/BRP=90°時，如圖3,連接。RPQ,過點4作陽1附于點色

設4M交CD于點、F,過點尸作尸GJ_”于點G,

??四邊形/也是矩形，

??NBMfi~NDAP=90°,N49C=90°,

:/胡M/BAR=90°,

?./DAP=/BAR,

.,力〃=6,AB=8,

??—AD—_6_—3—,

AB84

：AR=^AP,

3

一3,

AP一4

AR

AP

AD-

AB,

AR

：./\ADP^/\ABR,

ADP=AD=6=3；即Ja?=_l〃尸，

BRAB843

?.Fl/平分NZMGFDYAD,FGLAC,

:.FD=FG,

在Rtzxi繆中，AC=^AD2+CD2=Vs^+8^=1°，

tan/4g坦=&=3,

AC105

tanZACD=—,

CF5

第33頁共37頁

.DF=_3,

**CF百

'：DF+CF=CD=8,

:.DF=3,CF=5,

在Rt△//中，AF=7AD2+DF2=V62+32=3V5，

.：/DA—/BAR,ZADF=ZAEB=90°,

：./\ADF^/\AEB,

?AE—BE—ABanAE_BE_8

"ADDFAF,'T3V5"

:.AE=應1,BE=^H,

55

TN從港=90°,

：?/ARPLBRE=9G,

■:4