2022-2023學年湖南省湘潭市高三（上）入學數(shù)學試卷

2022-2023學年湖南省湘潭市高三（上）入學數(shù)學試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.（5分）己知集合4={x6R|f-x=0},B={XER\X2+X^0},則ACB=（）

A.{1}B.{-1}C.{0,1}D.{-I,0,1）

2.（5分）復數(shù)（招）5=（）

A.-1B.1C.-iD.i

3.（5分）若函數(shù)/（x）=sin2t的圖象由函數(shù)g（x）=cos2%的圖象經(jīng)過以下變換得到的,

則該變換為（）

777T

A.向左平移；個單位長度B.向左平移二個單位長度

24

7T7T

C.向右平移二個單位長度D.向右平移二個單位長度

24

4.（5分）已知直三棱柱ABC-481。的側(cè)棱和底面邊長均為1,M,N分別是棱5C,A1B1

上的點，且CM=2BiN=人,當〃平面A4C1C時，入的值為（）

3211

A.-B.-C.-D.一

4323

5.（5分）設(shè)某芯片制造廠有甲、乙兩條生產(chǎn)線均生產(chǎn)規(guī)格的芯片，現(xiàn)有20塊該規(guī)格

的芯片，其中甲、乙生產(chǎn)的芯片分別為12塊，8塊，且乙生產(chǎn)該芯片的次品率為金，現(xiàn)

從這20塊芯片中任取一塊芯片，若取得芯片的次品率為0.08,則甲廠生產(chǎn)該芯片的次品

率為（）

1111

A.—B.—C.—D.—

5101520

6.（5分）牛頓迭代法亦稱切線法，它是求函數(shù)零點近似解的另一種方法.若定義雙（蛇N）

是函數(shù)零點近似解的初始值，過點Pk（xk,f（xk））的切線為y=/（xt）（x-耿）

切線與x軸交點的橫坐標為XMI,即為函數(shù)零點近似解的下一個初始值，以此類推，滿

足精度的初始值即為函數(shù)零點近似解.設(shè)函數(shù)f（x）=/-5,滿足刈=1.應用上述方

法，則X3=（）

7.（5分）在四邊形ABC。中，G為△BCD的重心，AG=2,點O在線段4G上，則04?（OB+

OC+OD）的最小值為（)

A.-3B.-2C.-1D.0

1111iq

8.(5分)已知a=zsi7i己,c=ypcos^,貝ij()

05□olao

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

（多選）9.（5分）已知函數(shù)/（x）=sirmx+cosnx（x€R）,則下列說法正確的是（）

A.函數(shù)/（x）是周期函數(shù)

B.函數(shù)/（X）的最大值是2

C.函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（一/，0）對稱

D.函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于直線x=：對稱

（多選）10.（5分）已知函數(shù)/（X）=lnx,a>0,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.函數(shù)y=/Q+x）-f（x）是其定義域上的減函數(shù)

B.函數(shù)y=/（“-x）+fC-x）是其定義域上的減函數(shù)

C.函數(shù)y=/（a-x）+f（.a+x）是其定義域上的增函數(shù)

D.函數(shù)y=/（“+x）-f（a-x）是其定義域上的增函數(shù)

（多選）11.（5分）已知直線/：y=k（x-1）（HO）與拋物線C：/=4x交于A,8兩點,

點O為坐標原點，若線段AB的中點是M（加，1）,則（）

A.k=2B.m=3C.|A同=5D.OALOB

（多選）12.（5分）如圖，已知圓錐頂點為P,其軸截面△以B是邊長為6的為正三角形,

0\為底面的圓心,EF為圓0\的一條直徑，球。內(nèi)切于圓錐（與圓錐底面和側(cè)面均相切）,

點。是球。與圓錐側(cè)面的交線上一動點，則（）

A.圓錐的表面積是45n

B.球。的體積是4次兀

C.四棱錐Q-AEBF體積的最大值為9百

D.|QE|+I2f]的最大值為6企

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）若關(guān)于x的不等式/-ar+b<0的解集｛x|l〈x<2｝,則實數(shù)a+6=.

14.（5分）設(shè)（1+x）"=ao+aix+ai^+-+anx!'（nGN*,w24）,若i€｛0,1,2,…，

n],則”的所有可能取值的個數(shù)是.

15.（5分）某燈泡廠對編號為1,2,…，15的十五個燈泡進行使用壽命試驗，得到奇數(shù)號

燈泡的平均使用壽命（單位：小時）為1580,方差為15000,偶數(shù)號燈泡的平均使用壽

命為1580,方差為12000,則這十五個燈泡的使用壽命的方差為.

y2

16.（5分）已知雙曲線C：---=1（a>0,b>0）的右頂點為A,若以點A為圓心，

a2b2

以人為半徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于M,N兩點，點。為坐標原點，且盛=5ON,

則雙曲線C的離心率為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

17.（10分）設(shè)數(shù)列｛〃”｝（〃6N*）的前”項和為S”S,,=2an-1,數(shù)列｛為｝（n￡N*）是等差

數(shù)列，其前“項和是力”且如=〃3,b5=a5.

（1）求數(shù)列｛斯｝和｛尻｝的通項公式；

（2）求使得7；"是數(shù)列｛歷｝中的項的m的取值集合.

18.（12分）設(shè)aABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,A為鈍角，且tanB=1

（1）探究A與8的關(guān)系并證明你的結(jié)論；

（2）求cosA+cosB+cosC的取值范圍.

19.（12分）如圖，在四棱錐P-A8CD中，己知四邊形A8CC是梯形，AB//CD,ADA.AB,

AB=BC=2CD=2,△P8C是正三角形.

（1）求證：BCVPA-,

（2）當四棱錐P-A2CO體積最大時，求：

①點A到平面PBC的距離；

②平面PAB與平面PAD夾角的余弦值.

P

D怒

AB

20.（12分）湘潭是偉人故里，生態(tài)宜居之城，市民幸福感與日俱增.某機構(gòu)為了解市民對

幸福感滿意度，隨機抽取了120位市民進行調(diào)查，其結(jié)果如下：回答“滿意”的“工薪

族”人數(shù)是40人，回答“不滿意”的“工薪族”人數(shù)是30人，回答“滿意”的“非工

薪族”人數(shù)是40人，回答“不滿意”的“非工薪族”人數(shù)是10人.

（1）請根據(jù)以上數(shù)據(jù)填寫下面2X2列聯(lián)表，并依據(jù)a=0.01的獨立性檢驗，分析能否

認為市民對于幸福感滿意度與是否為工薪族有關(guān)聯(lián)？

滿意不滿意合計

工薪族

非工薪族

合計

（2）用上述調(diào)查所得到的滿意度頻率估計概率，機構(gòu)欲隨機抽取部分市民做進一步調(diào)

查.規(guī)定：抽樣的次數(shù)不超過〃若隨機抽取的市民屬于不滿意群體，則抽樣結(jié)

束；若隨機抽取的市民屬于滿意群體，則繼續(xù)抽樣，直到抽到不滿意市民或抽樣次數(shù)達

到〃時，抽樣結(jié)束.記此時抽樣次數(shù)為X”.

①若〃=5,求X5的分布列和數(shù)學期望；

②請寫出X”的數(shù)學期望的表達式（不需證明），根據(jù)你的理解說明X”的數(shù)學期望的實際

意義.

附：

a0.0500.0100.005

刈3.8416.6357.879

2

參孝公式.2_九3一比)

2M式.x-(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'其中n=a+b+c+d.

21.（12分）如圖，已知A,8兩點的坐標分別為（-2,0）,（2,0）,直線AP,BP的交點

為P,且它們的斜率之積為-器

（1）求點尸的軌跡E的方程；

（2）設(shè)點C為x軸上（不同于A,B）一定點，若過點P的動直線與E的交點為Q,直

線P。與直線x=-2和直線x=2分別交于M,N兩點，求證：NACM=/ACN的充要

條件為/ACP=/ACQ.

22.(12分)已知/(x)—elv+(a+1)Inx.

(1)若/(x)在定義域上單調(diào)遞增，求〃的取值范圍；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=/(%)-"，其中心：，若g(X)存在兩個不同的零點XI,%2.

①求”的取值范圍；

②證明：Xl+X2>2.

2022-2023學年湖南省湘潭市高三（上）入學數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.(5分)已知集合A={居R|/-x=0},8={XER|/+XN0},則AA8=()

A.{1}B.{-1}C.{0,1}D.{-1,0,1)

【解答】解：由題意可得，x2-x=0,即x=l或x=0,故4={0,1},

又7+工力0,即工工-1或xWO,貝ljB=-1或x^O},

則AC8={]},

故選：A.

2.（5分）復數(shù)（署）5=（）

A.-1B.1C.-iD.i

(1)2

【解答】解：=

(1+0C1-0

故選：C.

3.（5分）若函數(shù)/（x）=sin2x的圖象由函數(shù)g（x）=cos2x的圖象經(jīng)過以下變換得到的,

則該變換為（）

7171

A.向左平移；個單位長度B.向左平移一個單位長度

24

7171

C.向右平移；個單位長度D.向右平移二個單位長度

24

【解答】解：f（x）=sin2x=cos（2x—=cos2（x—今），

71

即函數(shù)f（x）=sin2x的圖象由函數(shù)g（x）=cos2x的圖象向右平移一個單位長度得到，

4

故選：D.

4.（5分）已知直三棱柱ABC-A18C1的側(cè)棱和底面邊長均為1,M,N分別是棱BC,A\B\

上的點，且CM=2BiN=入，當MN〃平面A4C1C時，入的值為（）

【解答】解：過N作NP〃BiCi交AiCi于P,連接CP,

為G

因為例C〃8iCi,：.NP//MC,故N,P,M,C共面，

因為MN〃平面A4C1C,平面MNPCC平面AA\C\C=CP,A/Nu平面MNPC,

所以MN〃CP,又NP//MC,

四邊形MNPC為平行四邊形，

又CM=2B\N=X,；.NP=1—§=入=",

二，=I,

故選：B.

5.（5分）設(shè)某芯片制造廠有甲、乙兩條生產(chǎn)線均生產(chǎn)5〃%規(guī)格的芯片，現(xiàn)有20塊該規(guī)格

的芯片，其中甲、乙生產(chǎn)的芯片分別為12塊，8塊，且乙生產(chǎn)該芯片的次品率為工，現(xiàn)

20

從這20塊芯片中任取一塊芯片，若取得芯片的次品率為0.08,則甲廠生產(chǎn)該芯片的次品

率為（）

1111

A.-B.-C.-D.一

5101520

【解答】解：設(shè)甲條生產(chǎn)線生產(chǎn)芯片的次品率為p,則甲生產(chǎn)12塊芯片可能出現(xiàn)的次品

為12p,乙生產(chǎn)8塊可能出現(xiàn)的次品為8乂克=|,

12p+j1

所以生產(chǎn)20塊芯片的次品率為=0.08,解得片擊，

所以甲廠生產(chǎn)該芯片的次品率為力.

10

故選：B.

6.（5分）牛頓迭代法亦稱切線法，它是求函數(shù)零點近似解的另一種方法.若定義必（依N）

是函數(shù)零點近似解的初始值，過點Pk（xk,f（xk））的切線為y=/（xk）（x-xk）

切線與X軸交點的橫坐標為歐+1,即為函數(shù)零點近似解的下一個初始值，以此類推，滿

足精度的初始值即為函數(shù)零點近似解.設(shè)函數(shù)=/-5,滿足刈=1.應用上述方

法，則X3=()

74751

A.3B.~C.——D.——

32121

【解答】解：因為/(x)=/-5,所以，(x)=2x,又x()=l,f(xo)=2,

所以在點尸0(1,-4)的切線方程為y+4=2(x-1),

令y=0，解得力=3,得P(3,4),所以在點尸?的切線方程為y-4=6(x-3),

令y=0,得P20，3，所以%2=?，所以在點P2的切線方程為丫苫=學0-臺，

令y=0，得刀3=條，

故選：C.

7.(5分)在四邊形ABCD中，G為△BCD的重心,AG=2,點。在線段AG上，則21?(OB+

日?+心)的最小值為()

A.-3B.-2C.-1D.0

【解答】解：如圖所示：

因為OG=OB+BG,OG=OC+CG,OG=OD+DG,

所以而+OC+OD=3OG,

于是有后-(OB+OC+OD)=3OA-OG=-3|tM|?\OG\,

—>—>

X|(M|-\OG\<(l0/>l+l0Gl)2=1,當且僅當|&|=\OG\=1時取等號,

所以后-(OB+OC+OD)=3OA-OG>-3.

故選:A.

0

AB

8.(5分)已知a=b=\sin\,c-YRCOS7,貝!I(

ODDOIDO

A.a<h<cB.h<a<cC.a<c<bD.c<a<h

【解答】解：易知〃，b,cE（0,+8）,

又30〃=5sin-,30/?=6sin-,30c=2cos-,

566

i7rn

設(shè)/(x)=-sinx,xG(0,—),VxG(0,—)時，x<tanx,

%22

(%—tcmx)cosx

(x)<0,

X2

71

：.f(x)在(0,-)上單調(diào)遞減，

11

：.f(-)<f(-),即30。<300，：.a<b,

56

7T,

Vxe(0,—)時，sinxVx,

2

11

，30b=6sin-<6x^=1,

66

,一5n

而30c=2cos->2cos—=1,

63

???30c>30。，：.c>b.

綜合可得a<b<c.

故選：A.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

（多選）9.（5分）已知函數(shù)/（X）=simLr+cos-nx（x6R）,則下列說法正確的是（）

A.函數(shù)f（x）是周期函數(shù)

B.函數(shù)/（x）的最大值是2

C.函數(shù)“x）的圖象關(guān)于點（一20）對稱

D.函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x對稱

【解答】解：函數(shù)/（x）=sinitx+cosTLr=Vising+勺，

對于選項A,函數(shù)的周期7=今=2,即函數(shù)/（X）是周期函數(shù)，即選項A正確；

對于選項B,當以+今=2而+}即x=2k+/,依Z時，函數(shù)/"（X）取最大值夜，即

選項8錯誤:

對于選項C,由7r%+1=/c7T,kEZ,可得：%=/c-4,k￡Z,即函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于

，q

點、(k-a,0),依Z對稱，即選項C正確；

對于選項￡>,由71%+]=kzr+1依Z,可得：%=k+4,k￡Z,即函數(shù)/(x)的圖象關(guān)

于直線x=k+4，依Z對稱，令k+提另,%無整數(shù)解，即選項。錯誤，

故選：AC.

(多選)10.(5分)已知函數(shù)f(x)=lnx,?>0,則下列結(jié)論中正確的是()

A.函數(shù)y=/(a+x)-/(x)是其定義域上的減函數(shù)

B.函數(shù)y=/(a-x)4/(-x)是其定義域上的減函數(shù)

C.函數(shù)y=/(a-x)■?/(a+x)是其定義域上的增函數(shù)

D.函數(shù)y=/(a+x)-f(a-x)是其定義域上的增函數(shù)

【解答】解：?函數(shù)/(x)=13a>0,

函數(shù)y=/(a+x)-f(JC)=ln(a+x)-lnx=hr-^--In+1)在其定義域上是減函

數(shù)，故4正確；

Q-%

函數(shù)y—f(a-x)4/(-x)=ln{a-x)-InC-x)=ln---=ln(1——)在其定義域上

-xx

是增函數(shù)，故B錯誤；

函數(shù)y—fCa-x')+f(a+x)—In(a-x)+ln(a+x)—In(a-x)(a+x)—In(a2-x1)

在其定義域(-a,a)上不單調(diào)，故C錯誤；

a+x

函數(shù)y=/(o+x)-/(a-x)=ln(〃+x)-In(a-x)=ln---=ln(1——n)在其定義域

a-xx

上是增函數(shù)，故。正確，

故選：AD.

(多選)11.(5分)已知直線/：y=k(x-1)(^0)與拋物線C：/二公交于A,B兩點,

點。為坐標原點，若線段A3的中點是M(m，1),則()

A.k=2B.m=3C.\AB\=5D.OALOB

【解答】解：聯(lián)立”一1)，消去X可得?一、1=。，

設(shè)A,3的坐標分別為(/1,y\),(九2,)2),

可得y\+y2=%)”?=-4,

由線段A5的中點是M(機，1),可得yi+”=2,

4

即有丁=2,即&=2,故A正確；

k

X1+尤2=-12='（yi+y2）2-2yiy2]=X（4+8）=3,

即有2根=3,解得初=|,故B錯誤；

|A8|=J1+，J仇+ya）?-4yly2=苧xy/4-4X（-4）=5,故C正確；

由koA9koB=71,—=?"與=——=-4W-1,所以0A不垂直于0B,故D錯誤.

X1%2712722

故選：AC.

（多選）12.（5分）如圖，已知圓錐頂點為P,其軸截面△抬2是邊長為6的為正三角形,

Oi為底面的圓心,EF為圓0i的一條直徑，球。內(nèi)切于圓錐（與圓錐底面和側(cè)面均相切）,

點。是球。與圓錐側(cè)面的交線上一動點，則（）

E

A.圓錐的表面積是45n

B.球。的體積是4g兀

C.四棱錐Q-AE8F體積的最大值為9次

D.IQEI+IQFI的最大值為6夜

【解答】解：依題意，動點Q的軌跡是圓，所在平面與圓錐底面平行，令其圓心為。2,

連接PO,如圖，

正△以B內(nèi)切圓即為球。的截面大圓，球心。、截面圓圓心02都在線段P0\上，連0。,

(hQ,POi=3V3,

則球0的半徑。。1=V3,顯然OQ_LP。，O2QLPO,NPOQ=60°,。。2=*10Q=長/?,

cc西cc_3八八3總

。2。=彳。。=2，

2

對于A,圓錐的表面積是S=7roi爐+7r.-Pi4=7rx34-7rx3x6=27n,A錯誤;

對于8,球。的體積是U=等。0：=竽x（8>=4\怎兀，2正確；

對于C,因。到平面AEBF的距離與截面圓圓心02到平面的距離相等，均為手，

則當四邊形AEBF的面積最大時，四棱錐Q-AEBF的體積最大，

1

SAEBF=-EFsin^AO^E<18,當且僅當/AOiE=90°,即EF1.AB時取"="，

則四棱錐Q-AEBF體積的最大值為.X18X—=9正，C正確；

對于D,因Q。：=Q01+。10:=9,則有。。1=E0i=F0i=3,即QELQF,因此QEr+QF1

=EF2=36,

由均值不等式得：QE+}<JQE2；QF]=30,即+QF<6vL當且僅當QE=

QF時取“=”，。正確.

故選：BCD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）若關(guān)于犬的不等式7-or+bVO的解集31VxV2},則實數(shù)〃+b=5.

【解答】解：不等式/-以+/7Vo的解集{Ml〈xV2},

即7-依+b=。的解為劉=1,12=2,

由韋達定理可得：X1+X2=〃，即〃=3

x\9x2=h,即/?=2.

那么：a+b=5.

故答案為5

14.（5分）設(shè)（1+%）Tl=ao+aix+ai^+'+anX11（nEN*,幾24）,若。4、加正{0,1,2,

〃},則九的所有可能取值的個數(shù)是3.

【解答】解：根據(jù)二項式定理展開式，當展開式的項數(shù)為奇數(shù)項時，正中間項的二項式

系數(shù)最大，

當展開項為偶數(shù)項時，展開式的中間兩項的二項式系數(shù)最大，

所以〃的取值可以是7,8或9.

故答案為：3.

15.（5分）某燈泡廠對編號為1,2,15的十五個燈泡進行使用壽命試驗，得到奇數(shù)號

燈泡的平均使用壽命（單位：小時）為1580,方差為15000,偶數(shù)號燈泡的平均使用壽

命為1580,方差為12000,則這十五個燈泡的使用壽命的方差為13600.

【解答】解：根據(jù)題意，奇數(shù)號燈泡共8個，偶數(shù)號燈泡共7個，

又由奇數(shù)號燈泡的平均使用壽命（單位：小時）為1580,偶數(shù)號燈泡的平均使用壽命為

1580,則15個燈泡平均使用壽命為1580,

這十五個燈泡的使用壽命的方差$2=得x15000+￡xl2000=13600；

故答案為：13600.

X2V2

16.（5分）已知雙曲線C———=\（a>0/?>0）的右頂點為A,若以點A為圓心，

a2b2f

以〃為半徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于M,N兩點，點。為坐標原點，且0力=SON,

則雙曲線。的離心率為—.

3

【解答】解：過點A作APJ_MN于點P,則點尸為線段MN的中點,

因為點A為（a,0）,漸近線方程為｝，=土勺,

a

所以點A到漸近線產(chǎn)多的距離為|AP|=雪生ab

I------------2

在Rt/XOAP中，|OP|=yj\OA\2-\AP\2=ag

.2

在RtANM中，|NP|=V|/l/V|2-\AP\2=

tt〔q

因為。M=SON,所以|OP|=|ON|+|NP|=|NP|+?NP|=]|NP|,

23h2

所以一a=-x一,即2〃2=3廿，

c2c

所以離心率e=5=|1+當=]^.

故答案為：

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

17.(10分)設(shè)數(shù)列｛a”｝(nGN*)的前"項和為S",Sn=2an-1,數(shù)列｛加｝(nGN*)是等差

數(shù)列，其前〃項和是力”且從=。3,加=45.

(1)求數(shù)列｛a〃｝和｛加｝的通項公式;

(2)求使得小是數(shù)列｛尻｝中的項的根的取值集合.

【解答】解：(1)由S=2s,-1知，ai=l,

當〃》2時，Sn-i=2an-\-1,所以所以數(shù)列｛?！保堑缺葦?shù)列，

故數(shù)列｛4"｝的通項公式為冊=2吩1,

又因為61=4,加=16,所以數(shù)列｛氏｝的公差為4=3,

故數(shù)列｛加｝的通項公式為加=4+(n-1)X3=3n+1；

(2)由(1)知，7=4m+3嗎T)=3[m+嗎二,+6,

而m+嗎T)eN*,bn=3n+1,所以當且僅當巾=3k+l(keN)時，7,”是數(shù)列｛加｝

中的項，

即所求的m的取值集合為｛〃力〃?=3k+l,&6N｝.

18.(12分)設(shè)aABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,A為鈍角，且tanB=1

(1)探究A與B的關(guān)系并證明你的結(jié)論；

(2)求cosA+cosB+cosC的取值范圍.

【解答】解：(1)A=*+8,證明如下:

因為4為鈍角，且tanB=[

sinBsinB

所以由正弦定理可得

cosBsinA'

因為sinBWO,

n

所以可得sirbA=cosB=sin(—―B),

2

TC

因為A為鈍角，為銳角，

可得A+*

所以A=*+8.

(2)由A+B+C=m且A=*+8,

可得C=*-28>0,

所以O(shè)VBV?

可得cosA+cosB+cosC

nn

=cos(—+B)+cosB+cos(——2B)

22

=-sinB+cosB+2sinBcosB,

令f=cos8-sinB,則r=/cos(5+與)G(0,1),且sin28=l-P,

所以cosA+cosB+cosC=-?+/+l=-(—*)2+1?

當f=別寸，取得最大值，最大值為I，當，=1或0時，函數(shù)值為1,

5

所以cosA+cosB+cosC的取值范圍是(1,

4

19.(12分)如圖，在四棱錐P-A8CD中，已知四邊形A5CD是梯形，AB//CD,AD±AB,

AB=BC=2CD=2,△P8C是正三角形.

(1)求證：BCA.PA；

(2)當四棱錐P-A8CO體積最大時，求：

①點A到平面P8C的距離；

②平面PAB與平面PAD夾角的余弦值.

【解答】(1)證明：如圖，取AB的中點E,連接CE,AC,

\'AB=2CD,AB//CD,

：.CD與AE平行且相等，四邊形AECD是平行四邊形,

又AO_LAB,四邊形AECC是矩形，ACELAB,

：.AC^BC,.,.△ABC是等邊三角形，

取BC的中點0,連接AO,則AOLBC,

連接PO,,:PB=PC,：.POLBC,

"：POyAO=0,POAOu平面必。，

，BC_L平面用O,平面以0,C.BC^PA.

(2)①由(1)知，ZXABC是等邊三角形，

...梯形ABCD的面積S=竽為定值，

故當平面PBC_L平面ABCD時，四棱錐P-A8C。體積最大，

VPOA.BC,；.PO_L平面ABC。，：.POLOA,

"：OA±BC,BCCiPO=O,BC、POu平面PBC,；.AO_L平面PBC,

故此時點A到平面PBC的距離等于04=V3；

②，：0P,OA,。8兩兩互相垂直，，以O(shè)為坐標原點，04,OB,0P分別為x軸、y軸

和z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則做遮，0,0),B(0,1,0),C(0,-1,0),P(0,0,V3),

由CO=BA>可得—9，0)>

：.PA=(V3,0,一遮)，PB=(0,1,-V3),

T"4T

AD=0),AP=(-V3,0,V3),

設(shè)平面PAD的一個法向量為薪=(Xo，y0>z。)，

Lt(V33八

由［亭甘=0得］-彳-0-240=0,

AP=0［-V3-x04-V3-z0=0

可取%o=z0=百，y0=-1,則m=(V3,—1,V3),

設(shè)平面附8的法向量為I=Qi，Zi),

則竹小=9即產(chǎn)%】二每】=°,

。?P8=05—，3zi=0

取無i=zi=l,則yi=遮，則九=(LV3,1),

而:|_/3_'頓

設(shè)平面與平面玄。的夾角為。，則cos8===

|m||n|V3535

故所求的平面PAB與平面PAD的夾角的余弦值為甯.

20.（12分）湘潭是偉人故里，生態(tài)宜居之城，市民幸福感與日俱增.某機構(gòu)為了解市民對

幸福感滿意度，隨機抽取了120位市民進行調(diào)查，其結(jié)果如下：回答“滿意”的“工薪

族”人數(shù)是40人，回答“不滿意”的“工薪族”人數(shù)是30人，回答“滿意”的“非工

薪族”人數(shù)是40人，回答“不滿意”的“非工薪族”人數(shù)是10人.

（1）請根據(jù)以上數(shù)據(jù)填寫下面2X2列聯(lián)表，并依據(jù)a=0.01的獨立性檢驗，分析能否

認為市民對于幸福感滿意度與是否為工薪族有關(guān)聯(lián)？

（2）用上述調(diào)查所得到的滿意度頻率估計概率，機構(gòu)欲隨機抽取部分市民做進一步調(diào)

查.規(guī)定：抽樣的次數(shù)不超過〃（〃CN*）,若隨機抽取的市民屬于不滿意群體，則抽樣結(jié)

束；若隨機抽取的市民屬于滿意群體，則繼續(xù)抽樣，直到抽到不滿意市民或抽樣次數(shù)達

到〃時，抽樣結(jié)束.記此時抽樣次數(shù)為X”.

①若〃=5,求X5的分布列和數(shù)學期望；

②請寫出X”的數(shù)學期望的表達式(不需證明)，根據(jù)你的理解說明X”的數(shù)學期望的實際

意義.

附：

a0.0500.0100.005

xo3.8416.6357.879

2

參考公式.x12=-----Mad-bc)------其中>c+d

2考AA.x(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'央ia+o+c+a.

【解答】解：(1)由題意可得，2X2列聯(lián)表為：

滿意不滿意合計

工薪族403070

非工薪族401050

合計8040120

9

2=120X(40X10—30X40)，=48

K-80x40x70x50—7-6-857>6-6351

根據(jù)a=0.01的獨立性檢驗，認為市民對幸福感的滿意度與是否為工薪族有關(guān)，此推斷

犯錯誤的概率不大于0.01;

(2)①當〃=5時，X5的取值為1,2,3,4,5.

由(1)可知市民的滿意度和不滿意度分別為|和巳，

23

所以P(X5=1)=4,P(X5=2)=|X1,P(X5=3)-(-)x1,P(X5=4)-(-)x

333333

24

P(X5=5)=(-)4,

3

所以X5的分布列為：

X512345

121212^1

P-X-(-)92x|(-)3x4(-)4

33333333

所以E(X5)=lx/2x^x鼻3X(-)2X1+4X(-)3X1+5X(-)，=券;

33333381

1212i2

②由①得E(X”)=lx^+2x^xW+...+(n-1)(-),r2x4+nX(-),rl

JJJ3J3

12、n2[2、2、2..

=4[1X(-)°+2X(-)1+3義(-)92+...+(72-1)(-)〃2]+nX(一)〃I

3L33333

2222

令％=1X(-)°+2X(-)】+3X(-)2+...+(n-1)(-)〃-2,(〃>2)①，

3333

22222

：.-Sn=\X(-)]+2X(-)2+3X(-)3+...+(n-1)(-)〃-1(n>2)②，

33333

122222

①-②得，-S=(-)°+(-)1+(-)2+...+(-)n'2-(n-1)(-)"-1=3-(?+2)X

3n33333

(-)ni,

3

2..

：.E(X?)=3-2X(-)"I

3

當"趨向于正無窮大時E(X“)趨向于3,可以理解為平均每抽取3個人，就會有一個不

滿意的市民.

21.(12分)如圖，已知A,8兩點的坐標分別為(-2,0),(2,0),直線AP,8P的交點

為P,且它們的斜率之積為一1

（1）求點尸的軌跡E的方程；

（2）設(shè)點C為x軸上（不同于A,B）一定點，若過點P的動直線與E的交點為。，直

線PQ與直線x=-2和直線x=2分別交于M,N兩點，求證：NACM=/ACN的充要

條件為NACP=/ACQ.

【解答】解：（1）設(shè)點P的坐標為（x,y）,

由題設(shè)，得k/ip,MP==一/（*4士2），

x2

故所求的點P的軌跡E的方程為一+y2=l（x*±2）.

4

（2）證明：設(shè)。口，0）,由題設(shè)知，直線MN的斜率女存在,

不妨設(shè)直線MN的方程為y=fcv+m,且尸（xi,yi）,Q（X2,”）,

由《2；期[4'消去y并整理，得（4必+1）/+8也ix+4（病-1）=0,

8癡4(m2—1)

則△>0且％1+久2=一

4k2+1X1%24必+1

由NACP=NACQ,可得hp+kc0=O,所以且一+2一=0,

—￡%2-t

整理得yi(x2-r)+y2(xi-r)=0,

可得(Axi+M(x2-t)+(kxi+m)(xi-t)=0,

整理得2fcnx2+(m-kt)(xi+x2)-2〃”=0

8A0n2-i)8(m-kt)km

所以?2mt=0,

4k2+l4k2+l

可得8k(m2-i)-8(〃？-kt)km-2mt(4A?+1)=0,即4k+〃”=0,

將x=-2代入y=kx+m,可得yM=m-2k,

則M(-2,m-2Z),同理N(2,加+2Z).

由NACM=NACN,可得kcM+kcN=3

m-2km+2k

所以-----+------=0,BPnil4攵+〃a=0,

-2-t2-t

所以N4CM=NACN的充要條件為N4cp=N4