安徽省黃山市黃山學(xué)校2023-2024學(xué)年高一年級上冊期末模擬數(shù)學(xué)試題及答案一

安徽省黃山市黃山學(xué)校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末模擬

數(shù)學(xué)試題（一）

一、單選題

1.命題“V%￡R,sinx+12?！钡姆穸ㄊ?/p>

A.3x0G7?,sinx0+1<0B.VXG!?,sin%+l<0

C.3x0G/?,sinx0+1>0D.7?,sin%+l<0

2.已知集合4={了||了+1區(qū)2},8={X|J7<2},則AB=()

A.{x|-3<x<1}B.{x|0<x<l}C.{x\-3<x<l]D.{x|-l<x<0}

3.已知函數(shù)y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足〃x+2)+〃x)=0,當(dāng)xe[0,l]時,

〃x)=2，—l,則[￡]=()

A.80-1B.2A/2-1C.5/2-1D.1-^/2

4.已知函數(shù)〃》）=$也（5+0）+685（的+何（0>0,冏<%）的最小正周期為萬，/（X）

TT

的圖象關(guān)于，軸對稱，且在區(qū)間0,-上單調(diào)遞增，則函數(shù)g（x）=2cos（ox+0）在區(qū)間

TT

0,-上的值域為（）

A.^3,2JB.[T2]

C.[-2,1]D.[-73,1]

5.函數(shù)〃x）=Jlogj4x-5）的定義域為（）

A.KB.晝C.

6.函數(shù)/（x）=lnx+x—5的零點所在區(qū)間是（

A.（0,1）B.（1,2）C.

7.若角6的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點則2sin6+cos6=（）

A.1+指B.1+走C.D.73+1

222

log/,0<x<4

8.設(shè)常數(shù)aeR,函數(shù)/（x）=己；若方程〃尤）=。有三個不相等的實數(shù)根

10,

占,馬,尤3，且為<%<W，則下列說法正確的是（）

A.a的取值范圍為（0,；B.%的取值范圍為（4,+oo）

C.再％=2D.」一的取值范圍為[5,+8）

二、多選題

9.已知。，b,c,d均為實數(shù)，下列不等關(guān)系推導(dǎo)不成立的是（）

A.若a>b,c<d,貝!Ja+c>〃+dB.若a>b,c>d,則

C.若3>6>0,c>d>0,則y〉PD?若bc-ad>0,—--^->0,則

ab<0

10.下列關(guān)于函數(shù)/（x）=tan]2x+￡|說法不正確的是（）

A.在區(qū)間（-黑）上單調(diào)遞減

B.最小正周期是兀

C.7（可為非奇非偶函數(shù)

D.圖象關(guān)于卜展,。）中心對稱

11.已知。，b,c,"是實數(shù)，則下列說法錯誤的有（）

A.a2+b2>（a+Z?）-B.a+-^2

2〃

C.^―>—,貝!]〃</?D.若c<d<0,貝!

ab

12.如圖，正方形ABC。的長為2,。為邊中點，射線。P繞點。按逆時針方向從

射線。4旋轉(zhuǎn)至射線0。，在旋轉(zhuǎn)的過程中，記NAO尸為x,射線OP掃過的正方形ABCD

內(nèi)部的區(qū)域（陰影部分）的面積為了（X）,則下列說法正確的是（）

B.“X）在仁,乃]上為減函數(shù)

D.〃x）圖象的對稱軸是x='

三、填空題

試卷第2頁，共4頁

TT

13.若命題0,-,l+tan2x<'的否定為真命題，則加的取值范圍___.

_o

(57r11,

14.已t知cos^^+aJ=-］,那么cos2a=.

15.若偶函數(shù)/(x)在(-8,0］上為增函數(shù)，若，(2。+1)>/(2-°),則實數(shù)。的取值范圍

是.

16.已知函數(shù)y(x)=iog2(J77T-x),若對任意的正數(shù)。，b,滿足/(。)+/(38-1)=0,

則士3+:1的最小值為—

ab

四、解答題

17.化簡求值

(1)若a=l,求(gA)cB；

(2)若CaB,求實數(shù)。的取值范圍.

7171

19.已知函數(shù)/(%)=sin(2x——)-cos(2x——)+2sinxcosx.

36

(1)求函數(shù)〃九)的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；

(2)將函數(shù)>=/(%)的圖象向左平移合個單位，再將所得圖象上各點的縱坐標(biāo)不變、橫

坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得到函數(shù)y=g。)的圖象，求y=g(x)在［0,句上的值域.

20.某小區(qū)要在一塊扇形區(qū)域中修建一個矩形的游泳池.如圖，在扇形OPQ中，半徑

JT

OP=100(m),圓心角=C是扇形弧上的動點，矩形ABC。內(nèi)接于扇形.記

4

APOC=a,矩形ABCD的面積為S(n?).

⑴將面積S表示為角a的函數(shù)；

(2)當(dāng)角a取何值時，S最大？并求出這個最大值.

21.已知函數(shù)/(x)=-2cos2x+asinx.

⑴當(dāng)。=3時，解不等式〃耳之0；

⑵設(shè)g(x)=-2=2,若Vx2e0,|,都有g(shù)Gb/N),求實數(shù)a的取值

范圍.

22.已知函數(shù)/(力=1。8”(，-1)(fl>0,"1).

(1)求函數(shù)/(x)的定義域；

(2)當(dāng)0>1時，解關(guān)于x不等式y(tǒng)(x)<y(i)；

⑶當(dāng)a=2時，g(x)="x)-log2(l+2，)，求函數(shù)g(同在區(qū)間［1,3］上的最值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.A

【分析】利用全稱命題的否定方法求解，改變量詞，否定結(jié)論.

【詳解】因為WxwR,sinx+lA0的否定為切e7?,sinx0+1<0,

所以選A.

【點睛】本題主要考查含有量詞的命題的否定，一般處理策略是：先改變量詞，然后否定結(jié)

論.

2.B

【分析】先解不等式求出集合48的元素，再利用交集運算即可求得AcB.

【詳解】由絕對值不等式的解法可得-2VX+1V2,即A={x|-34x41}；

x>0

由根式不等式的解法可得上〈后，即5=M0<x<4}.

所以AcB={X04x41}.

故選：B.

3.C

【分析】結(jié)合已知條件〃x+2)+〃x)=0,可以得到函數(shù)的周期性，再結(jié)合奇偶性可以將T

縮小到［。,1］的區(qū)間內(nèi)，從而求出函數(shù)值

【詳解】因為〃x+2)+〃x)=0,所以〃x+2)=-〃力，所以〃x+4)=—〃x+2)=/(x),

所以y=/(x)是周期為4的函數(shù)，所以=,一因為y=/(x)

是奇函數(shù)，所以一=應(yīng)一1,所以［曰］=近一1

故選：C

4.A

【分析】根據(jù)題意，利用輔助角公式化簡得/(x)=2sin(5+e+g),根據(jù)最小正周期7=育求

5兀

出。，由函數(shù)的對稱性和單調(diào)性，得出0=7和/(x)=-2cos2x,從而得出

g(x)=2cos(5+。)=2cos(2%-1)，最后利用整體法求出g(%)的值域.

【詳解】解：由題可知，函數(shù)/(%)=$皿8+0)+633；+夕)(0>0,|夕|<乃)，

答案第1頁，共12頁

貝U/(%)=sin(6yx+。)+gcos(8+(p)=2sin(8+0+5),

由于的最小正周期為瓷=?，

CD=2,

.71

f(x)=2sin(2x+夕+§),

又已知了(無)的圖象關(guān)于y軸對稱,

(pH—=kjiH—,keZ,貝!J(p----kji、左￡Z,

326

TT

/⑴在區(qū)間［0,f上單調(diào)遞增，

4

5兀

可以令0=----,此時/(x)=-2cos2x,

6

54

貝U函數(shù)g(%)=2cos(8+0)=2cos(2%---),

6

所以在區(qū)間［0,勺上，則2—步［-濟(jì)芻,

2ooo

得cos(2x--)€，1],所以g(x)e[-百，2],

6

即g(x)的值域為［-有，2］.

故選：A.

【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及函數(shù)的單調(diào)性、周期、對稱性和值域，還運

用輔助角公式進(jìn)行化簡，考查化簡運算能力.

5.B

log］(4.r-5)>0

【分析】根據(jù)具體函數(shù)的定義域的求法，得到3,解不等式組即可求出結(jié)果.

4x-5>0

【詳解】由題意可得5"°,解得3<x。，故函數(shù)〃x)=Jlogi(4x-5)的定義

［4x-5>042V3

域為段，

故選：B.

6.D

【分析】判斷函數(shù)/(x)=lnx+x-5的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理判斷函數(shù)的零點所在區(qū)

間.

【詳解】因為函數(shù)y=lnx,、=》-5都為(0,+00)上的增函數(shù)，

答案第2頁，共12頁

所以函數(shù)/（X）在R上單調(diào)遞增,

又〃l）=T<0,/（2）=ln2-3<0,/（3）=ln3-2<0,f（4）=ln4-l>0,

根據(jù)零點存在性定理可知/（x）的零點所在區(qū)間為（3,4）.

故選：D.

7.A

【解析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求出sin。，cos。，從而代入計算可得;

【詳解】解：因為角8的始邊與工軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點。所以

所以2sin。+cos8=2x+—=^3+—

222

故選：A

8.D

【分析】根據(jù)給定條件，分析函數(shù)/（幻的性質(zhì)，確定再，々，X3所在區(qū)間，再逐項推理判斷作

答.

【詳解】當(dāng)0<xWl時，函數(shù)〃刈二1。8產(chǎn)是減函數(shù)，函數(shù)值集合為[0,”）,

2

當(dāng)1<XW4時，函數(shù)”尤）=1限尤是增函數(shù)，函數(shù)值集合為（。⑵，

當(dāng)x>4時，函數(shù)/（x）=電是減函數(shù)，函數(shù)值集合為（0,3，如圖，

x2

因方程因無）二a有三個不相等的實數(shù)根,則%￡（1,4],〃=f（x2）=log2x2e（0,2],A不正確;

、1010

天￡（4,+8）,且滿足/（F）=—=a,于是得當(dāng)=—￡[5,+8）,因此x3的取值范圍為[5,+8）,

x3a

B不正確;

答案第3頁，共12頁

國e（O,l],且有l(wèi)°gl無i=a=log2x2；因此,log,X[+log2x2=0,即log,王馬=。，解得玉Z=1，

2

C不正確；

-^-=x3e[5,+oo）,所以凸-的取值范圍為[5,+8）,D正確.

xxx2xxx2

故選：D

9.ABD

【分析】對于ABD,舉例判斷，對于C,利用不等式的性質(zhì)判斷

【詳角星】對于A,若々=2,6=1,。=一2,1=—1,則a+c=d+d=0,所以A錯誤，

對于B,a=2,b=l,c=-l,d=-2,貝！Jac==—2,所以B錯誤，

對于C,因為c>d>0,所以二>烏>。，即!>工>0,因為a>b>0,所以=>2>。，

cacddeac

所以所以c正確，

cd.

對于D,若a=l,c=2,?=2,d=l,^^bc-ad>0,------->0,而止匕時。/?=2>0,所以D

ab

錯誤，

故選：ABD

10.AB

【分析】A.代入求2x+F的范圍，即可判斷函數(shù)是否單調(diào)遞減;

6

71

B.根據(jù)正切函數(shù)的周期公式同，可判斷周期；

C.判斷函數(shù)的定義域，即可判斷選項.

D.根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，代入x=即可判斷是否對稱.

【詳解】選項A,由T-兄J,得2x+表則函數(shù)/(x)=ta“2x+「|在區(qū)間

[-(，孑)上單調(diào)遞增，故A錯誤；

選項B,函數(shù)/(x)=tan(2x+.J的最小正周期是不故B錯誤;

選項C,函數(shù)的定義域滿足2x+?E,*Z’解得…吟+學(xué)皿,函數(shù)的定義域

不關(guān)于原點對稱，所以/(x)為非奇非偶函數(shù)，故C正確；

選項D,當(dāng)x=*時，/(x)=tan0=0,故〃x)關(guān)于卜有。]中心對稱，故D正確.

答案第4頁，共12頁

故選：AB.

11.BC

【分析】作差可得A；舉反例判斷B,C；由不等式的性質(zhì)判斷D.

【詳解】A：a2+b2-^^=-a2+-b2-ab=-（a-b）2>0,故A中說法正確；

2222

B：當(dāng)a<0時，fl+-<0,故B中說法錯誤；

a

C：當(dāng)〃=1,人=一2時，但故C中說法錯誤；

ab

D：若c<d<0,則，>1,三>1,所以又bd>0,所以ac>Z?d,故D

baba

中說法正確.

故選：BC.

12.AC

【分析】求出當(dāng)0vtanx<2時，函數(shù)的解析式，可判斷A選項的正誤；利用〃%）的

單調(diào)性可判斷B選項的正誤；利用對稱性可判斷C選項的正誤；利用特殊值法可判斷D選

項的正誤.

【詳解】對于A選項，當(dāng)0vtanx42時，設(shè)。尸交A5于點

tanx=tanZ.AOE==,所以，f(.^)~=~~tanx,

CJA22

0<tan（V2,.,./■[?J=；tan?=g,A選項正確；

對于B選項，當(dāng)萬）時，射線。尸掃過的正方形ABCD內(nèi)部的區(qū)域（陰影部分）的面

積顯然逐漸增加，即函數(shù)/（尤）在（會“上單調(diào)遞增，B選項錯誤；

對于C選項，取2c的中點G,連接0G,

設(shè)射線。尸與正方形的邊的交點為E，作點E關(guān)于直線0G的對稱點F,

貝l|N尸8=x,所以，ZAOF=TT-X,

答案第5頁，共12頁

將射線o尸繞。點按順時針方向旋轉(zhuǎn)掃過正方形ABCD的面積為S,由對稱性可知s=f（x）,

因為S+f（萬一尤）=4,即/（力+/（乃一x）=4,C選項正確；

對于D選項，由C選項可知，+〃萬一x）=4,則/（￡|+/（亨|=4,

所以/［爸=一圓毛”國，

所以，函數(shù)/（x）的圖象不關(guān)于直線x=1^對稱，D選項錯誤.

故選：AC.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)基本性質(zhì)的判斷問題，在判斷函數(shù)/>（X）的單調(diào)性時,

需要充分利用/'（X）的幾何意義，結(jié)合面積的對稱性來求解，另外在判斷某些結(jié)論不成立時,

可充分利用特殊值來進(jìn)行否定.

13.卜8,1+^/5]

【分析】先求出命題的否定，再根據(jù)真假性求用的取值范圍.

兀兀

【詳解】7xe0,—,l+tan2x<zn"的否定為“，0,—,1+tan2x>m,?.

_6L6

八兀

XG0,—,2xe0,y,1+tan2xe|^1,1+V3J,m<1+A/3?即機的取值范圍是

6

卜*1+6］.

故答案為：卜8,1+百］.

14-?

S乃

【分析】由cos（5%+2。）=2cos2（萬+a）-l且cos（5;^+2a）=-cos2a,結(jié)合已知函數(shù)值即可

求cos2a.

2/5%兀、[巾[5TT

【詳解】cos(5?+2a)=2cos(-+cz)-l,Xcosl-+

23,

答案第6頁，共12頁

（）一（,

cos5?+2a=而cos（5"+2a）=cos（44+%+2a）=cos（"+2a）=—cos2a,

cos2a=—.

9

7

故答案為：—.

【分析】由偶函數(shù)的性質(zhì)可得人九)在。+s)上遞減，再利用偶函數(shù)的性質(zhì)解不等式

【詳解】解：因為偶函數(shù)/(X)在(-8,0］上為增函數(shù)，

所以/(九)在［0,+oo)上遞減,

因為為偶函數(shù)，所以f(2a+1)>/(2-a)可化為f(\2a+1|)>/(|2-a\),

所以|2a+［<|2-［,HP3a2+8a-3<0,(a+3)(3a-l)<0,

解得-3<a<—,

所以實數(shù)°的取值范圍為1-3,,

故答案為：［-3,￡|

16.12

【分析】易得AM是奇函數(shù)且為減函數(shù)，再由/(。)+/(36-1)=。得至1］。+3匕=1,然后利用

基本不等式求解.

【詳解】解：因為-x>-V?-x>x-x=0，

所以函數(shù)/(無)的定義域為R

因為/(-%)=log2“尤2+1+無)=-/(%),

所以了(力為奇函數(shù).

又/⑷+/(3/-1)=0,

所以/(。)=/(1-36),

因為y=Vx2+1,y=x在(。，+00)上遞增，

所以y=&+i+x，在(0,+。)上遞增，

所以在似+“)上遞減'

答案第7頁，共12頁

又y=log2x在（0,+動上遞增,

所以/(%)=log2(J%2+1一x)(o,+8)上遞減,

又了⑺為奇函數(shù)，且/(0)=0,

所以/(九)在R上遞減，

所以。=1-3/?,即a+3b=1,

w、i31.31.....9ba.

所以一+7=(—+：)(Q+3A)=—+—+6.

ababab

因為絲+怪三=6(當(dāng)且僅當(dāng)a=1，時，等號成立),

ab\ab26

所以±3+71212.

ab

故答案為：12

17.(1)2；

⑵3"

【分析】(1)根據(jù)指數(shù)的運算法則即可求得答案；

(2)先通過誘導(dǎo)公式將原式化簡，進(jìn)而將c=g代入即可求得答案.

【詳解】(1)(-7)°+3-2x8F+(1)2=l+|x3+|=2.

sinaxsinaxtan[2^-+(乃一a)]_sin2ax(—tana)

(2)??庫式=jr-jr

~*八-cosaxsinf4,Tr+(y+-coscrxsin(—+cr)

=-S^n=tan3a.???當(dāng)。=￡時，原式二tan，￡=3石.

-cosa33

18.⑴仲4%42}

(2)a>2

【分析】（1）〃=1時，分別求出集合A,B,aA,再根據(jù)集合的運算求得答案;

（2）根據(jù)列出相應(yīng)的不等式組，解得答案.

【詳解】（1）當(dāng)a=l時，A=^x\x>2^,B=,

所以24=卜上42},

答案第8頁，共12頁

故⑥A)c3={x|l〈x<2}.

2a+l>5

(2)因為C=3,所以

2-a<l

解得〃22.

19.(1)—五+左乃'T^+左乃(左￡Z)；(2)[—1,2].

【分析】(1)利用三角恒等變換中的兩角差正余弦公式、倍角公式，將〃x)化成2sin12尤-三

再利用周期公式和整體代入，分別求得最小正周期及單調(diào)增區(qū)間;

71

(2)利用平移變換和伸縮變換求得g("=2sinx~~,再利用整體思想求得函數(shù)的值域.

【詳解】(1)/(x)=—sin2x-cos2x-cos2x~—sin2x+sin2x,

v72222

2sinf2x-yj,

/(x)=sin2x-V3COS2X=

所以函數(shù)/(%)的最小正周期為4,

當(dāng)彳+2吐口-(得+2吐入Z,得函數(shù)"%)的單調(diào)遞增區(qū)間為

一--+k7T,—+k7T(keZ)；

1212Jv7

(2)將函數(shù)y=/(x)的圖象向左平移卷個單位后所得圖象的解析式為

y=2sin2(%+春兀=2sin[2^-^j,

^fW(g(^)=2sin^2x-x--j=2sin|^x--J,

n,,九,71

0W%W71、'.-----x-----W—,

666

所以當(dāng)xq=q時，g(x)min=2sinL=T,

、r,兀兀_?/\-7C八

當(dāng)x——=一時，g(x)=2sin—=2.

62Jmax2

所以y=g。)的值域為[T2].

【點睛】本題考查兩角差正、余弦公式、倍角公式、平移變換和伸縮變換、三角函數(shù)的值域，

考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的運用，考查運算求解能力，利用整體思想求函數(shù)的

值域和單調(diào)區(qū)間的過程是不一樣，要注意區(qū)別.

答案第9頁，共12頁

20.(1)S=50000sin(2a+-)-5000,0<a<--

44

(2)a=J,5厘=50000-5OOO(m2).

8

【分析】(1)根據(jù)給定的圖形，用a的正余弦函數(shù)表示矩形的一組鄰邊即可列式作答.

(2)利用(1)中函數(shù)，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解作答.

TT

【詳解】(1)依題意，在RtZ\OBC中，ZOBC=~,則AZ)=8C=OCsinNR9c=100sina,

TTIT

OB=OCcosZ.POC=lOOcoscr,在中，/OAD=—,/POQ=—，則OA=AD,

24

因此AB=OB-OA=100(cosa—sina),S=AB?BC=100sin?-100(cosa-sina)

=10000(sinacosa—sin2a)=5000(sin2a+cos2a-1)=5000行sin(2a+—)—5000,

4

所以面積S表示為角a的函數(shù)是5=5000應(yīng)sin(2a+-)-5000,0<a<-.

44

(2)由(1)知，當(dāng)0<a<四時，-<2?+-<—,則當(dāng)2夕+工=乙，即1時，

4444428

JT

[sinQ+RK=1,

所以當(dāng)a=J時，5^=500072-5000(m2).

O

_,TC_.57r.

21.(1)2kji+—,2kji+--,kRZ

66

(2)[-2V5\+8)

【分析】(1)由同角關(guān)系原不等式可化為2sin2x+3sinx-220,化簡可得sinx'J,結(jié)合正

弦函數(shù)可求其解集，(2)由條件可得g(x)在xe[0,l]上的最大值小于或等于〃外在尤e0,|

上的最小值，利用單調(diào)性求g(x)的最大值，利用換元法，通過分類討論求人元)的最小值，

由此列不等式求實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】(1)由sin?x+cos?%=1得,

/(%)=-2cos2x+tzsinx=2sin2x+asinx—2,

當(dāng)a=3時，/(^:)=2sin2x+3sinx—2=(2sinx-l)(sinx+2),

由/(力20,而sinx+2>0