不等式性質(zhì)與基本不等式-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（全國(guó)通用）（解析版）

考向22不等式性質(zhì)與基本不

等式

1.（2022年甲卷理科第12題）12.己知口=①，b=Cos-，c=4sinL則

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

【解析】構(gòu)造函數(shù)〃（X）=I-萬(wàn)/—COSX，Xe嗚，

則g(x)=h,{x)=-X+SinX,g,(x)=-1+cosκ,0

即

所以g(x?,g(0)=0,因此,心）在o,?卜一遞減，所以∕1(l)=tz-?<∕7(0)=0.α<6.

?1

4?sιn1tan—/

另一方面，A____4T，顯然x∈時(shí)，tanx>x,

1

COS

44

.11

44sιn-tan

所以￡=—4_4>1?即bvc.因止匕c>h>α?

bI?

cos—

44

2.(2022年甲卷文科第12題)12.已知9'"=10,a=10w-ll,6=8m-9,則()

A.a>O>bB.a>b>OC.b>a>OD.b>O>a

【答案】A

【解析】由9'"=10,可得M=Iog9lO∈(l,L5).根據(jù)a,b的形式構(gòu)造函數(shù)f(x)=xW-X-I(X>1),

則/'(X)=蛆"I一1，令/'(X)=O,解得Xo=加τ",由加=Iog910e(l,1.5)知XOC(0,1).

/(X)在(1,+8)上單調(diào)遞增,所以/(10)>∕(8),即4>b,

又因?yàn)閒(9)=9*∣°-10=0,所以0>0>',答案選A.

3.(2022年新高考1卷第7題)設(shè)Q=O.le°lh=-c=-In0.9,則

9f

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】C

Y

【解析】令。=xe*,b=-—,c=-ln(l-x),

l-x

①Ina-Inh=X+lnX-[lnX-In(I-x)]

1—γ

y=X+1∏(1—x),X∈(0.0.1]；y,=1--------=------<0，

1-x1-x

所以為0,所以Ino-InZ?,,0,所以人

@a-c=XQx+ln(l-x),x∈(0,0.1],

v.-ve<+eχ?_(l+x)(l-x)el

1-xl-x

令A(yù)(X)=(I+x)(l-x)e*-l,所以-(X)=(I-/—2x)e*>0,

所以Z(X)>Z(0)>0,所以p>0,所以α-c>0,所以4>c.

4.(2022年新高考2卷第12題)對(duì)任意x,y,f+)，一肛=],則

A.x+y≤lB.尤+y≥-2C.x2+j2≤2D.x2+y2≥I

【答案】BC

【解析】由/+J?一個(gè)=1得（無(wú)一^f√3

y

2

7

v?.

X---CoSeX=——sin。n+COs〃n

2

令，3

√32√3.A,

y=sinθc!y=-----sin，？

^2^3

故》+丁=7^皿。+??。=25皿。+工€[-2,2],故A錯(cuò)，8對(duì):

I6J

—sin2?！笴oS2。+±=2Sin(2。一0)+±∈Γ-,2^l,(Xrt1tan￠7=√3

T），

故C對(duì)，。錯(cuò).

5.（2022年北京卷第11題）函數(shù)/（x）=,+J匚t的定義域是

X

【答案】（e,0）u（0,l]

1I-----1-x≥O

【解析】因?yàn)?(x)=-+J匚N,所以《C,解得x≤l且XHO,

X[x≠0

故函數(shù)的定義域?yàn)?-8,0)D(0,1]；故答案為：(-W,θ)u(θ,l]

6.(2022年乙卷理科第14題)已知X=XI和X=尤2分別是函數(shù)/*)=2優(yōu)-"23>O且αWi)的極小值點(diǎn)

和極大值點(diǎn)，若玉<%2，則α的取值范圍是

【答案】(0。)

【解析】f(x)=2(a'lna—ex)至少要有兩個(gè)零點(diǎn)x=x∣和X=X2,我們對(duì)其求導(dǎo)，

f(X)=24"(lnaf-2<?,

(1)若a>l,則/"(X)在R上單調(diào)遞增，此時(shí)若尸(Xo)=0,則f(x)在(―8,%)上單調(diào)

遞減，在(%,+OO)上單調(diào)遞增，此時(shí)若有尤=X]和X=X2分別是函數(shù)/0)=2/一0%2(。>0且。η1)的

極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，則x∣>%，不符合題意。

(2)若O<α<l,則r(x)在R上單調(diào)遞減，此時(shí)若尸(XO)=0,則f(x)在(—8,Xo)上

單調(diào)遞增，在(XO,m)上單調(diào)遞減，且Xo=Iog“廣:。此時(shí)若有尤=X和X=X2分別是函數(shù)

(lna『

/(x)=2α'-e∕(α>o且。工1)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且七<々，則需滿足了'(尤。)〉()，即

ee~~I~e1el1/J,工

——>elog?7---TT=>a'na>7-TT=>Inab'a>In-__-=>----?nɑ>l-ln(ln>可解得α>e或

Ina-YIna)2(Ina)?(Inaτ)7?Ina')

0<α<,,山于O<a<l,取交集即得0<α<'t>

技巧一：加上一個(gè)數(shù)或減去一個(gè)數(shù)使和或積為定值

技巧二：平方后再使用基本不等式--一般地，含有根式的最值問(wèn)題，首先考慮平方后求最值.

技巧三：展開后求最值--對(duì)于求多項(xiàng)式積的形式的最值，可以考慮展開后求其最值.

技巧叫形如言?-型函數(shù)變形后使用基本不等式-一若尸丁"?-中心)的次數(shù)小于g(x)的次數(shù)，可取倒數(shù)

后求其最值.

技巧五：用'T'的代換法求最值

技巧六：代換減元求最值

技巧七：比較兩個(gè)數(shù)(式)大小的方法有作差法、作商法、構(gòu)造函數(shù)法

1.倒數(shù)性質(zhì)

(?)a>b,<7?>0=≠i~<p(2)6f<0<fr=>~<p⑶4>Zx>O,d>c>0=^>~∣.

2.有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)

若a>b>0,m>01則

bb+mbb—in?aa+macι-m

(l)-<.；^>------0—m>0);(2)T>7--；(?-/27>O).

cia+mcia-mbb+mbb-m

3.幾個(gè)重要的不等式

(l?2+?2≥2rz?(iz,?∈R),當(dāng)?shù)﹥H當(dāng)時(shí)取等號(hào).

、2

(2)a/E(g^j(mb∈R),當(dāng)且僅當(dāng)α=b時(shí)取等號(hào).

(3)-r-(tz,?∈R),當(dāng)且僅當(dāng)〃=人時(shí)取等號(hào).

(4)g+,2(a,6同號(hào))，當(dāng)且僅當(dāng)4=6時(shí)取等號(hào).

1.在不等式的兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變；同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變；

2.求范圍亂用不等式的加法原理致錯(cuò).

3.應(yīng)用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”.忽略任何一個(gè)條件，就會(huì)出錯(cuò)；

4.在利用不等式求最值時(shí)，一定要盡量避免多次使用基本不等式.若必須多次使用，則一定要保證它們等

號(hào)成立的條件一致.

b2a2

1.若。<0,〃<0,則〃=5+不與q=〃+〃的大小關(guān)系為（）

A.p<qB.p<qC.p>qD.p>q

【答案】B

左〃—〃2—∣y2/?]、

【解析】（作差法）PF=（+3rf=T*L+七2=（吟洲匕號(hào)）

（按一層）（La）（一一4）2（）+〃）

ah~ah

因?yàn)棣?lt;0,XO,所以α+?<0,ab>O.

若〃=》，則p—q=0,故p=q；若a≠b,則p—q<0,故p<q.綜上，p≤?.故選B.

2.若6<α<10,f≤?≤2α,c="+〃，則C的取值范圍是（）

A.[9,18]B.（15,30）C.[9,30]D.（9,30）

【答案】D

【解析】因?yàn)閒≤*24,所以苧*3”，即岑≤cW3.,因?yàn)?<o<10,所以9<c<30.故選D.

3.#a>b>0,c<d<0,則一定有（）

ciZ??abCabCab

A.—η>0nB.—一"0C.η>-D.-;<-

cacaacac

【答案】D

【解析】因?yàn)閏<d<0,所以0<—dv—c,又0<b<α,所以一bd<-ac,即?Z>ac,

又因?yàn)?>0,所以器詈即然?

19

4.已知x>0,y>0,且一十—=1,貝∣Jx+y的最小值為（）

χy

A.12B.16C.20D.24

【答案】B

rx>0

y>O

【解析】由題意知x+y=G+3(x+y)=l+++^+9Nl+2、y|^§+9=16,當(dāng)且僅當(dāng)<(+*=ι,即［一修

2=%

IXy

時(shí)取等號(hào)，故選B.

9

5.已知函數(shù)y=χ-4+uj^(x>-1),當(dāng)X="時(shí)，y取得最小值6,則2“+36=()

A.9B.7C.5D.3

【答案】B

【解析】因?yàn)閤>—1,所以x+l>0,

所以產(chǎn)x—4+*=x+l+島—5≥24x+l?島—5=1'

9

當(dāng)且僅當(dāng)x+1=H,即x=2時(shí)取等號(hào)，

X-T1

所以y取得最小值人=1，此時(shí)x=α=2,所以2a+36=7.

6.設(shè)正實(shí)數(shù)X,y,z滿足X2T孫+4y2-z=0,則當(dāng)《取得最小值時(shí)，x+2y-z的最大值為()

χy

99

A.0B.QC.2D.7

o4

【答案】C

【解析】Z=x2+4y2-3xγ≥2(x?2γ)—3xy=xy,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)取得最小值，于是x+2y

^y

-z=2y+2y-2y2=2y(2~y)≤2-=2,當(dāng)且僅當(dāng)y=l時(shí)等號(hào)成立，綜上可得，當(dāng)x=2,y=l,z

=2時(shí)，x+2y—Z取得最大值2.

7.(多選)若mb,ceR,給出下列命題中，正確的有()

A.若a>h,c>d,貝!ja+c>h+d

B.若a>b,c>d,貝U8一04—1

C.若a>b,c>d,貝Uac>bd

D.若α>Z?,c>0,則αc>∕?C

【答案】AD

【解析】因?yàn)椤?gt;h，Ody由不等式的同向可加性得〃+c>Z?+d,故A正確；由A正確，可知B不正確；取

4>—2,—1>—3,則4x(—I)V(—2)x(—3),故C不正確；因?yàn)楣?gt;。，c>0,所以αc>bc.故D正確.綜上可知，

只有AD正確.故選AD.

8.（多選）給出下面四個(gè)推斷，其中正確的為（）

A.若。，?≡(0,+8),則,+金2

B.若K,y∈(O,+∞),K∣JIg?+Igγ>2√lgx?lgγ

4

C.若α∈R,α≠0,則片十走4

D.若X,y∈R,X)Y0,貝嶺+白一2

【答案】AD

【解析】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)椤??∈（0,+oo）,所以介金2、/翳=2,當(dāng)且僅當(dāng)￡=*即α=6時(shí)取等號(hào)，故A

項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)X,y∈（0,1）時(shí)，lgx,lgy∈（-8,0）,此時(shí)lgx+lg）22dlgx?lgy顯然不成立,故B

4V

項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)〃<0時(shí)，/+α≥4顯然不成立，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，若X,y∈R,KyV0,則一90,

_'o,所以：+卜_［（_：）+（-注-2］（_y=-2,當(dāng)且僅當(dāng)寸=_%即x=-y時(shí)取等號(hào)，

故D項(xiàng)正確.故選AD.

9.若一聲α<衿，則a—夕的取值范圍是

【答案】（一π,0）

【解析】由一梟植,一方一A與a<β,得一兀Va-SV0.

10.己知a>0,6>0,a+b=l,則（1+1）（1+§的最小值為.

【答案】9

【解析】（1+O（1+J=（1+審）（1+喑）=（2+飄2+?=5+2?+線5+4=9.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=^↑,

取等號(hào).

3

11.已知。>0,?>0,2n+Z>=4,則瓦的最小值為

3

【答案

63

【解析】因?yàn)?α+6=4,必），b>O,所以*梟一?-=-

42當(dāng)且僅當(dāng)2a=b=2,即a=1,b=2

時(shí)取“=”，所以.3的最小值為方3

12.已知存在實(shí)數(shù)Q滿足必2>α>M,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是

【答案】（-8,—1）

[?2>1,

【解析】因?yàn)棣?2>α>M,所以“≠0,當(dāng)α>O時(shí)，b2>?>h,即《解得從一1;

[b<?,

?b2<l,

當(dāng)“<O時(shí)?，b2<↑<b,即無(wú)解.綜上可得X-L

l?>ι

?提?—■-------升--------------------練）

一、單選題

1.（2022?浙江浙江?二模）已知,〃>0,〃>0,且加+“=1,則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

①2'"+2向的最小值是4；②〃+sin/〃<1恒成立；

④鎮(zhèn)的最大值是逋+1.

③Iogm+Iogn≤-2恒成立；

22n+mtn~+n3

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【解析】①2,"+2"∣≥2Λ∕2"12"+∣=2J2"""*∣=4,當(dāng)且僅當(dāng)2zπ=2"+∣,即加=〃+1,即"=0,〃?=1等號(hào)成立，而

〃>0,故錯(cuò)誤;

②令y="+sinm-l,因?yàn)榉?gt;0,n>0,且m+"=l,所以/(〃?)=SinW-機(jī)，ZM∈(0,1),則

∕,(m)=Coszn-I≤0,所以/(，〃)在(0,1)上遞減，則/(〃?)</(())=(),即〃+sinm<l,故正確；

③因?yàn)榉?gt;0,n>0,且加+”=1,所以wr≤(邛；")=；,當(dāng)且僅當(dāng)m=,"=g時(shí)，等號(hào)成立，則

Iog2m+Iog2?=∣og2mn≤Iog2^?=-2,故正確；

2mn_2(1—")∏_1—n

2,

4)因?yàn)椤ǎ?機(jī)Z7J2+N1+1-〃n+l-n

令/(〃)=-2?Ti,“€(0,1),則f'(")=?^~-~-j-,M∈(0,l),

n+l-n(/+I-")

令/'5)=0,解得"=2-G∈(O,1),"=2+A(O,1)

當(dāng)0<〃<2-6時(shí)，∕,(∏)>0,當(dāng)2-6<“<l時(shí)，/'(〃)<0，

所以當(dāng)n=2-√5時(shí)，?L+一一取得最大值亞+1,故正確.

n+ιnmΛ-n3

故選：C

4

2.（2022?江西?二模（理））已知命題p∣:存在/＞（）,使得與+—44,命題〃2：對(duì)任意的x∈R,都有

Ao

tan2x=；：：：：j命題P3：存在XOeR,使得3sin/+4cos∕=6,其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

π

【解析】當(dāng)/=2時(shí)，顯然Pl成立；當(dāng)X=I時(shí)，可知P2不成立；由輔助角得3sin%+4cosx°=5sin(Xo+9),

所以所以3sinx°+4cosx()的最大值為5,所以外為假.

故選：B

3.(2021.北京市育英學(xué)校模擬預(yù)測(cè))設(shè)0<α<6,則下列不等式中正確的是

A.a<b<?[ab<""B.a<4ab<""<b

22

C.a<y/ab<h<a+^D.?jab<a<a+^<b

22

【答案】B

【解析】?.?0<a<b,由基本不等式得而<等，.?.“=√7<√^<等<等=人

故選：B.

4.(2021?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知x>y>0,n∈∕V*,則下列結(jié)論正確的是()

A.sin?<-/=^^B./+y2F-J∑x+l的最小值為:

λ√?+?N

χn__〃n??n-Λ

C.,?≥nx2?y2D.χy?yx≥(χy^

【答案】C

Vtantt.Vxy

【解析】記r=2w(O,l)有tanf>f,則Sw=∣,易知x=l時(shí)有即：>尸「,A錯(cuò)誤;

X√l+tan2r√l+z2X√x^+y

√+/-λ3,-√^λ-+1=+i≥l,當(dāng)且僅當(dāng)χ=2y=平時(shí)取等號(hào)，所以最小值為g,

B錯(cuò)誤；

n_nw?lM∑1J

記f=T∈(O,l),則甘-≥“χk?y〒等價(jià)于不.苫l+“Q7)≥o,

、1一〃〃+11-n/1+1~~

2

I己=+n(z-i)?貝IJr(力=附+^-f2__—r,

Λrw=l(√-i)(1-f-),-≥0,即/")單調(diào)遞增，有/⑴=0,

.?.∕(r)單調(diào)遞減，則有/Q)>f⑴=0,不等式得證，C正確；

取x=2,y=1,有χ>'?y*=2v275=(Λy)而,D錯(cuò)誤.

故選：C

22

5.(2021?浙江?二模)己知等差數(shù)列{〃“},正整數(shù)P,q,S,f滿足4,+%=4+q,則三土匚的取值范圍

p+q

是()

A.(l,+∞)B.[l,+∞)

C.{RX∈N"}D.以上均不正確

【答案】D

【解析】由{q}為等差數(shù)列，且4+%=&+《，則p+q=s+"

22

r-rsμ1S+P(s+t)-2St、/—

所以-----??——L-------=s+f-------->yJst,

p+qs+ts+t

當(dāng)且僅當(dāng)S=E時(shí)，取等號(hào)，

心產(chǎn)

又s,teN：所以s≥l"≥l,即白加，所以^----->1,

p+q

222.2

又匚匚不能為無(wú)理數(shù)，故二土二的取值范圍是不符合ABC選項(xiàng)..

p+qp+q

故選：D

6.(2021?四川達(dá)州?二模(理))已知P3加是圓Y+丁=1上的點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是()

A.ab≥;B.2'+2”最大值是2a

C.2'^°1<3wD.21g∣α∣≥lg(l+?)

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，點(diǎn)尸(。力)是圓f+V=i上的點(diǎn)，可得"+b?=1,

由l=∕+^≥2",可得"≤;,當(dāng)且僅當(dāng)。=6時(shí)等號(hào)成立，所以A不正確；

由2『+2ft2≥2廬彳=2JpGr=20，當(dāng)且僅當(dāng)2『=，即α2=b2時(shí)等號(hào)成立，即2『+2”最小值是2a，

所以B不正確；

?α2+62=l>可得1-02=從,則2∣-J=2%

又由T≤∕7≤l,所以。2≤∣b∣,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得2i°≤3W成立，所以C正確;

由21g同=Iga2=ig（i42）,又由1_〃-（］+6）=_〃_〃=_勵(lì)-1）,

因?yàn)門≤b≤l,可得-伙匕-1）符合不確定，所以2回4和lg（I+6）大小不確定，

所以D不正確.

故選：C.

二、多選題

2

7.（2022?江蘇南京?三模）設(shè)尸=。+—,α∈R,則下列說(shuō)法正確的是（）

a

A.P>2√2

B.%>1”是“2》2夜”的充分不必要條件

C.“P>3”是Z>2”的必要不充分條件

D.3α∈（3,+∞）,使得P<3

【答案】BC

【解析】A錯(cuò)誤，當(dāng)“<0時(shí)，顯然有P小于0

B正確，”>l時(shí)，P=^+.∣≥2^7j=2√2,故充分性成立，而尸》2夜只需4>0即可;

2

C正確，P=。+—>3可得0<αvl或α>2,當(dāng)4>2時(shí)P>3成立的，故C正確；

a

22

D錯(cuò)誤，因?yàn)椤?gt;3有q+—>3+z>3,故D錯(cuò)誤；

故選：BC.

8.（2022?遼寧?二模）下列結(jié)論正確的是（）

A.百”是的充分不必要條件

π

tan—1

B.—

l+tan2*8-2

8

C.已知在前〃項(xiàng)和為S〃的等差數(shù)列｛七｝中，若％=5,則%=75

14-?

D.已知4>O,b>O,=則一H—；一的最小值為8

ab

【答案】AD

【解析】對(duì)于A,由Y>5=x>6或x<-石，故A正確；

.π

sin—

8

ππππ

tan—cos—sm-cos—∕τ

一S=一.=V8=卜1吟=半,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于B,

兀兀兀■＞兀

I1+t,a2n—sιn-—Sn?2r—+cos-一244

8l+888

2π

COS—

8

對(duì)于C,0=13(q；%)=13%=65,故C錯(cuò)誤：

“工”?4一匕14z./14^(b4aC歷~^y1o小口巾業(yè)1,2_

對(duì)弓D,—I------=—I------I1=(Q+b)∣—I-—I1=—I-----F4≥2J—X-----F4=8,T且僅=Ia=二，〃=1時(shí)取

ababh)abVab33

等號(hào)，故D正確.

故選：AD.

三、填空題

9.（2022?四川瀘州?三模（理））己知x、y∈R,且2,+2》=4,給出下列四個(gè)結(jié)論:

①x+y42；②孫≥1;③2*+y≤3;④4'+4'≥8.

其中一定成立的結(jié)論是（寫出所有成立結(jié)論的編號(hào)）.

【答案】①④

【解析】對(duì)于①，???2*>02>（）,

由2*+2,=4得，4=2x+2y>2√2Λ'?2V=，

即4≥2√^7,解得x+y≤2（當(dāng)且僅當(dāng)χ=y=l時(shí)取等號(hào)），故①一定成立；

對(duì)于②，當(dāng)χ=0,y=iogz3時(shí)，2,+2>=4成立，但χy≥l不成立，故②不一定成立;

對(duì)于③，當(dāng)y=；時(shí)，由2*+2，=4得2*=4-五，

貝∣J2'+y-3=4—0+g—3=|—0>0,即2'+y>3,故③不一定成立；

④將2*+2y=4兩邊平方得4v+4v+2x+v+'=16,

Λx+y+1

.?.4+4'=16-2,

由①可知：尤+y≤2nx+y+l≤3=2x+'v+l≤23=8=>-2Λ+J+I≥-8

=>16-2t+v+'>16-8=8,

.,.4Λ+4V≥8,當(dāng)且僅當(dāng)X=V=I時(shí)取等號(hào)，因此④?一定成立.

故答案為：①④.

10.（2021.河南.模擬預(yù)測(cè)（文））已知關(guān)于X的方程∣log2X=f（r>0）有兩個(gè)實(shí)根加，〃（，*>〃），則下列不等

式中正確的有.(填寫所有正確結(jié)論的序號(hào))

①〉+〃2≥2V2(/?—/?)；②〃72+r?！?>∕2(w7-?)

(3)∕n2-n2≥2y∣2(jn-n)；(4)∕n2-n242&.

【答案】①

【解析】因?yàn)楱Ol0g2X=f,所以IogzX=t或log?X=T,

所1以X=2'或X=2',

因?yàn)殛P(guān)于X的方程|1。82X|=1(/>0)有兩個(gè)實(shí)根機(jī)，〃(團(tuán)?〃)，

所以m=2'，〃=2一'，inn=2t?2~f=20=1

對(duì)于①②，nr+n2-2?f2^nt-n)={m-ri^+2mn-2?∣2^n-n)

二(加一〃)？+2—2及(加一〃)=(∕π-zι)2_2垃Qn—*+2=(Jn_n—0)?≥0,

所以〃z2+〃2≥2√5(m-∕7),所以①正確，②錯(cuò)誤.

對(duì)于③?,62-/I2-2?[2^m-n)y=(m-n)(m+n-2?∕2),

因?yàn)椤╖>機(jī)―〃>0.

∕W+H-2√2=2Z+2'Z-2√2>2√2Γ^Γ7-2√2=2-2√2,

所以〃一/≥2λ∕^(加一〃)或者M(jìn)-I,≤2λ∕2(∕77-∏).

所以③④錯(cuò)誤.

故答案為：①

,真??n

1.(2020全國(guó)I理14)若2〃+log2〃=4~+21og4h,則()

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2

【答案】B

vflfe2z,

【解析】設(shè)f(X)=2+log2x,則/(X)為增函數(shù)，?.?2+log2a=4+2Iog4b=2+log2b,

n2fe2fc2ft

.?./(α)-f(2b)=2+Iog2a-(2+Iog22b)=2+Iog2b-(2+Iog22?)=Iog2∣=-l<0,

/./(a)<于Qb),：.a<2b.

2afr222b22tfr

?f(a)-f(b)=2+Iog2a-(2+Iog2h)=2+Iog2b—(25+Iog2b)=2-2'-Iog2b，

當(dāng)匕=1時(shí)，/(0)-∕(∕)=2>0,此時(shí)/(α)>f(b2),有a>/；當(dāng)b=2時(shí)，f(a)-f(b2)=-↑<0,

此時(shí)/(α)<∕(∕),有α<",.?cD錯(cuò)誤，故選B.

2.(2020天津6)設(shè)α=3°',b=(g),c=Iog070.8,則a,/?,。的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.b<a<cC.h<c<aD.c<a<b

【答案】D

【解析】由題知c=k‰0.8<l,H『=3/易知函數(shù)y=3，在R上單調(diào)遞增，所以

b=30,8>3°，=α>l,所以CVaV故選D.

3.(2019?新課標(biāo)∏,理6)若α>0,則()

A.ln(a-b)>OB.3α<3z,C.^3-?3>0D.?a?>]b?

【答案】B

【解析】取α=0,b=-?,貝∣J∕”(α-%)=∕"l=O,排除A；3"=3°=1>3"=3-∣=J,排除5；

3

3333

a=O>(-l)=-l=?,故C對(duì)；Ial=O<|一1|=1=。，排除。.故選C.

4.(2016?新課標(biāo)I,理8)若α>A>l,Ovcvl,則()

A.ac<bcB.ahi<bd

C.a?ogbc<b?ogacD.Iogrtc<?oghc

【答案】C

【解析】a>b>?,OVCVl,函數(shù)/(x)=XC在(O,+oo)上為增函數(shù)，故4，>此故A錯(cuò)誤，

:函數(shù)/(X)=尸在(O,+OO)上為減函數(shù),故廢―故好〈的,HPabc>bac,故5錯(cuò)誤;

,.*logαc<O?且log/vθ,log/Vl,即卜壇2=<L,即log”c>log〃c.故。錯(cuò)誤；

IOgC&logz,C

OVTOgaCVTOgZ,c,故一41OgaCV一如Iogbc,BPfelogflc>βlogz,c,BPalogbc<blogaCf故C正確;故選C.

5.(2016?新課標(biāo)I,文8)若α>b>O,Ovcvl,則()

ccab

A?IogflCClogfcCB.Iogt.a<IogrbC.a<hD.c>c

【答案】B

,

【解析】a>b>O^0vcvl,..Iogra<logt,b?故B正確；「.當(dāng)α>0>L時(shí)，0>Ioguc>c,故A錯(cuò)

誤；ac>bc,故C錯(cuò)誤；ca<cb,故。錯(cuò)誤，故選3.

6.（2017山東）若α>h>0,且aZ?=l,則下列不等式成立的是

b

A?a+^<^<?og2(a+b)?—<log2(α+?)<α+∣

b

C.β+?<Iog2(6Z+Z?)

<—D.Iog1(a+b]<a+-<-

X2')b2"

【答案】B

?

b=L則α+[=2+2=4,

【解析】解法-：取a=2,=2,所以

2b

—a<Iog9(α+6)<ciH—f選B.

22\)h

解法二：由題意α>l,0<b<l,所以2<ι,1

a+-=a+a24>2,又。+。>1,所以（。+。）2>(a+l>),

2°b

所以2>log2(a+b)2>log2(a+》)>log22j^=l,故橙?<log2(α+b)<α+[,選B.

7.(2016年北京)已知X,yeR,且x>y>0,則

A.?-?>0B.SinX-Siny>0C.

<0D.InX+lny>()

Xy

【答案】C

因?yàn)閤>y>0,選項(xiàng)A,?Xx=l,???,則I-L=I-2二—1<。，排除A；

【解

.2Xy

7171

選項(xiàng)B,取X=肛)=5，則SinX-Siny=Sin乃一sin^=-1<0,排除B；

x=2,y=g,則InX+lny=ln(砂)=lnl=0,排除D,故選C.

選項(xiàng)D,

8.(2014山東)若α>b>O,c<d<O,則一定有（）

abab^abD.幺/

A.—>—B.一<—C.—>一

cdcddcdc

【答案】D

【解析】由c<d<Oo—!>—J>0,又4>b>O,由不等式性質(zhì)知：—4>—2>0,所以故

dcdede

選D.

9.(2014四川)已知實(shí)數(shù)x,y滿足““<α'(0<α<l),則下列關(guān)系式恒成立的是

11,,

A.—r——>—?——B.ln(x2+1)>ln(y2+1)

X+??*+1

C.SinX>sinyD.x3>J3

【答案】D

【解析】由已知得x>y,此時(shí)χ2,y2大小不定，排除A,B；由正弦函數(shù)的性質(zhì)，可知C不成立；故選D.

10.(2014遼寧)已知定義在[0,1]上的函數(shù)/(x)滿足：

①/(O)=AD=O;

②對(duì)所有χ,y∈[0,l],且xoy,有Iy(X)-/(y)l<g∣χ-y∣.

若對(duì)所有x,ye[(),l],I/(X)-/(y)∣<女恒成立，則%的最小值為()

1111

A.-B.-C.—D.一

2427r8

【答案】B

【解析】不妨設(shè)OWyWXW1,當(dāng)時(shí)，—

當(dāng)g<χ-yW時(shí)，Y(X)-/(訓(xùn)=|/3-/(I)HF(y)-∕(°)∣

≤∣∕(x)-∕(l)∣+∣∕(y)-∕(0)∣<l∣χ-l∣+?-0∣

111111

2-2-2-2-4-4-

11.(2020全國(guó)3文12)已知函數(shù)/(x)=SinX+二一，則()

sinx

A.f(x)的最小值為2B.f{x}的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱

C./(X)的圖像關(guān)于直線X=π對(duì)稱D./(x)的圖像關(guān)于直線X=；對(duì)稱

【答案】D

【解析】由題意得sinx∈[-L0)D(04].對(duì)于A,當(dāng)sinx∈(04]時(shí),/(x)=sin%+——≥2Jsinx---=2,

sinxVsinx

當(dāng)且僅當(dāng)sinx=1時(shí)取等號(hào)當(dāng)sinX∈[-1,0)時(shí)

f(x)=sinx+—5—=-f-sinx+————≤-2.∕-sinx----5——=一2,當(dāng)且僅當(dāng)SinX=-I時(shí)取等號(hào)，所以A錯(cuò)

sinx(-sinx√N(yùn)-SinX

誤.對(duì)于B,f(-x)=sin(-?)+——!——=JSinX+」一]=一/(x),所以/(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

sin(-x)Isinx√

所以B錯(cuò)誤.對(duì)于C,f(x+π)=sin(?+π)H-------!------=-∣sinx+—!—|,

sin(x+π)(sinxJ

/(π-x)=sin(π-x)+----5------=sinx÷——,則/(x÷π)≠/(π-x)，/(x),的圖象不關(guān)于直線X=π對(duì)稱,

sin(π-x)sinx

所以C錯(cuò)誤.對(duì)于D,/f%=sinfX+—1H-------r^------?=cosx+——?

I2)I2).(π]Cosx

、7'7sinI%+I

,所以/(x+mJ=∕∣J-xj,F(X)的圖象關(guān)于直線1=]對(duì)

稱，所以D正確.故選D.

12.(2020山東11)已知々>0，八0,且々+6=1，貝IJ()

22ab

A.iz+?B.2~>?C.Iog2a+Iog2b≥-2D.?[a+?∕?≤2

【答案】ABD

【解析】對(duì)于A,/+〃=/+([—α)2=2/-2。+1=2(4一；)+i>l,當(dāng)且僅當(dāng)α=b=g時(shí)，等

號(hào)成立，故A正確；對(duì)于B,a-b=2a-?>-?,所以2"">2-∣=!，故B正確；對(duì)于C,

2

Iog2a+Iog2h-Iog2ab<Iog2-Iog2^=-2.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=；時(shí)，等號(hào)成立，故C不正確;

2I

對(duì)于D,因?yàn)椋?+括J=1+2而Wl+α+8=2,所以G+J^≤√5,當(dāng)且僅當(dāng)a=。=］時(shí)，等號(hào)

成立，故D正確，故選：ABD.

13.（2020上海13）下列不等式恒成立的是.（）

222