2023年中考數(shù)學(xué)知識點練習(xí)-二次函數(shù)的最值

2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點突破—二次函數(shù)的最值

1.已知二次函數(shù)y=*+云+c(α>0)的圖象經(jīng)過點A(T,1)和B(2,4).

(1)求。，b滿足的關(guān)系式；

⑵當(dāng)自變量、的值滿足-l≤x≤2時，)'隨X的增大而增大，求。的取值范圍；

(3)若函數(shù)圖象與X軸無交點，求/+〃的取值范圍.

2.如圖，拋物線.v=-∕+2χ+3與X軸交于A、B兩點(A點在B點左側(cè)\直線/與拋物

線交于A、C兩點，其中點C的橫坐標(biāo)為2.

(1)求人8兩點的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達式；

(2)若點P是線段AC上的一個動點，過點P作J軸的平行線交拋物線于點E,求線段PE

長度的最大值；

(3)若點G是拋物線上的一個動點，在Λ?軸上是否存在點F，使A、C、F、G這樣的四

個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，亶接號審所有滿足條件的點F的坐標(biāo)；

如果不存在，請說明理由.

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形。4BC的兩邊。4、OC分別在X軸、)，軸的正半

軸上，(M=4,OC=2.點P從點。出發(fā)，沿X物以每秒1個單位長度的速度向點A

勻速運動，當(dāng)點P到達點A時停止運動，設(shè)點P運動的時間是/秒.將線段CP的中點

尸繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到點。，點。隨點P的運動面運動，連接。P、DA.

⑴點口和點D的坐標(biāo)分別為：FD(用含t的代數(shù)式表示);

(2)求當(dāng)，為何值時，'DR4的面積最大，最大面積為多少？

(3)在點尸從點。向點4運動的過程中，一DPA能否成為直角三角形？若能，求/的值；

若不能，請說明理由.

4.已知函數(shù)y=V+灰+c(6,C為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(-2,4).

(1)求6,C滿足的關(guān)系式；

(2)設(shè)該函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)是(〃,2),當(dāng)b的值變化時，求A關(guān)于/7的函數(shù)解析式；

(3)若該函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限，當(dāng)-5<x≤l時，函數(shù)的最大值與最小值之差為16,

求6的值.

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)中，ABC是直角三角形，ZACB=90o,AC=BC,OA=2,

OC=4,拋物線V=X?+區(qū)+c經(jīng)過A、B兩點，拋物線的頂點為。.

備用圖

(1)求該拋物線的解析式；

(2)點E是直角三角形ABC斜邊48上一動點(點A、8除外)，過點E作X軸的垂線交拋

物線于點尸,當(dāng)線段E尸的長度最大時，求點E的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下：在拋物線上是否存在一個點P,使是以E尸為直角邊的直角

三角形?若存在，直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

6.(1)如圖①，ABC中，ZACB=90。,AC+BC=6,求ΛBC的面積的最大值；

試卷第2頁，共9頁

B

①

(2)如圖②，ABC中，ZACB=90o,NA=30。，fiC=4,點P為AB上的一點，連

接Cp,將線段PC繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段PE,過點E作EFJ.AS,交AB于點

F,此時若過點C作CGLAB于G,則APEFga______PF的長為；

②

(3)如圖③，ΛBC中，4C=Be=6,AB=4√6,點P為AC上的一動點(A點除外),

連接BP,將線段依繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段PE,連接AE,則當(dāng)AP=

時，VAPE的面積最大，最值為

7.已知拋物線y=τ2+40r-4∕+34(α>T,頂點為點。，拋物線與X軸交于A、B兩

點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C.

⑴求拋物線的最大值；

⑵若當(dāng)0<xV2時，拋物線函數(shù)有最大值3,求此時“的值；

⑶若直線C。交X軸于點G,求空器的值.

c√G

8.如圖，拋物線y=*+法+c與X軸交于A(2,0),3(T,0)兩點.

(1)求該拋物線的解析式;

(2)若拋物線交.V軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使得AQAC的周長

最小？若存在，求出Q點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

(3)在拋物線的第二象限圖像上是否存在一點P,使得PBC的面積最大？若存在，求出

點尸的坐標(biāo)及PBC的面積最大值；若不存在，請說明理由.

9.某養(yǎng)殖戶利用一段圍墻(圍墻足夠長)為一邊，用總長為80m的圍網(wǎng)圍成了如圖所

示的三塊矩形區(qū)域，且這三塊矩形區(qū)域的面積相等.設(shè)BC的長度為Xm,矩形區(qū)域ABCD

(2)求)，與X之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當(dāng)X為何值時，y有最大值？最大值是多少？

10.如圖，已知拋物y=-d+6χ+c與軸交于A(—1,0),B(3,0)兩點，與「軸交于點C,

連接BC.

試卷第4頁，共9頁

⑴求拋物線的解析式；

(2)若點P為線段BC上的一動點(不與B、C重合)，PM//『軸，且交拋物線于點例，

交X軸于點N,求MBC的面積的最大值；

(3)若點D為拋物線的頂點，在V軸上是否存在點E,使E到點B的距離與點E到點D

的距離之差最大？若存在，請直接寫出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

11.如圖1,拋物線y=V+法+c與r軸交于A、B兩點，8點的坐標(biāo)為(3,0),與y軸

交于點C(O,-3)

(1)求拋物線的關(guān)系式；

(2)"是第四象限拋物線上一點，當(dāng)四邊形ABMC的面積最大時，求點M的坐標(biāo)和四邊

形ABMC的最大面積；

(3)如圖2,在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使PBC是以BC為斜邊的直角三角形？

若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

1?

12.如圖拋物線丁=-萬/+云+C與X軸交于點A(TO)和點仇4,0),與y軸交于點C,

連接BC,點P是線段BC上的動點(與點B,C不重合)，連接AP并延長AP交拋物線

于點Q,連接CQ,BQ,設(shè)點Q的橫坐標(biāo)為，”.

(1)求拋物線的解析式和點C的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)48CQ的面積等于2時，求，”的值；

(3)在點P運動過程中，。到BC的距離是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存

在，請說明理由.

13.二次函數(shù).v=Y+法+c的圖象過A(TO),8(3,0)兩點，與)■軸相交于點C.

圖1備用圖

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)若點P是第四象限內(nèi)拋物線上的一動點，當(dāng)點P到直線BC的距離最大時，求點尸的

坐標(biāo).

(3)當(dāng)二次函數(shù)y=χ2+fcr+c的自變量.t滿足m≤x≤m+2時，函數(shù)的最大值為p,最小

值為q,P-q=2,求加的值.

14.如圖，已知二次函數(shù)y=-V+灰+c的圖象經(jīng)過點A(5,l),點8(0,6),點C(，w,〃)在

試卷第6頁，共9頁

該二次函數(shù)圖象上

(1)求該二次函數(shù)的解析式及其頂點坐標(biāo)；

(2)若m≤x≤3時，”的最大值為10,最小值為1,請結(jié)合圖象直接寫出”的取值范圍；

(3)若點C在直線AB的上方，且"C面積為S,求S關(guān)于，”的函數(shù)關(guān)系式，并說明“取

何值時，S有最大值，最大值是多少？

15.已知直線/:y=3+3交.v軸于點4,點B在線段上，AB=2BO.有一拋物線

的頂點坐標(biāo)為P(2,9),且經(jīng)過點B.

(1)求拋物線的解析式；

(2)動點C在拋物線的對稱軸上，動點。在直線/上,令P=BC+CD.

①求P的最小值；

②當(dāng)P取最小值時，若射線CD交拋物線于點E,連結(jié)EP,求IanNCPE的值.

16.已知y是X的二次函數(shù),該函數(shù)的圖像經(jīng)過點秋0,5)、8(1,2)、C(3,2)；

⑴求該二次函數(shù)的表達式；

⑵結(jié)合圖像，回答下列問題：

①當(dāng)14x≤4時，)，的取值范圍是;

②當(dāng)m≤x≤m+3時，求y的最大值(用含〃，的代數(shù)式表示)；

③是否存在實數(shù)機、〃(其中m<2V"),使得當(dāng)%≤x≤〃時，相My≤"?若存在，請求

出機、"；若不存在，請說明理由.

17.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線Uy=0x2+2x-l(aHθ)和直線Ly=依+/?,點

A(-5,-4),B(L-I)均在直線/上.

(1)求出直線/的解析式；

⑵當(dāng)a=—1,二次函數(shù)y=d+2x-1的自變量'滿足m≤x≤m+2時，函數(shù)V的最大值

為一9,求機的值；

(3)若拋物線C與線段A8有兩個不同的交點，求。的取值范圍.

18.如圖，已知拋物線y=Y+法+c經(jīng)過點(1,一5)和(一2,4).

(1)求這條拋物線的解析式；

(2)設(shè)此拋物線與直線V=X相交于點A,8(點B在點A的右側(cè)),平行于.V軸的直線

x=〃?(0</n<6+1)與拋物線交于點"，與直線V=X交于點N,交N軸于點尸，求線

段MN的長(用含“，的代數(shù)式表示)；

(3)在條件(2)的情況下，連接QM、BM,是否存在，”的值，使的面積S最大？

若存在，請求出，”的值；若不存在，請說明理由.

19.已知拋物線y=#+6x+c與X軸交于4一2,0)、8(6,0)兩點與y軸交于點C(O,-3).

試卷第8頁，共9頁

⑴求拋物線的表達式；

⑵點P為直線BC下方的拋物線上一個動點，當(dāng)PBC面積最大時，求點尸的坐標(biāo)；

PM

⑶點尸在直線BC下方的拋物線上，連接4P交BC于點M,當(dāng)F最大時，求點P的

PM

橫坐標(biāo)及大的最大值.

AM

20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C∕y=V+6x+c經(jīng)過點4(1,0)、點8(0,3),

點P在該拋物線上，其橫坐標(biāo)為，”.

(1)求拋物線Cl的解析式；

⑵當(dāng)BPLy軸時，求ABP的面積；

(3)當(dāng)點P到拋物線G的對稱軸的距離小于1時，直接寫出點P的縱坐標(biāo)的取值范圍；

(4)若拋物線Cl在點P左側(cè)部分(包括點P)的最低點的縱坐標(biāo)為5-〃？,求，”的值.

參考答案：

1.(l)α+?=l;

⑵O<α≤g;

(3)^≤a2+b^<1

【分析】(1)把(T,l)和8(2,4)分別代入解析式，即可確定“和〃的關(guān)系；

(2)先表示表示出對稱軸，在根據(jù)自變量X的值滿足T≤x≤2時，V隨X的增大而增大可

確定。的范圍；

(3)根據(jù)函數(shù)圖象與X軸無交點，把/+/表示出來，根據(jù)”的取值范圍即可求解.

【解析】(1)把(T1)和8(2,4)分別代入函數(shù)式y(tǒng)=ax2+bx+c,

fa-b+c=?

得方程組”

[a+2?+c=4

由這個方程組得Q+人=L

所以a,b滿足的關(guān)系式為Q+8=L

(2)???當(dāng)自變量X的值滿足-l≤x≤2時，.V隨X的增大而增大，且〃〉0,

Λ-A≤-I.

2a

b=?-a,

\—Cl,AFgI

??一---≤-l,解《可a?G?

2a3

所以。的取值范圍是O<"≤g.

(3)由(1)得，c=l-a+h=?-a-^l-a=2-2a,

又???函數(shù)圖象與X軸無交點，

?*?b~—41c=(1—cι)~—4α(2—2a)=(1—α)(l—91)<0,解得一VaVL

9

-：a2+b2=a2+(?-a)2=2a2-2a+↑,

當(dāng)時，/+從的最小值為g,當(dāng)。=1時，a2+b2=↑.

答案第10頁，共41頁

???儲+62的取值范圍是3。2+〃<1

【點評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是要牢記拋物線的對稱軸公式，頂點公式，會

根據(jù)拋物線和X軸交點的情況求解.

2.⑴A(T,O),B(3,0),y=x+i

瑤

(3)存在，(-3,0),(1,0),(4+√7,0)ι(4-√7,0)

【分析】(1)因為拋物線與X軸相交，所以可令N=O,解出A、B的坐標(biāo).再根據(jù)C點在拋

物線上，C點的橫坐標(biāo)為2,代入拋物線中即可得出C點的坐標(biāo).再根據(jù)兩點式方程即可解

出AC的函數(shù)表達式；

(2)根據(jù)P點在AC上可設(shè)出P點的坐標(biāo).E點坐標(biāo)可根據(jù)已知的拋物線求得.因為PE都

在垂直于X軸的直線上，所以兩點之間的距離為加-%,列出方程后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)

即可得出答案；

(3)分兩種情況：①以AC為邊，②以AC為對角線.確定平行四邊形后，可直接利用平

行四邊形的性質(zhì)求出廠點的坐標(biāo).

【解析】(1)解：令，=0,解得占=-1或%=3,

.??A(-1,O),6(3,0),

將C點的橫坐標(biāo)x=2代入y=-W+2x+3得y=3,

.?.C(2,3),

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+h,

叫f3。=一2?++〃?，解得:[自k=…?

???直線AC的函數(shù)解析式是F=X+I;

(2)設(shè)P點的橫坐標(biāo)為x(-l≤x≤2),

則P、E的坐標(biāo)分別為:P(x,x+1),E(x,-x2+2x+3),

答案第11頁，共41頁

P點在E點的下方，PE=(-X2+2X+3)-(X+I)=-X2+X+2=-^-^+看,

19

??當(dāng)x=5時，PE的最大值=W;

(3)存在這樣的點F,

連接點C與拋物線和)'軸的交點，那么CG〃'軸，止匕時AF=CG=2,

二F點的坐標(biāo)是(-3,0);

:A點的坐標(biāo)為(-1,0),

F點的坐標(biāo)為(1,0)；

此時C,G兩點的縱坐標(biāo)互為相反數(shù),

答案第12頁，共41頁

???G點的縱坐標(biāo)為-3,代入拋物線中即可得：G點的坐標(biāo)為("+1,-3),

設(shè)直線G尸的解析式為y=x+〃,

將G點代入后可得出直線GF的解析式為.y=X-4-萬，

令y=0,貝lJχ=4+√7,

因此直線G尸與r軸的交點尸的坐標(biāo)為(4+77,0)；

同③可求出F的坐標(biāo)為(4-",0).

綜上：存在這樣的點F,坐標(biāo)為(-3,0),(1,0),(4+√7,0),(4-√7,0).

【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及到了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、平行

四邊形的判定、二次函數(shù)的性質(zhì)等重要知識點，綜合性強，解答本題的關(guān)鍵是要求學(xué)生掌握

分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，此題有一定的難度.

3.(l)(?,l),(t+1,—)

(2)當(dāng)r=2時，面積最大，最大面積為1

(3)2秒或3秒

【分析】(1)設(shè)出尸點坐標(biāo)，再求出CP的中點坐標(biāo)，根據(jù)相似的性質(zhì)即可求出。點坐標(biāo)；

(2)根據(jù)。點的坐標(biāo)及三角形的面積公式直接求解即可；

(3)先判斷出可能為直角的角，再根據(jù)勾股定理求解；

【解析】(1)解：點P從點。出發(fā)，沿X軸以每秒I個單位長的速度向點A勻速運動，

.?OP=t,而OC=2,

答案第13頁，共41頁

設(shè)CP的中點為尸,過拉點作OELQA,垂足為E,

產(chǎn)點繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得點。,

.?.ZCPD=9()σ,

二NDPE+NOPC=90。,

又.NPOC=90。，ZOCP+ZOPC=90°,

:"OCP=/EPD,

.?∕XOCP^∕?EPD,

PD:CP=I:2,

:.DE:PO=PE:CO=PD:CP=I:2,

,DE=LpO=L,PE=-CO=I,

222

???。點坐標(biāo)為(1+19,

故答案為：(；』),1+1，￡);

(2)。點坐標(biāo)為“+《)，。4=4,

1t1t1,1,2

??-5ADM=-APx-=-(4-/)x-=-(4r-?)=--(/-2)+l,

.?當(dāng)f=2時,Sjft大=1；

(3)

能構(gòu)成直角三角形.

①當(dāng)NPDA=90°時，PC//AD,

由勾股定理得，PD2+AD2=AP2,PD'=DE2+PE2,AD1=DE2+AE2,

答案第14頁，共41頁

即g)2+l+(4τ-l)2+(鏟=(4τ)2,

解得，f=2或f=-6(舍去).

「/=2秒.

②當(dāng)NRV)=90。時，此時點。在AB上，

.CP2PDCo

~PD~~PD~~PA'

:.2=-,

PA，

:.PA=l,

即f+l=4,∕=3秒.

綜上，可知當(dāng)/為2秒或3秒時，能成為直角三角形.

【點評】本題屬于四邊形綜合題考查了矩形的性質(zhì)相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形，

二次函數(shù)的最值，是動點問題在實際生活中的運用，結(jié)合了函數(shù)、直角三角形的相關(guān)性質(zhì)，

具有一定的綜合性.

4.⑴C=2。

(Tfk=-Ir-Ah

⑶6=2或〃=6

【分析】(1)將點(-2,4)代入y=V+法+c,即可求解；

12

⑵根據(jù)題意得〃口h,k^?c-b,可得及=￥^b-b'進而可得答案；

2

(3)y=x+bx+2b=(x+^?~+2h對稱軸是直線》=一號開口向上再分別求得當(dāng)X=I,

答案第15頁，共41頁

x=-5,X=-g時的函數(shù)值，分四種情況得到函數(shù)的最大值與最小值，根據(jù)題意列出方程，

解方程即可得到答案.

【解析】(1)解：將點(-2,4)代入y=d+fet+c,

得4=4-2?+C,

解得C=?,

故"C滿足的關(guān)系式為C=力;

/c、?κb14c-h2

(2)解：h=--,k=--—,

24

.*.h=-2h,

c=2b,

.8b—b~—16Λ—4h^^2A1

:.k=---------=---------------=-Λ^-4A,

44

故攵關(guān)于〃的函數(shù)解析式為Z=-好—4/7;

(3)解：y=x2+bx+2b^x+^~+2b，

，該二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線?r=-?∣,

a=l>O,

???該二次函數(shù)的開口向上，

當(dāng)％=］時，y=?+b+2b=?+3b,

當(dāng)X=—5時，y=25-5?+2?=25-3/?,

當(dāng)工=-9寸，y=~+2h,

24

當(dāng)一g≥l,即b≤-2時，

x=-5時y取最大值，X=I時取最小值，

得25-35-(1+36)=16,

4

解得匕=§(舍去)；

答案第16頁，共41頁

b

當(dāng)一/<一5,即5>10時，

x=l時y取最大值，工=-5時取最小值，

得1+3Z?-（25-3A）=16,

解得。=三20（舍去）；

當(dāng)x=-?∣=-2時，x=-5與x=l時的函數(shù)值相等，

b

故當(dāng)一5≤-Q<—2,即4<h≤10時，

X=I時y取最大值，x=-g時取最小值，

?2

1+3%+——2b=16,

4

解得b=6或b=T0（舍去）;

故當(dāng)一2≤-g<l,即一2<〃<4時，

x=-5時,v最大值，x=-?∣時取最小值，

,2

25-3?+--2?=16,

4

解得b=2或。=18（舍去），

當(dāng)匕=2時，b=d+2χ+4不經(jīng)過第三象限，符合題意，

當(dāng)6=6時，8=∕+6x+12不經(jīng)過第三象限，符合題意，

綜上,b=2或b=6.

【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象，采用數(shù)形結(jié)合及分類

討論的思想解題是關(guān)鍵.

5.（l）y=x2-x-6

⑵E（l,3）

⑶存在］或U…

答案第17頁，共41頁

【分析】(1)根據(jù)AC=BC,求出BC的長，進而得到A,B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可

求得拋物線的解析式；

(2)利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，用含，"的式表示出E、F的坐標(biāo)，求出EF的

長度最大時機的值，即可求得E、F的坐標(biāo)；

(3)分兩種情況，NFEP=90。和NEFP=90。時，分別求得點P的坐標(biāo)，將縱坐標(biāo)代入拋物

線解析式，即可求得點P的值.

【解析】(1)解：：AC=BC,04=2,OC=4,

.?.A(-2,0),C(4,0),

ΛAC=BC=4+2=6,B(4,6),

,f4-2?+c=0

把A,B代入y=χ2+fer+c得：<,,

[16+4?+c=6

fc=—6

解得：,,

[b=-l1

拋物線解析式為y=f-χ-6；

(2)；直線A8經(jīng)過點A(-2,0),S(4,6)

設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+d

f-2?+t∕=0

把A,B代入代入得：(

[4k+dj=6

解得，[k=?2，

，直線AB的解析式為：y=x+2

???過點E作X軸的垂線交拋物線于點F,

設(shè)E點橫坐標(biāo)為機，點E在線段AB上(點A,B除外)，

；.點,E(m,m+2),(-2<m<4)

；?點尸橫坐標(biāo)為，"，點尸在拋物線上，

，點尸(九病一機-6),

據(jù)圖知：點E在點尸上方，

答案第18頁，共41頁

?'?EF=(AW+2)-ɑn2-/n-6)=-ιn2÷2w÷8=-(w-l)^÷9,

,?*tz=-l<O,開口向下，E尸有最大值，

當(dāng)〃7=1時，E/的最大值為9.

.*?∕π+2=l+2=3,m2-m-6=?-?-6=—6,

.?.點E(l,3),點F(l,-6);

(3)存在

①當(dāng)NbEP=90。時，點P的縱坐標(biāo)為3,

即Y—X-6=3,

解得Y="巨，ν匕巨，

22

②當(dāng)NEFP=90。，點P的縱坐標(biāo)為一6,

BPX2-x-6=-6,

解得XI=O,W=1(舍去)

???點A(0,-6),

綜上所述，存在點P,使AEFP是以EF為直角邊的直角三角形，點P的坐標(biāo)為3―，3

【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，

答案第19頁，共41頁

解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和分類討論思想.

9L

6.(1)-(2)AGPC,2√3(3)4,8

12G

【分析】(1)設(shè)AC=X,貝|J8C=6—X,再利用三角形面積公式得到SMC=-5(x-3y+5,

利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案；

(2)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到PC=PE,ZCPE=90°,再證明/CGP=NPRE=90。，

NE=NGPC即可證明尸^4CPG(AAS),PF=CG,求出NBCG=30。，利用含30度

角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出CG=2j^,貝IJPF=CG=26；

(3)如圖所示，過點E作EG,AC交AC延長線于G,過點8作B4,AC交AC延長線于

”,過點C作CoLAB于。，同理可證ZiB4%?PGE,得到EG=PH,利用等腰三角形

的性質(zhì)和勾股定理求出CO=，進而利用面積法求出=40,則由勾股定理得AH=8,

設(shè)AP=X,則PH=EG=8—x,再仿照(1)的方法求解即可.

【解析】解：(1)；AC+BC=6,

可設(shè)AC=X,貝∣J3C=6-X,

,/ZACB=90°,

111?O2

???^ABC=-AC.?C=-X(6-X)=-1(X-3)+|,

V-?<0

2，

-_9

.?.當(dāng)AC=X=3時，AeC的面積最大，最大為］;

(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知PC=PE,NCPE=90。，

?/EFYPF,CGA,PG,

ΛZCGP=ZPFE=90°,

ZFPE+ZE=90o=NFPE+AGPC,

ΛZE=ZGPC,

/.?PEF^?CPG(AAS),

：.PF=CG,

答案第20頁，共41頁

;在一ABC中,ZACB=90o,NA=30。，

28=60。，

，ZBCG=30°,

.*.BG=-BC=I

2，

?'?CG=dBC'-BG?=2√3

.,?PF=CG=2√3;

(3)如圖所示，過點E作EGJ_AC交AC延長線于G,過點B作8"，AC交AC延長線于

H,過點C作C￡>J_4;于。，

同理可證43印2Z?PGE,

EG=PH,

VAC=BC,CZXLAB,AB=4√6,

BD=AD=-AB=Iyle,

2，

CD=^BC--BDr=2√3,

,

?'SZΛΔAΛRoCC=-2ACBH=-2ABCD,

：.BH=ABCD=4近

AC

在RtΛABH中，由勾股定理得AH=?∣AB2-BH2=8.

設(shè)AP=X,貝IJPH=EG=8-X,

.??%PE=gAP?EG=gx?(8-X)=-TX2+4x=g(x-4Y+8,

，當(dāng)x=4時，Sm:有最大值8,

當(dāng)AP=4時，VAPE的面積最大，最大值為8.

答案第21頁，共41頁

A

P/MD

5

?Z

③

【點評】本題主要考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，全等三角形

的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

7.(l)3a

7

(2)”的值是1或：

4

(3)1

【分析】(1)拋物線開口向下，在頂點時有最大值，根據(jù)頂點坐標(biāo)公式可得結(jié)果；

(2)利用配方法得：y=-x2+4ax-4a2+3a=-(x-2a^+3a,得拋物線對稱軸是x=2α,

分兩種情況：①當(dāng)對稱軸在。與2之間時，最大值就是頂點坐標(biāo)的縱坐標(biāo)，②當(dāng)對稱軸在

點(2,0)的右側(cè)時，了隨X的增大而增大，x=2時有最大值，列式可得〃的值；

(3)用待定系數(shù)法求出CZ)的解析式，再根據(jù)兩點間的距離可得AG、BG、OG的長，在

代入式子化簡即可.

【解析】(1)解：拋物線開口向下，

，在頂點時有最大值，

4x(-I)X(Ta2+3”)_(4”『

由頂點坐標(biāo)公式得)，最大='1(-1)=3a-

即拋物線最大值為3。;

(2)解：y=-x2+4ax-4a2+3a=-(x-2a)2+3a,

，拋物線的對稱軸是：x=2?,

3

答案第22頁，共41頁

分兩種情況：

Q3

①當(dāng)3<2α≤2時，即：<α≤l,

24

???當(dāng)0≤x≤2時，拋物線函數(shù)有最大值是%,即3a=3,

??Q=I,

②當(dāng)加>2時，即,了隨X的增大而增大，

..當(dāng)0≤x42時，x=2時有最大值3,

?y=-(2-2a↑+3a=7>,

7

解得：4=w,/=1(舍)，

7

綜上，，的值是1或丁;

(3)解：如圖，

y=-(x-24)-+34,

.?.L>(24,34),C(O,-4∕+34),

當(dāng).y=O時，-(X-24)2+34=0,

解得:%=2a-底，x°=2a+折，

A(26Z-√3a,θ),8(2a+豉,0),

設(shè)OC的解析式為:y≈kx+b,

答案第23頁，共41頁

f2ak+b=3a[k=2a

則八,2a，解得，，2°

[b=-4a+3a[?=-4a+34

???DC的解析式為:y=2ax-4cJ+3a,

當(dāng)N=O時，lax-402+3a=0,

(亞-IKA+斗3—⑵-9=3

2a-32?-38”62

22

【點評】本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，拋物線與坐

標(biāo)軸的交點，兩點的距離,最值問題，難點在于(3)利用字母系數(shù)表示線段的長，并進行

JS算.

8.(l)y=-χ2-2X+8

⑵存在，β(-l,6)

(3)存在，點P的坐標(biāo)為P(—2,8),8

【分析】(1)運用待定系數(shù)法計算即可.

(2)判定A(2,0),3(T,0)是對稱點，確定直線BC的解析式，計算當(dāng)尸-1時的函數(shù)值即可

確定坐標(biāo).

(3)設(shè)P(m,-%2-2%+8),過點尸作PELX于點E,根據(jù)

=

SKPC^m>UKBPCO~0CO=S四邊物>COE+Srpf—SBCO,構(gòu)造二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的最值計

算即可.

【解析】(1)：拋物線y=*+?r+<「與X軸交于A(2,0),B(TO)兩點,

f-4+2∕7+c=0f?=-2

；?,,,n,解得,二,該拋物線的解析式為y=-V-2x+8.

[-16-44。i+C=O(C=88

(2)存在，點Q(-l,6).理由如下：':拋物線y=-V-2x+8與X軸交于A(2,0),3(T,0)

答案第24頁，共41頁

兩點，???A(2,0),8(T,0)是對稱點，且C(0,8),設(shè)直線BC的解析式為y="+8,,

O=TZ+8,解得々=2,?,?直線8C的解析式為y=2x+8,

當(dāng)X=-I時，γ=2x÷8=-2÷8=6,故點Q(T6).

2-2∕n+8),過點P作尸Ej_x于點E,

???拋物線y=-x2-2x+8與X軸交于A(2,0),8(TO)兩點,且C(0,8),

,2

??OC=8,OB=4fPE=—in—2m+8,OE=-m,EB=m+4,

??SBPC=SlJq邊形BPCO-Sbco=Mq邊形PCOE÷SBPE—SBCO

=∣(PE+OC)×OE+-PE×BE--OBxOC

22

=-PE×OE+-OC×OE+-PE×BE--OBxOC

2222

=-PE×OB+-OC×OE--OB×OC

222

?

2

=-2∕n2-8m=-2(∕n+2)^^+8,

故當(dāng)"?=-2時，S△嘰取得最大值，且為8,此時產(chǎn)(-2,8).

【點評】本題考查了待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的解析式，構(gòu)造二次函數(shù)

計算三角形的最值，熟練掌握待定系數(shù)法，靈活構(gòu)造二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

9.(1)2

3

(2)y=--X2+30x(0<x<40)

(3)當(dāng)X=20時，有最大值，最大值為300n√

【分析】(1)根據(jù)這三塊矩形區(qū)域的面積相等得到矩形AEFD的面積是矩形BCFE的2倍,

答案第25頁，共41頁

即可得到黑的值；

BE

(2)設(shè)BE的長為〃，則AE的長為2α,根據(jù)圍網(wǎng)的總長為80m,求出X之間的數(shù)量關(guān)系，

用含X的式子表示〃，再用矩形的面積公式即可得到)，與X之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求最值即可.

【解析】(1)解：；三塊矩形區(qū)域的面積相等，

；?矩形A￡7Z)的面積是矩形BCFE的2倍，

二2BCBE=EFAE,

；四邊形BCFE為矩形，

BC=EF,

/.AE=IBE,

.AE

.■——=2;

BE'

故答案為：2;

Ap

(2)解：B2,

設(shè)BE=a,貝IJAE=幼,AB=AE+BE=3a,

由題意，得：2X+2Q+3?2Q=80,

.?a=↑0--x,

4，

3

/.AB=30——%,

4，

'S矩形2=A8-8C=(3O-%>x,即丫=_:/+30天.

V?>0,gp:10-→>0,

Λx<40,

3

Λy=--x2+30x(0<x<40);

339

(3)^：Vy=-→2+30x=--(x-20)+3∞,

答案第26頁，共41頁

又:q<0,

???當(dāng)X=20時，)'有最大值，最大值為：300m2.

【點評】本題考查二次函數(shù)與幾何的實際應(yīng)用.正確的識圖，列出二次函數(shù)關(guān)系式，利用二

次函數(shù)的性質(zhì)，進行求解，是解題的關(guān)鍵.

10.(l)y=-x2+2x+3

27

(2)—

8

⑶(0,6)

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；

(2)先求出點C坐標(biāo)然后再根據(jù)待定系數(shù)法求出BC的解析式,設(shè)點尸坐標(biāo)為(x,-x+3),

則M點坐標(biāo)為(x,-f+2χ+3),點N坐標(biāo)為(x,0),用X表示出的面積，然后求出最

大值即可；

(3)先求出點。坐標(biāo)，連接8。并延長交與y軸于一點E,此時反-E”最大，求出直線8。

解析式，再求出與y軸的交點坐標(biāo)，即可得出答案.

【解析】(1)解：：拋物線y=τ2+fef+c與X軸交于A(To),B(3,0)兩點，

.∫-l-?+c=0

,*[-9+3?+c=0'

上[c=；3,

???拋物線的解析式為y=-X2+2x+3.

(2)解：將X=O代入y=-f+2κ+3得：5=3,

???點。的坐標(biāo)為(0,3),

設(shè)直線BC的解析式為y=h+m(LWO),代入8、C的坐標(biāo)得：

∫3?+∕w=0

[nt=3,

[k=-?

解得：&,

[m=3

答案第27頁，共41頁

???直線BC的解析式為：y=-x+3,

設(shè)點尸坐標(biāo)為(x,τ+3),則M點坐標(biāo)為(羽τ?+2%+3),點N坐標(biāo)為(x,0),

，PM=MN-PN—(-f+2%+3)-(-%÷3)=-x2÷3x

+gPM(??7p)

=^PM(xβ-xc)=∣PW=∣(-√+3Λ:)

327

÷一

28

327

J當(dāng)X=時，MBC的面積的最大值為M.

2o

(3)解：存在滿足條件的點E;點E的坐標(biāo)為(0,6),

,?,j=-x2+2x+3=-(X—1)^+4,

六頂點。(1,4),

連接BO并延長交與y軸于一點E,此時￡8-￡D最大，

設(shè)直線M的解析式為y=以+b"'rθ),把8(3,0),O(1,4)代入得：

(3k'+b'=0

]k'+b'=4'

k'=-2

解得：

b'=6

；?直線BQ的解析式為y=-2x+6

把X=O代入得:y=6

???點E坐標(biāo)為：(0,6),

答案第28頁，共41頁

【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，求一次函數(shù)解析式，求二次函數(shù)解析式，三

角形面積的計算，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，注意數(shù)形結(jié)合.

11.(↑)y=x2-2x-3

(2)M[?∣,-'],面積最大為1

(3)存在，點P的坐標(biāo)為1，蕓叵)或1，心誓?

【分析】(1)將B,C兩點坐標(biāo)代入y=χ2+feχ+c,利用待定系數(shù)法求解；

連接過作軸的垂線交于點,其中為

(2)BC,MXBCN,5raan54wc=SΔΛSC+5ΔΛ,8CSABC

定值，設(shè)M點坐標(biāo)為(X,Y-2X-3),則SMJC=,化為頂點式，即可求出最值；

(3)取BC中點。，過點。作拋物線對稱軸的垂線，垂足為Q,由直角三角形斜邊中線的

性質(zhì)可得PC=gBC=孚，設(shè)點P坐標(biāo)為。,〃)，利用勾股定理解RtZiPQO,求出〃的值

即可.

【解析】(1)解：把8,C兩點坐標(biāo)代入拋物線解析式可得[9"+3人+：=°,

[C=-3

解得"{b=3-2,

???拋物線解析式為y=∕-2x-3;

(2)解：如圖，連接BC,過M作X軸的垂線交BC于點N,

答案第29頁，共41頁

在y=χ2-2x-3中，令y=0,

解得X=T或x=3,

??.A點坐標(biāo)為(-1,0).

.*.AB=3-(-l)=4,且OC=3,

S.nr-?AB-OC=LX4x3=6

Λz>c22,

?.?B(3,0),C(0,-3),

???直線BC解析式為y=χ-3,

設(shè)M點坐標(biāo)為(x,f-2x-3),則N點坐標(biāo)為(x,x-3),

在第四象限，

ΛMN=x-3-^x2-2x-3^=-x2+3x,

?c1.λλ,八D3293「3Y27

△MBC222212)8

32715

???當(dāng)X=:時，SQMBC=*,X2-2X-3=~.

Zo4

；?當(dāng)M為寸，四邊形ABMC的面積有最大值，

2775

最大值S四邊形AW/c-SAABC+SAMZJC=6+w=亞~-

(3)解：存在.如圖，取BC中點。，過點。作拋物線對稱軸的垂線，垂足為Q,

答案第30頁，共41頁

在RtAOBC中，由勾股定理得BC=律S=30,

由題意,當(dāng)NZ爐C=90。時，PD=-BC=-,

22

易求n(∣,-∣),拋物線的對稱軸為直線χ=ι,

設(shè)點尸坐標(biāo)為,

313

'?DQ^--↑=-,PQ=n+^,

由PQ2+DQ2=PD-,得

解得q=和叵,〃2=夫叵

???點尸的坐標(biāo)為卜安亙卜,匚等'

【點評】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查求二次函數(shù)解析式，鉛垂法求三角形面積，二次函

數(shù)的最值，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，熟練

運用數(shù)形結(jié)合思想.

I3

12.(l)y=--x2+-x+2；點C的坐標(biāo)為(0,2)

⑵機=2+四或2-√Σ

⑶存在；∣√5

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；把K=O代入拋物線解析式，求出y

的值，即可得出點C的坐標(biāo)；

(2)連接OQ,根據(jù)點Q的橫坐標(biāo)為加，得出。(九-；/+,機+2),根據(jù)

SBCQ=SOCQ+SO"Q-SOBC,用,〃表示出ABCQ的面積，從而得出關(guān)于，〃的方程，解方程

即可；

(3試點。作Q"?L8C于H,先求出=聲=26