2023-2024學(xué)年江蘇省無錫市廣勤中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

2023年江蘇省無錫市廣勤中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末

試卷含解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

1.以橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為直徑的端點(diǎn)的圓與橢圓交于四個(gè)不同的點(diǎn)，順次連接這四個(gè)點(diǎn)和兩個(gè)

焦點(diǎn)恰好組成一個(gè)正六邊形，那么這個(gè)橢圓的離心率為（）

A.6-7區(qū)B.6一】c.2D.2

參考答案：

B

【分析】

設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為人,弓，圓與橢圓交于四個(gè)不同的點(diǎn)，設(shè)用瑪卜~，則

|M=c,此|=&.由橢圓的定義知斯=|圾|+|朋卜@c?c,根據(jù)離心率公式求

得答案.

【詳解】解：設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為4,4,圓與橢圓交于四個(gè)不同的點(diǎn)，

設(shè)用月|-2c,則鳥I=6c.

橢圓定義，得2x1T“KI+1"巴上de+c,

a=￡=—=抬—1

所以a5/3+1,

故選：B.

1

2.函數(shù)y=sinx-x的圖象大致是（）

▲

A.B.

c.D.

參考答案：

B

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的圖象.

【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用特殊函數(shù)值判斷

圖象即可.

【解答】解：函數(shù)y=sinx-T是奇函數(shù)，排除D,

L7T

2--

函數(shù)y'=cosx+x,xG(0,2)時(shí)，y，>0,函數(shù)是增函數(shù)，排除A,

712

并且x="T時(shí)，y=l-元>0,排除C,

故選：B.

71

3.已知向量|a|=l,|b|=2,<a,b>=3,則|a+卜為()

A.9B.7C.3D.V?

參考答案：

D

【考點(diǎn)】向量的模.

【分析】由向量的數(shù)量積運(yùn)算得讓+己I』￡+而2』.+2之行+/,把已知的數(shù)據(jù)代入

求解即可.

【解答】解：由題意得，G+EI=7(a+b)2=Va2+2a-b+b

jlI+2x1義2'xcosny-+4=、n

故選：D.

C://+2/=l甘

4.有一類雙曲線芭和橢圓3有相同的焦點(diǎn)，在其中有一雙曲線〃且過點(diǎn)

中.一3j.

7,則在K中任取一條雙曲線其離心率不大于A的概率為（）

11y/2

A.2B.3C.2D.亞

參考答案：

A

9

?z-a=i

由橢圓方程，易知雙曲線Ei中，c1,b?la2,又『1-a?,解得,雙曲線

111

Ei的離心率為％2,由題意，雙曲線E的離心率為a,則1'■，即2'一,

_1

又O<a<c=l,故所求概率為0-3,所以正確答案為A.

5.已知4也446歌,則下列命題中必然成立的是（）

ab

A.若a>4c>b則4>cB.若則工7

C.若a'>占',則a>&D.若i>-b,則c-a<c1?&

參考答案：

D

對(duì)于選項(xiàng)A.a與c的大小關(guān)系不確定；

ab

對(duì)于選項(xiàng)B,取a=Zb=Lc=-Ld=-3,滿足a>b,c>d,但不成立；

對(duì)于選項(xiàng)C,取==-Zb=-1,滿足標(biāo),但a>6不成立；

對(duì)于選項(xiàng)D,若。>也則一。<“則c-a<c?b,選項(xiàng)D正確，

故選D.

6.設(shè)向量a,6滿足：I=LIb\=2,a?（a+6）=0,則〃與6的夾角是

A.30°B.60°C.90°D.120°

參考答案：

D

7.已知”4則sin2x的值為（）

715±15

A.8B.16C,1<5D."16

參考答案：

A

.r*Sra7^x€（-1.??）

8.“a<l”是“x+1恒成立”的（）

A.充分且不必要條件B.必要且不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條

件

參考答案：

A

9.已知點(diǎn)和圓?必=0,過點(diǎn)P作圓c的切線有兩條，則左的

取值范圍是（）

s皚（岑.第（一卒。

A.RB.3c.33D.3

參考答案：

C

-1+4+k+4+k2>O,k2+4-4k2>0：?--<k<—

由題意得點(diǎn)二在圓「外33,選C.

a+i1

10.已知而與=b（1+i）（其中i為虛數(shù)單位，a,beR）,則a等于（）

1

A.-2B.2C.-1D.2

參考答案：

D

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)相等的充要條件.

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù).

分析：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.

a+i_11

解答：解：由1+i2=b(1+i)得a+i-2(1+i)=b(1+i)(1+i)=2bi.

11

即a-2+2i=2bi.

11

則a-2=0且2=2b,

11

解得a=2,b=4,

故選：D.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)數(shù)的計(jì)算，根據(jù)復(fù)數(shù)相等建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.命題”?xCR,x=sinx”的否定是.

參考答案：

?xGR,xWsinx

12.若函數(shù)f(x)=-2x3+2tx〉l存在唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為.

參考答案:

3

t>-2

【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理.

【分析】求解導(dǎo)數(shù)f'(x)=-6x2+4tx,分類討論得出極值點(diǎn),

根據(jù)單調(diào)性判斷極值的大小，即可得出零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【解答】解：(x)=-2x3+2tx2+l,

/.fz(x)=-6x2+4tx=0,

2t

x=0,x=3

(1)當(dāng)t=0時(shí)，f(x=-2x'+l單調(diào)遞減，

f(0)=1>0,f(2)=-15<0

???存在唯一的零點(diǎn)，是正數(shù).

(2)當(dāng)t>0時(shí)，

f7(x)=-6x2+4tx>0,即03

2>21

f'(x)=-6x2+4tx<00,即x<0,x3

2t

；.f(X)在(-8,0),(3,+8)單調(diào)遞減

2t

在(0,T)單調(diào)遞增

2t

極大值f(3)>f(1),極小值f(0)=1>0,

存在唯一的零點(diǎn)，

(3)當(dāng)t<0時(shí),

2t

f'(x)=-6x2+4tx>0,即3<x<0

2t

fz(x)=-6x2+4tx<00,即x<3,x>0

2t

；.f(x)在(-8,3),(0,+8)單調(diào)遞減

2t

在(與，0)單調(diào)遞增

2t

，極小值f（與）<f（1）,極大值f（0）=l>0,

2t

?.?只需極小值f（3）>0即可，

8t3

27+1>0,且t<0

3

-2<t<0,

3

綜上：-2Vt<0,或t20

3

故答案為：t>-2

13.已知函數(shù)，（耳=2;則在［0,10］內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)。，使得，（馬）216的概率

是-

參考答案：

0.6

14.復(fù)數(shù)〃-加+刁+面-4、（i是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為.

參考答案：

1

略

15.過圓外一點(diǎn)F'作圓的切線尸4（只為切點(diǎn)），再作割線PBC依次交圓于B,C.

若EX=6,A<=8,B<=9,則4生.

參考答案：

4

TAPAB與APCA相似，"=—=——--=—=—,PB=3,AB==4

PCPACAPB+968

16.若直線/：ax+”=1與圓C：/+V=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且點(diǎn)P的坐標(biāo)為

（°?）,則點(diǎn)尸與圓「的位置關(guān)系是

參考答案：

戶在圓外

17.將1衛(wèi)二夕這9個(gè)數(shù)學(xué)填在如圖的9個(gè)空格中，要求每一行從左到右，每列從

上到下分別依次增大，當(dāng)4固定在圖中的位置時(shí)，填寫空格的方法數(shù)為一種（用數(shù)

字作答）；

參考答案：

12

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.（本小題滿分13分）

已知為等差數(shù)列，且?出+/=12.（I）求數(shù)列3；的通項(xiàng)公

式；（II）記匕』的前附項(xiàng)和為號(hào)，若為?&成等比數(shù)列，求正整數(shù)上的值。

參考答案：

f2.+2d=8

（I）設(shè)數(shù)列以｝的公差為d,由題意知12al+"=12解得勺=2/=2

所以4=%+（"IM=2+2（M-1）=2n

如咄=如型

（II）由（I）可得22因成等比數(shù)

列，所以乙從而（冽'=2#+2）（上+3）,即二一$七_(dá)6=0

解得尢=6或七=T（舍去），因此七=6

19.（本小題滿分12分）如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的投籃命中次

數(shù)，乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以X表示.

甲組乙組

970x89

1110

35

(I)如果乙組同學(xué)投籃命中次數(shù)的平均數(shù)為了，求X及乙組同學(xué)投籃命中次數(shù)的方

差；

(II)在(I)的條件下，分別從甲、乙兩組投籃命中次數(shù)低于10次的同學(xué)中，各隨機(jī)選

取一名，求這兩名同學(xué)的投籃命中次數(shù)之和為17的概率.

參考答案：

a_H2

(1)x=8,方差16.(2)3.

【解析】

8

試通分析：（1）由，=x+8+9+lO=

拳e

<2>記甲組投宣命中;欠覺低于10次的同學(xué)為4.4,他們的命中次H吩砌9.T.

乙組投望命中次鼓低于10次的麗9瑪，身.為,他們的命中;溫吩曬8,8,9.

依國(guó)讖,不同的選取方法有：

（44M4M（44）,（&易）<44）.《&鳥）共e冷.—9分

設(shè)“這兩名同學(xué)0W望命中次射之和為為事件c,硝C中恰含有（4.A）.（4.易）共2神.

由古曲餐型K事的計(jì)■公式可傅.

試UH折，（1）休JB■得:，=二+1：9+10=?,第陽(yáng)x=8.-------------3分

44

<2>記甲組投溫命中;逢低于10次的同學(xué)為4.4>,他們的合中次f吩極）為T.

乙蛆投籃命中次H低于10次的同學(xué)為町號(hào).即他們的命中;城分別為8,8,9.

依附■，不同的選取方法胃：

（44）.（44）<4㈤，（&A）.《小，》（4鳥》共6ff.—0分

設(shè)“這兩名同學(xué)的投籃命中次M之和為n"為事件c,則c中恰含有（4.4）.（4.與）#2稗.

.?汽C）=".-------------12分

63

考點(diǎn)：基葉圖，方差，古日默曼微率的計(jì)翼.

20.（本題滿分12分）

為了研究某種農(nóng)作物在特定溫度下（要求最高溫度*滿足：27°CLJ'3=<:）的生長(zhǎng)狀

況，某農(nóng)學(xué)家需要在十月份去某地進(jìn)行為期十天的連續(xù)觀察試驗(yàn).現(xiàn)有關(guān)于該地區(qū)10月

份歷年10月份日平均最高溫度和日平均最低溫度（單位：C）的記錄如下:

30

?平均?工」及

?平均量備溫度

(I)根據(jù)本次試驗(yàn)?zāi)康暮驮囼?yàn)周期，寫出農(nóng)學(xué)家觀察試驗(yàn)的起始日期.

(II)設(shè)該地區(qū)今年10月上旬(10月1日至10月10日)的最高溫度的方差和最低溫度的

方差分別為估計(jì)A?烏的大小？(直接寫出結(jié)論即可).

(III)從10月份31天中隨機(jī)選擇連續(xù)三天，求所選3天每天日平均最高溫度值都在之間的

概率.

參考答案：

見解析

考點(diǎn)：概率綜合

解：(I)農(nóng)學(xué)家觀察試驗(yàn)的起始日期為7日或8日.

(II)最高溫度的方差大.

(III)設(shè)“連續(xù)三天平均最高溫度值都在之間”為事件A,

則基本事件空間可以設(shè)為Q=((LZ3),(2J4),Q4,5),…<29,20,31?,共計(jì)29個(gè)基本事件

由圖表可以看出，事件A中包含10個(gè)基本事件，所以29,

10

所選3天每天日平均最高溫度值都在之間的概率為方

2L設(shè)函數(shù)〃加.2嗎）d）的圖象過點(diǎn)喉T.

吟10?r

（I）求”門的解析式；（II）已知1212；13,2，求

（3吟

I4）的值.

參考答案:

解（I）"⑺的圖象過點(diǎn)U2）,：.I⑴I123；2

.../=2(3分)

/(x)=2sin(2x+g

故/。）的解析式為（5分）

a.a兀、刀]c.f八10