2023-2024學(xué)年天津黃花店中學(xué)高一年級上冊數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

2023年天津黃花店中學(xué)高一數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

1.（5分）已知函數(shù)①y=sinx+cosx,②y=2?sinxcosx,則下列結(jié)論正確的是（）

兀

A.兩個函數(shù)的圖象均關(guān)于點（-0）成中心對稱

71

B.①的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴大為原來的2倍，再向右平移N個單位即得②

.K

c.兩個函數(shù)在區(qū)間（-N,T）上都是單調(diào)遞增函數(shù)

D.兩個函數(shù)的最小正周期相同

參考答案：

C

考點：兩角和與差的正弦函數(shù)；二倍角的正弦；正弦函數(shù)的單調(diào)性；正弦函數(shù)的對稱性.

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).

分析：①函數(shù)解析式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡為一個角的正弦函數(shù)；②函數(shù)解

析式利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡為一個角的正弦函數(shù)，然后分別對各項判斷即可.

解答：?y=sinx+cosx=V2sin(x+4),②y=2V^sinxcosx=V^sin2x,

Knn

A、①中的函數(shù)令x+4=kn(keZ),解得：x=kn-4(k￡Z),故(-4,0)為函

數(shù)對稱中心；

k兀兀

②中的函數(shù)令2x=kn（kez）,解得：x=2（keZ）,故（-4,0）不是函數(shù)對稱中

心，本選項錯誤；

.1

B、①向右平移N個單位，再縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴大為原來的工倍，即得②，本選項錯

誤；

冗71K3冗冗

C、①令-2+2k兀Wx+4W2+2k兀（k￡Z）,解得：-4+2k兀WxW4+2k兀，故函

nn

數(shù)在區(qū)間（-彳，N）上是單調(diào)遞增函數(shù)；

兀71兀兀

②令-2+2knW2xW2+2kr（keZ）,解得：-4+k兀WxW4+k兀，故函數(shù)在區(qū)間

.n

（-T,T）上是單調(diào)遞增函數(shù)，本選項正確；

D、①:0=1,AT=2JT；

②???G）=2,??.T二兀，本選項錯誤，

故選C

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)

性及周期性，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.

2.（5分）設(shè)全集U是實數(shù)集R,集合后{x，>2x},N={x|log2（x-1）20},則（?剛）

GN為（）

A.{x|l<x<2}B.{x|lWxW2}C.{x|lVxW2}D.

{x11WxV2}

參考答案：

C

考點：交、并、補集的混合運算.

專題：集合.

分析：分別求出M與N中不等式的解集，確定出M與N,根據(jù)全集U=R,求出M的補集,

找出M補集與N的交集即可.

解答：由M中的不等式變形得：x2-2x>0,即x(x-2)>0,

解得：x>2或x<0,

；.M={x|x>2或x<0},

;全集U=R,

...?iM={x|0WxW2},

由N中的不等式變形得：log2(x-1)W0=log21,

得至lj0<x-1W1,

解得：1VXW2,即N={x|lVxW2},

----1__I_!-------i—?~~?-?—

-S-4-012245

則(??M)CN={x[l<xW2}.

故選：C.

點評：此題考查了交、并、補集的混合運算，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵.

3.&4BC中，三邊長分別為、￡、6、G,且/?/=/,則A/2C的形狀為

()

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角

形D.無法判斷

參考答案：

A

4.已知函數(shù)/口)=1]〃2"，正實數(shù)肛門滿足冽〈門且/(用)=」(冷，若/CO在區(qū)間

1小?網(wǎng)上的最大值為2,則犯"的值分別為（）

),2\,214

A.2B.2C.4D.4

參考答案：

A

/

=sm2x-

5.為了得到函數(shù)6J的圖像，可以將函數(shù)y='x的圖

像

()

nnnn

A向右平移6B向右平移3C向左平移6D向左平移3

參考答案：

略

6.將函數(shù)‘一'1不’的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，再向右平移了個單

位，得到的函數(shù)圖象的一個對稱中心為（）

*期。期

A.16B.9C.4D.

（亍°）

參考答案：

D

..X.

由題意，將函數(shù)V的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得再向右平移

三yMn：x乂=些

6個單位，得‘J【由2xkMkeZ）,得'2,當(dāng)k1時，得函數(shù)門的

-0

一個對稱中心為匕1,故正確答案為D.

V=stn（2x+—）

7.函數(shù)3的圖象是（）

A.關(guān)于原點成中心對稱B.關(guān)于，'軸成軸對稱

（—,0）x=—

C.關(guān)于點12成中心對稱D.關(guān)于直線12成軸對稱

參考答案：

D

略

8.（3分）已知集合0,2},B={x|-1<XW4},則ACB=（）

A.{-1,0}B.{-1,0,2}C.{0,2}D.{-1,2}

參考答案：

C

考點：交集及其運算.

專題：集合.

分析：根據(jù)集合的基本運算進行求解即可.

解答：VA={-1,0,2],B={x[-l<x<4},

/.AnB={0,2},

故選：C

點評：本題主要考查集合的基本運算，比較基礎(chǔ).

9.已知函數(shù)f（x）=J??2+m+l的定義域是一切實數(shù)，則m的取值范圍

是（）

A.0〈m<4B.OWmWlC.m2

4D.0WmW4

參考答案：

D

10.已知點A(0,1),B(3,2),向量CA=(4，3),則向量前=()

A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)

參考答案：

A

【考點】9J：平面向量的坐標(biāo)運算.

■一.?..

【分析】利用向量BOBA+AC即可得出.

【解答】解：向量BC=BA+AC=(-3,-1)+(-4,-3)=(-7,-4).

故選：A.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

IlA=｛x|?+4x=0),B=M』+2(a_Dx+J_l=0pl*nS=B,求實數(shù)

的取值范

圍。

參考答案：

21.解，AF(O-4)-V-----------------、，2分

A=4(a-1)a-4(aa-1)=-8a+8

(。△〈時，B=的即aAl

(2)A=OB^.為⑹，即a=l儂

(3).“阿，即”1,此時｛:1=｛：33無解------1粉

綜上a21--------------------------------------------------------------］汾

略

12.設(shè)函數(shù)/(x)=cosx,則/(1)+/(2)+/(3)+…+/(2013)+/(2014)=。

參考答案：

2

略

13.給出下列語句：

①若弧力為正實數(shù)，，,則卜曲'；

a￥ma

②若4"?為正實數(shù)，a<b,則b+mb；

ab

③若？？，貝但>?;

xe(Q.-)-*+/-.后

④當(dāng)2時，sax的最小值為2、/2,其中結(jié)論正確的是.

參考答案：

①③.

【分析】

利用作差法可判斷出①正確；通過反例可排除②；根據(jù)不等式的性質(zhì)可知③正確；根據(jù)x

的范圍可求得由IX的范圍，根據(jù)對號函數(shù)圖象可知④錯誤.

［詳解］①"L—Wb—ab，

?:a*b,為正實數(shù)..(a*f>0a+b>Q

一d+y-db-#〉。，即xPb+W,可知①正確；

a^m21a

②若a-l,b=2,iw=l,則b+iw32b,可知②錯誤；

aba,占,

③若c'c’,可知。？>0,則c'c'，即a>J,可知③正確；

④當(dāng)(,z)時，s?x€(0.1)由對號函數(shù)圖象可知：""曰2—⑶*"),可知④

錯誤.

本題正確結(jié)果：①③

【點睛】本題考查不等式性質(zhì)的應(yīng)用、作差法比較大小問題、利用對號函數(shù)求解最值的問

題，屬于常規(guī)題型.

14.已知'=(L2),且3與否的夾角為銳角，則實數(shù)尤的取值范圍是

___________________O

參考答案：

4<1且4工?4

15.函數(shù)/(工)=戊》工-1的定義域為.

參考答案：

[J+*r^+4rM*eZ)

2

ba------

16.在三角形ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若ab°C0SV,則a"+b”

的值是______.

參考答案：

2

3

【考點】HR：余弦定理.

【分析】利用余弦定理，化簡已知等式，整理即可得解.

旦e=6cosC

【解答】解：?；ab

ab=6X2ab,整理可得：3c2=2(a2+b2),

2

—2

a2z+b2=—3.

2

故答案為：行.

【點評】本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

17.已知數(shù)列｛詼｝的前〃項和滿足&='一2|?卜eM),則“

參考答案：

5

【分析】

利用is■一求得4,進而求得■的值.

［詳解］當(dāng)n=l時，q='=-l,當(dāng)“N2時，4=4_&4=5-3,當(dāng)"=］時上式

也滿足，故＜%｝的通項公式為，="3,故"8-3=5.

【點睛】本小題主要考查已知名求4,考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.(12分)如圖，四棱錐P-ABCD中，PAL底面ABCD,PCXAD.底面ABCD為梯形，

AB〃DC,AB±BC,PA=AB=BC,點E在棱PB上，且PE=2EB.

(1)求證：平面PAB_L平面PCB；

(2)求證：PD〃平面EAC.

參考答案：

考點：平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定.

專題：證明題.

分析：(1)根據(jù)PAL底面ABCD,得到PAJ_BC,結(jié)合ABJ_BC,可得BC,平面PAB.最后

根據(jù)面面垂直的判定定理，可證出平面PABJ_平面PCB.

(2)利用線面垂直的性質(zhì)，可得在直角梯形ABCD中ACJ_AD,根據(jù)題中數(shù)據(jù)結(jié)合平行線分

線段成比例，算出DC=2AB,從而得到4BPD中，PE：EB=DM：MB=2,所以PD〃EM,由線面

平行的判定定理可得PD〃平面EAC.

解答：(1)：PA_L底面ABCD,BC?底面ABCD,Z.PA1BC,

又：AB_LBC,PAAAB=A,；.BC_L平面PAB.

BC?平面PCB,平面PAB_L平面PCB.

(2)：PA_L底面ABCD,/.AC為PC在平面ABCD內(nèi)的射影.

又：PC_LAD,；.AC_LAD.

,n

BAC=—

在梯形ABCD中，由ABLBC,AB=BC,得~4,

.ZDCA=ZBAC=—

??3?

又???ACLAD,故ADAC為等腰直角三角形.

DC=V2AC=V2(V2AB)=2AB

M^DC

連接BD,交AC于點M,則由AB〃CD得：MBAB二

PE_DM

在ABPD中，所以PD〃EM

又；PD?平面EAC,EM?平面EAC,

；.PD〃平面EAC.

點評：本題給出底面是直角梯形的四棱錐，求證線面平行和面面垂直，著重考查了空間線

面平行的判定定理、線面垂直的判定與性質(zhì)和面面垂直的判定等知識，屬于基礎(chǔ)題.

19.已知百=4,自=3/2o—3萬”鹵+總=61,

⑴求方?『的值；(2)求占與'的夾角0.

參考答案：

竺

解:(1)-6(2)3

略

20.如圖，在等腰直角三角形。尸。中，々0。=90匕°尸=動,點M在線段P。上.

0

⑴若a/=后求PM的長；

(2)若點N在線段MQ上，且-49"-30°,求△。肱v的面積.

參考答案：

⑴"=1或*=3；⑵8-4旨

【分析】

(1)在AOMP中，由題設(shè)條件及余弦定理得，OM2=Op2+Mp2-2?OP?MPcos45。，解得MP

即可；(2)在AOMP中，由正弦定理求出OM,同理求出ON,即可求出三角形的面積.

【詳解】⑴在3"中,N%=4501=6,OP=25,

由余弦定理得1'=/+皿一2XOFXMPXBS45。

得W-4Mp+3=0,解得MP=】或“？=3

0Mop

(2)在AOMP中，由正弦定理，得9BZOPM-,