2023年全國初中數(shù)學(xué)競賽模擬卷（三）（學(xué)生版+解析版）

專題53全國初中數(shù)學(xué)競賽模擬卷(三)

—hyTH—1

L若關(guān)于x的方程.=有有絕對值相同,符號相反的兩個根,則優(yōu)的值應(yīng)為()

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，多邊形OABCDE的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O(0,0),A(0,6),B(4,6),C

(4,a),D(6,a)和E(6,0).若直線/：y=-%+學(xué)將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分，

貝ija—()

23

3.已知直角三角形的三邊長都是整數(shù)，且其面積與周長在數(shù)值上相等，若將全等的三角形都作為同一個,

那么這樣的直角三角形的個數(shù)是個.

4.若a、b、c均為整數(shù)，且滿足(a-b)2+(a-c)2—1,貝Ua-b\+\b-c\+\a-c\—.

5.已知二次函數(shù)y=2?+b"l(b為常數(shù))，當(dāng)6取不同的值時，其圖象構(gòu)成一個“拋物線系”，圖中的實(shí)線

型拋物線分別是b取三個不同的值時二次函數(shù)的圖象,它們的頂點(diǎn)在一條拋物線上(圖中虛線型拋物線),

這條拋物線的解析式是.

6.如圖，z^ABC中，AB=AC,點(diǎn)P、Q分別在AC、AB上，且AP=PQ=QC=BC,則NA的大小是

7.如圖，PA切?0于點(diǎn)A,PE交。0于點(diǎn)F、E,過點(diǎn)A作ABLP0于點(diǎn)D,交。O于點(diǎn)B,連接DF,

8.已知正整數(shù)x,y滿足2沖+》+?=117,求x+y的值.

9.如圖，四邊形ABCD是正方形，4ABE是等邊三角形，M為對角線BD(不含B點(diǎn))上任意一點(diǎn)，將

BM繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接EN、AM、CM.

(1)求證：AAMB之ZSENB；

(2)①當(dāng)M點(diǎn)在何處時，AM+CM的值最??；

②當(dāng)M點(diǎn)在何處時，AM+BM+CM的值最小，并說明理由；

(3)當(dāng)AM+BM+CM的最小值為2鹵+2時，求正方形的邊長.

E-

RC

10.如圖，ZiABC是鈍角三角形，ZA>90°,。。是AABC的外接圓，直徑PQ恰好經(jīng)過AB的中點(diǎn)M,

PQ與BC的交點(diǎn)為D,NCDO=45。，/為過點(diǎn)C圓的切線，作DE，/,CF也為圓的直徑.

(1)證明：△CFBs^DCE.

(2)已知的半徑為3,求AD?+CD2的值.

11.已知：四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為邊AD、AB上的點(diǎn)，連接BE、DF相交于點(diǎn)G,且滿足/ADF

=ZABE

(1)如圖1,若DE=BG=〃，cos/AEB=(,GE=3,求AE的長(用含〃的代數(shù)式表示)；

(2)如圖2,若ABCD為矩形，G恰為BE中點(diǎn)，連接CG,AE=L作點(diǎn)A關(guān)于BE的對稱點(diǎn)A',A'

到CG的距離為這，求DE的長.

4

12.已知：拋物線丫=—+公+。(a#0),頂點(diǎn)C(1,-3),與x軸交于A,B兩點(diǎn)，A(-1,0).

(1)求這條拋物線的解析式；

(2)如圖，以AB為直徑作圓，與拋物線交于點(diǎn)D,與拋物線對稱軸交于點(diǎn)E,依次連接A,D,B,E,

點(diǎn)P為線段AB上一個動點(diǎn)(P與A,B兩點(diǎn)不重合)，過點(diǎn)P作PM_LAE于M,PN_LDB于N,請判斷

PMPN

+77是否為定值？若是，請求出此定值；若不是，請說明理由；

BEAD

(3)在(2)的條件下，若點(diǎn)S是線段EP上一點(diǎn)，過點(diǎn)S作FGLEP,FG分別與邊AE,BE相交于點(diǎn)

DACC

F,G(F與A,E不重合，G與E,B不重合)，請判斷——=—是否成立？若成立，請給出證明；若不

PBEG

成立，請說明理由.

專題53全國初中數(shù)學(xué)競賽模擬卷(三)

—hyTH—1

1.若關(guān)于X的方程----=——有絕對值相同，符號相反的兩個根，則根的值應(yīng)為()

ax-cm+1

1a-ba+b

A.cB.-C.------D.------

ca+ba-b

【解答】解：去分母得：(/-bx)(m+1)={ax-c)("7-1),

2

整理得：(加+1)，-b(w+l)x—cuwc-ax-cm+cf即(/n+1)x-(bin+b+a-am)x+cni-c=0,

由方程有絕對值相同，符號相反的兩個根，得至lj。團(tuán)+。+〃m-。=0,

整理得：”=鬻，

故選：C.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，多邊形OABCDE的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O(0,0),A(0,6),B(4,6),C

(4,a),D(6,“)和E(6,0).若直線/：y=-#+學(xué)將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分,

23

【解答】解：設(shè)直線/：>'=一營+苧將多邊形OABCD的邊交于點(diǎn)F、G兩點(diǎn),

當(dāng)x=0時，y==-1x+學(xué)=*

.,.FO邛

當(dāng)彳=6時，y=—g+=［，

7

AGE=4f

?115733

S四邊形OFGE=2X(彳+彳)X6=

?..直線/：y=-%+苧將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分,

?33

；?S多邊形OABCDE=2S四邊形OFGE=2X攵-=33，

???4X6+2。=33,

解得a—

故選：A.

3.已知直角三角形的三邊長都是整數(shù)，且其面積與周長在數(shù)值上相等，若將全等的三角形都作為同一個,

那么這樣的直角三角形的個數(shù)是2個.

【解答】解：設(shè)兩條直角邊為小b,斜邊為c,

則面積周長/=a+〃+c,a2+b2=c2；

又?.?2而=(a+b)2-(J+廿)=(a+b)2-c2=(a+b+c)(a+b-c)

1I

-ab=7(a+b+c)(a+b-c),

24

1

?.?-〃b=a+b+c,

2

(〃+b+c)(a+b-c)/4=a+b+c

1

A-(a+b-c)=1,

4

-c=4,

毋=2=(a+b-4)2=a2+/?2+16-8a-Sb+2ab

：.16-8a-8〃+2。。=0,

BPcib-4a-4b+8=0,

即(a-4)(b-4)=8,

又???邊長為整數(shù)，

/.a-4=1,2,4,8,~1r-2,-4,-8

：.a=5,6,8,12,3,2,0,-4

又,?Z>0,

：.a=5,6,8,12,2,3,

工人=12,8,6,5,2,-4,

又Ta,b,c都是整數(shù),

???有兩種直角三角形，

分別是6,8,10和5,12,13；

故答案為2.

4.若〃、b、c均為整數(shù)，且滿足(a-h)2+(q-c)2=1,則|a-“+|b-c|+|a-c|=2

【解答】解：因?yàn)樾。均為整數(shù)，所以a-人和a-c均為整數(shù),

可得或『

從而由(a-b)2+(a

(|a-c|=0(|a—c|=1

\a-b\=1

若〔則

|a-c|=0

從而\a-b\^\b-c\^\a-c\=\a-b\+\b-a\-^a-a\=2\a~b\=2.

從而Ia-h\^\h-c\+\a-c\=a\^\a-c\^\a-c\=2a-c\=2.

因此，\a-b+b-c\^\a-c\=2.

故答案為：2.

5.已知二次函數(shù)y=2?+公+1（h為常數(shù)），當(dāng)6取不同的值時，其圖象構(gòu)成一個“拋物線系”，圖中的實(shí)線

型拋物線分別是b取三個不同的值時二次函數(shù)的圖象，它們的頂點(diǎn)在一條拋物線上（圖中虛線型拋物線）,

h8—匕2

【解答】解：???y=2?+法+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-去—）,

:.b=-4x，

.8-b28-(-4x)2,,

?.y=-g-=-g一=1-2o/.

所求解析式為：y=1-2A2,即y=-2，+l.

故答案為：y=-2?+l.

[RO

6.如圖，AABC中，AB=AC,點(diǎn)PO分別在AC、AB上,且AP=PO=OC=BC,則NA的大小是(寧)。

o

BL---------

【解答】解：VAB=AC,AP=PQ,QP=QC,QC=BC,

/.ZABC=ZACB,ZA=ZAQP,ZQPC=ZQCP,ZBQC=ZB（等邊對等角），

設(shè)/A=x°,則NAQP=x°,

；在AAQP中，NQPB是外角，

.../QPC=NA+/AQP=2x°（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）,

V^EABCQ中，ZBQC是外角，

.,.ZBQC=ZACQ+ZA（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和），

，/BQC=3x°,

：.ZB=3x°，

；./ABC=3x°,

?.,在AABC中，ZA+ZACB+ZB=180°,

：.x°+3x°+3x°=180°（三角形三個內(nèi)角的和等于三0°）,

180

解得x=（一）

7

180

/.ZA=（一）

7

7.如圖，PA切。O于點(diǎn)A,PE交。O于點(diǎn)F、E,過點(diǎn)A作ABJ_PO于點(diǎn)D,交。0于點(diǎn)B,連接DF,

【解答】解：連接OE,如圖,

VAB1PO,

AZADO=90°,

在RfZ\ADO中，s加NDAO=^=

設(shè)OD=2x,OA=3x,

〈PA切。。于點(diǎn)A,

AOA1PA,

AZAPO=ZOAD,

nA?

在RMSAPO中，5/nZAPO=^=1,

39

OP=x3x=*

VZAPD=ZOPA,

.'.RrAPAD^RrAPOA,

APD：PA=PA：PO,即PA2=PD?PO,

?；PA切。O于點(diǎn)A,PE交。。于點(diǎn)F、

;.PA2=PF?PE,

/.PD-PO=PF?PE,即PF：PO=PD：PE,

而/DPF=NEPO,

AAPDF^APEO,

.DFPF

?.—―,

OEPO

9Xa

.??PF=1-?DF=^DF,

3x2

而PE=5DF,

PF3

?*PE一SDF-10,

8.己知正整數(shù)x,y滿足2xy+x+y=117,求x+y的值.

【解答】解：???2xy+x+y=117,

,117—X]HT殂j116

?沙=石不丁之1'可得xW丁,

結(jié)合正整數(shù)的條件可得旨Z或肩：23'

.??x+y=25?

9.如圖，四邊形ABCD是正方形，4ABE是等邊三角形，M為對角線BD(不含B點(diǎn))上任意一點(diǎn)，將

BM繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得至UBN,連接EN、AM、CM.

(1)求證：△AMBgZ\ENB；

(2)①當(dāng)M點(diǎn)在何處時，AM+CM的值最??；

②當(dāng)M點(diǎn)在何處時，AM+BM+CM的值最小，并說明理由；

(3)當(dāng)AM+BM+CM的最小值為2百+2時，求正方形的邊長.

【解答】(1)證明：:△ABE是等邊三角形，

，BA=BE,/ABE=60°.

VZMBN=60°,

ZMBN-ZABN=ZABE-ZABN.

即/MBA=/NBE.

又；MB=NB,

.".△AMB^AENB(SAS).

(2)解：①當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時，A、M、C三點(diǎn)共線，AM+CM的值最小.②如圖，連接CE,

當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時，

AM+BM+CM的值最小.

理由如下：連接MN,由(1)知，AAMB^AENB,

；.AM=EN,

VZMBN=60°,MB=NB,

.,.△BMN是等邊三角形.

.\BM=MN.

AM+BM+CM=EN+MN+CM.

根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知，EC與BD的交點(diǎn)即為所求M點(diǎn)，使得EN+MN+CM取得最小值，最

小值為EC.

(3)解：過E點(diǎn)作EFLBC交CB的延長線于F,

.".ZEBF=ZABF-ZABE=90°-60°=30°.

設(shè)正方形的邊長為x,貝ljBF=,x,EF=5.

在R/AEFC中，

VEF2+FC2=EC2,

Xo73o1—0

...(-)2+(—x+x)2=(2V3+2)2.

22

解得xi=2a,X2--2V2(舍去負(fù)值).

.?.正方形的邊長為2VL

10.如圖，Z\ABC是鈍角三角形，ZA>90°,。。是aABC的外接圓，直徑PQ恰好經(jīng)過AB的中點(diǎn)M,

PQ與BC的交點(diǎn)為D,ZCDO=45°,/為過點(diǎn)C圓的切線，作DE_U,CF也為圓的直徑.

(1)證明：△CFBs/XDCE.

(2)已知。。的半徑為3,求AD?+CD2的值.

【解答】解：(I)YCF也為圓的直徑，

AZCBF=90°,

VDE±/,

.,?ZDEC=90°,

二/DEC=NCBF,

為過點(diǎn)C圓的切線，PQ是。O的直徑,

ACFICE,

；.DE〃CF,

/CDE=NBCF,

/.△CFB^ADCE；

(2)：PQ是。O的直徑，直徑PQ恰好經(jīng)過AB的中點(diǎn)M,

APQ垂直平分AB,

.?.AD=BD,

.,.ZADQ=ZBDQ,

VZBDQ=ZCDP=45°,

AZADB=90°,

AZADC=90°,

.,.AD2+CD2=AC2,

VAD=BD,ZADB=90°,

AZABD=45°,

連接AF,

/.ZAFC=ZABC=45°,

...△ACF是等腰直角三角形，

.,.AC=^CF,

?.?(DO的半徑為3,

；.CF=6,

；.AC=3VL

.*.AD2+CD2=AC2=18.

11.已知：四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為邊AD、AB上的點(diǎn)，連接BE、DF相交于點(diǎn)G,且滿足NADF

=/ABE

(1)如圖1,若DE=BG=〃，cos/AEB=|,GE=3,求AE的長(用含〃的代數(shù)式表示)；

(2)如圖2,若ABCD為矩形，G恰為BE中點(diǎn)，連接CG,AE=1,作點(diǎn)A關(guān)于BE的對稱點(diǎn)A',A'

到CG的距離為不求DE的長.

B

cB

【解答】解：(1)作GH_LAD于H,AUBETI,

2

VGE=3,esNAEB=(,

，EH=2,HG=V5,

設(shè)AE=3x,則EI=2x,Al=V5x,

AGI=3-2x,BI=BG+GI=〃+3-2AS

???DH=DE+EH=〃+2,

VZADF=ZABE,

AZDHG=ZAIB=90°,

.".△GHD^AAIB,

.DHHG

?.=，

BIAI

.zi+2V5

*n+3-2x\[5x'

九+3

解得:布,

3n+9

/.AE=3x=

n+4

(2)如圖2,連接AA‘交BE于M,連接AG,作A'N_LCG于N,

???四邊形ABCD為矩形，G恰為BE中點(diǎn),

，CG=DG,

AZGCD=ZGDC,

/.ZBCG=ZADG=ZABE=90°-ZCBG,

AZBCG+ZCBG=90°,

ACGIBE,

VAA/±BE,A'N±CG,

???四邊形MA'NG是矩形，

.,.GM=A,N=￥，

設(shè)ME=x,則AG=BG=GE=X+]VL

.,.AM2=AG2-GM2=AE2-EM2=(x+孥)2-(-V2)2=1-7,

解得:尸?，

；.BG=GE=ME+GM=A/2,

ABE=2V2,

VZABE=ZBCG,NBAE=/BGC=90°,

AAGCB^AABE

.BCBG

??~,

BEAE

.BCy[2

,寶=T'

解得：BC=4,；.AD=BC=4,

.,.DE=AD-AE=4-1=3.

12.已知：拋物線y=o?+公+c(a￥0),頂點(diǎn)C(1,-3),與x軸交于A,B兩點(diǎn)，A(-1,0).

(1)求這條拋物線的解析式；

(2)如圖，以AB為直徑作圓，與拋物線交于點(diǎn)D,與拋物線對稱軸交于點(diǎn)E,依次連接A,D,B,E,

點(diǎn)P為線段AB上一個動點(diǎn)(P與A,B兩點(diǎn)不重合)，過點(diǎn)P作PMLAE于M,PNLDB于N,請判斷

PMPN

「+77是否為定值？若是，請求出此定值；若不是，請說明理由；

BEAD

(3)在(2)的條件下，