2023年廣東省初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)真題試卷

2023年廣東省初中學(xué)業(yè)水平考試中考數(shù)學(xué)真題試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（3分）（2023?廣東）負(fù)數(shù)的概念最早出現(xiàn)在我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中.如

果把收入5元記作+5元，那么支出5元記作（）

A.-57CB.0元C.+5元D.+10元

【考點(diǎn)】正數(shù)和負(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)常識(shí).

【答案】A

【分析】本題考查負(fù)數(shù)的概念問題，負(fù)數(shù)和正數(shù)是具有相反意義的量，收入和支出是一

對(duì)具有相反意義的量，進(jìn)而作答.

【解答】解：把收入5元記作+5元，

根據(jù)收入和支出是一對(duì)具有相反意義的量，

支出5元就記作-5元.

故答案為

【點(diǎn)評(píng)】本題考查負(fù)數(shù)和正數(shù)是具有相反意義的量，收入和支出是一對(duì)具有相反意義的

量，解題的關(guān)鍵是理解相反意義的含義，進(jìn)而作答.

【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形.

【答案】A

【分析】利用軸對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行分析即可.

【解答】解：選項(xiàng)8,C,。中的圖形都不能確定一條直線，使圖形沿這條直線對(duì)折，直

線兩旁的部分能夠完全重合，不是軸對(duì)稱圖形，選項(xiàng)”中的圖形沿某條直線對(duì)折后兩部

分能完全重合，是軸對(duì)稱圖形，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了軸對(duì)稱圖形，關(guān)鍵是掌握如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線

兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸.

3.（3分）（2023?廣東）2023年5月28日，我國自主研發(fā)的C919國產(chǎn)大飛機(jī)商業(yè)首航取

得圓滿成功.C919可儲(chǔ)存約升燃油，將數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.186X105B.1.86X105C.18.6X104D.186X103

【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法一表示較大的數(shù).

【答案】B

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aX10〃的形式，其中1〈同〈10,〃為整數(shù).確定〃

的值時(shí)，要看把原數(shù)變成。時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，〃的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相

同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值，10時(shí)，”是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，〃是負(fù)數(shù).

【解答】解：將用科學(xué)記數(shù)法表示為：1.86X105.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為。X10"的形式，其

中1W同＜10,〃為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及“的值.

4.（3分）（2023?廣東）如圖，街道與CD平行，拐角//8C=137°,則拐角/8CZ）=

【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì).

【答案】D

【分析】由平行線的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：?.75〃。，

:.NABC=NBCD=137°,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)解解題關(guān)鍵.

32

5.（3分）（2023?廣東）計(jì)算一+—的結(jié)果為（）

aa

1656

A.-B.——C.-D.一

aa~aa

【考點(diǎn)】分式的加減法.

【答案】C

【分析】本題考查同分母分式的加減法，分母不變，分子相加減.

32

【解答】解：一+—

aa

3+2

a

__5

a

故本題選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查同分母分式相加減，分母不變，分子相加減.解題的關(guān)鍵是類比同分

母分?jǐn)?shù)的相加減進(jìn)行計(jì)算即可.

6.（3分）（2023?廣東）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻(xiàn).優(yōu)選法中有

一種0.618法應(yīng)用了（）

A.黃金分割數(shù)B.平均數(shù)C.眾數(shù)D.中位數(shù)

【考點(diǎn)】黃金分割；算術(shù)平均數(shù)；中位數(shù)；眾數(shù)；統(tǒng)計(jì)量的選擇.

【答案】A

【分析】根據(jù)黃金分割的定義，即可解答.

【解答】解：我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻(xiàn).優(yōu)選法中有一種0.618

法應(yīng)用了黃金分割數(shù)，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割，算術(shù)平均數(shù)，中位線，眾數(shù)，統(tǒng)計(jì)量的選擇，熟練掌握

這些數(shù)學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

7.（3分）（2023?廣東）某學(xué)校開設(shè)了勞動(dòng)教育課程.小明從感興趣的“種植”“烹飪”“陶

藝”“木工”4門課程中隨機(jī)選擇一門學(xué)習(xí)，每門課程被選中的可能性相等.小明恰好選

中“烹飪”的概率為（）

【考點(diǎn)】概率公式.

【答案】c

【分析】直接利用概率公式可得答案.

【解答】解：?.?共有“種植”“烹飪”“陶藝”“木工”4門興趣課程，

二小明恰好選中“烹飪”的概率為』.

4

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率公式：隨機(jī)事件/的概率尸（/）=事件/可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)除

以所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).

8.（3分）（2023?廣東）一元一次不等式組《的解集為（）

[x<4

A.-l<x<4B.x<4C.x<3D.3<x<4

【考點(diǎn)】解一元一次不等式組.

【答案】D

【分析】求出第一個(gè)不等式的解集，再求出其公共解集即可.

【解答】解：\,

x<4

由不等式x-2>l得：x>3,

不等式的解集為3Vx<4.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是熟知解集的規(guī)律.

9.（3分）（2023?廣東）如圖，是。。的直徑，N8/C=50°,則/。=（）

【考點(diǎn)】圓周角定理.

【答案】B

【分析】由N8是。。的直徑，得//CB=90°,而NA4c=50°,即得N/8C=40°,

故NO=48C=40°,

【解答】解：?.18是。。的直徑,

4cB=90°,

AZBAC+ZABC^90°,

；N8/C=50°,

.?.48C=40°,

VAC=AC,

.?.ND=N48C=40°,

故選:S.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握直徑所對(duì)的圓周角是直角和同

弧所對(duì)的圓周角相等.

10.（3分）（2023?廣東）如圖，拋物線y=ax2+c經(jīng)過正方形O/8C的三個(gè)頂點(diǎn)Z,B,C,

點(diǎn)8在y軸上，則ac的值為（）

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；正方形的性質(zhì).

【答案】B

【分析】過/作軸于“，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到乙408=45°,得到4H=OH,

利用待定系數(shù)法求得。、c的值，即可求得結(jié)論.

【解答】解：過/作軸于4,

:四邊形48co是正方形，

408=45°,

AZAOH=45°,

：.AH=OH,

設(shè)NCm,m）,則8（012m）,

'2

.m-am+c

??<,

2m=c

c

解得am--1,m——,

2

：.ac的值為-2,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，根據(jù)圖象得出拋物線經(jīng)過的點(diǎn)的

坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分.

11.（3分）（2023?廣東）因式分解：x2-1=（x+1）（x-1）.

【考點(diǎn)】因式分解-運(yùn)用公式法.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】原式利用平方差公式分解即可.

【解答】解：原式=（x+1）（X-1）.

故答案為:（x+1）（X-1）.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解-運(yùn)用公式法，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵.

12.（3分）（2023?廣東）計(jì)算：J3xJ12=6.

【考點(diǎn)】二次根式的乘除法.

【答案】6.

【分析】本題考查二次根式的乘法計(jì)算，根據(jù)五*指=J茄和=a（a>0）進(jìn)行

計(jì)算，

【解答】解：方法一：

V3xV12

--^3x2V3

=2X3

=6.

方法二:

V3xV12

=73x12

=V36

=6.

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的計(jì)算，考查的關(guān)鍵是準(zhǔn)確運(yùn)用五xJF=J茄和

（a>0）進(jìn)計(jì)算.

13.（3分）（2023?廣東）某蓄電池的電壓為48%使用此蓄電池時(shí)，電流/（單位：/）與

48

電阻汽（單位：Q）的函數(shù)表達(dá)式為/.當(dāng)R=12Q時(shí)，/的值為4A.

R

【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的應(yīng)用.

【答案】4.

【分析】直接將R=12代入/=，48中可得/的值.

R

48

【解答】解：當(dāng)R=12。時(shí)，/=——=4（N）.

12

故答案為：4.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是反比例函數(shù)的應(yīng)用，掌握反比例函數(shù)的點(diǎn)的坐標(biāo)是解決此題的關(guān)

鍵.

14.（3分）（2023?廣東）某商品進(jìn)價(jià)4元，標(biāo)價(jià)5元出售，商家準(zhǔn)備打折銷售，但其利潤

率不能少于10%,則最多可打8.8折.

【考點(diǎn)】一元一次不等式的應(yīng)用.

【答案】8.8.

【分析】利潤率不能少于10%，意思是利潤率大于或等于10%,相應(yīng)的關(guān)系式為：（打折

后的銷售價(jià)-進(jìn)價(jià)）?進(jìn)價(jià)》10%,把相關(guān)數(shù)值代入即可求解.

【解答】解：設(shè)這種商品最多可以按x折銷售，

則售價(jià)為5X0.Lr,那么利潤為5X0.1X-4,

所以相應(yīng)的關(guān)系式為5X0.1x-4-4義10%,

解得：x28.8.

答：該商品最多可以8.8折，

故答案為：8.8.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是得到利潤率的相關(guān)

關(guān)系式，注意“不能低于”用數(shù)學(xué)符號(hào)表示為“2”；利潤率是利潤與進(jìn)價(jià)的比值.

15.（3分）（2023?廣東）邊長分別為10,6,4的三個(gè)正方形拼接在一起，它們的底邊在同

一直線上（如圖），則圖中陰影部分的面積為15.

【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì).

【答案】15.

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面積公式計(jì)算

即可.

【解答】解：如圖，

■:BF//DE,

.ABBF

??茄一瓦’

'：AB=4,ZC=4+6+10=20,￡>￡=10,

?4_BF

"2O-7F'

；.BF=2,

：.GF=6-2=4,

'：CK//DE,

：.AACKsAADE,

.AC_CK

"^D~~DE'

"."AC—4+6—10,AD—20,DE—10,

?10一或

??三一而‘

，CK=5,

HK=6-5=1,

陰影梯形的面積='(HK+GF)?GH

2

=-x(1+4)X6

2

=15.

故答案為：15.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的

對(duì)應(yīng)邊成比例.

三、解答題（一）：本大題共3小題，第16題10分，第17、18題各7分，共24分.

16.（10分）（2023?廣東）（1）計(jì)算：%+|-5|+（-1）2023.

（2）已知一次函數(shù)了=丘+6的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,1）與點(diǎn)（2,5）,求該一次函數(shù)的表達(dá)

式.

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式.

【答案】（1）6.

（2）y=2x+\.

【分析】（1）利用立方根的性質(zhì)、絕對(duì)值的性質(zhì)以及負(fù)數(shù)指數(shù)募的性質(zhì)進(jìn)行化簡計(jì)算即

可.

（2）將（0,1）與（2,5）代入解方程組即可.

【解答】（1）解：原式=2+5-1=6.

（2）解：將（0,1）與（2,5）代入得：

6=1

'2k+b=5'

快=2

解得：\,

=1

...一次函數(shù)的表達(dá)式為：y^2x+\.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達(dá)式，正確化簡各數(shù)，將點(diǎn)

的坐標(biāo)代入后能正確解方程組是解題的關(guān)鍵.

17.（7分）（2023?廣東）某學(xué)校開展了社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，活動(dòng)地點(diǎn)距離學(xué)校12后〃，甲、乙兩

同學(xué)騎自行車同時(shí)從學(xué)校出發(fā)，甲的速度是乙的1.2倍，結(jié)果甲比乙早到10而"，求乙同

學(xué)騎自行車的速度.

【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用.

【答案】乙騎自行車的速度為12^7〃?.

【分析】設(shè)乙步行的速度為丹威分，則甲騎自行車的速度為1.2xh〃/分，根據(jù)題意列方程

即可得到結(jié)論.

【解答】解：設(shè)乙步行的速度為分，則甲騎自行車的速度為1.2x4血分，

根據(jù)題意得-----=-----，

x61.2%

解得x=12.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=12是原分式方程的解，

答：乙騎自行車的速度為12碗

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵.

18.（7分）（2023?廣東）2023年5月30日，神舟十六號(hào)教人飛船發(fā)射取得圓滿成功，3名

航天員順利進(jìn)駐中國空間站.如圖中的照片展示了中國空間站上機(jī)械臂的一種工作狀

態(tài).當(dāng)兩臂/C=8C=10〃7,兩臂夾角N/CB=100°時(shí)，求48兩點(diǎn)間的距離.（結(jié)果

精確到0.1加，參考數(shù)據(jù)：sin50°g0.766,cos50°七0.643,tan50°七1.192）

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用.

【答案】/、8的距離大約是15.3機(jī).

【分析】連接取中點(diǎn)。，連接C。，根據(jù)4C=8C,點(diǎn)。為Z8中點(diǎn)，可得NZCD

]

=NBCD=—NACB=50°,在Rt△力CD中，sin50°=——，解得力。=10Xsin50°?

210

7.66（m）,故48=2/。~15.3（機(jī)）.

【解答】解：連接48，取N8中點(diǎn)。，連接CD,如圖，

c

二中線c。為等腰三角形的角平分線（三線合一），AD=BD=LB,

2

：.ZACD=ZBCD=-ZACB=50°,

2

在RtAJCD中，

,AD

sin/ACJD——----,

AC

..。AD

**sin50----，

10

.,.JZ）=10Xsin50o心7.66Cm）,

：.AB=2AD=2X7.66=15.32?=15.3（w）,

答：/、5的距離大約是15.3m.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)的定義.

四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分.

19.（9分）（2023?廣東）如圖，在。4BCZ）中，NDAB=30°.

（1）實(shí)踐與操作：用尺規(guī)作圖法過點(diǎn)。作NB邊上的高。E；（保留作圖痕跡，不要求寫

作法）

（2）應(yīng)用與計(jì)算：在（1）的條件下，AD=4,AB=6,求BE的長.

【考點(diǎn)】作圖一復(fù)雜作圖；平行四邊形的性質(zhì).

【答案】⑴見作圖；（2）6-273.

【分析】（1）由基本作圖即可解決問題；

（2）由銳角的余弦求出ZE的長，即可得到8E的長.

【解答】解：（1）如圖E即為所求作的點(diǎn)；

4E

（2）VcosZZ）T45=------,

AD

：.AE^AD-cos300=4x—=273,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本作圖，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，關(guān)鍵是掌握基本作圖,

由銳角的余弦求出/E的長.

20.(9分)(2023?廣東)綜合與實(shí)踐

主題：制作無蓋正方體形紙盒.

素材：一張正方形紙板.

步驟1：如圖1,將正方形紙板的邊長三等分，畫出九個(gè)相同的小正方形，并剪去四個(gè)角

上的小正方形；

步驟2：如圖2,把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒.

猜想與證明：(1)直接寫出紙板上N/8C與紙盒上的大小關(guān)系；

(2)證明(1)中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

C

圖1圖2

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；展開圖折疊成幾何體.

【答案】(1)ZABC=ZAiBiCu

(2)證明過程見解答.

【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解；

(2)根據(jù)勾股定理和勾股定理的逆定理和正方形的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：⑴ZABC=ZAiBiC\；

(2):小。為正方形對(duì)角線，

...N45iC=45°，

設(shè)每個(gè)方格的邊長為1,

則AB=+3?=VTo，

AC=BC=712+22=V5,

'：AC2+BC2^AB2,

由勾股定理的逆定理得△Z8C是等腰直角三角形，

；.N/8C=45°,

ZABC^ZA]B\C\.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的

判定與性質(zhì)，得到△N8C是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵.

21.（9分）（2023?廣東）小紅家到學(xué)校有兩條公共汽車線路.為了解兩條線路的乘車所用

時(shí)間，小紅做了試驗(yàn)，第一周（5個(gè)工作日）選擇/線路，第二周（5個(gè)工作日）選擇8

線路，每天在固定時(shí)間段內(nèi)乘車2次并分別記錄所用時(shí)間.數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：（單位：加〃）

數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表

實(shí)驗(yàn)序12345678910

號(hào)

/線路15321516341821143520

所用時(shí)

問

8線路25292325272631283024

所用時(shí)

間

根據(jù)以上信息解答下列問題:

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差

4線路所用時(shí)間22a1563.2

8線路所用時(shí)間b26.5C6.36

(1)填空：a=19；h=26.8；c=25

（2）應(yīng)用你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，幫助小紅分析如何選擇乘車線路.

數(shù)據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖

【分析】本題考查數(shù)據(jù)的分析，數(shù)據(jù)的集中和波動(dòng)問題,

(1)平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)的計(jì)算.

(2)方差的實(shí)際應(yīng)用.

【解答】解：(1)求中位數(shù)“首先要先排序,

從小到大順序?yàn)椋?4,15,15,16,18,20,21,32,34,35.共有10個(gè)數(shù),

中位數(shù)在第5和6個(gè)數(shù)為18和20,

所以中位數(shù)為羽土型=19,

2

分十“25+29+23+25+27+26+31+28+30+24

求平均數(shù)b=-------------------------------------------=26.8,

10

眾數(shù)c—25,

故答案為：19,26.8,25.

(2)小紅統(tǒng)計(jì)的選擇/線路平均數(shù)為22,選擇5線路平均數(shù)為26.8,用時(shí)差不太多.而

方差63.2>6.36,相比較8路線的波動(dòng)性更小，所以選擇8路線更優(yōu).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)據(jù)的波動(dòng)與集中程度，解題的關(guān)鍵是能夠平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)進(jìn)

行準(zhǔn)確的計(jì)算，理解方差的意義，并進(jìn)行作答.

五、解答題(三)：本大題共2小題，每小題12分，共24分.

22.(12分)(2023?廣東)綜合探究

如圖1,在矩形Z88中(AB>AD),對(duì)角線/C,8。相交于點(diǎn)O,點(diǎn)N關(guān)于8。的對(duì)

稱點(diǎn)為.連接44'交BD于點(diǎn)、E,連接。'.

(1)求證:AA'LCA'i

(2)以點(diǎn)。為圓心，OE為半徑作圓.

①如圖2,。。與相切，求證：AA'=y/iCA'；

②如圖3,。。與相切，AD=\,求。。的面積.

【考點(diǎn)】圓的綜合題.

【答案】（1）證明過程詳見解答；

（2）①證明過程詳見解答；

32+及

②—二—,兀.

4

【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得E,AA'1BD,根據(jù)四邊形Z8C。是矩形，

得出。4=0C,從而0E〃/'C,從而得出44'LCA1；

（2）①設(shè)C。。。與8切于點(diǎn)尸，連接。尸，并延長交于點(diǎn)G,可證得OG=OF=

OE,從而得出NEAO=/GAO=NGBO,進(jìn)而得出/E4O=30°,從而44'=收N'；

②設(shè)0。切C4'于點(diǎn)”,連接0”,可推出44'=20H,CA'=2OE,從而A4'=C/',

進(jìn)而得出//AC^ZA'CA=45°,NA0E=NACA'=45°,從而得出4E=0E,OD

=0A=CAE,設(shè)。/=0E=X,則。D=0/=J5X,在RtZ\4DE中，由勾股定理得出

x2+[（V2-l）x]2=1,從而求得了=三&,進(jìn)而得出00的面積.

【解答】（1）證明：?.,點(diǎn)/關(guān)于8。的對(duì)稱點(diǎn)為,

J.AE^A'E,AA'LBD,

?.?四邊形/8C。是矩形，

：.OA=OC,

C.OE//A'C,

：.AA'±CA'；

(2)①證明：如圖2,

設(shè)C。。。與8切于點(diǎn)尸，連接OR并延長交力8于點(diǎn)G,

：.OFVCD,OF=OE,

???四邊形Z8C。是矩形，

11

：.OB=OD=-BD,AB//CD,AC=BD,OA=-AC,

22

：.OG±ABf/FDO=/BOG,OA=OBf

：.ZGAO=ZGBO,

VZDOF=NBOG,

:.XDOF經(jīng)XBOG（JSJ）,

：.OG=OF,

：.OG=OE,

由（1）知：/，LBD,

：./EAO=NGAO,

■:NE4B+NGBO=90。,

?,.NE40+NG40+NG80=90°,

：.3ZEAO=90°,

AZEAO=30°,

由（1）知：AArJ_CH,

C/4，

tanNEAO-------，

AA1

,oCA'

??tan30=------，

AA1

：.AA，=y/iCA'；

②解：如圖3,

設(shè)。。切C4’于點(diǎn)4,連接0”,

：.OHLCA',

由（1）知：AA'LCA',AA'LCA',OA=OC,

J.OH//AA',OE//CA',

:.△COHs^CAA',^XAOE^/XACA',

.OHPC1OEOA1

'"1A,~^4C~2，C4'~^4C~2,

：.AA'=20",CA'=2OE,

：.AA'=CA

AC=ZA'CA=45°,

AZAOE^ZACA'=45°,

：.AE=OE,OD=OA=y/2AE,

設(shè)AE=OE^x,則OD=OA=岳,

：.DE=OD-OE=(V2-1)x,

在Rt^ZOE中，由勾股定理得，

x2+[(V2-l)x]2=1,

,2_2+V2

??x—,

4

,2+V2

S°O=Tl?。爐---------兀.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的切線性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角

形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí).

23.(12分)(2023?廣東)綜合運(yùn)用

如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，正方形O/8C的頂點(diǎn)/在x軸的正半軸上.如圖2,將正

方形O/8C繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a(0°<a<45°),交直線y=x于點(diǎn)E,

8c交少軸于點(diǎn)F.

(1)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角/CO尸為多少度時(shí)，OE=OF；(直接寫出結(jié)果，不要求寫解答過程)

(2)若點(diǎn)/(4,3),求EC的長；

(3)如圖3,對(duì)角線ZC交y軸于點(diǎn)交直線y=x于點(diǎn)N,連接將△OFN與△

OCr的面積分別記為S與的.設(shè)5=&-52,AN=〃,求S關(guān)于〃的函數(shù)表達(dá)

式.

【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題.

【答案】(1)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為22.5°時(shí),OE=OF；

(2)FC的長為經(jīng)；

4

(3)S關(guān)于〃的函數(shù)表達(dá)式為S=,〃2.

2

【分析