2023年吉林省白山市高考數(shù)學(xué)二模試卷及答案解析

2023年吉林省白山市高考數(shù)學(xué)二模試卷

一、單選題(本大題共6小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.已知集合A={x∣√x<2},B={x∣∣x∣≤3},則4CB=()

A.[0,3]B.[0,3)C.[-3,4)D.[0,4)

2.(9+8i)(5-。的實部為()

A.37B.53C.31D.45

3.若函數(shù)/(x)=l0g2(m∕一r∏χ+1)的定義域為R,則實數(shù)Tn的取值范圍是()

A.(0,4)B.[0,4)C.(0,4]D.[0,4]

4.在正方體ABCC-4aCIDI中，E,F分別為SB,AlDl的中點，貝∣J()

A.EF〃平面BBlDlB.EF〃平面BICDl

C.EFJL平面AlBOD.EFJL平面BClO

5.已知函數(shù)/(x)=Asin2(ωx+φ~)+1(A>0,ω>0,0<φ<])的最大值與最小值的差為2,

其圖象與y軸的交點坐標(biāo)為(0,2),且圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離為2,則/(2022)=()

A.1B.2C.3D.√3

6.已知球。的半徑為2,圓錐內(nèi)接于球0,當(dāng)圓錐的體積最大時，圓錐內(nèi)切球的半徑為()

A.√3-lB.√3+lC.D.

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

7.將4B,C,。這4張卡片分給甲、乙、丙、丁4人，每人分得一張卡片，則()

A.“甲得到4卡片”與“乙得到4卡片”為對立事件

B.“甲得到4卡片”與“乙得到力卡片”為互斥但不對立事件

C.甲得到A卡片的概率為:

D.甲、乙2人中有人得到4卡片的概率為：

8.已知正四面體ABCD,E為CD的中點，貝∣J()

A.直線AB與CD所成的角為90。

B.直線ZC與BE所成的角為60。

C.直線AB與平面BCD所成角的余弦值為日

D.直線BE與平面4CD所成角的余弦值為日

9.設(shè)函數(shù)f(%)的定義域為R,且滿足f(%)=f(2-%),/(%)=-/(%+2),當(dāng)％∈(函1］時,

/(x)=xlnx,則()

A./(%)是周期為2的函數(shù)

B./(2022)=0

C./(%)的值域是［-e,e］

D.方程Ief(X)I=1在區(qū)間［0,等］內(nèi)恰有IOll個實數(shù)解

10.裝疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，這種玻璃有較好的平均線膨脹

系數(shù)(簡稱：膨脹系數(shù)).某玻璃廠有兩條硼硅玻璃的生產(chǎn)線，其中甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨

脹系數(shù)X1?N(4.7,0.01),乙生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)X2?N(4.6,0.04),則下列選項正

確的是()

(附：若X?N(%/),貝IjP(N-σ≤x≤μ+σ)≈0.6826,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9544,

P(μ-3σ≤x≤μ+3σ)≈0.9974)

A.甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)范圍在(4.5,4.8)的概率約為0.7685

B.甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)比乙生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)數(shù)值更集中

C.若用于疫苗藥瓶的硼硅玻璃的膨脹系數(shù)不能超過5,則乙生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃符合標(biāo)準(zhǔn)的

概率更大

D.若用于疫苗藥瓶的硼硅玻璃的膨脹系數(shù)為4.7±0.1,則甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃符合標(biāo)準(zhǔn)的

概率約為乙生產(chǎn)線的2倍

三、填空題(本大題共2小題，共10.0分)

11.已知向量五=(3,-2),B=(L-I),c=ma-b,若另13則Tn=—.

12.若正實數(shù)*、y滿足3x+y=1,則9+；的最小值為一.

Xy

四、解答題(本大題共3小題，共34.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

13.(本小題10.0分)

已知等差數(shù)列｛ajt｝中,α1+αs=14,α6=16.

(1)求｛arι｝的通項公式；

(2)若｛brl｝為正項等比數(shù)列，b6=b1b5=64,求數(shù)列｛c??bfl｝的前n項和7；.

14.(本小題12.0分)

某短視頻平臺的一位博主，其視頻以展示鄉(xiāng)村生活為主，趕集、出城、抓魚、養(yǎng)雞等新時代

農(nóng)村生活吸引了許多觀眾，該博主為家鄉(xiāng)的某農(nóng)產(chǎn)品進行直播帶貨，通過5次試銷得到了銷量

y（單位：百萬盒）與單價x（單位：元/盒）的如下數(shù)據(jù)：

X66.26.46.66.8

y5045454035

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求y關(guān)于X的經(jīng)驗回歸方程;

（2）在所有顧客中隨機抽取部分顧客（人數(shù)很多）進行體驗調(diào)查問卷，其中“體驗非常好”的占

一半，“體驗良好”“體驗不滿意”的各占25%,然后在所有顧客中隨機抽取8人作為幸運顧

客贈送禮品，記抽取的8人中“體驗非常好”的人數(shù)為隨機變量小求〃的分布列和均值.

參考公式：回歸方程;=+；甘山八_Σ陶（XLHd-歹）_∑F=IXiyL還^_^.

其"一∑"4）2一第*一技2,a=y-bχ?

參考數(shù)據(jù)：∑f=1xiyi=1369,∑^1x?=205.2.

15.（本小題12.0分）

在△4BC中，a,b,C分別是角4B,C所對的邊，csin-^—=sinC,且α=L

⑴求4;

（2）若ZB=AC,D,E兩點分別在邊BC,AB上，且CD=DE,求CD的最小值.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：因為集合A={x∣√x<2}={x∣0≤X<4}>

B={x∣∣x∣≤3}=(x∣-3≤X≤3},

所以AnB=[0,3].

故選：A.

求出集合力，B,利用交集定義能求出4CB.

本題考查集合的運算，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：(9+8i)(5-i)=53+31i,

則其實部為53.

故選：B.

結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算，以及虛部的定義，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，以及虛部的定義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

22

【解析】解：；函數(shù)/(x)-Iog2(mx-mx+1)的定義域為R,；.mx-mx+1>O恒成立.

①當(dāng)Jn=O時，有1>O恒成立，故符合條件；

②當(dāng)m≠0時，由{m.47n<o,解得0<m<4,

綜上，實數(shù)ni的取值范圍是[0,4].

故選：B.

由題意，τnχ2-mχ+ι>o恒成立，再分類討論Zn是否等于零，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得Tn的范

圍.

本題的考點是對數(shù)函數(shù)的定義域，考查了含有參數(shù)的不等式恒成立問題，由于含有參數(shù)需要進行

分類討論，易漏二次項系數(shù)為零這種情況，當(dāng)二次項系數(shù)不為零時利用二次函數(shù)的性質(zhì)列出等價

條件求解，屬于中檔題.

4.【答案】A

【解析】解：在正方體4BCD—&BlGDl中，E,F分別為力B,的中點,

取AlBl的中點G,連接EG,FG,EF,如圖，

因為E,F分別為AB,4Di的中點,所以EG〃BB>FG//B1D1.

又EG,FG?-ψ≡BB1D1,所以EG〃平面BBIC1，F(xiàn)G〃平面BBln口

故平面E尸G平面BBlDι?

又EFC平面5名/，所以EF〃平面BBlD1，A正確，

以D為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

設(shè)AB=2,則E(2,l,0),F(l,0,2),β1(2,2,2),D1(0,0,2),C(0,2,0),

EF=(-1,2,0).西=(2,0,2),E=(O,-2,2),

設(shè)平面BICDl的法向量記=(x,y,z),

則(——i,取X=1,得n=

{n?CD1=-2y+2z=0

?.?麗?元=一1一2=-3*0，二后r與平面8傳。1不平行，故B錯誤;

DB=(2,2,0),EF-DB=-2+4=2≠0，?EF與Bz)不垂直，

二EF不垂直于平面4BD,EF不垂直于平面BGD,故C,。均錯誤.

故選：4.

對于4,取4Bl的中點G,連接EG,FG,EF,推導(dǎo)出EG〃BB°FG//B1D1,從而EG〃平面BBlD「

FG〃平面BBln1，進而平面EFG平面BBlDI.由此得到EF〃平面BBlD1；對于BCD,以。為坐標(biāo)原

點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法判斷.

本題考查線面平行、線面垂直的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.

5.【答案】B

【解析】解：Tf(X)=Asin2(ax+￠)+1=,+1-^cos(20x+2φ^),

故有f(X)m0x=4+1，/(X)min=?+1-9=1,??.Q4+1)-1=2,即4=2.

由題意，可得7=4=?ω=2α=?,f(%)=2—cos(^x+2φ).

又/(O)=2,即CoScXo+20)=0,.??2s=]+k7τ(∕ceZ),

0<φ<p?φ=?：./(x)=2-COSGX+?)=2+Sin凱

故/(2022)=2+Sin(IOllff)=2.

故選：B.

由題意，利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出3、φ,可得

函數(shù)的解析式，從而求出f(2022)的值.

本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題.

6.【答案】C

【解析】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r,則圓錐的高為2+

所以圓錐的體積V=?πr2(2+√4-r2),

令=te[0,2),K∣Jr2=4-t2,所以U(t)=gττ(4-t2)(2+t).

因為l∕'(t)=-lπ(t+2)(3C-2),

所以V(t)在[0,∣)上單調(diào)遞增，在(|,2)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)t=∣,即r=殍時，圓錐的體積最大，此時圓錐的高為全母線長為華.

因為圓錐內(nèi)切球的半徑等于圓錐軸截面的內(nèi)切圓的半徑，

o?/n8

所以圓錐內(nèi)切球的半徑R=磊=叁=吟2

3+3

故選：C.

設(shè)圓錐的底面半徑為r,體積^=3?！?（2+4彳）求導(dǎo)判斷單調(diào)性求出「的值，再根據(jù)圓錐內(nèi)切

球的半徑等于圓錐軸截面的內(nèi)切圓的半徑求解內(nèi)切球半徑.

本題考查圓錐的體積及其內(nèi)切球，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查函數(shù)思想以及運算求解能

力，屬于中檔題.

7.【答案】BCD

【解析】解：將4,B,C,。這4張卡片分給甲、乙、丙、丁4人，每人分得一張卡片，

對于4“甲得到4卡片”與“乙得到4卡片”為互斥而不對立事件，故A錯誤；

對于8,“甲得到4卡片”與“乙得到4卡片”為互斥但不對立事件，故2正確；

對于C,甲得到4卡片的概率為P=印=；,故C正確；

對于D,甲、乙2人中有人得到4卡片的概率為P=與?+呼=J,故。正確.

故選：BCD.

利用互斥而不對立事件的定義、古典概型直接求解.

本題考查互斥而不對立事件的定義、古典概型等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

8.【答案】AC

【解析】解：如圖,

連接4E,BE,因為BEJ.CD,AE1CD,BEnAE=E,所以CDJL平面ABE,所以4B_LCD,故

A正確；

取AD的中點F,連接EF,BF,設(shè)正四面體ABCC的棱長為2,則BE=BF=M,EF=1,則EF〃71C,

所以4BEF為直線AC與直線BE所成的角，故8錯誤；

2√3

因為/4BE為直線4B與平面BCD所成的角，COS乙4BE=8=導(dǎo)故C正確；

因為48瓦4為直線BE與平面TlCD所成的角，cosME/=工=L故。錯誤.

√33

故選：AC.

連接AE,BE,可得出CD,4E,CD1BE,從而根據(jù)線面垂直的判定定理可得出CDI平面NBE,

從而得出4BJ.CD,得出A正確；取4。的中點F,連接EF,BF,設(shè)正四面體ZBCD的棱長為2,

可得出NBE尸為直線AC與直線BE所成的角，且NBEF≠60。，得出B錯誤；可得出NABE為直線AB

與平面BCD所成的角，然后可求出CoSzjlBE=?＞得出C正確；可得出NBEA為直線BE與平面ACD

所成的角，并求出COSNBE4=g,得出。錯誤.

本題考查了正四面體的定義，線面垂直的判定定理，線面垂直的定義，異面直線所成角的定義及

求法，線面角的定義及求法，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】BD

【解析】解：對于人因為/0)=y/

/(2-x),所以〃—x)=f(x+2),

又因為f(x+2)=-∕(x),所以

OI23

/(-χ)=-f(%),所以f(x)是奇函

數(shù)，

由f(x)=—/(x+2),可得/(x)以4為周期，故A錯誤；

對于B,因為f(x)是奇函數(shù)，且定義域為R,所以/(0)=0,

因為f(2022)=/(2)=-f(0)=0,所以f(2022)=0,故B正確;

對于C因為當(dāng)*∈(0,1]時,/(x)=xlnx,K∣J∕,(x)=Inx+1,

所以f(χ)在(0,；)上單調(diào)遞減，在(；,1)上單調(diào)遞增，所以f(x)e[―:,o],

因為f(χ)為奇函數(shù)，所以當(dāng)久e[一1,0)時，/(x)∈[0,i],

因為f(χ)的圖象關(guān)于直線K=I對稱，所以當(dāng)％e[—1,3]時，/(x)∈[-?,?],

又因為/(X)的周期為4,所以當(dāng)XeR時，/(x)∈[-?,?].故C錯誤；

對于D,畫出/(x)的大致圖像，如圖所示：

方程∣e∕(X)I=1的解的個數(shù)，等價于y=If(X)I與y=；的交點個數(shù)，

因為y=If(X)I的周期為2,且當(dāng)46[0,2]時，y=If(X)I與y=；有2個交點，

所以當(dāng)X6[0,等]時，y=∣∕(%)∣與y=；有IOlI個交點，故。正確.

故選：BD.

根據(jù)題意可得，/Q)是奇函數(shù)，且周期為4,進而可判斷4B,利用導(dǎo)數(shù)可知當(dāng)Xe(0,1]時，/(x)∈

[->]'結(jié)合K)的對稱性和周期性可判斷C，方程0(x)1=1的解的個數(shù)，即y=∣∕(χ)∣與y=§

的交點個數(shù)，數(shù)形結(jié)合可判斷D.

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性、對稱性和周期性，考查了函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，屬于中檔

題.

10.【答案】BD

【解析】解:由Xi?N(4.7,0.01),知內(nèi)=4.7,σ1=0.1,由X2?N(4.6,0.04),知知=4.6,?=θ?2,

選項A,因為P(4.5<X1<4.8)=P(μ1-2σ1<X1<μ1+σ1)(0.9544+0.6826)=0.8185,

即4錯誤；

選項B,因為(Tl=0.1<σ2=0.2,所以甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃的膨脹系數(shù)數(shù)值更集中，即B正確；

選項C,因為P(XI≤5)=P(XT≤μ1+3σ1),P(X2≤5)=P(X2≤μ2+2σ2),

所以P(XI≤5)>P(X2≤5),

所以甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃符合標(biāo)準(zhǔn)的概率更大，即C錯誤；

選項D,因為P(4.6<Xi<4.8)=PGUl-σ1<X1<μ1+σ1)≈0.6826,P(4.6<X2<4.8)=

σ

∣P(μ2-σ2<X2<μ2+2)≈0.3413，

所以甲生產(chǎn)線所產(chǎn)硼硅玻璃符合標(biāo)準(zhǔn)的概率約為乙生產(chǎn)線的2倍，即D正確.

故選：BD.

結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)與參考數(shù)據(jù)，逐一分析選項，即可得解.

本題考查正態(tài)分布的性質(zhì)與應(yīng)用，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

U.【答案】I

【解析】解：已知向量五=(3,—2),h=(1,-1),c=τnα-K,

則3-(3τn—1,—2m+1),

Xvh1c-

.?.6?c=0>

即IX(3m-1)+(-1)X(-2m+1)=0,

則Zn=

故答案為：∣?

結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算求解即可.

本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，重點考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，屬基礎(chǔ)題.

12.【答案】49

【解析】解：因為正實數(shù)x、y滿足3x+y=l,

所以工+工=(工+i)(3x+y)=37+^z+-≥2—+37=49.

XyvxyzvJ'XyYxy

當(dāng)且僅當(dāng)浮=當(dāng)，即X=,,y=；時，等號成立，故號+；的最小值為49.

故答案為：49.

將3x+y與9+*相乘，展開后利用基本不等式可求得竽+8勺最小值.

本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛arι｝的公差為d,

*?*QI+Q5=2。3=14,=7,

,17-8?

:?d=—^―=3,

故On=7+(九-3)?3=3九一2；

(2)｛bn｝為正項等比數(shù)列,b6=b1b5=64,

所以色=瓦=q，bl-q4=q6=64,

故q=瓦=2,

故數(shù)列｛%｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

即垢=2n,

n

故On?bn=(3n-1)-2,

-2n

7jl=(31)?2+(6—1)?2+,,,...+(3n-1)?2>(?)

27;=(3-l)?22+(6-l)?23+-...+(3n-1)?2n+1,②

①-②得,

-7^=(3-1)-2+3?22+3?23+-...+3?2n-(3n-1)?2n+1,

故7；=-4-1+(3n-1)?2n+1

=(3n-4)?2n+1+8.

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得d=3,從而寫出通項公式；

(2)由壇=b1b5=64推導(dǎo)出數(shù)列｛g｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，從而利用錯位相減法求

數(shù)列｛%l?5｝的前n項和打.

本題考查了等差數(shù)列及等比數(shù)列，應(yīng)用了分類討論及錯位相減法，屬于中檔題.

一6+6.2+6.4+6.6+6.8.~50+45+45+40+35.?

14.【答案】解：(1)根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得,X=---------------------=6z.4λ,y=----------------------=43,

∑^1xy-nxy1369-5×6.4×43-74rL

根據(jù)附注公式:b1=-------i-i-i=-----------------τ~=TrT=-1/.5,

∑jflχ”戰(zhàn)2205.2-5×6.42°”

于是α=y-bx=43-(-17.5)X6.4=155,

故經(jīng)驗回歸方程為：y=-17.5x+155；

(2)依題意，〃可能的取值為0,1,2,3,4,5,6,7,8,

由于顧客人數(shù)很多，可近似認(rèn)為神從二項分布，即…(吟，PS=k)=?φk?φ8-k=爭,

其中k∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8}.

故Ps=O)=3=總PS=I)=S=急=專，PS=2)=等=3)=爭=5,PS=

4)=爭=急Ps=5)=爭=專，PS=6)=||=￡，Ps