2023-2024學年北京市順義區(qū)高二年級下冊期中考試數(shù)學試題（含答案）

2023-2024學年北京市順義區(qū)高二下冊期中考試數(shù)學試題

一、單選題

1.8,2的等差中項是()

A.±5B.±4C.5D.4

【正確答案】C

【分析】利用等差中項的定義直接求解.

QiO

【詳解】8,2的等差中項為三=5.

故選：C

2.已知/(x)=x+e*,則f'(0)的值為()

A.1B.2C.eD.?+e

【正確答案】B

【分析】根據(jù)導數(shù)計算公式與法則即可得結(jié)果.

【詳解】由/(x)=x+/,則r(x)=l+",所以r⑼=l+e0=2,

故選：B.

3.己知數(shù)列｛為｝中，an=??-2n,S,,是數(shù)列｛《,｝的前〃項和，則S,,最大值時”的值為()

A.4B.5C.6D.7

【正確答案】B

【分析】首先表示出S,,,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得；

【詳解】解：因為4=11-2"，所以S“=(9+"；2")"=_〃2+IO〃=_(〃_5)2+25

所以當〃=5時S“取最大值，且⑸L=25；

故選：B

4.下列求導運算正確的是()

β?9=InX

A.(SinX)=-COSx

χ

C.(a')/=xa-'D.

【正確答案】D

【分析】利用常見函數(shù)的導數(shù)對選項分別求導即可.

【詳解】對于A選項，（sinj=cosχ,A選項錯誤;

對于B選項,?,B選項錯誤;

X

對于C選項,（優(yōu)）=axIna,C選項錯誤;

故選：D

5.設等比數(shù)列的前〃項和是S〃，02=-2,。5=-16,則S6=（

A.-63C.-31

【正確答案】A

由已知結(jié)合等比數(shù)列的通項公式可求出公比和首項，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可求出56.

【詳解】解：設公比為4,則%=癡，即-16=-2q3,解得4=2,所以q=亍=T,

故選:A.

6.曲線y=Uτ在點（2,2）處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為（）

A.20B.16C.12D.8

【正確答案】D

【分析】利用導數(shù)求出所求切線的方程，進而可求得切線與兩坐標軸的交點坐標，利用三角

形的面積公式即可得解.

【詳解】令=W，則/（"）=一（六了，r（2）=τ,

所以，曲線y=M在點（2,2）處的切線方程為x+y-4=0,

與X軸的交點為（4,0）,與丫軸的交點為（0,4）,故所求三角形的面積為∕X42=8.

故選：D.

本題考查切線與坐標軸圍成的三角形面積計算，解答的關(guān)鍵就是求出切線的方程，考查計算

能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.在等差數(shù)列｛%｝中，若&，%是方程f+3x+2=0的兩根，則｛q｝的前12項的和為()

A.12B.18C.-18D.-12

【正確答案】C

【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得％+%=-3,由等差數(shù)列性質(zhì)及前〃項和公

式計算即可得出結(jié)果.

【詳解】由4，%是方程V+3x+2=0的兩根，利用韋達定理可得4+%=—3;

則｛a”｝的前12項的和S∣2-at+a2H-----1-<7∣∣+αl2=5(4+%)；

由等差數(shù)列性質(zhì)可得4+《2=4+%，即S?=6(CJI+αl2)=6(α6+o7)=-18;

故選：C

8.《張邱建算經(jīng)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有女不善織,

日減功遲，初日織五尺，末日織一尺，今三十織迄……”其大意為：有一女子不善于織布，

每天比前一天少織同樣多的布，第一天織5尺，最后一天織一尺，三十天織完…….則該女

子第11天織布()

A.?■'尺B.尺C.袋尺D.Z尺

329293

【正確答案】B

女子每天的織布數(shù)成等差數(shù)列，根據(jù)首項和末項以及項數(shù)可求公差，從而可得第11天的織

布數(shù).

【詳解】設女子每天的織布數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為｛α,,｝,由題設可知｛4｝為等差數(shù)列,

1-54

且4=5,%J=1,故公差"=寸=一

3U—iZv

故選：B.

9.若函數(shù)/(x)=2x+αsinx在(YO,+∞)上單調(diào)遞增，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.[—2,2]B.(—2,+∞)C.[—2,+8)D.(TI)

【正確答案】A

【分析】由導數(shù)判斷單調(diào)性求解

【詳解】")=2+3,由題意八小。恒成立,故2+0-

解得-2≤a≤2

故選：A

10.已知函數(shù)/(x)=(X-I)2犬，下列結(jié)論中錯誤的是()

A.函數(shù)/(χ)有零點

B.函數(shù)/(x)有極大值，也有極小值

C.函數(shù)/(x)既無最大值，也無最小值

D.函數(shù)/(x)的圖象與直線y=l有3個交點

【正確答案】C

【分析】由/(1)=0確定A正確，結(jié)合導數(shù)判斷BCD選項的正確性.

【詳解】./■⑴=0,所以A選項正確.

/(x)=(x+l)(x-l)et,所以F(X)在區(qū)間(Y>,T),(1,+∞)上F(X)>0j(x)遞增,在區(qū)間

(-1,1)±∕(%)<OJ(x)遞減，

所以當4-1時，/(x)有極大值/(-I)=：*,

當x=l時，〃x)有極小值/⑴=0,所以B選項正確.

注意到/(X)WO恒成立，所以/⑴=O是/(X)的最小值，C選項錯誤.

畫出/(x)的大致圖象如下圖所示，由圖可知函數(shù)F(X)的圖象與直線)=1有3個交點，D選

項正確.

故選：C

二、填空題

11.函數(shù)/(x)=InX-Or在X=I處有極值，則常數(shù)“=.

【正確答案】1

【分析】根據(jù)極值定義可得/'(1)=0,求導并將x=l代入計算即可求得α=l

【詳解】由/(x)=InX-Or可得/(X)=(-α,

又〃x)在X=I處有極值，所以可得尸(I)=0,

即廣⑴=；-“=0,所以α=l.經(jīng)檢驗滿足題意，

故1

12.已知數(shù)列｛%｝中，q=l,an+t=3an-?,則％=.

【正確答案】41

【分析】直接由遞推式逐一計算得出的即可得解.

【詳解】由題意外=30∣T=2,α3=3a2-1=5,α4=3a3-1=14,α5=3α4-l=41.

故41.

三、雙空題

13.已知函數(shù)/(x)的定義域為七JU)的導函數(shù)f'(x)=(x-α)(x-2),若函數(shù)無極值,

則a=；若x=2是/(x)的極小值點，則a的取值范圍是.

【正確答案】2a<2

【分析】對。進行分類討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定正確結(jié)論.

【詳解】當“<2時,在區(qū)間(-∞,a),(2,+∞)上/(x)>O,"x)遞增，在區(qū)間(。,2)上

/(x)<OJ(x)遞減.f(x)的極大值點為4,極小值點為2.

當α=2時，f(x)=(x-2)2≥0,f(x)在R上遞增,無極值.

當a>2時,〃力在區(qū)間(-∞,2),(4,+∞)上F(X)>Oj(x)遞增,在區(qū)間(2M)上

/(x)<0j(x)遞減.f(x)的極大值點為2,極小值點為

故2；?<2

四、填空題

14.已知數(shù)列｛?！ǎ凉M足：?=n,bn=,｛%｝的前n項和為S,,則S2021=

anan,y

2021

【正確答案】病

【分析】利用裂項求和即可求得答案.

111

【詳解】由已知可得d=

al,an+tn(n+l)nn+?

11111

故s〃=—+—+—+÷-----=.-l÷l-l÷+——

aaaaaaaa223nZ2+1

λ22334nn+?

=1--.

〃+1〃+1

2021

2022

故答案為:貌

x?nx,x>a,

15.已知函數(shù)/(X)=其中”>0.如果對于任意為，XfR，且χ<w,都

2

-X+2x-3,x≤a9

有/ɑ)</(%),則實數(shù)。的取值范圍是.

【正確答案】ILIl

e

【分析】把題意翻譯為函數(shù)/(X)在R上單調(diào)遞增，則兩段函數(shù)分別遞增，且在分界處右端點

大于等于左端點的函數(shù)值即可.

【詳解】解：對于任意4,x2∈∕?,且玉<七，都有/區(qū))</。2)成立，即函數(shù)/(X)在R上

單調(diào)遞增，

先考察函數(shù)g(x)=-∕+2x-3,xeR的單調(diào)性，

酉己方可得g(x)=-(x-l)2-2,

函數(shù)g(x)在(-,I)上單調(diào)遞增，在。,內(nèi))上單調(diào)遞減，且g(xj=g(1)=-2,

?,1,

以下考察函數(shù)〃(X)=XI2，X€(0,+8)的圖象，

則"(x)=lnx+l,令〃(X)=Inx+l=O,解得X=I■.

e

隨著X變化時，Kx)和//(X)的變化情況如下：

(θ,?)

X?(L+∞)

eee

h'(x)—0+

h(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

即函數(shù)〃(X)在(0-)上單調(diào)遞減，在(La)上單調(diào)遞增，且MX)加,,=M3=-L

eeee

對于任意X］,X2≡Rf且須</，都有了($)</*2)成立，

1

??a.??,

e

一,>一2，即h(x)mill>g(x)mtx,

e

的取值范圍為［Li

e

故H』］.

e

五、解答題

16.已知函數(shù)/(x)=gχ3-2x,+3x+l.

⑴求函數(shù)”x)在點戶T處的切線方程；

⑵求函數(shù)在［-3,4］的最大值和最小值.

【正確答案】(l)y=8χ+日

7

(2)最大值為最小值為-35

【分析】(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出函數(shù)/(x)在AT的導數(shù)值，即切線斜率；代入直

線的點斜式方程即可；(2)利用導數(shù)判斷出函數(shù)/(x)在［-3,4］上的單調(diào)性，求出極大值和

極小值，再分別求出端點處的函數(shù)值比較即可得出其最大值和最小值.

【詳解】(1)易知，函數(shù)/。)=；1-2》2+3》+1的定義域為;<：?1?；

所以l)=-g-2-3+l=*,則切點為，1,一同

又/'(X)=X2-4x+3=(x-3)(x-1),

則/(X)在點X=-1處的切線斜率k=Γ(-D=8,

I?11

所以，切線方程為y+左=8(x+l),整理可得y=8x+彳

即函數(shù)“X)在點4-1處的切線方程為y=8χ+g.

(2)由(1)可知,當x∈(l,3)時,f'(x)<O,“X)在(1,3)上單調(diào)遞減；

XG(TI)或(3,4)時，∕,(x)>0,/(x)在(一3』)或(3,4)上單調(diào)遞增；

函數(shù)”x)在［-3,4］上的單調(diào)性列表如下：

X[Tl)1(L3)3(3,4]

“X)/極大值極小值

17

所以，/(X)的極大值為f(l)=g-2+3+l=:,極小值為/(3)=9—2x9+9+l=l;

χ∕(-3)=-9-2×9-9+l=-35,/(4)=y-2×16+3×4+l=∣；

綜上可得，函數(shù)“X)在[-3,4]上的最大值為不最小值為-35

17.已知數(shù)列｛《,｝滿足4=1,如=2,等差數(shù)列也｝滿足仿=α,,b2=ay.

(1)求數(shù)列｛q,｝,｛2｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛an+d｝的前”項和.

【正確答案】(1)a,,=2"',?=7-3n;(2)2--l÷11-~3π^

【分析】(1)依題意｛4｝為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式計算可得?！?；由4=%，H=4,

求出公差，進而得到以；

(2)求得q,+%=2"T+7-3”,利用分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，可

得所求和.

【詳解】解：(1)由4=1,-=2,

a,,

可得4,=2"T;

設等差數(shù)列也』的公差為d,

由4=%=4,%=q=l,

可得d=bi=-3,

則b,=4-3("-l)=7-3w;

(2)a,,+bn=2'-'+7-3n,

可得數(shù)歹|]｛?！?2｝的前"項和為(1+2+4+...+2"-')+(4+1+...+7-3")

1-2"1,l?n-3n2

=------+-"(4+7-3")=2''-1+------------.

1-222

18.已知｛%｝是等差數(shù)列，其前〃項和為S“，%=-3再從條件①條件②這兩個條件中選擇

一個作為已知，求：

⑴數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)S,,的最小值，并求S“取得最小值時〃的值.

條件①：S'=-24;條件②：q=2%.

【正確答案】(1)條件①：α),=2"-ll,"∈N+;條件②：a,,=3n-15,∕7∈N+

⑵條件①：〃=5時，最小值為S5=-25；條件②：〃=4或〃=5時，最小值為邑=Ss=-30.

【分析】（I）根據(jù)等差數(shù)列定義，設出公差d利用所選條件分別解得《和d，即可寫出數(shù)列

的通項公式：（2）根據(jù)通項公式可得前〃項和為S,,的表達式，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可求

得最小值.

【詳解】（1）若選擇條件①：

設等差數(shù)列｛?｝的公差為d,由4=-3可得α,+3J=-3;

又S4——24,彳導4α∣H---d=—24,即2α∣+3d=-12；

（W得q=-9,d=2,

所以Q“=q+（π-l）J=-9+2（/1-1）=2/7-11；

即數(shù)列｛%｝的通項公式為?=2n-ll,n∈N+.

若選擇條件②：

設等差數(shù)列｛叫的公差為d,由4=-3可得al+3d=-3.

又〃1=2〃3，即q=2（4+2d）,得q+4d=0；

解得q=T2,d=3;

所以4=4+（〃一l）d=-12+3（π-l）=3n-15；

即數(shù)列｛%｝的通項公式為4=3"-15,"GN*.

（2）若選擇條件①：

2

由aιl=2n-??,neN*可得，S?=-9n+?×2=ιr-10Λ=（Π-5）-25；

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得當〃=5時，S“=-25為最??；

即〃=5時，S”取最小值，且最小值為項=-25.

若選擇條件②：

由a“=3”-15,〃eN+可得，S“+^?x3=?∣（,2-9"）=?∣（".q）'

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得當“=4或〃=5時，S“=-30為最小;

即〃=4或〃=5時，S”取最小值，且最小值為H=<=-30.

19.商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量》（單位：千克）與銷售價格1（單位:

元/千克)滿足關(guān)系式r=—+IO(x-6)?其中3<κ<6,4為常數(shù)，己知銷售價格為5

Jr-3

元/千克時，每日可售出該商品U千克.

(1)求a的值；

(2)若商品的成品為3元/千克，試確定銷售價格一I?的值,使商場每日銷售該商品所獲得的利

潤最大

【正確答案】(1)因為t=S時r11，所以"+∣0Mlna-2；

2

(2)由(1)知該商品每日的銷售量】=—“—+IO(K一6)：，所以商場每日銷售該商品所獲得的

X-3

2

利潤：/(x)=(x-3)[——÷10(X-6)2]=2+10(X-3)(X-6)2,3<x<6;

x-3

f'(X)=IOKX-6)2+2(x-3)(X-6)]-30(x-4)(x-6),令r(X)=0得*=4函數(shù)/(X)在(3,4)上

遞增，在(4,6)上遞減，

所以當Λ-4時函數(shù)/(κ)取得最大值/(4)-42

答：當銷售價格Λ-4時,商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大，最大值為42.

【詳解】(1)利用銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品Il千克.把x=5,y=ll代入

I="一+∣0(t-6)'a..于a的方程即可求a..

X-3

(2)在(1)的基礎(chǔ)上，列出利潤關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式，

利潤=銷售量X(銷售單價一成品單價)，然后利用導數(shù)求其最值即可.

20.已知函數(shù)/(x)=Inx+αr(aeR).

⑴若曲線y=f(x)在x=l處的切線與直線2x—y+3=0平行，求α的值；

⑵求函數(shù)F(X)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若存在％,使得/(毛)>0,求”的取值范圍.

【正確答案】(l)α=l

(2)見解析

⑶

【分析】(1)由導數(shù)的幾何意義結(jié)合題意知，/<1)=2,解方程即可得出答案;

(2)對/(x)求導，討論α≥0和α<0時，即可得出函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)由(2)知，當αN0時，/(l)=α≥O,則存在％,使得/(%)>O,當α<O時,

/(xL==解不等式即可求出”的取值范圍.

【詳解】(1)直線2χ-y+3=0的斜率為k=2,

因為?f(x)=-+α,所以由導數(shù)的幾何意義知，Γ(l)=2,

所以1+4=2,解得.4=1

(2)/(Λ-)=lnx÷av(67∈R)的定義域為(θ,y),

,,/\11+O￥

/'G)=-+α=------,

XX

當α≥O時,/")>O,則”x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

當“<0時，令f'(x)=O,解得：x=-→0,

令用x)>0,得0<χ<-/令ιf(χ)<O,得x>[,

所以/(x)在(o,-：)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上所述，當“≥0時，則〃x)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8)；

當“<0時，/。)單調(diào)遞增區(qū)間為(0，-￡),單調(diào)遞減區(qū)間為,：,+8].

(3)若存在吃,使得〃為)>0,轉(zhuǎn)化為證明"x)πm>0,

由(2)知，當α≥0時，則”x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，而/(l)=α≥O,

則存在方,使得“χ°)>o,

當“<0時，/(x)在(0,-￡(上單調(diào)遞增，在(-、+e)上單調(diào)遞減.

所以八X)M=OlnT-I>0,

解