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第11練利用導數(shù)研究不等式恒成立或有解問題1[2020新高考Ⅰ卷·21,12分,難度★★★☆☆]已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.(1)當a=e時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

x1(1,+∞)p'(x)

-0+p(x)單調(diào)遞減極小值p(1)單調(diào)遞增

4[2021天津卷·20,16分,難度★★★★☆]已知a>0,函數(shù)f(x)=ax-xex.(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;(2)證明f(x)存在唯一的極值點;(3)若存在a,使得f(x)≤a+b對任意x∈R成立,求實數(shù)b的取值范圍.【解析】4.

(1)因為f(x)=ax-xex,所以f(0)=0,f'(x)=a-ex-xex,所以f'(0)=a-1,則曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y-0=(a-1)(x-0),即y=(a-1)x.(2)f'(x)=a-ex-xex=a-ex(x+1),令g(x)=ex(x+1),則g'(x)=ex(x+2),令g'(x)=0,得x=-2,當x<-2時,g'(x)<0,當x>-2時,g'(x)>0,所以函數(shù)g(x)在(-∞,-2)上單調(diào)遞減,在(-2,+∞)上單調(diào)遞增.因為當x=-1時,g(x)=0,當x<-1時,g(x)<0,當x>-1時,g(x)>0,當x→+∞時,g(x)→+∞,且a>0,所以方程f'(x)=a-ex-xex=a-e

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