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第13練利用導數(shù)研究函數(shù)的零點

xf'(x)+0-0+f(x)↗↘↗

4[2017全國Ⅱ卷·21,12分,難度★★★☆☆]已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx,且f(x)≥0.(1)求a;(2)證明:f(x)存在唯一的極大值點x0,且e-2<f(x0)<2-2.

5[2022全國乙卷·21,12分,難度★★★★☆]已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)+axe-x.(1)當a=1時,求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;(2)若f(x)在區(qū)間(-1,0),(0,+∞)各恰有一個零點,求a的取值范圍.

7[2022新高考Ⅰ卷·22,12分,難度★★★★★]已知函數(shù)f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.(1)求a;(2)證明:存在直線y=b,其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點,并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列.

【解析】解法二

由(1)得f(x)=ex-x,g(x)=x-lnx,且f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)min=g(x)min=1.f(0)=1>0,g(1)=1>0,x→+∞時,f(x)→+∞,g(x)→+∞;x→0時,g(x)→+∞;x→-∞時,f(x)→+∞.則f(x)和g(x)的大致圖象如圖所示.當直線y=b與曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同交點時,設三個交

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