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六安一中2023年秋學(xué)期高二年級(jí)期末考試數(shù)學(xué)試卷時(shí)間:120分鐘滿(mǎn)分:150分一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求.1.下列結(jié)論正確的是()A.若,則B.若,則C.若,則D.若,則2.已知數(shù)列是首項(xiàng)為3,公差為1的等差數(shù)列,則()A.B.C.D.3.拋物線(xiàn)上到直線(xiàn)距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A.B.C.D.4.等比數(shù)列為遞減數(shù)列,若,,則()A.B.C.D.65.高階等差數(shù)列是數(shù)列逐項(xiàng)差數(shù)之差或高次差相等的數(shù)列,中國(guó)古代許多著名的數(shù)學(xué)家對(duì)推導(dǎo)高階等差數(shù)列的求和公式很感興趣,創(chuàng)造并發(fā)展了名為“垛積術(shù)”的算法,展現(xiàn)了聰明才智。如南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法·商功》一書(shū)中記載的三角垛、方垛、芻甍垛等的求和都與高階等差數(shù)列有關(guān)。如圖是一個(gè)三角垛,最頂層有1個(gè)小球,第二層有3個(gè),第三層有6個(gè),第四層有10個(gè),則第30層小球的個(gè)數(shù)為()A.462B.465C.468D.4756.已知函數(shù)為連續(xù)可導(dǎo)函數(shù),的圖象如圖所示,以下命題正確的是()A.是函數(shù)的最小值B.是函數(shù)的極小值C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.在處的切線(xiàn)的斜率大于07.設(shè)雙曲線(xiàn)的左,右焦點(diǎn)為,,若雙曲線(xiàn)右支上存在點(diǎn),使得,,成等差數(shù)列,則該雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍為()A.B.C.D.8.已知是定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,則不等式的解集是()A.B.C.D.二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知曲線(xiàn),則下列說(shuō)法正確的是()A.若,則為橢圓B.若,則為雙曲線(xiàn)C.若為橢圓,則其長(zhǎng)軸長(zhǎng)一定大于2D.曲線(xiàn)不能表示圓10.已知函數(shù),關(guān)于的性質(zhì),以下四個(gè)結(jié)論中正確的是()A.是奇函數(shù)B.函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)C.有兩個(gè)零點(diǎn)D.函數(shù)在處取得極小值11.設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),則下列結(jié)論中正確的有()A.離心率B.C.面積的最大值為1D.直線(xiàn)與以線(xiàn)段為直徑的圓相切12.對(duì)于數(shù)列,若,,,則下列說(shuō)法正確的是()A.B.?dāng)?shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列C.?dāng)?shù)列是等差數(shù)列D.?dāng)?shù)列是等差數(shù)列三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分13.已知等差數(shù)列滿(mǎn)足,則的值為_(kāi)______.14.已知曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直,則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)______.15.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)______.16.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,其離心率,和是橢圓上的點(diǎn),且,的面積為,是坐標(biāo)原點(diǎn),則的最小值為_(kāi)______.四.解答題:本小題共6小題,共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.(本小題滿(mǎn)分10分)公差不為零的等差數(shù)列中,,,成等比數(shù)列,且該數(shù)列的前10項(xiàng)和為100.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和的最小值.18.(本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù),.(1)求的單調(diào)區(qū)間與極值;(2)求在區(qū)間上的最大值與最小值.19.(本小題滿(mǎn)分12分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿(mǎn)足.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.20.(本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù),若有極大值,且極大值為2.(1)求的值;(2)若在上恒成立,求的取值范圍.21.(本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù),其最小值為.(1)求的值;(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍。22.(本小題滿(mǎn)分12分)已知在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)與橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)重合,點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn),橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,且的最大值為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)拋物線(xiàn)上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)作拋物線(xiàn)的切線(xiàn),交橢圓于A,B兩點(diǎn),線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的直線(xiàn),與直線(xiàn)OG交于點(diǎn),求證:點(diǎn)在定直線(xiàn)上.六安一中2023年秋學(xué)期高二年級(jí)期末考試數(shù)學(xué)試卷參考答案題號(hào)123456789101112答案BBBABDAABCCDBCDACD13.314.15.16.817.(1)設(shè)公差為,則,∴,,∴;5分(2),∴,.∴數(shù)列是等差數(shù)列,,,∴時(shí),最小值為.10分18.(1)由題設(shè),令,得或,當(dāng)時(shí),即,解得或,單調(diào)遞增區(qū)間為和.當(dāng)時(shí),即,解得,單調(diào)遞減區(qū)間為.函數(shù)的極大值為,極小值為.6分(2)由,,,則且在區(qū)間上連續(xù),函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最大值為54,最小值為.12分19.(1)因?yàn)椋賱t當(dāng)時(shí),得,解得.當(dāng)時(shí),,②①-②,得,即,又,,滿(mǎn)足上式,所以,所以是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以.6分(2)由(1)知,所以,所以,所以,所以.12分20.(1)易知函數(shù)的定義域?yàn)椋鶕?jù)題意可得,令,得,當(dāng)時(shí),,即在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,即在上單調(diào)遞減;所以,解得5分(2)由(1)知,因?yàn)?,所以可化為,設(shè),所以,則在上恒成立,即可得在上單調(diào)遞減,,因此的取值范圍是12分21.(1)因?yàn)?,所以,最小值在處取到,所以,?分(2)因?yàn)?,所以,又因?yàn)轱@然不是方程的根,所以。令,則,所以在和上單調(diào)遞增,在和上單調(diào)遞減。要想有兩個(gè)不同實(shí)根,即使與有兩不同交點(diǎn)即可。結(jié)合的圖象可知或.12分22.(1)∵∴,則為橢圓的上頂點(diǎn),∴.由題意知:當(dāng)為橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí),取
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