論極限的思想方法

論極限的思想方法一、本文概述本文旨在探討極限的思想方法，這是一種深入理解和研究數(shù)學、物理乃至其他科學領域的基礎工具。極限思想方法的起源可以追溯到古代哲學家對無窮小和無窮大的思考，而其在現(xiàn)代數(shù)學中的系統(tǒng)發(fā)展則主要歸功于17至19世紀的數(shù)學家們，如牛頓、萊布尼茨和柯西等。本文將首先簡要介紹極限概念的歷史發(fā)展和基本定義，然后詳細闡述極限思想方法在各個領域的應用，包括微積分、級數(shù)、微分方程等。接著，我們將通過一些經(jīng)典例題來展示極限思想方法的實際運用，以便讀者能更直觀地理解其重要性和實用性。本文還將探討極限思想方法對于培養(yǎng)科學思維的影響，以及它在解決實際問題中的潛在價值。我們希望，通過這篇文章，讀者能夠對極限的思想方法有更深入的理解，同時也能激發(fā)他們在學習和研究中運用這一強大工具的興趣。二、極限的基本概念極限是數(shù)學中的一個基本概念，它是研究函數(shù)變化趨勢的重要工具。極限的思想方法主要基于“逼近”的哲學思想，即當某個量無限趨近于某個值時，我們可以認為這個量就等于這個值。這種逼近的思想在數(shù)學中有著廣泛的應用，不僅限于函數(shù)的變化趨勢，還包括數(shù)列的收斂性、微積分的定義等多個領域。具體來說，極限描述了當自變量趨近于某個值或無窮大時，函數(shù)值的變化趨勢。如果函數(shù)值在自變量趨近的過程中無限接近于某個常數(shù)，那么這個常數(shù)就稱為函數(shù)在該點的極限值。極限的存在性可以通過一系列的數(shù)學定理和法則來判斷，如夾逼定理、單調有界定理等。極限的概念還可以推廣到更一般的情況，如多元函數(shù)的極限、函數(shù)的極限過程等。在多元函數(shù)中，極限描述了當所有自變量同時趨近于某個點時，函數(shù)值的變化趨勢。而函數(shù)的極限過程則描述了函數(shù)在某一變化過程中的變化趨勢，如無窮小量、無窮大量等。極限作為數(shù)學中的一個基本概念，是研究函數(shù)變化趨勢的重要工具。通過極限的思想方法，我們可以更深入地理解數(shù)學的本質和規(guī)律，為解決各種實際問題提供有力的支持。三、極限的思想方法極限的思想方法是數(shù)學領域中的一種基本思想方法，它涉及到數(shù)學的多個分支，包括微積分、實數(shù)理論、數(shù)列與級數(shù)等。極限的概念描述了當某一變量趨于某個值或無窮大時，另一變量所趨近的值。這種思想方法不僅在數(shù)學中有廣泛應用，也在物理學、工程學等其他領域起到了重要作用。極限的思想方法在微積分中占據(jù)核心地位。微積分是研究變化率的一種學科，而極限則是描述這種變化率的基本工具。例如，導數(shù)的定義就是函數(shù)在某一點的極限值，而積分則涉及到函數(shù)在某區(qū)間上的極限和。極限的思想方法使得微積分得以嚴密化，為其他學科提供了強大的數(shù)學工具。極限的思想方法在實數(shù)理論中也有著重要應用。實數(shù)理論是研究實數(shù)性質和結構的學科，而極限則是實數(shù)定義的基礎。例如，實數(shù)的連續(xù)性就是通過極限來定義的，這使得實數(shù)理論得以嚴密化，并為數(shù)學其他學科提供了堅實的基礎。極限的思想方法在數(shù)列與級數(shù)中也扮演著重要角色。數(shù)列是一系列有序的數(shù)字，而級數(shù)則是這些數(shù)字的和。極限的思想方法描述了數(shù)列的收斂性和級數(shù)的和的存在性。例如，無窮級數(shù)的和就是通過極限來定義的，這使得級數(shù)理論得以嚴密化，并為數(shù)學其他學科提供了有力的工具。極限的思想方法是數(shù)學領域中的一種基本思想方法，它涉及數(shù)學的多個分支，為其他學科提供了強大的數(shù)學工具。通過學習極限的思想方法，我們可以更好地理解數(shù)學的本質和規(guī)律，從而更好地應用于實際生活和工作中。四、極限思想方法的應用極限思想方法作為數(shù)學領域中的一種重要工具，其應用廣泛而深遠。它不僅在純數(shù)學的理論研究中占據(jù)重要地位，更在實際問題的解決中發(fā)揮著不可替代的作用。以下將詳細介紹極限思想方法在幾個重要領域中的應用。在物理學中，極限思想方法被廣泛應用于描述和解釋自然現(xiàn)象。例如，在經(jīng)典力學中，物體的運動軌跡往往通過極限的思想來描述，如速度、加速度等概念都是通過時間或位移的微小變化來定義的。在電磁學中，電場和磁場的強度也是通過極限思想來定義的，這有助于我們更準確地理解和描述物理世界。在經(jīng)濟學中，極限思想方法同樣具有重要意義。例如，在微觀經(jīng)濟學中，我們常常需要研究經(jīng)濟變量在某一特定條件下的最優(yōu)解，這往往涉及到求極值的問題。通過極限思想，我們可以更好地理解和描述經(jīng)濟現(xiàn)象的規(guī)律，從而為企業(yè)決策和政策制定提供理論支持。在工程學領域，極限思想方法同樣發(fā)揮著重要作用。例如，在結構設計中，我們需要考慮材料在極限狀態(tài)下的性能，以確保結構的安全性和穩(wěn)定性。通過極限思想，我們可以更準確地預測材料的破壞行為和結構的承載能力，從而為工程實踐提供有力支持。在計算機科學中，極限思想方法也廣泛應用于算法設計和分析。例如，在算法復雜度分析中，我們常常需要研究算法在輸入規(guī)模趨于無窮大時的性能表現(xiàn)，這涉及到極限的概念和性質。通過極限思想，我們可以更準確地評估算法的效率和可行性，從而推動計算機科學的發(fā)展。極限思想方法作為一種重要的數(shù)學工具，在各個領域中都發(fā)揮著不可替代的作用。它不僅幫助我們更深入地理解和描述自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象，更為解決實際問題提供了有力的理論支持。因此，我們應該深入學習和掌握極限思想方法，以更好地應對各種挑戰(zhàn)和問題。五、極限思想方法的哲學思考極限思想方法作為數(shù)學中的一個基本概念和工具，其實質是對無限逼近過程的抽象和概括。它不僅僅是一種數(shù)學方法，更是一種哲學思考方式，對人類的認知方式和世界觀產生了深遠的影響。極限思想方法體現(xiàn)了人類對無限的認識。在古希臘時期，哲學家們就開始探討無限的問題，但直到微積分的出現(xiàn)，人類才真正開始用數(shù)學的方式去描述和理解無限。極限思想方法就是描述和理解無限的一種重要方式，它讓我們能夠在有限的范圍內去逼近無限，從而更好地理解無限的本質。極限思想方法體現(xiàn)了人類對精確性的追求。在科學研究中，精確性是非常重要的。極限思想方法通過不斷地逼近精確值，使得我們能夠更加準確地描述和理解自然現(xiàn)象。這種追求精確性的精神，也體現(xiàn)了人類對于科學真理的探索和追求。極限思想方法還體現(xiàn)了人類對于整體和部分的辯證思考。在極限思想方法中，整體是由無數(shù)個部分組成的，而部分的變化又會影響整體的性質。這種整體和部分的關系，體現(xiàn)了辯證思考的精神。辯證思考是人類認識世界的一種重要方式，它讓我們能夠更好地理解事物的本質和規(guī)律。極限思想方法不僅是一種數(shù)學方法，更是一種哲學思考方式。它體現(xiàn)了人類對無限、精確性和整體與部分的辯證思考，對人類的認知方式和世界觀產生了深遠的影響。六、結論通過對極限思想方法的深入探討，我們不難發(fā)現(xiàn)，極限的思想方法是數(shù)學領域中一種極為重要且深遠的思維方式。這種方法不僅在數(shù)學理論的構建中起到了關鍵作用，更在解決實際問題中發(fā)揮了巨大的作用。極限的思想方法提供了一種以近似代替精確，以有限認識無限的有效手段。它讓我們能夠通過理解部分來把握整體，通過有限去認識無限，從而在復雜多變的自然現(xiàn)象和社會實踐中找到規(guī)律，把握本質。這種思維方法不僅深化了我們對數(shù)學的理解，也極大地推動了科學的進步。然而，極限的思想方法并非一蹴而就，它需要我們在實踐中不斷摸索，不斷嘗試。我們需要有足夠的耐心和決心，去克服在理解和應用過程中遇到的困難和挑戰(zhàn)。只有這樣，我們才能真正掌握極限的思想方法，將其應用到實際生活和工作中。極限的思想方法是一種深刻而實用的思維方式，它讓我們能夠在不確定和復雜的世界中找到秩序和規(guī)律。對于我們來說，理解和掌握極限的思想方法，不僅是對數(shù)學的學習，更是對生活的理解和洞察。在未來的學習和工作中，我們應該積極運用極限的思想方法，去探索未知，去解決問題，去創(chuàng)造新的可能。參考資料：極限的思想是近代數(shù)學的一種重要思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學思想。極限的思想是近代數(shù)學的一種重要思想，數(shù)學分析就是以極限概念為基礎、極限理論(包括級數(shù))為主要工具來研究函數(shù)的一門學科。所謂極限的思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學思想。用極限思想解決問題的一般步驟可概括為：對于被考察的未知量，先設法構思一個與它有關的變量，確認這變量通過無限過程的結果就是所求的未知量；最后用極限計算來得到這結果。極限思想是微積分的基本思想，數(shù)學分析中的一系列重要概念，如函數(shù)的連續(xù)性、導數(shù)以及定積分等等都是借助于極限來定義的。如果要問：“數(shù)學分析是一門什么學科?”那么可以概括地說：“數(shù)學分析就是用極限思想來研究函數(shù)的一門學科”。與一切科學的思想方法一樣，極限思想也是社會實踐的產物。極限的思想可以追溯到公元前，莊子的《逍遙游》中——“上下四方有極乎？無極之外，復無極也……”，可見莊子在宏觀上闡述了極限思維。公元后，劉徽的割圓術就是建立在直觀基礎上的一種原始的極限思想的應用；古希臘人的窮竭法也蘊含了極限思想，但由于希臘人“對無限的恐懼”，他們避免明顯地“取極限”，而是借助于間接證法——歸謬法來完成了有關的證明。到了16世紀，荷蘭數(shù)學家斯泰文在考察三角形重心的過程中改進了古希臘人的窮竭法，他借助幾何直觀，大膽地運用極限思想思考問題，放棄了歸繆法的證明。如此，他就在無意中“指出了把極限方法發(fā)展成為一個實用概念的方向”。極限思想的進一步發(fā)展是與微積分的建立緊密相聯(lián)系的。16世紀的歐洲處于資本主義萌芽時期，生產力得到極大的發(fā)展，生產和技術中大量的問題，只用初等數(shù)學的方法已無法解決，要求數(shù)學突破只研究常量的傳統(tǒng)范圍，而提供能夠用以描述和研究運動、變化過程的新工具，這是促進極限發(fā)展、建立微積分的社會背景。起初牛頓和萊布尼茨以無窮小概念為基礎建立微積分，后來因遇到了邏輯困難，所以在他們的晚期都不同程度地接受了極限思想。牛頓用路程的改變量ΔS與時間的改變量Δt之比ΔS/Δt表示運動物體的平均速度，讓Δt無限趨近于零，得到物體的瞬時速度，并由此引出導數(shù)概念和微分學理論。他意識到極限概念的重要性，試圖以極限概念作為微積分的基礎，他說：“兩個量和量之比，如果在有限時間內不斷趨于相等，且在這一時間終止前互相靠近，使得其差小于任意給定的差，則最終就成為相等”。但牛頓的極限觀念也是建立在幾何直觀上的，因而他無法得出極限的嚴格表述。牛頓所運用的極限概念，只是接近于下列直觀性的語言描述：“如果當n無限增大時，an無限地接近于常數(shù)A，那么就說an以A為極限”。這種描述性語言，人們容易接受，現(xiàn)代一些初等的微積分讀物中還經(jīng)常采用這種定義。但是，這種定義沒有定量地給出兩個“無限過程”之間的聯(lián)系，不能作為科學論證的邏輯基礎。正因為當時缺乏嚴格的極限定義，微積分理論才受到人們的懷疑與攻擊，例如，在瞬時速度概念中，究竟Δt是否等于零?如果說是零，怎么能用它去作除法呢?如果它不是零，又怎么能把包含著它的那些項去掉呢?這就是數(shù)學史上所說的無窮小悖論。英國哲學家、大主教貝克萊對微積分的攻擊最為激烈，他說微積分的推導是“分明的詭辯”。貝克萊之所以激烈地攻擊微積分，一方面是為宗教服務，另一方面也由于當時的微積分缺乏牢固的理論基礎，連牛頓自己也無法擺脫極限概念中的混亂。這個事實表明，弄清極限概念，建立嚴格的微積分理論基礎，不但是數(shù)學本身所需要的，而且有著認識論上的重大意義。在很長一段時間里，微積分理論基礎的問題，許多人都曾嘗試解決，但都未能如愿以償。這是因為數(shù)學的研究對象已從常量擴展到變量，而人們對變量數(shù)學特有的規(guī)律還不十分清楚；對變量數(shù)學和常量數(shù)學的區(qū)別和聯(lián)系還缺乏了解；對有限和無限的對立統(tǒng)一關系還不明確。這樣，人們使用習慣了的處理常量數(shù)學的傳統(tǒng)思想方法，就不能適應變量數(shù)學的新需要，僅用舊的概念說明不了這種“零”與“非零”相互轉化的辯證關系。到了18世紀，羅賓斯、達朗貝爾與羅依里埃等人先后明確地表示必須將極限作為微積分的基礎概念，并且都對極限作出過各自的定義。其中達朗貝爾的定義是：“一個量是另一個量的極限，假如第二個量比任意給定的值更為接近第一個量”，它接近于極限的正確定義；然而，這些人的定義都無法擺脫對幾何直觀的依賴。事情也只能如此，因為19世紀以前的算術和幾何概念大部分都是建立在幾何量的概念上面的。首先用極限概念給出導數(shù)正確定義的是捷克數(shù)學家波爾查諾，他把函數(shù)f（x）的導數(shù)定義為差商Δy/Δx的極限f′（x），他強調指出f′（x）不是兩個零的商。波爾查諾的思想是有價值的，但關于極限的本質他仍未說清楚。到了19世紀，法國數(shù)學家柯西在前人工作的基礎上，比較完整地闡述了極限概念及其理論，他在《分析教程》中指出：“當一個變量逐次所取的值無限趨于一個定值，最終使變量的值和該定值之差要多小就多小，這個定值就叫做所有其他值的極限值，特別地，當一個變量的數(shù)值（絕對值）無限地減小使之收斂到極限0，就說這個變量成為無窮小”?？挛靼褵o窮小視為以0為極限的變量，這就澄清了無窮小“似零非零”的模糊認識，這就是說，在變化過程中，它的值可以是非零，但它變化的趨向是“零”，可以無限地接近于零。柯西試圖消除極限概念中的幾何直觀，作出極限的明確定義，然后去完成牛頓的愿望。但柯西的敘述中還存在描述性的詞語，如“無限趨近”、“要多小就多小”等，因此還保留著幾何和物理的直觀痕跡，沒有達到徹底嚴密化的程度。為了排除極限概念中的直觀痕跡，維爾斯特拉斯提出了極限的靜態(tài)的定義，給微積分提供了嚴格的理論基礎。所謂an=A，就是指：“如果對任何ε＞0，總存在自然數(shù)N，使得當n＞N時，不等式|an－A|＜ε恒成立”。這個定義，借助不等式，通過ε和N之間的關系，定量地、具體地刻劃了兩個“無限過程”之間的聯(lián)系。因此，這樣的定義是嚴格的，可以作為科學論證的基礎，至今仍在數(shù)學分析書籍中使用。在該定義中，涉及到的僅僅是數(shù)及其大小關系，此外只是給定、存在、任取等詞語，已經(jīng)擺脫了“趨近”一詞，不再求助于運動的直觀。眾所周知，常量數(shù)學靜態(tài)地研究數(shù)學對象，自從解析幾何和微積分問世以后，運動進入了數(shù)學，人們有可能對物理過程進行動態(tài)研究。之后，維爾斯特拉斯建立的ε－N語言，則用靜態(tài)的定義刻劃變量的變化趨勢。這種“靜態(tài)——動態(tài)——靜態(tài)”的螺旋式的演變，反映了數(shù)學發(fā)展的辯證規(guī)律。設函數(shù)f(x)在點x。的某一去心鄰域內有定義，如果存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)ε（無論它多么?。偞嬖谡龜?shù)δ，使得當x滿足不等式0＜|x-x。|＜δ時，對應的函數(shù)值f(x)都滿足不等式：極限思想揭示了變量與常量、無限與有限的對立統(tǒng)一關系，是唯物辯證法的對立統(tǒng)一規(guī)律在數(shù)學領域中的應用。借助極限思想，人們可以從有限認識無限，從“不變”認識“變”，從直線形認識曲線形，從量變認識質變，從近似認識精確。無限與有限有本質的不同，但二者又有聯(lián)系，無限是有限的發(fā)展。無限個數(shù)的和不是一般的代數(shù)和，把它定義為“部分和”的極限，就是借助于極限的思想方法，從有限來認識無限的?！白儭迸c“不變”反映了事物運動變化與相對靜止兩種不同狀態(tài)，但它們在一定條件下又可相互轉化，這種轉化是“數(shù)學科學的有力杠桿之一”。例如，要求變速直線運動的瞬時速度，用初等方法是無法解決的，困難在于速度是變量。為此，人們先在小范圍內用勻速代替變速，并求其平均速度，把瞬時速度定義為平均速度的極限。曲線形與直線形有著本質的差異，但在一定條件下也可相互轉化，正如恩格斯所說：“直線和曲線在微分中終于等同起來了”。善于利用這種對立統(tǒng)一關系是處理數(shù)學問題的重要手段之一。直線形的面積容易求得，求曲線形的面積問題用初等的方法是不能解決的。劉徽的割圓術就是從直線形來認識曲線形的典型例子。量變和質變既有區(qū)別又有聯(lián)系，兩者之間有著辯證的關系。量變能引起質變，質和量的互變規(guī)律是辯證法的基本規(guī)律之一，在數(shù)學研究工作中起著重要作用。對任何一個圓內接正多邊形來說，當它邊數(shù)加倍后，得到的還是內接正多邊形，是量變而不是質變；但是，不斷地讓邊數(shù)加倍，經(jīng)過無限過程之后，多邊形就“變”成圓，多邊形面積便轉化為圓面積。近似與精確是對立統(tǒng)一關系，兩者在一定條件下也可相互轉化，這種轉化是數(shù)學應用于實際計算的重要訣竅。前面所講到的“部分和”、“平均速度”、“圓內接正多邊形面積”，分別是相應的“無窮級數(shù)和”、“瞬時速度”、“圓面積”的近似值，取極限后就可得到相應的精確值。設函數(shù)f(x)在點x。的某一去心鄰域內有定義，如果存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)ε（無論它多么?。偞嬖谡龜?shù)δ，使得當x滿足不等式0＜|x-x。|＜δ時，對應的函數(shù)值f(x)都滿足不等式：極限的思想方法貫穿于數(shù)學分析課程的始終?？梢哉f數(shù)學分析中的幾乎所有的概念都離不開極限。在幾乎所有的數(shù)學分析著作中，都是先介紹函數(shù)理論和極限的思想方法,然后利用極限的思想方法給出連續(xù)函數(shù)、導數(shù)、定積分、級數(shù)的斂散性、多元函數(shù)的偏導數(shù),廣義積分的斂散性、重積分和曲線積分與曲面積分的概念。如：（1）函數(shù)在點連續(xù)的定義，是當自變量的增量時，函數(shù)值的增量趨于零的極限。（2）函數(shù)在點導數(shù)的定義，是函數(shù)值的增量與自變量的增量之比，當時的極限。（3）函數(shù)在上的定積分的定義，是當分割的細度趨于零時，積分和式的極限。（5）廣義積分是定積分其中為任意大于的實數(shù)當時的極限，等等。極限思想方法是數(shù)學分析乃至全部高等數(shù)學必不可少的一種重要方法，也是數(shù)學分析與初等數(shù)學的本質區(qū)別之處。數(shù)學分析之所以能解決許多初等數(shù)學無法解決的問題（例如求瞬時速度、曲線弧長、曲邊形面積、曲面體體積等問題），正是由于它采用了極限的思想方法。有時我們要確定某一個量，首先確定的不是這個量的本身而是它的近似值，而且所確定的近似值也不僅僅是一個而是一連串越來越準確的近似值；然后通過考察這一連串近似值的趨向，把那個量的準確值確定下來。這就是運用了極限的思想方法。因為9循環(huán)8循環(huán)=1循環(huán)，所以等式兩邊同時去掉“0”與“.”后有9循環(huán)8循環(huán)=1循環(huán)。我們知道在任何時候9循環(huán)等于9循環(huán)，不可能你在做一道題時你前一分鐘使用的9循環(huán)比后一分鐘使用的9循環(huán)小，有9循環(huán)的小數(shù)位循環(huán)與時間沒有關系。循環(huán)小數(shù)是常數(shù)，循環(huán)整數(shù)是以循環(huán)小數(shù)為基礎得來的，決定了循環(huán)整數(shù)也是常數(shù)，且循環(huán)整數(shù)不是無窮大的數(shù)，因為無窮大是變量，而常數(shù)在數(shù)軸上有對應的固定點，如果循環(huán)整數(shù)不是常數(shù)，就會反推出循環(huán)小數(shù)也不是常數(shù)，顯然循環(huán)小數(shù)是常數(shù)，有循環(huán)整數(shù)也是常數(shù)?？傻?循環(huán)的整數(shù)位循環(huán)與時間沒有關系且9循環(huán)的整數(shù)位個數(shù)等于9循環(huán)的小數(shù)位個數(shù)。設Q=9循環(huán)/9循環(huán)，有Q9循環(huán)=1，得到9循環(huán)=Q/Q9循環(huán)/Q=1/Q。找到了大于..而小于1的常數(shù)，如.....＜.....+01/9循環(huán)＜1。綜上，循環(huán)整數(shù)的引入，導致.....0，與極限思想的1=.....存在不同的結果。極限論有多個指代意義。一是作為微積分的基礎，高等數(shù)學研究的主要內容是函數(shù)的微積分，微積分是研究函數(shù)的行為、性質和應用的數(shù)學學科，它的基本內容為：極限論、微分學和積分學，微分學研究函數(shù)的局部性質，積分學研究函數(shù)的全局性質，而極限論是整個微積分的基礎。極限論還指“增長極限論”，關于世界經(jīng)濟增長受環(huán)境制約最終將被迫停止的理論觀點。由美國學者米都斯(D.H.Meadows)等人受羅馬俱樂部委托后經(jīng)研究提出。全部內容見《增長的極限》。極限論是數(shù)學分析的基礎，它研究極限的性質及極限存在的條件，建立求極限的法則，通過這些法則能夠利用某些簡單的變量的極限求出這些量的簡單函數(shù)的極限。極限論的基礎是無窮小量的概念，也就是極限為0的變量，變量以常數(shù)為其極限的充要條件是差是無窮小量，若變雖趨向于極限a且，則從某一種時刻起，其所有值都大于p(小于q)，變量不能同時有兩個不同的極限。極限論中有一系列關于簡化求極限過程的定理。若和對于所有的n都有，而和都有有窮極限，則a≥b。若，且存在極限，則亦有相同的極限，即。對于變量可以實行算術四則運算，若存在有窮極限(且b≠0)，則存在有窮極限。若或，則分別有和，若兩序列同時趨向于0或，則分別稱為不定型和，要確定不定型，也就是確定的極限，可以采用不同的方法，最一般而簡便的方法是洛必達法則。極限論還建立了極限存在準則(收斂準則)，若單調不減，并有上界，則存在(若無上界，則當時)，對于單調不增而有下界的序列亦有類似結論。在一般情況下，序列xn有有窮極限的充要條件是對于任意小的ε>0，存在著正整數(shù)N，當n>N，n'>N時，不等式成立(柯西-波爾查諾定理)，換句話說，當變量xn的角碼增大時，其值就彼此無限地接近起來。在極限論中還研究序列，其中各項是從已知的xn中取出的，nk——遞增的某自然數(shù)序列：這里取所有自然數(shù)值的角碼已不是n，而是k；當時，這個序列叫做部分序列。若原序列有極限，則其部分序列亦有相同的極限，對于任一有界序列總可以找出具有有窮極限的部分序列(波爾查諾-維爾斯特拉斯原理)，這個極限稱為已知序列的部分極限(或聚點)，總存在有最大的部分極限(和最小的部分極限()，若，則xn有極限(通常意義下的極限)，它們的相同的值就是極限值。上述關于變量xn(數(shù)值序列)的所有基本概念都可以推廣到函數(shù)上去。當時的充要條件是：對于以a為極限的任一數(shù)值序列，所對應的函數(shù)值序列，即數(shù)值序列，…有其自己的極限b。古希臘的學者們曾運用極限過程求各種圖形的面積，雖然那時還沒有“極限”這個術語，極限論是17世紀開始建立的，符號lim是牛頓引入的(1686)，他為了流數(shù)方法而發(fā)展了極限論，單調序列極限的概念是由法國數(shù)學家達蘭貝爾建立的，近代極限論是建立在波爾查諾-柯西準則(1817)基礎上的，現(xiàn)代的極限的定義是由德國數(shù)學家維爾斯特拉斯給出的(1880)。微積分概念的基本原理屬于無窮小問題，但并非“無窮小”世界的全部，如果已經(jīng)認清了無窮小，自然對建立微積分游刃有余，反之，若僅從微積分概念的需要出發(fā)，則并不需要完全地認清“無窮小”，只需極限論即可。亦即無窮小認識對于建立微積分的需要來說是充分的，但并非必要，當然，這點只是個認識性結論，僅是建立在實際觀察基礎上的，并沒有嚴格的邏輯證明，事實上，從當初極限論的誕生能折服整個科學界這點，加上逾一個世紀的科學實踐檢驗，我們有理由相信，它對于微積分學的基礎來說已是足夠的，因此單純從微積分角度說，極限論應該是值得肯定的。但我們這里是以完全地認識“無窮小世界”為目標，那么，在此標準下即可發(fā)現(xiàn)，極限論是不能代替無窮小認識的，因而相對來說，它是有缺陷的。周期是自然界廣泛存在的一種典型的用來表現(xiàn)無窮的有限形式，因此其理論也十分重要且廣泛。那么，極限論包括無窮級數(shù)形式研究可算是另一種用有限來表征無窮的形式，甚至還是用以獲得無窮結論的手段。這是十分了不起的。由于極限的(公理化)定義來得簡練而確切，致使由它建立起來的微分、積分定義也來得簡練明快，沒有繁復之感，以致整個微積分方法之容易掌握和運用，被科技界公認為“算術化”了的方法，它完全可以被列為算術第九則、十則運算，歸根結底這是極限概念之簡練性獲得的效果。因為百余年來甚至說300余年來對微積分學激烈的研究，已經(jīng)是對極限定義的一個嚴格檢驗過程?；蚩梢哉f，幾百年來，微積分學已被研究得相當成熟，盡管今天在初等微積分范圍內還有論文，但已看不到突破性、基礎性成果了，一個學科能達到這種狀態(tài)已算是成熟的了，但是，卻一直未發(fā)現(xiàn)在微積分意義下極限概念有什么不足。不過必須指出，只能說是從微積分學來講，極限論是成功的、完備的，不過將看到，若超出微積分概念，直接針對無窮小的認識，極限概念則顯得遠遠不足了。極限的思想方法是數(shù)學中一種非常重要的思想方法，它在許多數(shù)學問題和科學領域中都有廣泛的應用。本文將介紹極限思想的起源、基本原理、方法論以及在數(shù)學和科學中的應用，以幫助讀者更深入地理解這一重要的思想方法。極限思想可以追溯到古代數(shù)學，早在公元前300年左右，希臘數(shù)學家歐多克索斯就研究了極限的初步概念。然而，極限思想真正的發(fā)展和完善是在19世紀末和20世紀初，當時一些著名的數(shù)學家如波爾約、康托爾和維爾斯特拉斯等人對極限理論做出了重要貢獻。極限思想在科學領域中的應用也非常廣泛，例如物理學、化學、生物學、工程學等。這些學科的研究中經(jīng)常涉及到一些變化過程，而極限思想正是研究這些變化過程的重要工具。極限的思想方法包括極限的定義、性質及證明。在數(shù)學中，極限被定義為如果對于給定的實數(shù)ε>0，存在一個正整數(shù)N，使得當n>N時，|an-a|<ε成立，則a是數(shù)列{an}的極限。這個定義表明，數(shù)列{an}趨向于a，當n趨向于無窮大時。保序性質：如果一個數(shù)列的極限大于（或小于）另一個數(shù)列的極限，那么這個數(shù)列也大于（或小于）另一個數(shù)列。傳遞性質：如果數(shù)列{an}的極限等于a，數(shù)列{bn}的極限等于b，那么數(shù)列{an+bn}、數(shù)列{anbn}的極限也等于a+b和ab。定義證明：通過定義證明數(shù)列收斂于某個值，即證明對于任意給定的ε>0，存在一個正整數(shù)N，使得當n>N時，|an-a|<ε成立。柯西證明：利用柯西收斂準則證明數(shù)列收斂，即證明數(shù)列的前n項和與前n-1項和之間的差趨向于0，也就是lim(s_n-s_{n-1})=0。使用微積分、級數(shù)等數(shù)學知識，將變量或函數(shù)進行近似處理，從而得到問題的近似解。通過分析和綜合的思維過程，將問題拆解為更簡單的部分，從而更容易求解。通過計算機模擬、數(shù)