三角恒等變換-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義與練習(xí)（新高考）解析版

考點(diǎn)08三角恒等變換(核心考點(diǎn)講與練)

----~^

考點(diǎn)考向

一、任意角的三角函數(shù)

(1)定義：設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(X,y),那么Sina=2，cosα=χ,tana=#XW0).

(2)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示，正弦線的起點(diǎn)都在X軸上，余弦線的起點(diǎn)都是

原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是(1,0).如圖中有向線段MP,OM,AT分別叫做角a的正弦線、余弦線和正切線.

二、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式

L同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)平方關(guān)系：Sin'a+cos'"=1.

(2)商數(shù)關(guān)系：?=tana.

COSa

2.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

公式—■二三四五

ππ

一

角2Aπ+σ(A∈Z)Jl+4——aπa~05+“

正弦sina一sina一sinaSinaCosaCOSa

余弦coso—cosQCOSQ—cosQSina—sina

二

正切tanQtana-IanQ一tana

函數(shù)名改變，符號(hào)看象

口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限

限

三、解兩角和嘉的!印、余淵正切公式

1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

sin(a+β)=Sinacos￡±cosasinB.

cos(a+β)=COSacos6±sinaSinβ.

tan。土tan￡

tan（。土￡）=

1年tanOlanB'

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin2a=2Sinαcosa.

cos2a=COS2。一sin?α=2COs'a—1=1-2sin%.

2tanJ

tan2

1—tana`

3.函數(shù)f（0）=asina+Acosa（a,。為常數(shù)），可以化為F（。）=，/+6飛行（a+0）（其中tan。=今或

F（α）=、W+6?cos（。一0）（其中tan≠=^l

［名師提醒］

1.tano÷tan￡=tan（?！馈辏╨zFtanotan￡）.

C1+cos2o.21-cos2o

2.co2sa=-------------,sιn-Q=---------------.

3.1+sin2。=（Sina+cosa）',1—sin2。=（Sino-cosa）M

sina÷cosα=鏡Sin（α

1.定義法求三角函數(shù)值的三種情況

①已知角ɑ終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，可求角α的三角函數(shù)值.先求P到原點(diǎn)的距離，再用三角函數(shù)的定義求

解；

②已知角α的某三角函數(shù)值，可求角α終邊上一點(diǎn)尸的坐標(biāo)中的參數(shù)值，可根據(jù)定義中的兩個(gè)量列方程求

參數(shù)值；

③已知角ɑ的終邊所在的直線方程或角ɑ的大小，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角α終邊上某特定點(diǎn)的坐標(biāo).

2.三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的方法

弦切互化，異名化同名，異角化同角，降累或升基.

在三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)中“次降角升''和“次升角降”是基本的規(guī)律，根號(hào)中含有三角函數(shù)式時(shí)，一般需要升次.

3.“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來(lái)看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有

一定關(guān)系，解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解.

4.“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角

相同或具有某種關(guān)系.

5.“給值求角”：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角.

三角函數(shù)的定義

?.（2020湖北百所重點(diǎn)校高三聯(lián)考）已知角e的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（X,3）（x<o）且COSe=?！?則X等于

（）

1

A.-1B.——C.-3

3DT

【答案】A

X

【詳解】試題分析：依題意有CoSe=A,x=-ι.

√√7?10

考點(diǎn)：三角函數(shù)概念.

2.已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊在X軸非負(fù)半軸的銳角α繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)三后，終邊交單位圓于Px,半，則

Sina的值為（）

A?-3√ΣB3√Σ-ec二+3√ΣD3√∑+百

6666

【答案】C

【分析】設(shè)銳角ɑ繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)^■后得角夕，由/+；=1,則jc=±業(yè)，按X的值分類討論結(jié)合三角

函數(shù)的定義，求解即可，根據(jù)條件進(jìn)行取舍.

JTJT

【詳解】設(shè)銳角α繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)W后得角夕，則尸=α+g,由α為銳角,

根據(jù)題意角夕終邊交單位圓于p。,#）,則f+g=ι,則χ=±半

若X=乎，則Sin￡=4,CoS/?=q

所以Sina=Sin(/?-2)=sin/?CoS至一COS∕?Sin2=g-<0，與。為銳角不符合.

3336

若X=一^?，則Sin夕=4>cos夕=~~~~

所以Sina=sin(∕7--)=sinβcos--cos/jsin?=---------->0，滿足條件.

3336

故選：C.

>化簡(jiǎn)求值

（湖北武漢模擬）

1.20201-^tanl0o=

1

kO1c√3d1

422

【答案】A

【分析】利用三角函數(shù)的切化弦結(jié)合正弦二倍角以及輔助角公式對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)即可得答案.

sinl0osin100cosl00

l-√3tanl0o-cosl00-√3sinl00

2sin10ocos10°

~TΛ>

4?λcos100--SinlO0

22

/

sin20°

^4sin(30o-10o)

?

^4-

故選：A

2.（2022高三一輪復(fù)習(xí)聯(lián)考（一）（全國(guó)1卷））已知Sin（A—c）=*,則Sin（K+2α）=.

【答案】-1?

6

再利用:倍角得余弦公式即可得解.

、

【詳解】解：sin+2==sin--2-COsN--CT

/2Ll?)

π5

2sin2I2I

34=?6

5

故答案

6

cos2a

3.(2022河南省大聯(lián)考)若=CoS(乃+二),則tan--2a()

COSa+sin二U

?1

A.-7B.7C.----D.-

77

【答案】A

【分析】山題可得tan。=2,然后利用二倍角公式及兩角差公式即求.

cosIa

【詳解】由--------:—=COS(Tr+c)得

COSa+sιna

cos26τ-sin2aH.

-------------；------=-cosaιψncosa—sιna——cosa

CoSa+sinα

4

3

故選：A.

/??OC?CL

4.(2022云南省昆明市五華區(qū)高三模擬)若αe(0,π),COS20=sin-5-CoS-5，則α=

TT

【答案】?

3

【分析】根據(jù)余弦的二倍角公式化簡(jiǎn)即可求值.

。CC

【詳解】因?yàn)閏os2a=2COS2a—l=sin2----cos2—=-cosa,

22

所以COSa=-1或COSa=J,

2

又a∈(0,7t),

所以a二2，

3

π

故答案為：■—

3

5.(2020四川南充模擬)已知α∈(θ,?^J,∕?∈(θ,∕｝且CoSa=g,cos(α+⑶=*，則/=

Tt

【答案】-

3

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式及已知條件，分別求得Sina及sin(α+"),由

sinβ=Sin[(α+/?)—α],利用正弦差角公式展開(kāi)即可求得Sinp的值，再由尸《O.］我可得力.

【詳解】因?yàn)閍eO,1,即吟，且CoSa=cos(a+β]=--,

7v14

所以由同角三角函數(shù)關(guān)系式可得Sina=λ∕l-cos2a=

7

sin(α+,)=JI-cos2

(尸)14

則sin/=Sin[(α+∕7)-α]

=Sin(a+4)cosa-cos(α+4)sina

5y∕31

=------X-----II)X遞

147I1472

因?yàn)?7∈(0,萬(wàn)

TT

所以，=§.

乃

故答案為：一.

3

【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，正弦差角公式的展開(kāi)式及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

生=（

I.（2021年全國(guó)高考乙卷）COS2——COS)

1212

1R6√2

A.—D.----r

232DT

【答案】D

■JTJT

【分析】由題意結(jié)合誘導(dǎo)公式可得cos22-cos2-COS2--Sin2不，再山二倍角公式即可得解.

12121212

2TC25κ2兀2

ππ2萬(wàn).24

【詳解】由題意，COS-----COS—=CoS------cos^^=Cos-----sin—

1212122^~121212

π√3

=COS-

6^2~

故選：D.

cosa

2.（2021年全國(guó)高考甲卷）若αw（θ,∣^,tan2a-—；—,貝IJtana=()

2—SIna

AD?/?r.?/?

ι?.O.-----X-.-----

1553

【答案】A

【分析】由二倍角公式可得tan2α=堊也=2SmaCfs,再結(jié)合已知可求得4n。=?L,利用同角三

cos2al-2sina4

角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.

【詳解】tan2a=----------

2-Sina

Csin2a2sin。cosaCoSa

.,.tan2a=--------=----------?——=-----------,

cos2al-2sin-a2-sin0

(八??C2sin=1W.1

aE?0,—,「.cos。聲O,/.--------?-=-----------,解得Slna=一，

I2)l-2sin2a2-Sina4

r----r?-V15sinaV15

.?.cosa=?j?l-sin-a=-----，/.tana=-------=------?

4COSa15

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用二倍角公式化簡(jiǎn)求出sin。.

3.（2021年全國(guó)新高考I卷）若tan6=-2,則絲怨士吧"?=（）

sinθ+cosθ

【答案】C

【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡(jiǎn)，然后增添分母（I=Sin26+cos26）,進(jìn)行齊次化

處理，化為正切的表達(dá)式，代入tan8=-2即可得到結(jié)果.

【詳解】將式子進(jìn)行齊次化處理得：

Sine(I+sin2。)sin^(sin20+cos26+2sin6cose)

=Sine(Sin8+CoSe)

Sine+cos8Sine+cos。

_sin。（Sine+cos。）_tan2^+tan6,_4-2_2

sin2+cos2θl+tan2θ1+45

故選：C.

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題如果利用tan6=-2,求出SinaCoSe的值，可能還需要分象限討論其正負(fù)，通

過(guò)齊次化處理，可以避開(kāi)了這一討論.

一、單選題

1.（2022.河北.模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）=Sin5-6COS5（3>0）,若/（x）的圖象在區(qū)間（0,萬(wàn)）上有且只

有1個(gè)最低點(diǎn)，則實(shí)數(shù)”的取值范圍為（）

（137^1b（125'

a?lT,2j?匕力

-11\（1123'

C.—,+°°d?T'^Γ

L6）166」

【答案】D

【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)可得"x）=2sin[0x-2｝根據(jù)X的范圍，可求得S-5的范圍，根據(jù)題意,

分析可得當(dāng)計(jì)算即可得答案.

【詳解】由題意得f（X）=sin0x-6cos0x=2sin（0x-g）,

因?yàn)閄e（O,萬(wàn)），

π（ππ?

所以O(shè)X-Iel_§，0萬(wàn)一§）

因?yàn)椤唉郑┯星抑挥?個(gè)最低點(diǎn)，

by3乃π.11,23

所以――<①幾――≤—-,解nz得h”<G≤—.

232o6

故選：D

2.（2022.遼寧丹東.一模）已知ɑe［碧），若tan（α+］）=-2,則cos（α+總=（）

?3√10r√10r√Wn3√I0

10101010

【答案】C

TTTTπ

【分析】根據(jù)題意，確定α+［的范圍，結(jié)合其正切值，求得正弦和余弦值，再用α+（湊出目標(biāo)角α+看,

利用余弦的和角公式即可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)楱籩（m,）,則α+g∈（g肛弓■萬(wàn)）,又tan（α+［=-2<0,故α+界?萬(wàn)）,

故COSlα+總=COS(α+升?π?π.(.π

=COSα+-cos—+sιnα+-sin—

3j4I3)4

=克X@+2J述］√W

2525?

故選：C.

3.(2022?四川廣安?一模(理))若o∈(θ,j∣^,sin2a=cos2a?則cos2a的值為()

313

A.--B.—C.OD.一

525

【答案】D

【分析】結(jié)合二倍角公式化簡(jiǎn)可求tanα=g,再結(jié)合萬(wàn)能公式可求cos2α.

【詳解】因?yàn)閟in2a=cos2a,所以COSa≠0目.2SinaCOSa=CoS,

1

Arm1C，.21-tan2aΛ3

傕得tana=-,所以cos2a=cos-a-sm^cr=-------∑—=—?=-.

21+tanaj+?5

4

故選：D

4.(2022?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè))在AABC中，tanΛ+tanB+√2=√2tanAtanB,則tan2C=()

A.-2√2B.2√2C.-2√3D.2√3

【答案】A

【分析】利用兩角和的IE切公式和二倍角公式求解.

【詳解】因?yàn)閠anA+tanB=0tanAtanB-0=&(tanAtanB-I),

所以tan(A+8)=taneanB=0(tan4an8T)一人,

1-tanAtanB1-tanAtanB

所以tanC=tan[)一(A+3)]=血,

tan2C=且華=淳=-20,

l-tan2C13

故選：A.

二、多選題

5.(2022?江蘇?南京市第一中學(xué)三模)在一ABC中，cos2Λ+cos2B=I,則下列說(shuō)法正確的是()

A.ISinAl=ICOS網(wǎng)B.A+B=-

2

C.SinASin3的最大值為TD.tanAtanB=±1

【答案】ACD

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合cos"+sin"=l得卜inA∣=∣cos同，—;+「二；=1，進(jìn)而得

'1'tan2A+ltan~B+l

tanAtanB=±l,可判斷AD；進(jìn)而得COS(A—8)=0或CoS(A+8)=0,故A-B=］或A+5=、，再分別討

論SinAsinB的最大值問(wèn)題即可判斷BC.

【詳解】解：因?yàn)镃oS2A+cos?8=1,cos2Λ÷sin2A=I,

cos2Acos2B

22

所以sinA=cosB,2=1

COSA+sin2Acos2B÷sin2B

11

所以卜inA∣=∣cos網(wǎng),----?--------*-----7-------=1,故A選項(xiàng)正確;

tan^A+ltairB+1

所以，tan2A+l+tan28+1=tan2β?tan2A÷tan2A+tan2B÷l,即tan2^?tan2A=I；

所以tanAtanZJ=±l,故D選項(xiàng)正確;

所以SinASin3=±cosA8s3,即COS(A-3)=0或COS(A+3)=0,

TTTT

所以A-B=7或A+3=7,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

22

當(dāng)A-8=5時(shí)，8e(θ,g),

sinAsinB=sinI—+BjsinB=sinBcosB-?sin2B≤-,當(dāng)且僅當(dāng)5=工時(shí)，此時(shí)A=2+二二網(wǎng),不滿足

<2)224244

內(nèi)角和定理；

當(dāng)A+8=:|?時(shí)，B∈^0,-yj,

sinAs?nB=sinf--θjsinB=sinθcosB=?sin2B≤-f當(dāng)且僅當(dāng)B=工時(shí)，此時(shí)A=工―工=工，滿足題意.

12J224244

綜上，SinASinB的最大值為故C選項(xiàng)正確.

故選：ACD

6.(2022?重慶?模擬預(yù)測(cè))重慶榮昌折扇是中國(guó)四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年間，明末已成為貢

品人朝，產(chǎn)品以其精湛的工業(yè)制作而聞名于海內(nèi)外.經(jīng)歷代藝人刻苦鉆研、精工創(chuàng)制，榮昌折扇逐步發(fā)展

成為具有獨(dú)特風(fēng)格的中國(guó)傳統(tǒng)工藝品，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜愛(ài).古人曾有詩(shī)

贊日：“開(kāi)合清風(fēng)紙半張，隨機(jī)舒卷豈尋常；金環(huán)并束龍腰細(xì)，玉柵齊編鳳翅長(zhǎng)，偏稱游人攜袖里，不勞侍

女執(zhí)花傍；宮羅舊賜休相妒，還汝團(tuán)圓共夜涼”圖1為榮昌折扇，其平面圖為圖2的扇形COZ),其中

NCOO=,,OC=3O4=3,動(dòng)點(diǎn)尸在Co上(含端點(diǎn))，連接OP交扇形OAB的弧AB于點(diǎn)。，且

OQ=xOC+yOD,則下列說(shuō)法正確的是()

圖1圖2

2

A.若y=x,則x+y=§B.若y=2x,則OA?0P=()

C.AB-PQ≥-2D.PAPB≥^-

【答案】ABD

【分析】建立平面直角系，表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)分COSe,sin6),?！蔥0,"],可得析3cos6,3sin6),由

OQ=xOC+yOD,結(jié)合題中條件可判斷A,B:衣不出相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合三角函數(shù)

的性質(zhì)，可判斷C,D.

【詳解】

如圖，作OELOC,分別以",OE為χ,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,

則A(l,0),C(3,0),B(-i?D(-∣,?,

2222

設(shè)Q(CoSaSine),6∈[O,與],則P(3cose,3sinO),

山OQ=XoC+yθ?？傻胏os9=3x-Ty,sin。=乎y,fLx>O,y>O,

若丁=*,則cos2+sin2=(3x--∣x)2+x>=1，

12

解得％=y=1，(負(fù)值舍去)，故x+y=§,A正確；

若y=2x,p∣∣Jcos0=3x-∣γ=O,OAoP=(1,0)?(0,1)=0,故B正確；

AB?PQ=(一T，?~),(2COSθ,2sin6)=Gsin6-3cosθ=2百sin(6-?),

由于6∈[0,爭(zhēng)，故6一梟[一爭(zhēng)幸,故2&in(嶗)≥-3,故C錯(cuò)誤;

山丁PA=(3CoSe-1,3Sine),PB=(3cos^+?^,3sin,

故PApB=(3COSe-1,3sin9)?(3cose+g,3sin6-^)

=--3sιn(θ+-),而e+?7∈[?,?-J,

2666767

故P4?PB=g-3sin(e+f)≥=-3=1,故D正確，

2622

故選：ABD

7.（2022?湖北?黃岡中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知向量AB=（肛鬲）,βC=（n,-√3∕n）（W,H>0）,且IBMl=I,AM=χAC,

其中x=l-2cos^,下列說(shuō)法正確的是（）

Jl

A.48與AC所成角的大小為§B.X1-3X2+1≠0

C.當(dāng)IABl=Ti二7時(shí)，∣A8∣+∣8C∣取得最大值D?∣A8∣+∣8C∣的最大值為3-x

【答案】AD

【分析】利用向量夾角定義和模的求法即可選定A選項(xiàng)，利用正弦倍角公式和積化和差公式可以排除B選

項(xiàng)，根據(jù)均值不等式和余弦定理結(jié)合選項(xiàng)B中得出的結(jié)論即可判斷C選項(xiàng)和D選項(xiàng)的正誤.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：因?yàn)锳B=（孫百根），BC=（〃,一Gn）

AB?AC=m2÷inn

所以有：AC=（根+〃,0）?222，解得

AB?AC=∣AB∣?∣ΛC∣?cos<A8,AC)=ψn+(?∣3m)?y∣(m+n)?cosAB,AC^

cos<AB,AC>=—,

2

所以AB與AC所成角的大小為三π；

A.7T

對(duì)于B選項(xiàng)：x=l-2cos-=l-2cos80=l-2sinlθ,

因?yàn)?[2(2sinl0cos10)cos20]cos40=sin80=cos10,

所以SinK)cos20cos40=-,

8

結(jié)合cos20cos40=i[cos(20+40)-cos(20-40)]得

2

8sin310-6sinl0+1=0.

將Sinlo=寧代入化簡(jiǎn)，得

X3+3X2-1=O.

故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

對(duì)于C選項(xiàng)和D選項(xiàng)：以8點(diǎn)為圓心，建立平面直角坐標(biāo)系,

則由AB=(w,√3w)可設(shè)?AB?=2m,

^AMB使用余弦定理得：BM2=AB2+AM2-2ABAM-cos60

?1

故可得1=(2m)~+[(m+∕ι)x]2-2?2m?(m+n)x?-,

I--------------(2m)2+j??/?2+(Tiw?)j

∣ΛB∣+∣BC∣=2m+Jn2+≤2]∣----------------------------1

當(dāng)且僅當(dāng)2m=商+(當(dāng)域即切="時(shí)等號(hào)成立，

結(jié)和公式l=(2m)2+Km+”)》？-2?2m?(m+")x?g,以及選項(xiàng)B中的三+3/_]=(),可知

當(dāng)IABl=忸Cl=F時(shí)，

IABl+1Bq取得最大值3r,

而此時(shí)”=廬下平方后化為一元二次方程后4<0無(wú)解，因此D選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

4

故選：AD.

三、填空題

3

8.(2022?廣東湛江?二模)若tan(α-夕)=；,tan∕=2,則tanα=

【答案】—7

4

【分析】利用正切兩角和的公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)閠an(α-/?)=jtan∕J=2,

所以tanα=tan[(α叫+例=:,【麒二I-7

34,

l--×2

2

7

故答案為：

4

9.(2022?河北秦皇島?二模)已知α為銳角，且tanα+tan(f-α)=g,貝Ij當(dāng)竺±1=__________.

43cos2a

【答案】-3

【分析】根據(jù)tanα+tan(f-α)=?求出tanα=2,利用二倍角公式化簡(jiǎn)色啜土?,代入tanα=2即可求

43cos2a

值.

【詳解】由tanα+tan(f-α]=?∣,?tana+^tdnα=|,

(4)3l+tana3

即3tan2cr-5tancr-2=0?

解得tana=2或tana=-；,因?yàn)?。為銳角，所以tana=2,

卜攵sin2a+1_2sinacosa+sin2a÷cos2tz_tan%+2tanα+l_4+4÷l_?

COS2αcos2<z-sin2al-tan2σ1-4

故答案為：-3.

10.(2022.安徽.蕪湖一中三模(理))已知函數(shù)y=sin(0x-?)(0>O)的圖象與函數(shù)y=sin(ox+?卜0>0)

的圖象相鄰的三個(gè)交點(diǎn)依次為A,B,C,且SABC的面積是則?=.

【答案】支

【分析】由Sin(OX-g)=sin(s+f)得X=旦+?^,?∈Z,不妨設(shè)Xa=?XC=I^?,求

36ω126υ12。?1ω12。

出力，為，丘后，根據(jù)三角形面積公式列式可求出結(jié)果.

(詳解］山sin(s——)=sin(5+-)得SinGXCoS-----CoSGXSin-=SinSCOS—+cosGXSin-,

363366

rjrpι?-?/???+y∣3

Jvl以-----sinωx=-------cosωx，

22

ππ

tan—÷tan—

所以tans=匕卑=43,兀冗、lπ

----------------=tan(-+—)=IaH

ππ43

l-√31-tan——tan一

43

所以S=Z乃+衛(wèi)，kπl(wèi)π,一

即uπX=-----1------,攵∈Z,

12ω12G

因?yàn)橄噜彽娜齻€(gè)交點(diǎn)依次為A,B,C,

所以不妨設(shè)X.=等74，XH=子19TT31萬(wàn)

xc=----

12G?2ωCUω

所以力工√2

=sin(^-^--?)=Sin—,

A12G342

./19乃π、.15%.5π?∣2

y=sιn(69-----------)=sin-----=sin—=-------,

bR?2ω31242

..3?π不、,27.9%.π?∣2

y=Sln(G-----------)=sιn—π=sin——=sm—=——

r12。312442

所以|4Cl=學(xué)-萼=空，AC邊上的高為立-(-火)=夜,

?2ω?2ωω22

所以SXj^X空=也乂，

2ωω

依題意可得叵=應(yīng)，得0=兀.

ω

故答案為：兀.

四、解答題

11.(2022?天津?一模)在銳角A43C中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為α,b,c.已知&α-2ΛsinA=O.

⑴求角B的大小；

(2)設(shè)a=5,c=4√2?求b和sin(2C+5)的值.

【答案】（l）f（2）0=√I7,sin（2C+B）=-逑

4v'34

【分析】（1）利用正弦定理得到6sinA=αsin3,即可得到SinB=也，從而求出5；

2

（2）利用余弦定理求出6,再利用正弦定理求出SinC,即可求出COSC,再利用二倍角公式求出sin2C、

cos2C,最后根據(jù)兩角和的正弦公式計(jì)算可得；

（I）W:在.ABC中，由正弦定理“=",可得bsinA=αsin8,

sinAs?nB

又由V5a-26sinA=O,f?2asinB=y/la<WJsinB=*,

又因?yàn)锽e（O,友），可得8=^.

（2）解：由（1）得，在二ABC中，a=5,c=4√2.B=^

由余弦定理有62=42+c2-24ccos8=17,故〃=√17?

40_√17r—

由正弦定理一三=4，即砒=正，可得SinC=坐.

SinCSinB—∏

2

又因?yàn)镃θf(wàn)θ,?I，故CoSC=JI-sin?C.

\2）17

Q1C

因此sin2C=2sinCcosC=—,cos2C=2cos2C-I=-----.

1717

訴l`j?r?/-,D??An,?R8?∣215?∣27&

9『以sm2C+3=sin2CcosB+cos2Csιnπ=一×-------X——=--------.

',17217234

12.（2022?廣東惠州?一模）在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為。"，c,I-COS28=COS（A-C）+cos3,

且AD=DC

⑴求證：b2=ac;

（2）當(dāng)〃時(shí)，求COS/ABC.

3

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）；

【分析】（I）依題意利用二倍角公式及兩角和差的余弦公式得到SirB=SinAsinC,再由正弦定理將角化邊

即可；

（2）依題意。是邊AC的中點(diǎn)，則3D=g（A4+BC）,根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律及余弦定理得到

/+c2=∣從，最后由余弦定理計(jì)算可得；

(1)證明：因?yàn)镮-COS28=COS(A—C)+cos8

所以Zsin?B=cos(A-C)-cos(A+C),

所以2sin?B=cosAcosC+sinΛsinC-cosAcosC+sinAsinC

∩hc

所以sin?8=sinAsinC,結(jié)合正弦定理~~-=~~_=2/?,

sinAsinBsinC

可得Z?2=ac,命題得證.

(2)解：由題意Ao=Z)C知，點(diǎn)。是邊AC的中點(diǎn)，貝iJBD=；(8A+BC

兩邊平方整理得48。'=BAZBCFBA?BC，

即4/=c2+/+2α°cosZABC

根據(jù)余弦定理從=c2+a2-2accosZABC

兩式相加得"+C2=∣∕Λ

再由余弦定理c°swc∕+c-2=1^=3

2acIh24

X.2X

13.(2022?四川雅安?二模)已知向量M=sinjn=cos—,sιn^—，設(shè)函數(shù)/(%)=%〃.

IP22

⑴求函數(shù)/(χ)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)設(shè)-ABC的內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為。，b,C,且______,求”6)的取值范圍.

從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中作答.

①力二+tanA+tan8=0；②(2c+。)CoSA+αcos3=0;③”,A,C成等比數(shù)列.注：如果選擇多個(gè)條

acosB

件分別解答，按第一解答計(jì)分.

【答案】⑴--+2kπ,-^-+2kπ,k&Z(2)(0,1)

【分析】(I)根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合降塞公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)得/(x),結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)

可得增區(qū)間；

r)JTTT

(2)若選①，通過(guò)正弦定理以及“切化弦''思想可得A=看，進(jìn)而得O<B<q,由正弦函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)果;

?TT

若選②，通過(guò)正弦定理將邊化為角，結(jié)合兩角和的正弦公式可得A=3-,余下同①；若選③，由余弦定理

可得cos8≥;,進(jìn)而得B的范圍，余下同①.

所以/(?)=An-/?=V3sin-∣cos-∣+sin2^=-^-sinx+~~~~~

.(πA1

I6j2

由---F2far≤X—≤—F2far,左∈Z,得----F2&TT≤X≤-----F2kτt,Z∈Z,

26233

即函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間-三+2kπ弓+2kπRGZ.

(2)若選①6C+tanA+tanB=0,

acosB

由正弦定理可得&SinC+包&+迎g,=o,

sinAcosBcosAcosB

ejπGSinCsinAcosβ+sinβcosA_hπGSinCSin(A+B)

sinAcosβcosAcosBsinAcosBcosAcosB

由于SinCWO,所以6cosA+sinA=O,解得tanA=-?∣3,

由于O<A<ι,得A=耳，所以0<8<(,

所以一得0<sin(8-/]+4<1,

66616/2

即〃8）的取值范圍是（0,1）.

若選②(2c+〃)COSA+αcos5=0,

由正弦定理可得2sinCcosA+sinβcosA+sinA∞sB=O1即2sinCcosA+sinC=O,

?9TTJΓ

由于SinCHO,所以CoSA=-],由于0<A<%,得A=子，所以O(shè)<B<g,

所以-g<B-J<g,得0<sin(B-g]+;<l,

666VO√2

即”5)的取值范圍是(0,1).

若選③。，b,。成等比數(shù)列，即從=αc,

oa2+c2-b2a2+c2-ac2ac-ac1

由余弦定理可得CoSB=--------------=---------------≥-----------=-，

2ac2ac2ac2

所以0<8<?,

所以-X<8-'<三，↑?O<sin∣fi-?∣÷1<1,

666V6√2

即”3)的取值范圍是(0，；).

?7

14.(2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))在二ABC中，。"，C分別為角A,B,C的對(duì)邊,且滿足4cos?,-cos2(B+C)=萬(wàn).

(1)求A；

(2)若點(diǎn)O滿足AO=IAC,B4=6,求c—|b的取值范圍.

【答案】(1)?；(2)(-?/?,?/?j.

71

【分析】(1)由A+B+C=萬(wàn)及余弦的二倍角公式得到-2COS2A+2COSA+3=<,解得COSA=：,最后求出

22

A即可；

2

(2)設(shè)ZAeO=6,∏l^c--b^?AB?-?AD?,

在AABQ中，由余弦定理可得IABl=2sin[e+(>∣4)∣=2sinO,進(jìn)而可得一|/，=2和e-可，然后根

據(jù)三角