2024屆高三下學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題（新高考七省地區(qū)專用）02（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12024屆高三下學(xué)期開學(xué)摸底考（新高考七省地區(qū)專用）02數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題1．過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程是（

）A． B．C． D．〖答案〗C〖解析〗直線的斜率為，故所求直線的斜率為，所以，過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程是，即.故選：C.2．一組數(shù)據(jù)按從小到大排列為，若該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是眾數(shù)的倍，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是（

）A．4 B．5 C．6 D．7〖答案〗B〖解析〗由題意該組數(shù)據(jù)共7個(gè)數(shù)，,故第60百分位數(shù)為從小到大第5個(gè)數(shù)，又眾數(shù)為4，故，故該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故選：B3．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗由等差數(shù)列片段和性質(zhì)知：是等差數(shù)列.由，可設(shè)，則，于是依次為，所以，所以.故選：B.4．如圖，圓錐形容器的高為3厘米，圓錐內(nèi)水面的高為1厘米，若將圓錐容器倒置，水面高為，下列選項(xiàng)描述正確的是（

）A．的值等于1 B．C．的值等于2 D．〖答案〗D〖解析〗設(shè)圓錐形容器的底面積為S，未倒置前液面的面積為，則，所以，則水的體積為；設(shè)倒置后液面面積為，則，則水的體積為，解得.故選：D.5．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，若圓上存在點(diǎn)，使得，則正數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則由，得到，整理得到，又點(diǎn)在圓上，所以與圓有交點(diǎn)，又的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，所以，解得，故選：D.6．《紅海行動(dòng)》是一部現(xiàn)代海軍題材影片，該片講述了中國海軍“蛟龍突擊隊(duì)”奉命執(zhí)行撤僑任務(wù)的故事．撤僑過程中，海軍艦長要求隊(duì)員們依次完成六項(xiàng)任務(wù)，并對任務(wù)的順序提出了如下要求：重點(diǎn)任務(wù)必須排在前三位，且任務(wù)、必須排在一起，則這六項(xiàng)任務(wù)的不同安排方案共有A．240種 B．188種 C．156種 D．120種〖答案〗D〖解析〗當(dāng)E,F排在前三位時(shí)，=24,當(dāng)E,F排后三位時(shí)，=72，當(dāng)E,F排3，4位時(shí)，=24，N=120種，選D.7．已知函數(shù)在上存在最值，且在上單調(diào)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上存在最值，則，解得，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)，則，所以其中，解得，所以，解得，又因?yàn)?，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．又因?yàn)?，因此的取值范圍是．故選：C．8．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，是橢圓上一點(diǎn)，，，則橢圓離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．〖答案〗C〖解析〗設(shè)，，由橢圓的定義可得，，可設(shè)，可得，即有，①由，可得，即為，②由，可得，令，可得，即有，由，可得，即，則時(shí)，取得最小值；或4時(shí)，取得最大值.即有，得.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題9．設(shè)z，，是復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則〖答案〗BC〖解析〗若，設(shè)，所以，則不一定為，故A錯(cuò)誤；若，設(shè)，所以，則不一定為，故B正確；若，設(shè)，，則，，故C正確；若，設(shè)，，，，所以，即，不一定為，故D錯(cuò)誤；故選：BC.10．已知，則（

）A．，使得B．若，則C．若，則D．若，，則的最大值為〖答案〗BD〖解析〗對于A中，若，可得因?yàn)?，可得，解得，又因?yàn)闀r(shí)，，所以方程無解，所以A錯(cuò)誤；對于B中，因?yàn)?，可得，所以，又因?yàn)椋裕瑒t，所以B正確；對于C中，由，則，所以C錯(cuò)誤；對于D中，因?yàn)?，可得，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立，所以的最大值為，所以D正確.故選：BD.11．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)值域?yàn)锽．函數(shù)是增函數(shù)C．不等式的解集為D．〖答案〗ACD〖解析〗對于A，令，又因?yàn)樵谏线f增，所以，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，的值域?yàn)镽，故A正確；對于B，因?yàn)樵谏线f增，在上遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，為減函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，?，所以為奇函數(shù)，且在上為減函數(shù)，不等式等價(jià)于即，等價(jià)于，解得，故C正確；對于D，因?yàn)榍?，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題12．已知集合，，則.〖答案〗〖解析〗由題意，，又又由于，又，故故〖答案〗為：13．已知向量的夾角為，，則，．〖答案〗2〖解析〗由向量的夾角為，且，得，所以．因?yàn)?，，所以．故〖答案〗為?，.14．若存在正實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為．〖答案〗〖解析〗存在正實(shí)數(shù)滿足，不等式兩邊同除以得，令，則，即，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故在處取得極大值，也是最大值，故，即，綜上，，解得，故，，故，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最大值，最大值為.故〖答案〗為：.四、解答題15．設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(1)求；(2)證明：.(1)解：函數(shù)的定義域?yàn)?將代入，解得，即，由切線方程，則切線斜率.故，解得.(2)證明：由(1)知，從而等價(jià)于.設(shè)函數(shù)，則.所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而在上的最小值為.設(shè)函數(shù)，從而在上的最大值為.故，即.16．如圖，平面平面，四邊形為矩形，為正三角形，，為的中點(diǎn).

(1)證明：平面平面；(2)已知四棱錐的體積為，求點(diǎn)到平面的距離.(1)證明：一方面：因?yàn)闉檎切吻覟榈闹悬c(diǎn)，所以（三線合一），又因?yàn)槠矫嫫矫媲移矫嫫矫?，并注意到平面，所以由面面垂直的性質(zhì)可知平面，又因?yàn)槠矫?，所以由線面垂直的性質(zhì)可知；另一方面：由題意不妨設(shè)，則，因?yàn)闉檎切吻覟榈闹悬c(diǎn)，所以，，所以，且，注意到與均為銳角，所以，不妨設(shè)，

因?yàn)椋?，?綜合以上兩方面有且，注意到，平面，平面，所有由線面垂直的判定有平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?(2)解：由(1)可知平面，則點(diǎn)到平面的距離即為的長度，一方面梯形的面積為，，所以有四棱錐的體積為，另一方面由題可知四棱錐的體積為，結(jié)合以上兩方面有，解得，因?yàn)?，所以，由?）可知，所以，所以，所以.17．已知甲、乙兩支登山隊(duì)均有n名隊(duì)員，現(xiàn)有新增的4名登山愛好者將依次通過摸出小球的顏色來決定其加入哪支登山隊(duì)，規(guī)則如下：在一個(gè)不透明的箱中放有紅球和黑球各2個(gè)，小球除顏色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山愛好者從箱中不放回地摸出1個(gè)小球，再另取完全相同的紅球和黑球各1個(gè)放入箱中；接著由下一名新增登山愛好者摸出1個(gè)小球后，再放入完全相同的紅球和黑球各1個(gè)，如此重復(fù)，直至所有新增登山愛好者均摸球和放球完畢．新增登山愛好者若摸出紅球，則被分至甲隊(duì)，否則被分至乙隊(duì)．(1)求三人均被分至同一隊(duì)的概率；(2)記甲，乙兩隊(duì)的最終人數(shù)分別為，，設(shè)隨機(jī)變量，求．解：(1)三人均被分至同一隊(duì)，即三人同分至甲隊(duì)或乙隊(duì)，記事件“被分至甲隊(duì)”，事件“被分至甲隊(duì)”，事件“被分至甲隊(duì)”，當(dāng)即將摸球時(shí)，箱中有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球，則被分至甲隊(duì)即摸出紅球的概率為；當(dāng)被分至甲隊(duì)時(shí)，箱中有2個(gè)紅球和3個(gè)黑球，則被分至甲隊(duì)即摸出紅球的概率為；當(dāng)均被分至甲隊(duì)時(shí)，箱中有2個(gè)紅球和4個(gè)黑球，則被分至甲隊(duì)即摸出紅球的概率為；所以，則，同理知：新增登山愛好者均被分至乙隊(duì)的概率也為，所以三人均被分至同一隊(duì)的概率為.(2)解：由題設(shè)，可能取值為，為新增的4名登山愛好者被分至同一隊(duì)，則，為新增的4名登山愛好者中有3名均被分至同一隊(duì)，其余1名被分至另一隊(duì)，設(shè)新增的第名登山愛好者被單獨(dú)分至甲隊(duì)或乙隊(duì)，則，，，，所以，為新增的4名登山愛好者中各有2名被分至甲隊(duì)和乙隊(duì)，則，所以.18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的浙近線方程為分別是雙曲線的左?右頂點(diǎn).(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，直線分別與雙曲線交于不同于的點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，求當(dāng)最大時(shí)點(diǎn)的縱坐標(biāo).解：(1)雙曲線的漸近線方程為，即，依題意，，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)由(1)知，，設(shè)，顯然直線不垂直于軸，否則由雙曲線的對稱性，點(diǎn)在軸上，不符合題意；設(shè)直線，由消去得，有，則，于是，由三點(diǎn)共線得直線的斜率滿足，同理，由三點(diǎn)共線得，消去，得，即，整理得，即，則，因此或，若，又，得，結(jié)合，從而，即，不成立，即，因此，滿足，則直線恒過點(diǎn)，點(diǎn)在以為直徑的圓上，當(dāng)與重合時(shí)，最大，此時(shí)軸，，所以當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.19．已知無窮數(shù)列滿足，其中表示x，y中最大的數(shù)，表示x，y中最小的數(shù).(1)當(dāng)，時(shí)，寫出的所有可能值；(2)若數(shù)列中的項(xiàng)存在最大值，證明：0為數(shù)列中的項(xiàng)；(3)若，是否存在正實(shí)數(shù)M，使得對任意的正整數(shù)n，都有？如果存在，寫出一個(gè)滿足條件的M；如果不存在，說明理由.(1)解：由，，若，則，即，此時(shí)，當(dāng)，則，即；當(dāng)，則，即；若，則，