2024年高考第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（全國(guó)乙卷）（文科）（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12024年高考第一次模擬考試（全國(guó)乙卷）（文科）數(shù)學(xué)第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗解可得，，所以，.當(dāng)時(shí)，不滿足，或不滿足；當(dāng)時(shí)，滿足，或滿足；當(dāng)時(shí)，滿足，或不滿足.所以，．故選：B.2．自1950年以來(lái)，每年于4月7日慶祝世界衛(wèi)生日，旨在引起世界各國(guó)人民對(duì)衛(wèi)生?健康工作的關(guān)注，提高人們對(duì)衛(wèi)生領(lǐng)域的素質(zhì)和認(rèn)識(shí)，強(qiáng)調(diào)健康對(duì)于勞動(dòng)創(chuàng)造和幸福生活的重要性.為了讓大家了解更多的健康知識(shí)，某中學(xué)組織三個(gè)年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行日常衛(wèi)生知識(shí)競(jìng)賽，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，得到前200名學(xué)生分布的餅狀圖（如圖1）和前200名學(xué)生中高一學(xué)生排名分布的頻率條形圖（如圖2），則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）

A．成績(jī)?cè)谇?00名的學(xué)生中，高一人數(shù)比高二人數(shù)多30B．成績(jī)?cè)诘?~50名的學(xué)生中，高三最多有32人C．高一學(xué)生成績(jī)?cè)诘?01~150名的人數(shù)一定比高三學(xué)生成績(jī)?cè)诘?~50名的人數(shù)多D．成績(jī)?cè)诘?1~100名的學(xué)生中，高二人數(shù)比高一人數(shù)多〖答案〗D〖解析〗由餅狀圖可知，成績(jī)?cè)谇?00名的學(xué)生中，高一人數(shù)比高二人數(shù)多，A正確；成績(jī)?cè)诘诿膶W(xué)生中，高一人數(shù)為，因此高三最多有32人，B正確；由條形圖知高一學(xué)生的成績(jī)?cè)诘诿娜藬?shù)為，而高三的學(xué)生成績(jī)?cè)诘诿娜藬?shù)最多為人，故高一學(xué)生的成績(jī)?cè)诘诿娜藬?shù)一定比高三的學(xué)生成績(jī)?cè)诘诿娜藬?shù)多，C正確；成績(jī)?cè)诘诿膶W(xué)生中，高一人數(shù)為，高二成績(jī)?cè)诘诿娜藬?shù)最多為，即成績(jī)?cè)诘?1~100名的學(xué)生中，高一的人數(shù)一定比高二的人數(shù)多，錯(cuò)誤.故選：D3．若，z為純虛數(shù)，且，則（

）A． B．5 C． D．3〖答案〗A〖解析〗因?yàn)閦為純虛數(shù)，所以設(shè)，由得，所以，解得，所以，則，故選：A．4．已知函數(shù)，若時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗由可得，當(dāng)時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，是關(guān)于的一次函數(shù)，此時(shí)只需區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值不小于即可，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即，解得，綜上，.故選；A.5．已知雙曲線的離心率為，且雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最近距離為2，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗由離心率，得，由雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最近距離為2，得，根據(jù)這兩個(gè)方程解得，則，得，所以雙曲線的方程為.故選：B.6．今年月日，日本不顧國(guó)際社會(huì)的強(qiáng)烈反對(duì)，將福島第一核電站核污染廢水排入大海，對(duì)海洋生態(tài)造成不可估量的破壞.據(jù)有關(guān)研究，福島核污水中的放射性元素有種半衰期在年以上；有種半衰期在萬(wàn)年以上.已知某種放射性元素在有機(jī)體體液內(nèi)濃度與時(shí)間（年）近似滿足關(guān)系式為大于的常數(shù)且.若時(shí)，；若時(shí)，.則據(jù)此估計(jì)，這種有機(jī)體體液內(nèi)該放射性元素濃度為時(shí)，大約需要（）（參考數(shù)據(jù):）A．年 B．年 C．年 D．年〖答案〗B〖解析〗由題意得:，解得，所以，當(dāng)時(shí)，得，即，兩邊取對(duì)數(shù)得，所以，即這種有機(jī)體體液內(nèi)該放射性元素濃度為時(shí)，大約需要年.故選：B.7．下圖是棱長(zhǎng)為2的正方體木塊的直觀圖，其中分別是，，的中點(diǎn)，平面過(guò)點(diǎn)且平行于平面，則該木塊在平面內(nèi)的正投影面積是（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意可知平面過(guò)點(diǎn)且平行于平面PQF，則平面可以平移至平面，木塊在平面內(nèi)的正投影即可看成是在平面的正投影，根據(jù)投影的性質(zhì)可得投影為正六邊形如圖所示，因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為2，所以，則投影面內(nèi)正六邊形的邊長(zhǎng)為：根據(jù)正六邊形面積公式可得投影的面積為：故投影面積為：故選：A8．在中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，且，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗由，，得，所以，又，所以．故選：C．9．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足對(duì)任意的正整數(shù)m，n都有，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗解法一

對(duì)于，取，得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，則，得，所以，解法二

對(duì)于，取，得，又，所以，則．故選：B10．某同學(xué)口袋中共有個(gè)大小相同?質(zhì)地均勻的小球其中個(gè)編號(hào)為，個(gè)編號(hào)為，現(xiàn)從中取出個(gè)小球，編號(hào)之和恰為的概率為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗編號(hào)之和恰為,則需要3個(gè)球中個(gè)編號(hào)為,個(gè)編號(hào)為，設(shè)個(gè)編號(hào)為的小球?yàn)锳BC，個(gè)編號(hào)為的小球?yàn)閍b，則從5個(gè)球中取出3個(gè)，共有：，共10種，其中滿足題意得情況有：共6種，則編號(hào)之和恰為的概率為.故選:D.11．若，則的值為（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗一方面由題意，且注意到，聯(lián)立得，解得，所以，另一方面不妨設(shè)，且，所以有，解得或（舍去），即，由兩角和的正切公式有，所以.故選：B.12．已知函數(shù).若為偶函數(shù),，，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，可知的對(duì)稱軸為，又因?yàn)榫挥幸粭l對(duì)稱軸，可知只有一條對(duì)稱軸，則，可得，所以，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，則在上為增函數(shù)，令，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，可得，即，則；由，可得，則；即，可得，所以．故選：A．第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題13．已知同一平面內(nèi)的單位向量，，，滿足，則.〖答案〗〖解析〗由題意可知：，則，則，.故〖答案〗為：14．已知某圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，若圓錐的體積為，則該圓錐的表面積為．〖答案〗〖解析〗設(shè)圓錐的底面圓半徑為，母線長(zhǎng)為，則圓錐底面圓面積為，周長(zhǎng)為，高為，可得，解得，所以該圓錐的表面積為．故〖答案〗為：.15．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，且，則的值為.〖答案〗〖解析〗由題意得：，所以或，因?yàn)椋?，，因?yàn)楹?，所以，則，所以，則，故，得，因?yàn)榛?，所以或，解得或，?dāng)時(shí)，，此時(shí)，，其在上單調(diào)遞增，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，其在上單調(diào)遞減，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；綜上，.故〖答案〗為：.16．已知橢圓，的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，離心率為，過(guò)且斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，四邊形的面積為，則四邊形的周長(zhǎng)是．〖答案〗14〖解析〗設(shè)橢圓半焦距為，因橢圓離心率為，則，則橢圓.由題，設(shè)直線DE為，將其與橢圓方程聯(lián)立，則.由題，聯(lián)立方程判別式大于0，設(shè)，由韋達(dá)定理，有.則.又，則A到直線DE距離為，到DE距離為.因四邊形的面積S為，則.因點(diǎn)A，到直線DE距離相等，且，則點(diǎn)A，兩點(diǎn)關(guān)于直線DE對(duì)稱.則四邊形的周長(zhǎng)為.注意到，，則，得四邊形的周長(zhǎng)為.故〖答案〗為：14

三、解答題（一）必考題17．（12分）一座城市的夜間經(jīng)濟(jì)不僅有助于拉動(dòng)本地居民內(nèi)需，還能延長(zhǎng)外地游客、商務(wù)辦公者等的留存時(shí)間，帶動(dòng)當(dāng)?shù)亟?jīng)濟(jì)發(fā)展，是衡量一座城市生活質(zhì)量、消費(fèi)水平、投資環(huán)境及文化發(fā)展活力的重要指標(biāo)．?dāng)?shù)據(jù)顯示，近年來(lái)中國(guó)各地政府對(duì)夜間經(jīng)濟(jì)的扶持力度加大，夜間經(jīng)濟(jì)的市場(chǎng)發(fā)展規(guī)模保持穩(wěn)定增長(zhǎng)，下表為2017—2022年中國(guó)夜間經(jīng)濟(jì)的市場(chǎng)發(fā)展規(guī)模（單位：萬(wàn)億元），其中2017—2022年對(duì)應(yīng)的年份代碼依次為1~6．年份代碼123456中國(guó)夜間經(jīng)濟(jì)的市場(chǎng)發(fā)展規(guī)模萬(wàn)億元20.522.926.430.936.442.4(1)已知可用函數(shù)模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)建立關(guān)于的回歸方程（的值精確到0.01）；(2)某傳媒公司預(yù)測(cè)2023年中國(guó)夜間經(jīng)濟(jì)的市場(chǎng)規(guī)模將達(dá)到48.1萬(wàn)億元，現(xiàn)用（1）中求得的回歸方程預(yù)測(cè)2023年中國(guó)夜間經(jīng)濟(jì)的市場(chǎng)規(guī)模，若兩個(gè)預(yù)測(cè)規(guī)模誤差不超過(guò)1萬(wàn)億元，則認(rèn)為（1）中求得的回歸方程是理想的，否則是不理想的，判斷（1）中求得的回歸方程是否理想．參考數(shù)據(jù)：3.36673.28217.251.162.83其中．參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為．解：(1)將的等號(hào)左右兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)得，所以．，而，所以，．所以，即，所以．(2)2023年對(duì)應(yīng)的年份代碼為7，當(dāng)時(shí)，，，所以(1)中求得的回歸方程是理想的．18．已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，數(shù)列滿足.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若，，設(shè)數(shù)列和中的所有項(xiàng)按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求(1)證明：設(shè)數(shù)列的公比為，因?yàn)閿?shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，為常數(shù)，所以是等差數(shù)列.(2)解：因?yàn)椋?，所以，所以，，，?shù)列的公差，，因?yàn)?，，所?9．如圖，在四棱錐中，，，是等邊三角形，且，，，G為的重心．

(1)證明：平面PCD．(2)若，求點(diǎn)C到平面PAE的距離．(1)證明：方法一

如圖所示：

連接AG并延長(zhǎng)交PD于點(diǎn)M，延長(zhǎng)AE交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連接MN．∵且，∴，．∵G為PAD的重心，∴．∴，∴．∵平面PCD，平面PCD，∴平面PCD．方法二

如圖所示：延長(zhǎng)PG交AD于點(diǎn)O，取線段AD上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)F，則．連接EF，F(xiàn)G．∵且，∴．∵平面PCD，平面PCD，∴平面PCD．∵G為△PAD的重心，∴．又，，∴．∴，∴．∵平面PCD，平面PCD，∴平面PCD．又∵，EF，平面EFG，∴平面平面PCD．又∵平面EFG，∴平面PCD．(2)解：延長(zhǎng)PG交AD于點(diǎn)O，連接AC，如圖：

∵PAD為等邊三角形，，∴，．∵，，AD，平面ABCD，∴平面ABCD．∵四邊形ABCD為直角梯形，，，∴，，．在中，，，∴，，∴，即．∵，，AD，平面PAD，∴平面PAD．∵平面PAD，∴．設(shè)點(diǎn)C到平面PAE的距離為h．∵，，又∵，∴．故點(diǎn)C到平面PAE的距離為．20．已知函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)若不等式對(duì)任意恒成立，求的取值范圍.解：(1)，令，則，其中，所以在上單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得極大值，無(wú)極小值.(2)由題得對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立.令，所以，令，所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，又，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，所以，即的取值范圍是.21．已知拋物線T的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過(guò)，，，四點(diǎn)中的兩點(diǎn).(1)求拋物線T的方程：(2)已知圓，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，分別交拋物線T于，和，四個(gè)點(diǎn)，試判斷是否是定值?若是定值，求出定值，若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1)拋物線T的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過(guò)，，，四點(diǎn)中的兩點(diǎn)，由對(duì)稱性，點(diǎn)和點(diǎn)不可能同時(shí)在拋物線T上，點(diǎn)和點(diǎn)也不可能同時(shí)在拋物線T上，則拋物線只可能開(kāi)口向上或開(kāi)口向右，設(shè)，若過(guò)點(diǎn)，則，得，∴，拋物線過(guò)點(diǎn)，∴符合題意；設(shè)，若過(guò)點(diǎn)，則，得，∴，但拋物線不過(guò)點(diǎn)，不合題意．綜上，拋物線T的方程為．(2)，設(shè)直線，即，由AB與圓相切得，∴，

設(shè)，同理可得，∴是方程的兩根，．聯(lián)立，消y得，∴，同理，∴所以為定值16．（二）選考題選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22．已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線過(guò)點(diǎn)．(1)求曲線的普通方程；(2)若直線與曲線交于，兩點(diǎn)，且，求直線的傾斜角．解：(1)由曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），得，，，即（為焦點(diǎn)在軸上的橢圓）(2)設(shè)直線的傾斜角為，直線過(guò)點(diǎn)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將直線的參數(shù)方程代入，可得，，設(shè)，兩點(diǎn)所對(duì)的參數(shù)為，，曲線與軸交于兩點(diǎn)，在曲線的內(nèi)部，一正一負(fù)，，而，，，，，