湖北省武漢市2024屆高中畢業(yè)班二月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省武漢市2024屆高中畢業(yè)班二月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗集合，因為，所以，所以集合，所以，故選：B.2.復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意不妨設(shè)，所以，所以，解得，所以.故選：C.3.已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由換底公式得，，，所以.故選：D.4.將3個相同的紅球和3個相同的黑球裝入三個不同的袋中，每袋均裝2個球，則不同的裝法種數(shù)為（）A.7 B.8 C.9 D.10〖答案〗A〖解析〗將個紅球分成組，每組球的數(shù)量最多個最少個，則有，兩種組合形式，當(dāng)紅球分組形式為時，將紅球放入三個不同的袋中有放法，此時三個不同的袋中依次補充上黑球，使每個袋子中球的總個數(shù)為個即可.當(dāng)紅球分組形式為時，將紅球放入三個不同的袋中有種放法，此時三個不同的袋中依次補充上黑球，使每個袋子中球的總個數(shù)為個即可.綜上所述：將3個相同的紅球和3個相同的黑球裝入三個不同的袋中，每袋均裝2個球，不同的裝法種數(shù)為種.故選：A.5.設(shè)拋物線的焦點為，過拋物線上點作其準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足為，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖所示：為準(zhǔn)線與軸的交點，因為，且，所以，因為，所以，而，所以，所以.故選：A6.法布里-貝羅研究多光束干涉在薄膜理論中的應(yīng)用時，用光波依次透過層薄膜，記光波的初始功率為，記為光波經(jīng)過第層薄膜后的功率，假設(shè)在經(jīng)過第層薄膜時光波的透過率,其中，2，3…，為使得,則的最大值為（）A.31 B.32 C.63 D.64〖答案〗C〖解析〗由題意，所以，所以，即，顯然關(guān)于單調(diào)遞增，其中，又，所以的最大值為63.故選：C.7.如圖，在函數(shù)部分圖象中，若，則點的縱坐標(biāo)為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，則，所以，設(shè)，因為，所以，解得，所以，所以，又由圖可知，所以.故選：B.8.在三棱錐中，，，，，且，則二面角的余弦值的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，點的軌跡方程為（橢球），又因為，所以點的軌跡方程為，（雙曲線的一支）過點作，而面，所以面，設(shè)為中點，則二面角為，所以不妨設(shè)，所以，所以，令，所以，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，.故選：A.二、選擇題9.已知向量，，則（）A.若，則 B.若，則C.的最大值為6 D.若，則〖答案〗ACD〖解析〗若，則，解得，A正確；若，則，解得，所以，B錯誤；因為，，而，當(dāng)且僅當(dāng)，反向時等號成立，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)向量，的起點為坐標(biāo)原點，向量的終點在以坐標(biāo)原點為圓心，半徑為的圓上，向量終點在第二象限，當(dāng)，反向，則向量的終點應(yīng)在第四象限，此時，，所以C正確；若，則，即，所以，，所以，D正確.故選：ACD.10.將兩個各棱長均為1的正三棱錐和的底面重合，得到如圖所示的六面體，則（）A.該幾何體的表面積為B.該幾何體的體積為C.過該多面體任意三個頂點的截面中存在兩個平面互相垂直D.直線平面〖答案〗AC〖解析〗對于A，，所以表面積為，故A對；對于B，如圖所示：設(shè)點在平面內(nèi)的投影為，為的中點，則由對稱性可知為三角形的重心，所以，又因為，所以正三棱錐的高為，所以題圖所示幾何體的體積為，故B錯；對于C，由B選項可知面，由對稱性可知三點共線，所以面，而面，所以面面，故C正確；對于D，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：其中軸平行，因為，所以，設(shè)平面的法向量為，所以，不妨取，解得，所以取，又，而，所以直線與平面不平行，故D錯.故選：AC.11.已知函數(shù)恰有三個零點，設(shè)其由小到大分別為，則（）A.實數(shù)的取值范圍是B.C.函數(shù)可能有四個零點D.〖答案〗BCD〖解析〗對于B，，設(shè)，則它的定義域為，它關(guān)于原點對稱，且，所以是奇函數(shù)，由題意有三個根，則，故B正確；對于C，由，所以，所以，即已經(jīng)有3個實根，當(dāng)時，令，則，只需保證可使得方程有4個實根，故C正確；由B可知，，而，又，所以，故D正確；對于A，，設(shè)，則，所以，從而，故A錯誤.故選：BCD.三、填空題12.在中，其內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，，，則的面積為__________．〖答案〗3〖解析〗在中，，，，由余弦定理得：，，解得，所以，故〖答案〗為：313.設(shè)橢圓的左右焦點為，，過點的直線與該橢圓交于，兩點，若線段的中垂線過點，則__________．〖答案〗〖解析〗設(shè)線段的中垂線與相交于點，由橢圓方程可知，，，；由已知有：，點在橢圓上，根據(jù)橢圓定義有：，所以，，在中，，，，點在橢圓上，根據(jù)橢圓定義有：，設(shè)，則，，在中由余弦定理有：,解得，即.故〖答案〗為：14.“布朗運動”是指微小顆粒永不停息的無規(guī)則隨機運動，在如圖所示的試驗容器中，容器由三個倉組成，某粒子作布朗運動時每次會從所在倉的通道口中隨機選擇一個到達相鄰倉或者容器外，一旦粒子到達容器外就會被外部捕獲裝置所捕獲，此時試驗結(jié)束．已知該粒子初始位置在1號倉，則試驗結(jié)束時該粒子是從1號倉到達容器外的概率為__________．〖答案〗〖解析〗設(shè)從出發(fā)最終從1號口出的概率為，所以，解得.故〖答案〗為：.四、解答題15.各項均不為0的數(shù)列對任意正整數(shù)滿足（1）若為等差數(shù)列，求；（2）若，求的前項和．解：（1）由題意，當(dāng)時，，兩式相減得，因為為等差數(shù)列，在式子：中令，得，所以，所以或，若，則，但這與矛盾，舍去，所以.（2）因為，所以，而當(dāng)時，，所以此時，所以此時，而也滿足上式，綜上所述，的前項和.16.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，，，點，分別為和的中點．（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：取的中點，連接,由，易知為等腰直角三角形，此時，又，所以.因,所以，由，即，所以，此時，,有四點共面，,所以平面，又平面，所以.（2）解：由且,所以平面.由，得等邊三角形，以為原點，所在直線分別為軸，軸，過且與平面垂直的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，,設(shè)平面的法向量由,即，取，，又，設(shè)直線與平面所成角為，則,所以直線與平面所成角的正弦值為.17.隨著科技發(fā)展的日新月異，人工智能融入了各個行業(yè)，促進了社會的快速發(fā)展．其中利用人工智能生成的虛擬角色因為擁有更低的人工成本，正逐步取代傳統(tǒng)的真人直播帶貨．某公司使用虛擬角色直播帶貨銷售金額得到逐步提升，以下為該公司自2023年8月使用虛擬角色直播帶貨后的銷售金額情況統(tǒng)計．年月2023年8月2023年9月2023年10月2023年11月2023年12月2024年1月月份編號123456銷售金額／萬元15.425.435.485.4155.4195.4若與的相關(guān)關(guān)系擬用線性回歸模型表示，回答如下問題：（1）試求變量與的樣本相關(guān)系數(shù)（結(jié)果精確到0.01）；（2）試求關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程，并據(jù)此預(yù)測2024年2月份該公司的銷售金額．附：經(jīng)驗回歸方程，其中，，樣本相關(guān)系數(shù)；參考數(shù)據(jù)：，．解：（1），，所以.（2）由題意，所以，所以關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為，所以預(yù)測2024年2月份該公司的銷售金額為萬元.18.已知雙曲線：的左右焦點為，，其右準(zhǔn)線為，點到直線的距離為，過點的動直線交雙曲線于，兩點，當(dāng)直線與軸垂直時，．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與直線的交點為，證明：直線過定點．（1）解：由題意，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：由題意，設(shè)直線的方程為，，，所以，直線的方程為：，所以方程為，由對稱性可知過的定點一定在軸上，令，又，所以，所以直線過定點.19.已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）證明：是其定義域上的增函數(shù)；（3）若，其中且，求實數(shù)的值．（1）解：由題意，即切點為，所以曲線在點處的切線方程為，即；（2）證明：由，設(shè)，則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，又，所以對于任意的有，即，因此在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，即，則，所以時，，單調(diào)遞減，所以，即，即，時，，單調(diào)遞增，所