備考2024年新高考數學一輪復習 導教在研究函教極值和最值的應用

專題4.4導教在研究函教極值和最值的應用

題型一函數極值（點）的辨析

題型二最值與極值的辨析

題型三求已知函數的極值（點）和最值

題型四根據極值（點）求參數

題型五根據最值求參數

題型六函數（導函數）圖象與極值（點）的關系

題型七利用導數解決實際問題

才

題型一函數極值（點）的辨析

例1.（2023春?吉林長春.高二長春市實驗中學?？茧A段練習）（多選）函數“X）的導函數y=_f（x）在區(qū)間（。涉）上

的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（）

A.函數/（X）在七處有極小值

B.函數/（尤）在/處有極小值

C.函數〃尤）在區(qū)間（。,6）內有4個極值點

D.導函數尸（x）在％處有極大值

例2.（2023?全國?高三專題練習）若函數〃力存在一個極大值/&）與一個極小值”々）滿足/伍）＞/（石），則〃力

至少有（）個單調區(qū)間.

A.3B.4C.5D.6

舉I一反三

練習1.（2023春.北京大興.高三?？茧A段練習）若〃x）是（0,3）上的連續(xù)可導函數，/（2）=0,且xe（l,2）時,

/'（力<0,xe（2,3）時，f^x）>0,則x=2是〃尤）的（）

A.極大值點B.極小值點C.最大值點D.最小值點

練習2.（2023春?河南洛陽?高三?？茧A段練習）對于定義在R上的可導函數/"）,f（x）為其導函數，下列說法正

確的是（）

A.使尸（x）=。的x一定是函數的極值點

B.fix）在R上單調遞增是尸（x）>0在R上恒成立的充要條件

C.若函數/（x）既有極小值又有極大值，則其極小值一定不會比它的極大值大

D.若/（無）在R上存在極值，則它在R一定不單調

練習3.（2023春?河北石家莊?高三校聯考期中）己知函數/（%）的導函數為了'（X）,函數y=x-f\x）的圖象如圖所示,

則/（x）在x=處取得極大值，在x=處取得極小值.

練習4.（2023春?上海長寧?高三上海市延安中學校考期中）若函數y=/（x）的定義域為R且可導，則在

x=2處的導數為0”是“當x=2時，y=取到極直，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

練習5.（2023?新疆喀什?校考模擬預測）以函數y=2cosox（0>O）的圖象上相鄰四個極值點為頂點的四邊形對角線

互相垂直，則.

題型二最值與極值的辨析

例3.（2023?高三?？颊n時練習）下列有關函數的極值與最值的命題中，為真命題的是（）.

A.函數的最大值一定不是這個函數的極大值

B.函數的極大值可以小于這個函數的極小值

C.函數在某一閉區(qū)間上的極小值就是函數的最小值

D.函數在開區(qū)間上不存在極大值和最大值

例4.（2023春?甘肅金昌?高二永昌縣第一高級中學?？计谥校┒x在R上的可導函數y=/（x）的導函數的圖象如圖

所示，則以下結論正確的是（）

A.-3是函數〃尤）的一個零點B.-2是函數“X）的極大值點

C.〃力的單調遞增區(qū)間是（-3,y）D.無最小值

舉一反三

練習6.（2022秋?江西南昌?高三校聯考期末）設/（x）是區(qū)間團,切上的連續(xù)函數，且在（。力）內可導，則下列結論中

正確的是（）

A.Ax）的極值點一定是最值點

B./（x）的最值點一定是極值點

C.7（%）在區(qū)間加上可能沒有極值點

D./⑴在區(qū)間3,團上可能沒有最值點

練習7.（2023春?河北邯鄲?高三武安市第三中學?？茧A段練習）函數圖象連續(xù)的函數y=/（x）在區(qū)間,,可上（）

A.一定存在極小值B.一定存在極大值C.一定存在最大值D.極小值一定比極大值小

練習8.（2023?全國?高三專題練習）定義在閉區(qū)間可上的連續(xù)函數y=/（x）有唯一的極值點x=x0,且

y極小值=^（x。），則下列說法正確的是

A.函數/（元）的最大值也可能是/（%）B.函數有最小值，但不一定是了（尤。）

C.函數/（x）有最小值了（%）D.函數/（x）不一定有最小值

練習9.（2023?全國?高三專題練習）設〃%）=-彳3+2/+3,在［凡句上，以下結論正確的是（）

A.的極值點一定是最值點B.〃尤）的最值點一定是極值點

C.〃x）在國上可能沒有極值點D.〃x）在句上可能沒有最值點

練習10.（2023?全國?高三專題練習）（多選）下列結論中不正確的是（）.

A.若函數〃尤）在區(qū)間［4,6］上有最大值，則這個最大值一定是函數/（尤）在區(qū)間可上的極大值

B.若函數f（x）在區(qū)間可上有最小值，則這個最小值一定是函數〃尤）在區(qū)間句上的極小值

C.若函數f（x）在區(qū)間目上有最值，則最值一定在或x=b處取得

D.若函數””在區(qū)間6］內連續(xù)，則f（無）在區(qū)間可內必有最大值與最小值

題型三求已知函數的極值（點）和最值

例5.（2023春?寧夏吳忠?高三吳忠中學?？计谥校┮阎瘮怠▁）=3x3—9x+5.

⑴求函數/（x）的單調區(qū)間；

⑵求函數的極值.

例6.（2023?廣西玉林?統(tǒng)考模擬預測）已知x=l為函數〃元）=lnx+2x+@的極值點，則〃x）在區(qū)間1,2上的最

X2

大值為（）（注：山2=0.69）

A.3B.7-ln2

C.5D.—i-ln2

2

第二反三

練習11.（2023春?上海楊浦?高三上海市控江中學?？计谥校┮阎瘮?（x）=e*-x,xeR

⑴求廣（0）的值，并寫出該函數在點（OJ（O））處的切線方程；

（2）求函數y=/（力在區(qū)間［-15上的最大值和最小值.

練習12.（2023春?北京海淀?高三北理工附中?？计谥校┮阎瘮怠╔）=X3—12X+12.

⑴求的極值；

⑵求〃尤）在區(qū)間［-3,4］上的最大值和最小值；

（3）若曲線/（x）在點48處的切線互相平行，寫出A3中點的坐標（只需直接寫出結果）.

練習13.（2023?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預測）已知函數＜（x）=01+smx,底1鼻，則函數的最小值為.

乙vvzoI＞111l——

練習14.（2023春?黑龍江雞西?高三雞西市第四中學?？计谥校ǘ噙x）函數八＞）=/+加+3了-9,已知/（尤）在％=-3

時取得極值，則下列選項中正確的是（）

A.a=5

B.函數/⑴在x=-3處有極大值為0

C.函數/（X）在尤=-；處有極大值為0

D.函數,⑺在區(qū)間-3,-1上單調遞減

練習15.（2023春?四川綿陽?高三?？计谥校┮阎▁）=aln--3x+l,曲線y=在點嗎］處的切線

斜率為5.

⑴求。的值；

⑵求函數的極值.

題型四根據極值（點）求參數

例7.（2023春?北京?高三北師大二附中?？计谥校┮阎瘮?（x）=a（x-a）（x-6）2（a*eR）,當x=b時，/⑴有極

小值.寫出符合上述要求的一組。，6的值為斫,b=.

例8.（2023春?四川成都?高某中學?？茧A段練習）若函數/（x）=-：Y+

4x-2aliu有兩個不同的極值點，則實

數。的取值范圍是（）

A.（-co,2]B.（0,2]C.（0,2）D.（2,+oo）

舉一

練習16.（2023春?北京?高三匯文中學校考期中）已知函數〃彳）=尤（彳-。）2在x=2處有極大值，則。=.

練習17.（2023?山西陽泉?統(tǒng)考二模）（多選）己知了（》）=辦3+3法+"在產_1處取得極大值3,則下列結論正確的

是（）

A.ab=-lB.ab=-9C.f（1）=-3D.f（0）=1

練習18.（2023?江西九江?統(tǒng)考三模）已知函數八^）=/-。%2（〃￡應有兩個極值點而，巧，且％=2々，則〃=.

-V-1

練習19.（2023春?北京東城?高三北京二中?？计谥校┮阎瘮?（%）=71-必有兩個極值點，則實數，的取值范

圍是.

練習20.（2023春?山東濰坊?高三統(tǒng)考期中）已知函數〃尤）=三度在尤=0取得極值，貝

題型五根據最值求參數

例9.（2023春?山東聊城?高三山東省聊城第三中學?？计谥校┮阎瘮怠▁）=lnx-x+左在［l,e］上的最大值為2,則

〃左）=-------

例10.（2023秋?陜西西安?高三長安一中?？计谀┤艉瘮?（x）=x3-3x在（4,10+2.2）上有最小值，則實數。的取

值范圍是.

舉一

練習21.（2023春?天津濱海新?高三?？计谥校┮阎瘮怠跋攘?+3/-9x+l在區(qū)間上,2］上的最大值為28,則實

數%的取值范圍為.

練習22.（2023春?天津紅橋?高三天津市瑞景中學?？计谥校┖瘮?（力=丁-3x+a,xe［0,2］的最大值為1,則實數。

的值為（）

A.1B.-4C.3D.-1

練習23.（2023春?河南商丘?高三商丘市實驗中學校聯考期中）若函數〃力=三—123在區(qū)間（a,a+4）上存在最大值，

則實數。的取值范圍是.

練習24.（2023?全國?高三專題練習）已知〃到=￡和8四=臂有相同的最大值（。＞0）,求“的值；

練習25.（2023?全國?高三專題練習）已知函數〃x）=（x+l）ln（x+l）-云的最小值為0.求實數b的值；

題型六函數（導函數）圖象與極值（點）的關系

例11.（2023春?山東泰安?高三新泰市第一中學?？茧A段練習）（多選）定義在［T5］上的函數的導函數尸（x）的

圖象如圖所示，函數“X）的部分對應值如下表.下列關于函數“X）的結論正確的是（）

A.函數〃尤）的極大值點的個數為2

B.函數/（X）的單調遞增區(qū)間為（-L0）u（2,4）

C.當時，若/（x）的最小值為1,則f的最大值為2

D.若方程/（x）=a有3個不同的實數根，則實數。的取值范圍是（L2）

例12.（2023春?吉林長春?高三長春吉大附中實驗學校?？茧A段練習）已知函數〃尤），g（x）的導函數（⑺，g'（x）

的圖象如圖所示，則b（x）=g（x）-〃x）的極值情況為（）

A.2個極大值，1個極小值B,1個極大值，1個極小值

C.1個極大值，2個極小值D,1個極大值，無極小值

舉一反三

練習26.（2022春.河北?高三唐山一中校聯考期中）設/（無）是定義在R上的連續(xù)可導函數，其導函數記為/（%）,函

數g（x）=（x—1）廣（無）的圖象如圖所示，給出下列判斷:

yi

y=g(x)

①/（x）在（-2,1）上是增函數；②〃x）共有2個極值點;

③/(x)在(-2,2)上是單調函數；④/(0)+/(2)>2八1).

其中正確的判斷共有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

練習27.（2022春?廣東佛山?高三順德市李兆基中學?？计谥校ǘ噙x）已知函數/（尤）的定義域為R,導數為/（X）,

如圖是函數y=^'（x）的圖象，則下列說法正確的有（）

A.函數/（尤）的單調遞減區(qū)間是（口,2）

B.函數/（無）的單調遞增區(qū)間是（-2,+?）

C.x=0是函數/（x）的零點

D.尤=一2時函數/（無）取極小值

練習28.（2022春?福建寧德?高三福建省福安市第一中學?？茧A段練習）已知函數"X）的導函數的圖像如下圖所示,

①函數Ax）在（0,1）上單調遞增；

②函數f（x）在（0,+oo）上單調遞減;

③當x=l時，函數/（x）取得極小值；

④當x=l時，函數/（x）取得極大值.

則上述結論中，正確結論的序號為（）

A.①③B.②④C.①④D.②③

練習29.（2022?高二單元測試）（多選）已知函數/（X）的定義域為R,其導函數為:（力，廣（x）的部分圖象如圖

所示，則（）

A.在（3,+8）上單調遞增

B.f（x）的最大值為"1）

C.的一個極大值點為1

D.〃力的一個減區(qū)間為。，3）

練習30.（2022春.重慶九龍坡.高三重慶市某中學?？茧A段練習）已知函數/（無）的定義域為部分對應

值

如下表，的導函數＞=/'（2的圖象如圖所示.則函數y=〃x）-。（1＜。＜2）的零點個數不可能為（）個.

A.2B.3C.4D.5

題型七利用導數解決實際問題

例13.我國是一個人口大國，產糧、儲糧是關系國計民生的大事.現某儲糧機構擬在長100米，寬80米的長方形地

面建立兩座完全相同的糧倉（設計要求：頂部為圓錐形，底部為圓柱形，圓錐高與底面直徑為1:10,糧倉高為50

米，兩座糧倉連體緊靠矩形一邊），已知稻谷容重為600千克每立方米，糧倉厚度忽略不計，估算兩個糧倉最多能

儲存稻谷（）（兀取近似值3）

A.105000噸B.68160噸C.157000噸D.146500噸

例14.（2023春?上海浦東新?高二上海市川沙中學?？计谥校┠尘W球中心在1000。平方米土地上，欲建數塊連成片

的網球場.每塊球場的建設面積為1000平方米.當該中心建設x（xeN）塊球場時，每平方米的平均建設費用（單

位：元）可近似地用函數關系式/（x）=800（l+[lnd來刻畫，此外該中心還需為該工程一次性向政府繳納環(huán)保費

用1280000元.

⑴請寫出當網球中心建設MxeN）塊球場時，該工程每平方米的綜合費用g（x）的表達式，并指出其定義域（綜合

費用是建設費用與環(huán)保費用之和）；

（2）為了使該工程每平方米的綜合費用最省，該網球中心應建多少個球場？

第二反三

練習31.（2022春?四川綿陽.高二四川省綿陽南山中學校考階段練習）工廠生產某種產品，每日的成本C（單位：

元）與日產量x（單位：噸）滿足函數關系式C=10000+20x,每日的銷售額R（單位：元）與日產量x滿足函數

關系式：R=\30,已知每日的利J潤y=R-C,且當x=30時y=T00.

20400,%>120

⑴求。的值；

（2）當日產量為多少噸時，每日的利潤可以達到最大，并求出最大值.

練習32.（2022春?黑龍江齊齊哈爾?高三齊齊哈爾市第八中學校?？计谥校┯描F皮圍成一個容積為8m3的有蓋正四

棱柱形水箱，需用鐵皮的面積至少為____m'（注：鐵皮厚度不計，接縫處損耗不計）

練習33.（2023?重慶?統(tǒng)考模擬預測）某幾何體的直觀圖如圖所示，是由一個圓柱體與兩個半球對接而成的組合體,

其中圓柱體的底面半徑為2,高為4.現要加工成一個圓柱，使得圓柱的兩個底面的圓周落在半球的球面上，則圓

練習34.（2023春?吉林長春?高三長春吉大附中實驗學校?？茧A段練習）第14屆全運會于2021年在陜西西安舉行，

其中水上項目將在西安奧體中心游泳跳水館進行，為了應對比賽，大會組委會將對泳池進行檢修，已知泳池深度為

2m,其容積為25000?,如果池底每平方米的維修費用為150元，設入水處的較短池壁長度為x,且據估計較短的

池壁維修費用與池壁長度成正比，且比練習系數為言左（％>0）,較長的池壁總維修費用滿足代數式三?，則當泳

池的維修費用最低時x值為.

練習35.（2023春?四川成都?高三四川省成都市新都一中校聯考期中）一艘漁船在進行漁業(yè)作業(yè)的過程中，產生的

主要費用有燃油費用和人工費用，已知漁船每小時的燃油費用與漁船速度的立方成正比，已知當漁船的速度為10

海里/小時時，燃油費用是600元/小時，人工費用是4050元/小時,記漁船的航行速度為v（海里/小時）,滿足0<v<30,

記漁船航行一個小時的主要費用為q元（主要費用=燃油費+人工費），漁船每航行1海里產生的主要費用為p元.

⑴用航行速度v（海里/小時）表示出航行一小時的主要費用〃元；

（2）用航行速度v（海里/小時）表示出航行1海里產生的主要費用p元；

⑶求航行1海里產生的主要費用P（元）的最小值，及此時漁船的航行速度v（海里/小時）的大小.

專題4.4導數在研究函數極值和最值的應用

題型一函數極值（點）的辨析

題型二最值與極值的辨析

題型三求已知函數的極值（點）和最值

題型四根據極值（點）求參數

題型五根據最值求參數

題型六函數（導函數）圖象與極值（點）的關系

題型七利用導數解決實際問題

才

題型一函數極值（點）的辨析

例1.（2023春?吉林長春.高二長春市實驗中學?？茧A段練習）（多選）函數“X）的導函數y=_f（x）在區(qū)間（。涉）上

A.函數/（X）在七處有極小值

B.函數/（無）在巧處有極小值

C.函數〃尤）在區(qū)間（。,6）內有4個極值點

D.導函數尸（x）在七處有極大值

【答案】BD

【分析】根據導函數的圖象、極值點、極值的知識求得正確答案.

【詳解】A選項，〃力在尤=玉左右兩側的/'（力＜0,所以看不是的極值點，A選項錯誤.

B選項,在x=%左右兩側，左側/'（x）＜0,右側用x）＞。，

所以函數f（x）在4處有極小值，B選項正確.

C選項，根據圖象可知，/（x）有3個極值點，％=0左右兩側的/什耳＞。，

所以x=0不是〃尤）的極值點，C選項錯誤.

D選項，尸（x）的圖象在關=退左右兩側，左側單調遞增，右側單調遞減，

所以尸（x）在退處有極大值，D選項正確.

故選：BD

例2.（2023?全國?高三專題練習）若函數〃x）存在一個極大值/a）與一個極小值了（馬）滿足/（%）＞/a），則/■（力

至少有（）個單調區(qū)間.

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】根據單調性與極值之間的關系分析判斷.

【詳解】若函數f（x）存在一個極大值/&）與一個極小值/（%）,則/'（X）至少有3個單調區(qū)間，

若/（尤）有3個單調區(qū)間，

不妨設“X）的定義域為（a,6），若尤2＜6，其中。可以為一°,6可以為+℃,

則在（。,占）,優(yōu)力）上單調遞增，在說,々）上單調遞減，（若/（X）定義域為（。1）內不連續(xù)不影響總體單調性）,

故〃當）＜〃不），不合題意，

^a＜x2＜xl＜b,則f（x）在（a,%）,（%,方）上單調遞減,在（%周）上單調遞增,有/（/）＜/（%），不合題意；

若/（x）有4個單調區(qū)間，

1丫2

例如〃x）=x+上的定義域為{xlxwo},則尸（尤

?XX

令用x）＞0,解得x＞l或x＜-l,

則”X）在（9,-1）,（Ly）上單調遞增，在（T0）,（0,1）上單調遞減，

故函數〃x）存在一個極大值〃-1）=-2與一個極小值41）=2,且滿足題意，此時有4個單

調區(qū)間，

綜上所述：/（X）至少有4個單調區(qū)間.

故選：B.

舉一m

練習1.（2023春.北京大興?高三校考階段練習）若是（0,3）上的連續(xù)可導函數，/（2）=0,且xe（l,2）時，

xe（2,3）時，f\x）＞0,則x=2是“力的（）

A.極大值點B.極小值點C.最大值點D.最小值點

【答案】B

【分析】根據極值點的定義，結合條件，即可判斷選項.

【詳解】由條件可知，/（X）是（0,3）上的連續(xù)可導函數,（（2）=0,

當x?l,2）時,r（x）＜0,函數/（x）單調遞減,

當xe（2,3）時，f^x）＞0,函數單調遞增，

根據極值點的定義，可知，＞2是的極小值點，但不一定是函數在（0,3）上的最小值點.

故選：B

練習2.（2023春?河南洛陽?高三?？茧A段練習）對于定義在R上的可導函數〃幻，f（x）為其導函數，下列說法正

確的是（）

A.使（（無）=0的x一定是函數的極值點

B.f（x）在R上單調遞增是f'（x）＞0在R上恒成立的充要條件

C.若函數Ax）既有極小值又有極大值，則其極小值一定不會比它的極大值大

D.若/（x）在R上存在極值，則它在R一定不單調

【答案】D

【分析】ABC均可以舉出反練習，D可以通過極值點和極值的定義進行判斷.

【詳解】A選項，/。）=0的x不一定是函數的極值點，比如〃力=三在》=0處導函數的值為0,但x=0不是

=d的極值點，A說法錯誤；

Ax）在R上單調遞增，可能會在某點導函數等于0,比如尤）=產為單調遞增函數，/（力=犬3在*=0處導函數值

為0,故/（X）在R上單調遞增不是尸（x）＞0在R上恒成立的充要條件，B說法錯誤；

若函數Ax）既有極小值又有極大值，則其極小值可能會比它的極大值大，比如/'（尤）=x+」，在x=T處取得極大值

-2,在x=l處取得極小值2,極小值大于極大值，故C說法錯誤；

根據極值點和極值的定義可以判斷，若在R上存在極值，則它在R一定不單調，D說法正確.

故選：D

練習3.(2023春?河北石家莊?高三校聯考期中)已知函數，(x)的導函數為，(x),函數y=x-/'(x)的圖象如圖所示,

則/(x)在x=___________處取得極大值，在尤=處取得極小值.

【答案】5-5

【分析】結合圖象說明當x<-5或x>5時，r(x)<0,當一5<x<0或0<x<5時，制x)>。，且/(一5)=((5)=0,

由此確定函數的極值點.

【詳解】由圖象可得當x<-5時，V，(x)>0,所以

當—5<x<。時，xf'(x)<0,所以

當0<x<5時，xf'(x)>0,所以/4x)〉。，

當x>5時，礦所以/'(%)<0,

又(-5>尸(-5)=0,5-/(5)=0,所以尸(—5)=/")=。,

所以x=-5時函數取極小值，當x=5時函數取極大值.

故答案為：5；-5.

練習4.(2023春?上海長寧?高三上海市延安中學?？计谥?若函數y=/(x)的定義域為R且可導,貝廣y=/(X)在x=2

處的導數為?！笔恰爱攛=2時，y=取到極值”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】先驗證充分性，不妨設/(0=。-2)3,在x=2處有尸(0)=0,但f(x)為單調遞增函數，x=2不是極值點;

再驗證必要性，即可得結果.

【詳解】充分性：不妨設〃尤)=(尤-2。則((尤)=3(*-2)2,

在龍=2處有/(2)=0,

但是/'(元注0,/(x)為單調遞增函數，故x=2不是極值點，故充分性不成立；

必要性：由當x=2時，y=取到極值，得八2)=0,

即y=/(x)在x=2處的導數為0,故必要性成立.

所以“y=/(X)在X=2處的導數為0”是“當x=2時，y=f(x)取到極值”的必要不充分條件.

故選：B

練習5.（2023?新疆喀什??？寄M預測）以函數y=2cosox（0>O）的圖象上相鄰四個極值點為頂點的四邊形對角線

互相垂直，則刃=.

【答案】直南叵

44

【分析】作出函數y=2cosOx（0>0）的圖象，取點4（0,2）、32-2）、可知四邊形ABCD

為菱形，可得出|AB|=|AD|,可得出關于。的等式，即可解得。的值.

【詳解】作出函數y=2cosox（0>O）的圖象如下圖所示:

2兀

則AD〃3C且|4￡>|=忸1=一，又因為AC/3D,則四邊形ABCD為菱形,

CD

+42=—,解得。=走兀.

所以，即

co4

故答案為：生.

題型二最值與極值的辨析

例3.（2023?高三?？颊n時練習）下列有關函數的極值與最值的命題中，為真命題的是（）.

A.函數的最大值一定不是這個函數的極大值

B.函數的極大值可以小于這個函數的極小值

C.函數在某一閉區(qū)間上的極小值就是函數的最小值

D.函數在開區(qū)間上不存在極大值和最大值

【答案】B

【分析】設〃x）=—尤2,xe（-l,l）,求出其最大值和極大值可判斷A和D；若函數Ax）在工2］上單調遞增,在（2,3）

上單調遞減，在(3,4)上單調遞增，在(4,5)上單調遞減時，在(5,6)上單調遞增時，可以出現極大值小于這個函數的

極小值，說明B正確；根據極小值一定不是端點值，最小值可能是端點值，可判斷C.

【詳解】對于A,設/(x)=f2,xe(-l,l),f\x)=-2x,當一1cx<0時,f'(x)>0,

當0<x<l時，/(x)<0,所以函數/(x)在(-1,0)上單調遞增，在(0,1)上單調遞減，

所以函數/(尤)在x=0時取得極大值了(0),也是最大值，故A不正確；

對于B,若函數/(x)在［1,2］上單調遞增，在(2,3)上單調遞減，在(3,4)上單調遞增，在(4,5)上單調遞減時，在(5,6)

上單調遞增，此時函數/(%)在x=2時取得極大值/(2),在x=5時取得極小值”5),這里/(2)可以小于/(5),故B

正確；

對于C,函數在某一閉區(qū)間上的最小值可能是端點值，而極小值一定不是端點值，故C不正確；

對于D,由A可知，函數/。)=-爐在開區(qū)間(一1,1)上存在極大值和最大值.故D不正確；

故選：B

例4.(2023春?甘肅金昌?高二永昌縣第一高級中學校考期中)定義在R上的可導函數y=/(x)的導函數的圖象如圖

所示，則以下結論正確的是()

A.-3是函數〃尤)的一個零點B.-2是函數〃力的極大值點

C.的單調遞增區(qū)間是(-3,刈)D.無最小值

【答案】C

【分析】由圖象可得出函數的單調區(qū)間，進而得出函數的極值點、最值點，即可得出答案.

【詳解】對于A項，由已知圖象，僅可得出函數的單調性以及極值點，并不能得出函數的值，故A項錯誤;

對于B項，由已知圖象可知，

當3)時，/(力<0,所以在(3,-3)上單調遞減；

當xe(-3,+⑹時，恒成立，所以〃另在(-3,內)上單調遞增，

所以-3是/(X)的極小值點，無極大值點，故B項錯誤；

對于C項，由B可知，外力在(-3,w)上單調遞增，故C正確；

對于D項，由B可知，/(x)在尤=-3處取得唯一極小值，也是最小值，所以D錯誤.

故選：C.

舉一m

練習6.(2022秋?江西南昌?高三校聯考期末)設/(x)是區(qū)間團,句上的連續(xù)函數，且在(",3內可導，則下列結論中

正確的是()

A./(x)的極值點一定是最值點

B.7(x)的最值點一定是極值點

C.在區(qū)間加上可能沒有極值點

D./⑴在區(qū)間團,句上可能沒有最值點

【答案】C

【解析】根據連續(xù)函數的極值和最值的關系即可判斷.

【詳解】根據函數的極值與最值的概念知，AM的極值點不一定是最值點，/(x)的最值點不一定是極值點.可能是

區(qū)間的端點，連續(xù)可導函數在閉區(qū)間上一定有最值，所以選項A,B,D都不正確，若函數Ax)在區(qū)間團,勿上單調，

則函數Ax)在區(qū)間用上沒有極值點，所以C正確.

故選：C.

【點睛】本題主要考查函數的極值與最值的概念辨析，屬于容易題.

練習7.(2023春?河北邯鄲?高三武安市第三中學?？茧A段練習)函數圖象連續(xù)的函數y=/(x)在區(qū)間國上()

A.一定存在極小值B.一定存在極大值C.一定存在最大值D.極小值一定比極大值小

【答案】C

【分析】根據函數最值和極值的定義即可得解.

【詳解】由函數的最值與極值的概念可知y=/(x)在上一定存在最大值.

故選：C.

練習8.(2023?全國?高三專題練習)定義在閉區(qū)間上的連續(xù)函數y=/(x)有唯一的極值點％=且

V極小值^(彳。)，則下列說法正確的是

A.函數〃尤)的最大值也可能是八％)B.函數有最小值，但不一定是〃后)

C.函數/(x)有最小值了(%)D.函數/(x)不一定有最小值

【答案】C

【分析】根據函數的極值與最值的定義即可求解.

【詳解】???定義在閉區(qū)間上的連續(xù)函數y=/(x)有唯一的極值點x=x。，且y極小值=/?(%),

函數以x)在區(qū)間［a,x0)上單調遞減,在(無。，句上單調遞增,

；.當彳=尤0時，函數/（＞）有極小值，也為最小值.

故選：C.

練習9.（2023?全國?高三專題練習）設〃彳）=-/+2/+3,在［a,句上，以下結論正確的是（）

A./（冷的極值點一定是最值點B./（尤）的最值點一定是極值點

C.〃x）在以上可能沒有極值點D.〃x）在句上可能沒有最值點

【答案】C

【分析】結合極值點、最值點的概念對所給選項進行分析即可.

,,4

【詳解】由已知，/（x）=-3x2+4x=-x（3x-4）,由/'（尤）＜0,得或無＜0時;由/'（尤）＞0,

得0＜x＜：時，所以〃尤）在（0。）上單調遞增，在（-雙。），《,+8）上單調遞減.

對于選項A,?。邸?可=［-1,3］,易知f（x）的極值點為x=0,x=；

且〃0）=3jg）=黑，而〃-1）=6"（3）=-6,所以x=O,x=g不是最小值點，故A錯誤；

對于選項B,取可=［2,3］,則/（X）在［2,3］上單調遞減，故X=2,尤=3是最值點，但

不是極值點，故B錯誤，C正確；

對于選項D,由連續(xù)函數在閉區(qū)間上一定存在最值，知選項D錯誤.

故選：C

【點睛】本題考查函數的極值點、最值點概念的辨析，考查學生對極值點、最值點的理解，是一道容易題.

練習10.（2023?全國?高三專題練習）（多選）下列結論中不正確的是（）.

A.若函數〃尤）在區(qū)間［a,可上有最大值，則這個最大值一定是函數f（尤）在區(qū)間上的極大值

B.若函數f（x）在區(qū)間目上有最小值，則這個最小值一定是函數/（x）在區(qū)間,,同上的極小值

C.若函數八%）在區(qū)間可上有最值，則最值一定在了=?；騲=b處取得

D.若函數在區(qū)間,，目內連續(xù)，則在區(qū)間可內必有最大值與最小值

【答案】ABC

【分析】根據極值與最值的關系判斷即可.

【詳解】若函數/（尤）在區(qū)間可上有最值，則最值可能在極值點或區(qū)間端點處取得，故A,B,C都不正確；函數

在閉區(qū)間上一定有最值，故D正確.

故選：ABC.

題型三求已知函數的極值(點)和最值

例5.(2023春?寧夏吳忠?高三吳忠中學?？计谥?已知函數〃X)=3X3—9X+5.

⑴求函數的單調區(qū)間；

⑵求函數的極值.

【答案】⑴見解析

(2)極小值-1,極大值11

【分析】(1)根據導數與函數單調性的關系及導數法求函數單調性的步驟即可求解；

(2)根據函數的極值的定義及導數法求函數的極值的步驟即可求解.

【詳解】(1)由題意可知，人龍)的定義域為(r,+s).

因為=3尤-9x+5,所以/'(了)=9%2-9=9(尤

令f\x)<0,即9(x+l)(x—1)<0,解得—1<x<1,

令廣(幻>0,即9(x+l)(x-l)>0,解得x<-1或x>l,

所以函數/(丈)的單調遞減區(qū)間為(-1,1),單調遞增區(qū)間為(―,T)和(1,內).

(2)由(1)可知，當x變化時，/'(x)J(x)的變化情況如下表：

Xy，T-1(T，l)1(l,+s)

(尤)+0—0+

f(x)遞增極大值遞減極小值遞增

所以,⑺的極小值為/(l)=3x(l)3-9xl+5=-l,

極大值為/(-1)=3X(-1)3-9X(-1)+5=11.

例6.(2023?廣西玉林?統(tǒng)考模擬預測)己知x=l為函數〃x)=lnx+2x+4的極值點，則/⑺在區(qū)間匕2上的最

x_

大值為()(注：出2。0.69)

A.3B.7-ln2

C.5D.—Fln2

2

【答案】B

【分析】由廣⑴=。以及極值點的知識求得。，求得了(%)的單調區(qū)間，進而求得了(%)在區(qū)間；，2上的最大值.

【詳解】r(x)=1+2-^,由于x=l是/(X)的極值點，

所以(1)=1+2—<2=3—<2=0,61=3,

,/\132x2+x—3(%—l)(2x+3)/、

止匕n時/(x)=_+2-=--------——=——-------L(x>0),

X-X-XJC

所以〃尤)在區(qū)間(O」)J'(x)<O,/(x)遞減；在區(qū)間(l,y),/'(x)>0,/(x)遞增.

所以x=l是〃x)極小值點，〃=3符合題意.

/出=lng+l+6=7-1112,/(2)=ln2+4+|=ln2+y,

由于7-ln2。7-0.69=6.31,1112+口。0.69+5.5=6.19,

2

所以〃尤)在區(qū)間(,2上的最大值為7-ln2.

故選：B

舉一

練習11.（2023春?上海楊浦?高三上海市控江中學?？计谥校┮阎瘮?（x）=e*-x,xeR

⑴求廣（0）的值，并寫出該函數在點（OJ（O））處的切線方程；

⑵求函數>=/（%）在區(qū)間［-M］上的最大值和最小值.

【答案】⑴）=1

（2）最大值是e-l,最小值是1.

【分析】（1）求出r（x）=e'-l,根據導數的幾何意義得出切線的斜率，求出/（0）=1,即可得出答案;

（2）根據導函數得出導函數的單調性，結合端點值，即可得出函數的最值.

【詳解】（1）由已知可得尸（x）=e-l,所以解（0）=0,

則根據導數的幾何意義可知，函數在點（0,/（0））處的切線的斜率為k=7?'（（））=0.

又"0）=1,所以函數在點（0"（0））處的切線的方程為y=L

（2）當時，/,（%）=ex-l<0,所以f（x）在［一1,0）上單調遞減；

當0<xVl時，/,（x）=ev-l>0,所以在（0）上單調遞增.

所以，f（x）在x=0處取得唯一極小值，也是最小值f（0）=1.

又〃-1）=：+1<1.5,/⑴=e—l>L5>〃—l）,

所以，函數在區(qū)間上的最大值是e-1,最小值是1.

練習12.(2023春?北京海淀?高三北理工附中校考期中)已知函數〃力=丁—12彳+12.

⑴求〃x)的極值；

⑵求〃尤)在區(qū)間［-3,4］上的最大值和最小值；

⑶若曲線/(x)在點A乃處的切線互相平行，寫出A,2中點的坐標(只需直接寫出結果).

【答案】(1)極大值28,極小值T

(2)最大值為28,最小值為一4

⑶(。/2)

【分析】(1)求導，結合函數的單調性及極值的定義求解；

(2)函數的極值與端點處的函數值比較可得最值；

(3)根據導數的幾何意義得了'(再)=/'(々)，由此求解即可.

【詳解】(1)r(x)=3%2-12=3(x+2)(x-2),

當x<-2時,f\x)>0,單調遞增;

當一2<x<2時，/'(%)<0,/■(*)單調遞減；

當x>2時,用勾>0,〃力單調遞增,

所以，當x=—2時，“X)取極大值/(-2)=28；當x=2時，〃x)取極小值〃2)=-4.

(2)由(1)知，當-3<x<-2時，”力單調遞增；當-2<X<2時，/(X)單調遞減；當2Vx<4時，〃尤)單調遞

增，

當x=-2時，〃力取極大值〃-2)=28；當x=2時，〃尤)取極小值/(2)=-4.

又一(-3)=19"(4)=28,

所以，〃x)在區(qū)間［-3,4］上的最大值為28,最小值為-4.

(3)設4(%,%),以孫方),x產々，

由題意尸(占)=r(%2)，即3x；-12=3君-12,

/.(x1+x2)(x1-x2)=0,/.七+冗2=0,

**(+)2=X：—12玉+12+—12%+12=(石+%?)(x；—玉々+￥)—12(石+9)+24—24,

???43中點的坐標為(0,12).

練習13.(2023?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預測)已知函數〃x)=c"sin"，行,(],則函數/(x)的最小值為_____.

2cosx+sinxL，」

【答案】1/0.5

【分析】對Ax)求導，然后令g(x)=2+2sinx-cosx,判斷析(x)的單調性,得到g(x)的值域，從而判斷了⑴的單調

性，即可確定函數人無)的最小值.

1+sinx

【詳解】因為/(x)=

2cosx+sin%

cosx(2cosx+sinx)-(1+sinx)(-2sinx+cosx)2+2sinx-cosx

所以f(x)=

(2cosx+sinx)2(2cosx+sinx)2

1己g(x)=2+2sinx—cosx,XG0,-^,

則g'(%)=2cos%+sinx,因為％￡0,—TT,所以g〈%)=2cos%+sin%>0,

jr

所以g(x)=2+2sinx-cos尤在0,-上單調遞增，所以g(x)>g(。)=2-1=1>。，

所以制x)>0在［o,g］上恒成立，所