2023北京高三一模數(shù)學(xué)匯編：壓軸選擇（第10題）

2023北京高三一模數(shù)學(xué)匯編

壓軸選擇（第10題）

I.（2023?北京海淀?統(tǒng)考一模）劉老師沿著某公園的環(huán)形道（周長(zhǎng)大于Ikm）按逆時(shí)針?lè)较蚺懿?，他從?/p>

點(diǎn)出發(fā)、并用軟件記錄了運(yùn)動(dòng)軌跡，他每跑Ikm,軟件會(huì)在運(yùn)動(dòng)軌跡上標(biāo)注出相應(yīng)的里程數(shù).已知?jiǎng)⒗蠋?/p>

共跑了IIkm,恰好回到起點(diǎn)，前5km的記錄數(shù)據(jù)如圖所示，則劉老師總共跑的圈數(shù)為（)

A.7B.8C.9D.10

2

2.（2023?北京西城?統(tǒng)考一模）〃名學(xué)生參加某次測(cè)試，測(cè)試由〃，道題組成.若一道題至少有;〃名學(xué)生未

解出來(lái)，則稱此題為難題；若一名學(xué)生至少解出了三2，“道題，則該生本次測(cè)試成績(jī)合格.如果這次測(cè)試至

少有2名學(xué)生成績(jī)合格，且測(cè)試中至2少有;m道題為難題，那么〃的最小值為（）

33

A.6B.9

C.18D.27

3.（2023?北京東城?統(tǒng)考一模）恩格斯曾經(jīng)把對(duì)數(shù)的發(fā)明、解析幾何的創(chuàng)始和微積分的建立稱為十七世紀(jì)

數(shù)學(xué)的三大成就.其中對(duì)數(shù)的發(fā)明曾被十八世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯評(píng)價(jià)為“用縮短計(jì)算時(shí)間延長(zhǎng)了天文學(xué)

家的壽命已知正整數(shù)N的70次方是一個(gè)83位數(shù)，則由下面表格中部分對(duì)數(shù)的近似值（精確到0.001）,

可得N的值為（）

M2371113

IgM0.3010.4770.8451.0411.114

A.13B.14C.15D.16

4.（2023?北京朝陽(yáng)?統(tǒng)考一模）已知項(xiàng)數(shù)為MZWN）的等差數(shù)列｛q｝滿足4=1,

i?,1<?（n=2,3,-?Λ）.若4+電++4=8,則A的最大值是（）

A.14B.15C.16D.17

5.（2023?北京豐臺(tái)?統(tǒng)考一模）如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，AClBC,AC=2,BC=I,

AA=2,點(diǎn)。在棱AC上，點(diǎn)E在棱8月上，給出下列三個(gè)結(jié)論：

7

①三棱錐E-Afi。的體積的最大值為§；

②AlQ+O8的最小值為加+石；

③點(diǎn)。到直線CE的距離的最小值為￥.

其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A.OB.1C.2D.3

6.（2023?北京石景山?統(tǒng)考一模）已知正方體ABC。-A5GA的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)尸為正方形ABC。所在平面

內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，給出下列三個(gè)命題：

①若點(diǎn)P總滿足PDt?DCt,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條直線；

②若點(diǎn)尸到直線BBl與到平面CDD1C1的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是拋物線；

③若點(diǎn)P到直線。。的距離與到點(diǎn)C的距離之和為2,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓.

其中正確的命題個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

7.（2023,北京房山?統(tǒng)考一模）如圖，已知正方體ABCz）-AgCQ，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.與三條直線Aβ.CCl,D,Λ所成的角都相等的直線有且僅有一條

B.與三條直線AB,CG，RA所成的角都相等的平面有且僅有一個(gè)

C.到三條直線AB,CCrDlAi的距離都相等的點(diǎn)恰有兩個(gè)

D.到三條直線4B,CG,RA的距離都相等的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)

8.（2023?北京順義?統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)4,B在圓O:d+y2=16上，且IABl=4,尸為圓。上任意一點(diǎn)，則

AB?BP的最小值為（）

A.0B.-12C.-18D.-24

9.（2023?北京平谷?統(tǒng)考一模）基本再生數(shù)R。與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指

一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以

用指數(shù)模型：/(f)=e〃描述累計(jì)感染病例數(shù)/⑺隨時(shí)間/(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與Ro,T近似

滿足Ro=I+，工有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0=3.28,7≡6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例

數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln2≈0.69)()

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

參考答案

1.B

【分析】利用環(huán)形道的周長(zhǎng)與里程數(shù)的關(guān)系建立不等關(guān)系求出周長(zhǎng)的范圍，再結(jié)合跑回原點(diǎn)的長(zhǎng)度建立方

程，即可求解.

【詳解】設(shè)公園的環(huán)形道的周長(zhǎng)為f,劉老師總共跑的圈數(shù)為尤，（x∈N*）,

l<r<2

It<343

則由題意切>4，所以

4f>5

213221133

所以因?yàn)槿f(wàn)=11,所以與<x=∣<3,Xχ∈N*,所以x=8,

3t43t4

即劉老師總共跑的圈數(shù)為8.

故選：B

2.B

【分析】由題意可得學(xué)生人數(shù)和題目數(shù)必須是3的倍數(shù)，可從〃=3,加=3進(jìn)行討論即可得出機(jī)”的最小值為

9.

【詳解】根據(jù)題意可知|〃eN*,|，weN",不妨設(shè)”=3%,加=3%,（乂,乂eN*）,

所以mn=9NM,若求機(jī)〃的最小值，只需最小即可；

易知當(dāng)M=I,以=1時(shí)，即"=3,m=3;

此時(shí)即有3名學(xué)生不妨設(shè)為甲、乙、丙；3道題目設(shè)為AS,C；

根據(jù)題意可得至少有2名學(xué)生成績(jī)合格，這兩名學(xué)生至少做出了4道題，

可設(shè)甲同學(xué)做出了AB兩道題，乙同學(xué)做出了尻C兩道題，丙同學(xué)做出了O道題，

此時(shí)合格的學(xué)生為甲乙，即有:"名學(xué)生成績(jī)合格，

22

A8.C三道題目中有AC兩道題，有名學(xué)生未解出來(lái)，即滿足測(cè)試中有§〃?道題為難題；

所以”=3,〃?=3符合題意.

故選：B

3.C

（分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式計(jì)算即可.

【詳解】由題意知，N的70次方為83位數(shù)，所以N"∈（IO%。,，則愴^立<愴％7。<愴］。83,即

82<701gN<83,整理得1.171VlgNel.185,

根據(jù)表格可得Igl4=lg2+lg7=1.146<1.171,lg16=41g2=1.204>1.185,所以IgN=Ig15,即N=15.

故選：C.

4.B

13

【分析】通過(guò)條件q=l,：.4q(〃=2,3,㈤，得到d≥-虻?,

再利用條件％+%++Cik=8得到T6=2k+k(k-V)d,

進(jìn)而得到不等關(guān)系：16≥2氏+A(k-l)τi當(dāng)，從而得到Z的最大值.

3k-2

【詳解】由4=1,^all.l<an(n=2,3,,&),得至Ijl+5-2)4≤4[l+("-l)d],

即3+(3九一2)dN0,

3

當(dāng)〃=2,3,次時(shí)，恒有3+(3〃-2)d≥0,即d≥-——,

3n-2

由q+α,++必=8,得到8=〃>+4)=乂2+伏-1)典,

-22

所以16=2)l+A(Aι-l)d≥2Z+?火一1)^-,,keN,k≥2,

3k-2

整理得到：3左2一49左+32≤0,所以果≤15.

故選：B

5.C

【分析】根據(jù)錐體的體積公式判斷①，將將ABC翻折到與矩形ACGA共面時(shí)連接AB交AC于點(diǎn)。，此

時(shí)A。+。B取得最小值，利用勾股定理求出距離最小值，即可判斷②，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向

量法求出點(diǎn)到距離，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

【詳解】在直三棱柱ABC-ABC中平面ABC,

對(duì)于①：因?yàn)辄c(diǎn)E在棱陽(yáng)上網(wǎng)=A41=2,所以BE∈[0,2],又電植=口足5椀，

又ACLBC,AC=2,8C=1,點(diǎn)。在棱AC上，所以ΛT>e[(),2],Sλlιυ=^ADBC=^AD≡[θ,]],

I2

所以％-AM=g8E?SAB0≤t,當(dāng)且僅當(dāng)。在C點(diǎn)、E在用點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，故①正確；

對(duì)于②：如圖將ABC翻折到與矩形ACGA共面時(shí)連接AB交AC于點(diǎn)。，此時(shí)AD+CB取得最小值，

因?yàn)锳Cl=CCl=2,BC=L所以8C∣=3,所以AB=JACj+C∣5?=岳，

即A。+。B的最小值為抽，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)。(4,0,0),α∈[0,2],E(0,l,c),c∈[θ,2],

C1(0,0,2),

所以CQ=(4,0,-2),C1E=(0,1,C-2),

/?2I/\2

則點(diǎn)。到直線GE的距離d=半半=L2+4-12(C：2)

當(dāng)c=2時(shí)d=y∕a2+4≥2'

1.1.1.50<——\—≤-

當(dāng)0≤c?<2時(shí)0<(C-2)2≤4,5,

丁正'，廣'"正/產(chǎn)"則V[c-2?)

所以當(dāng)：“二?取最大值乎,且合=0時(shí)%.口5=也，

(c-2)+15V55

即當(dāng)。在C點(diǎn)E在B點(diǎn)時(shí)點(diǎn)。到直線GE的距離的最小值為乎,故③正確；

【分析】根據(jù)正方體中的線面垂直以及線線垂直關(guān)系，即可確定滿足滿足PA，。G的動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡，從

而可判斷①；利用線線關(guān)系將點(diǎn)線距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)距離，結(jié)合圓錐曲線的定義即可判斷動(dòng)點(diǎn)P的軌跡，即

可得判斷②③，從而可得答案.

【詳解】對(duì)于①，如圖在正方體488-ABeR中，連接B4,CR,

在正方體中，因?yàn)樗倪呅蜟DRG為正方形，所以。GICR,

又Be-L平面CDD1C1,DClU平面CDD1C1,所以BCJ.OC∣，

又CRCBC=C,CR,BCu平面BCD1,所以。G，平面BCD1,

平面BCAC平面ΛB8=BC,尸e平面ABC。，點(diǎn)P總滿足，￡>G，

所以「G平面BCO,所以PeBC,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是一條直線，故①正確；

對(duì)于②，BBlC平面ABCQ=3,Pe平面ABCD,則點(diǎn)尸到直線BBl等于P到B的距離，

又P到平面CDD1C1的距離等于P到DC的距離，

則尸到8的距離等于P到。C的距離，由拋物線的定義可知，動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是拋物線，故②正確；

對(duì)于③，點(diǎn)P到直線。A的距離等于P到。的距離，所以尸到。的距離與到點(diǎn)C的距離之和為2,即

IPa+1PCl=2=∣E)C],則點(diǎn)尸的軌跡為線段OC,故③不正確.

所以正確的命題個(gè)數(shù)是2.

故選：C.

7.D

【分析】所成的角都相等的直線有無(wú)數(shù)條，A錯(cuò)誤，成的角相等的平面有無(wú)數(shù)個(gè)，B錯(cuò)誤，距離相等的點(diǎn)

有無(wú)數(shù)個(gè)，C錯(cuò)誤，D正確，得到答案.

【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：根據(jù)對(duì)稱性知AG與三條直線的夾角相等，則與AG平行的直線都滿足條件，有無(wú)數(shù)

條，錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)B：根據(jù)對(duì)稱性知平面AfO與三條直線所成的角相等，則與平面A8D平行的平面都滿足條件，有

無(wú)數(shù)個(gè)，錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)C：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1,A(l,0,0),8(1,1,0),。耳上一點(diǎn)

?AB-PAA

P{a,a,a),則AB=(OJO),Λ4=(α-l,a,α),COS(AB,=謫周====,點(diǎn)P到直線A8

的距離為

I叫Jl—COS2(PAAB)=J"l)2+2∕?忙?:.=J("lj，

2

同理可得尸到直線CC1和D1A的距離為^a-1)-+a,故。片上的點(diǎn)到三條直線AB,CCl,D1A1的距離都相

等，故有無(wú)數(shù)個(gè)，錯(cuò)誤;

對(duì)選項(xiàng)D：。用上的點(diǎn)到三條直線A5,CG,R4的距離都相等，故有無(wú)數(shù)個(gè)，正確；

故選：D

8.D

【分析】由題可設(shè)A(-2,2G),