山東省2024屆高考數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

山東省2024屆高考數(shù)學(xué)模擬試題一、單選題1．現(xiàn)有隨機(jī)選出的20個(gè)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)如下，則（

）7

24

39

54

61

66

73

82

82

8287

91

95

8

98

102

102

108

114

120A．該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為102 B．該組數(shù)據(jù)的極差為112C．該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為87 D．該組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為1022．已知橢圓（）的兩焦點(diǎn)分別為、．若橢圓上有一點(diǎn)P，使，則的面積為（

）A． B． C． D．3．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若，則（

）A． B． C． D．4．已知，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，且，則 B．若，且，則C．若，且，則 D．若，且，則5．設(shè)集合，其中為自然數(shù)且，則符合條件的集合A的個(gè)數(shù)為（

）A．833 B．884 C．5050 D．51516．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則最大值為（

）A． B． C． D．7．如圖，在中，D是BC的中點(diǎn)，E是AC上的點(diǎn)，，，，，則（

）

A． B． C． D．8．已知直線：與橢圓：至多有一個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題9．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱D．函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減10．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且.函數(shù)在上的最小值為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．在實(shí)數(shù)集單調(diào)遞減C． D．或11．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是側(cè)棱的中點(diǎn)，是側(cè)面（含邊界）內(nèi)一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若點(diǎn)與頂點(diǎn)重合，則異面直線與所成角的大小為B．若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則三棱錐的體積為定值C．若點(diǎn)在線段上，則D．若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則三棱錐的外接球的體積為三、填空題12．在中，，點(diǎn)滿足，若，則的值為.13．已知，則等于.14．已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且，則橢圓的離心率取值范圍為.四、解答題15．設(shè)函數(shù)．(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求的值；(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(2)在（1）的條件下求的單調(diào)區(qū)間和極小值．16．當(dāng)前，以ChatGPT為代表的AIGC（利用AI技術(shù)自動(dòng)生成內(nèi)容的生產(chǎn)方式）領(lǐng)域一系列創(chuàng)新技術(shù)有了革命性突破．全球各大科技企業(yè)都在積極擁抱AIGC，我國(guó)的BAT（百度、阿里、騰訊3個(gè)企業(yè)的簡(jiǎn)稱）、字節(jié)跳動(dòng)、萬(wàn)興科技、藍(lán)色光標(biāo)、華為等領(lǐng)頭企業(yè)已紛紛加碼布局AIGC賽道，某傳媒公司準(zhǔn)備發(fā)布《2023年中國(guó)AIGC發(fā)展研究報(bào)告》，先期準(zhǔn)備從上面7個(gè)科技企業(yè)中隨機(jī)選取3個(gè)進(jìn)行采訪．(1)求選取的3個(gè)科技企業(yè)中，BAT中至少有2個(gè)的概率；(2)記選取的3個(gè)科技企業(yè)中BAT中的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列與期望．17．如圖，在四棱錐中，底面四邊形為直角梯形，，，，為的中點(diǎn)，，.(1)證明:平面；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.18．已知點(diǎn)、、是拋物線上的點(diǎn)，且．(1)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則動(dòng)直線是否過定點(diǎn)？如果過定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)，反之，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)若，求面積的最小值．19．已知數(shù)表中的項(xiàng)互不相同，且滿足下列條件：①；②.則稱這樣的數(shù)表具有性質(zhì).(1)若數(shù)表具有性質(zhì)，且，寫出所有滿足條件的數(shù)表，并求出的值；(2)對(duì)于具有性質(zhì)的數(shù)表，當(dāng)取最大值時(shí)，求證：存在正整數(shù)，使得；(3)對(duì)于具有性質(zhì)的數(shù)表，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，求的最大值.參考答案：1．D【分析】先將數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，再根據(jù)眾數(shù)，極差，百分位數(shù)的定義即可判斷.【詳解】將數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列：7，8，24，39，54，61，66，73，82，82，82，87，91，95，98，102，102，108，114，120，對(duì)于A，出現(xiàn)次數(shù)最多的是82，所以眾數(shù)是82，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，極差為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，第10個(gè)數(shù)和第11個(gè)數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，第16個(gè)數(shù)和第17個(gè)數(shù)的平均數(shù)為80%分位數(shù)，即，故D正確.故選：D.2．D【分析】利用點(diǎn)在橢圓上得出定義表達(dá)式，運(yùn)用余弦定理，聯(lián)立求得的值，再運(yùn)用三角形面積公式即得.【詳解】如圖，不妨設(shè)，由點(diǎn)在橢圓上可得：①，由余弦定理可得：，化簡(jiǎn)得：②，由①式兩邊平方再減去②式，得：，于是的面積為.故選：D.3．A【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為q（）．∵，∴．∵，∴，故，解得（舍負(fù)值），∴，∴，∴．故選：A．4．D【分析】構(gòu)建正方體，利用其特征結(jié)合空間中直線與平面的位置關(guān)系一一判定選項(xiàng)即可.【詳解】

如圖所示正方體，對(duì)于A，若對(duì)應(yīng)直線與平面，顯然符合條件，但，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若對(duì)應(yīng)直線與平面，顯然符合條件，但，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若對(duì)應(yīng)直線與平面，平面，顯然符合條件，但，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，且，又，是兩個(gè)不同的平面，則，故D正確.故選：D5．A【分析】利用隔板法，然后排除有兩個(gè)數(shù)相同的結(jié)果，再結(jié)合集合元素的無(wú)序性可得.【詳解】將100個(gè)小球排成一列，在101個(gè)空位（包括兩段的空位）中插入第一個(gè)擋板，再在產(chǎn)生的102個(gè)空位中插入第二個(gè)擋板，將小球分成三段，分別記每段中的小球個(gè)數(shù)為a、b、c，共有種結(jié)果，因?yàn)?，所以a、b、c中含有兩個(gè)0,1,2，…，50各有3種結(jié)果，所以a、b、c三個(gè)數(shù)各不相等的結(jié)果共有個(gè)因?yàn)槿齻€(gè)元素的每種取值有6種不同順序，所以，由集合元素的無(wú)序性可知符合條件的集合A的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：A6．B【分析】由已知條件可得，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為圓心，2為半徑的圓，可得三點(diǎn)共線，當(dāng)與圓相切時(shí)，為銳角且最大，最大，求出，由，求值即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，，所以，整理可得，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，，，故三點(diǎn)共線，如圖所示，當(dāng)與圓相切時(shí)，為銳角且最大，最大，即，由，此時(shí)，則.故選：B7．D【分析】作的四等分點(diǎn)，使得，然后在三角形與三角形中，使用余弦定理表示出，再結(jié)合，兩次使用余弦定理，從而解得所需要的邊長(zhǎng)，解出.【詳解】設(shè)在三角形與三角形中，解得：

作的四等分點(diǎn)，且,由題意知，，又因?yàn)?，所?,又，所以,在三角形與三角形中，化簡(jiǎn)得:,代入解得：,從而解得：故選：D.8．D【分析】由直線：與橢圓：至多有一個(gè)公共點(diǎn)，即聯(lián)立方程，化簡(jiǎn)整理得，即可理解為雙曲線外部的點(diǎn)（可行域），轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃的題，然后化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到的取值范圍.【詳解】聯(lián)立方程，化簡(jiǎn)整理得：因?yàn)橹本€：與橢圓：至多有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，即，即點(diǎn)滿足雙曲線外部的點(diǎn)，即可行域，如圖所示，為x軸，k為y軸，將變形為，平移直線，由圖可知，當(dāng)直線與雙曲線相切時(shí)為臨界條件.聯(lián)立，化簡(jiǎn)整理得：由題知，，解得若可行域是雙曲線右支外部的點(diǎn)，即臨界條件切線需要往上平移，即；若可行域是雙曲線左支外部的點(diǎn)，即臨界條件切線需要往下平移，即；綜上可知，的取值范圍是故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，考查用雙曲線外部點(diǎn)作可行域，求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想，數(shù)形結(jié)合思想與運(yùn)算求解能力，屬于難題.9．ABD【分析】由條件可求的解析式，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，依題意函數(shù)的周期為，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)選項(xiàng)B，因?yàn)椋矗?，所以，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)選項(xiàng)C，因?yàn)?，又，所以點(diǎn)不是的中心對(duì)稱，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以，因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，所以選項(xiàng)D正確.故選:ABD.10．AC【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得出關(guān)于的方程組，即可得的解析式，從而得選項(xiàng)A；結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)的解析式，求出的解析式，利用換元法，將所求函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱軸和二次函數(shù)的定義域，即可求出其最小值，從而解得，即可判斷選項(xiàng)C與選項(xiàng)D.【詳解】A，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，又為奇函數(shù)，所以，因?yàn)棰?，所以，即②，由得：，，所以選項(xiàng)A正確；B，因?yàn)楹瘮?shù)在上均為增函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、D，因?yàn)?，所以，又，?dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，，設(shè)，對(duì)稱軸，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，則，解得或（舍）；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，解得：，不符合題意.綜上，所以選項(xiàng)C正確，錯(cuò)誤.故選：.11．BCD【分析】利用異面直線所成角定義求出異面直線與所成角判斷A，利用等體積法求出三棱錐的體積判斷B，利用線面垂直判定定理和性質(zhì)判斷C，根據(jù)條件確定三棱錐的外接球的球心，求出半徑，即可求出球的體積判斷D.【詳解】A，因?yàn)椋贮c(diǎn)與頂點(diǎn)重合，所以是異面直線與所成角，其大小為，故A錯(cuò)誤；B，因?yàn)槭莻?cè)棱的中點(diǎn)，所以，又點(diǎn)在線段上，所以三棱錐的體積（定值），故B正確；C，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，則，又為正方形，則，且平面，則平面，且平面，可得，同理可得，又平面，則平面，因?yàn)槠矫?，所以，故C正確；D，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，記與的交點(diǎn)為，取的中點(diǎn)為，連接，則，又，所以點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心，所以三棱錐的外接球的半徑為，所以三棱錐的外接球的體積為，故D正確.故選:BCD.12．【分析】根據(jù)向量的加減運(yùn)算即可得出答案.【詳解】由題意可得：.所以.故答案為：.13．【分析】利用誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式即可.【詳解】.故答案為：.14．【分析】由，可得，由余弦定理，設(shè)，利用函數(shù)單調(diào)性求取值范圍即可.【詳解】設(shè)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為，因?yàn)?，由橢圓的定義可得，所以.又因?yàn)椋?，中由余弦定理可得?化簡(jiǎn)得，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以，可得，所以橢圓的離心率取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．與橢圓的焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算或證明常利用正弦定理、余弦定理、，得到a，c的關(guān)系．15．(1)(2)的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是，極小值為【分析】（1）根據(jù)題意可得切線的斜率為0，然后利用即可求解；（2）討論的正負(fù)即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，繼而得到極小值【詳解】（1）由可得，因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線與垂直，所以此切線的斜率為0，即，解得；（2）由（1）可得，由得，由得，所以的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值16．(1)(2)分布列見解析；期望為【分析】（1）分兩種情況求出概率，相加得到答案；（2）求出X的所有取值及對(duì)應(yīng)的概率，得到分布列和期望值.【詳解】（1）選取的3個(gè)科技企業(yè)中，BAT中有2個(gè)的概率為，BAT中有3個(gè)的概率為，故選取的3個(gè)科技企業(yè)中，BAT中至少有2個(gè)的概率為．（2）由題意，X的所有取值為0，1，2，3，，，，，所以X的分布列為X0123P．17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，可通過證明，，得平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和平面的法向量，通過向量的夾角公式可得答案.【詳解】（1）證明：連接，，則，在中，因?yàn)?，則，因?yàn)?，，所以，，所以，則，又，、平面，所以平面（2）解：因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，則，又平面，以為原點(diǎn)，以、、方向?yàn)?、、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，所以，，，，，，，，設(shè)平面法向量為，則，令，即，設(shè)平面法向量為，則令，即，設(shè)平面與平面所成銳二面角的平面角為，所以．18．(1)證明見解析，直線過定點(diǎn)；(2).【分析】（1）分析可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算與韋達(dá)定理可得出、所滿足的等式，化簡(jiǎn)直線的方程，即可得出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）分和兩種情況討論，在時(shí)，直接計(jì)算出的面積，在時(shí)，將的面積表示為的表達(dá)式，求出面積的取值范圍，綜合可得結(jié)果.【詳解】（1）解：設(shè)直線軸，則直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意.設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，則且，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，，同理，，所以，，可得，故直線的方程為，因此，直線過定點(diǎn).（2）解：由（1）可知，直線的斜率存在，且直線的方程為，記線段的中點(diǎn)為點(diǎn).①當(dāng)時(shí)，則、關(guān)于軸對(duì)稱，此時(shí)線段的垂線為軸，因?yàn)?，則點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，又因?yàn)?，則為等腰直角三角形，則的兩腰所在直線的方程為，聯(lián)立，解得或，此時(shí)，，；②當(dāng)時(shí)，，，即點(diǎn)，因?yàn)?，則，設(shè)點(diǎn)，其中且，，，由已知可得，所以，，則，直線的斜率為，可得，所以，，當(dāng)時(shí)，等式不成立，所以，且，所以，，則，所以，，故.綜上所述，.因此，面積的最小值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．19．(1)答案見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)題意寫出滿足性質(zhì)的所有數(shù)表，再分別計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意，可知當(dāng)取最大值時(shí)，存在，使得，由數(shù)表具有性質(zhì)可得為奇數(shù)，不妨設(shè)此時(shí)數(shù)表為，再利用反證法證明即可；（3）結(jié)合性質(zhì)可得，，兩式相加可得得，結(jié)合，可得，構(gòu)造數(shù)表，結(jié)合性質(zhì)進(jìn)而可以求解.【詳解】（1）滿足條件的數(shù)表為，所以的值分別為5，5，6.（2）若當(dāng)取最大值時(shí)，存