（全國通用）中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題12 二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)（10個(gè)高頻考點(diǎn)）（強(qiáng)化訓(xùn)練）（原卷版+解析）

專題12二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)（10個(gè)高頻考點(diǎn)）（強(qiáng)化訓(xùn)練）【考點(diǎn)1二次函數(shù)的定義】1．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）下列函數(shù)解析式中，一定為二次函數(shù)的是（

）A．y=3x-1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2-2t+1 D．y=x2+12．（2022·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測）若y=m2+mxmA．?1 B．0 C．2 D．?1或23．（2022·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測）定義：由a，b構(gòu)造的二次函數(shù)y=ax2+a+bx+b叫做一次函數(shù)y＝ax＋b的“滋生函數(shù)”，一次函數(shù)y＝ax＋b叫做二次函數(shù)y=ax2+a+bx+b的“本源函數(shù)”（a，b為常數(shù)，且a≠0）．若一次函數(shù)4．（2022·浙江·模擬預(yù)測）無論a取什么實(shí)數(shù)，點(diǎn)Pa?1,2a2?4a+1都在二次函數(shù)y上，Q(m,n)是二次函數(shù)5．（2013·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）請(qǐng)選擇一組你喜歡的a、b、c的值，使二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象同時(shí)滿足下列條件：①開口向下；②當(dāng)x【考點(diǎn)2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)】6．（2022·山東濱州·統(tǒng)考二模）拋物線y=12x2+12x的圖象如圖所示，點(diǎn)A1，A2，A3，A4…，A2022在拋物線第一象限的圖象上，點(diǎn)B1，B2，B3，B4.．．，B2022在y軸的正半軸上，7．（2022·四川瀘州·?？寄M預(yù)測）已知拋物線y=ax2+bx+c上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)xx…-10123…y…30-103…①拋物線y=ax②拋物線y=ax2+bx+c③方程ax2+bx+c=0④當(dāng)y>0時(shí)，x的取值范圍是x<0或x>2．以上結(jié)論中，其中正確的有______．8．（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于A?1,0，B3,0兩點(diǎn)，與y(1)求該拋物線的解析式；(2)連接BC，CD，BD，P為BD的中點(diǎn)，連接CP，則線段CP的長是______．注：拋物線y=ax2+bx+ca≠0的對(duì)稱軸是直線9．（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y=ax2+4ax+b．(1)求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含a，b的代數(shù)式表示）；(2)在平面直角坐標(biāo)系中，若二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，AB=6，且圖象過(1，c)，(3，d)，(?1，e)，(?3，f)四點(diǎn)，判斷c，d，e，f的大小，并說明理由；(3)點(diǎn)M(m，n)是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?2≤m≤1時(shí)，n的取值范圍是?1≤n≤1，求二次函數(shù)的表達(dá)式．10．（2022·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)Pa,3在拋物線C：y=4?6?x2(1)寫出C的對(duì)稱軸和y的最大值，并求a的值；(2)坐標(biāo)平面上放置一透明膠片，并在膠片上描畫出點(diǎn)P及C的一段，分別記為P′，C′．平移該膠片，使C′所在拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)恰為y=?【考點(diǎn)3二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系】11．（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線x=?1，有以下結(jié)論：①abc<0；②若t為任意實(shí)數(shù)，則有a?bt≤at2+b；③當(dāng)圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,3)時(shí)，方程ax2+bx+c?3=0的兩根為xA．0 B．1 C．2 D．312．（2022·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象過點(diǎn)（﹣1，0），對(duì)稱軸為直線x＝2，下列結(jié)論：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若點(diǎn)A（﹣2，y1）、點(diǎn)B（﹣12，y2）、點(diǎn)C（72，y3）在該函數(shù)圖象上，則y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)13．（2022·遼寧撫順·統(tǒng)考中考真題）拋物線y=ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線x=?1，直線y=kx+c與拋物線都經(jīng)過點(diǎn)(?3,0)，下列說法：①ab>0；②4a+c>0；③?2,y1與12,y2是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)，則y1<yA．2 B．3 C．4 D．514．（2022·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，與y軸交于(0,?1)，對(duì)稱軸為直線x=1．以下結(jié)論：①abc>0；②a>13；③對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，都有m(am+b)>a+b成立；④若(?2,y1)，(12,y2A．2 B．3 C．4 D．515．（2022·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)）開口向下，過A?1,0，①b>0；②若m=32，則③若點(diǎn)Mx1,y1，Nx2④當(dāng)a≤?1時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程ax其中正確的是_________（填寫序號(hào)）．【考點(diǎn)4二次函數(shù)的對(duì)稱性】16．（2022·廣東廣州·?？寄M預(yù)測）已知，二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的部分對(duì)應(yīng)值如下表，則f（-2）=______．x-2-1012345y0-3-4-3051217．（2022·浙江杭州·?？既＃┮阎魏瘮?shù)y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1＜x2，若x1+x2＝4，當(dāng)x＝0時(shí)，y＞0，當(dāng)x＝3時(shí)，y＜0，且m＜x2＜n（m，n為相鄰整數(shù)），則m+n＝___．18．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)?2,m、2,p和4,q在二次函數(shù)y=ax2+bxa<0的圖像上．若pq<0，則p，19．（2022·北京·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)(1,m),(3,n)在拋物線y=ax2(1)當(dāng)c=2,m=n時(shí)，求拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)及t的值；(2)點(diǎn)(x0,m)(x0≠1)在拋物線上，若20．（2022·北京西城·校考模擬預(yù)測）已知拋物線y=x(1)求此拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若直線y=n與該拋物線交于點(diǎn)A、B，且AB=4，求n的值；(3)若這條拋物線經(jīng)過點(diǎn)P(2m+1,y1)，Q(2m?t,y2【考點(diǎn)5二次函數(shù)的最值】21．（2022·貴州黔西·?？家荒＃┢矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，拋物線G：y=ax2+bx+c(a<a<12)過點(diǎn)A(1,c?5a)，B(x1,3)，C(x2,3)．頂點(diǎn)D不在第一象限，線段BC上有一點(diǎn)E，設(shè)△(1)用含a的式子表示b；(2)求點(diǎn)E的坐標(biāo)：(3)若直線DE與拋物線G的另一個(gè)交點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為6a+3，求y=ax2+bx+c22．（2022·浙江寧波·?？家荒＃┮阎魏瘮?shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，0),(4(1)求該二次函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)x，①當(dāng)y=32時(shí)，求②當(dāng)m≤x≤m+2時(shí)，y的最小值為?12，求23．（2022·河南鄭州·統(tǒng)考一模）已知，二次函數(shù)y=ax2+bx?3的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為?1,0(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)0≤x≤4時(shí)，求二次函數(shù)的最大值和最小值分別為多少？(3)設(shè)點(diǎn)C′與點(diǎn)C關(guān)于該拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱．在y軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCC′與△POB相似，且PC與PO24．（2022·山東臨沂·統(tǒng)考二模）如圖，直線l:y=?m與y軸交于點(diǎn)A，直線a:y=x+m與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=x2+mx的頂點(diǎn)為C，且與x軸左交點(diǎn)為D(1)當(dāng)AB=12時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上求一點(diǎn)P使得△BOP的周長最??；(2)當(dāng)點(diǎn)C在直線l上方時(shí)，求點(diǎn)C到直線l距離的最大值；(3)若把橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為“整點(diǎn)”．當(dāng)m=2022時(shí)，求出在拋物線和直線a所圍成的封閉圖形的邊界上的“整點(diǎn)”的個(gè)數(shù)．25．（2022·山東濱州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，直線l:y=?m與y軸交于點(diǎn)A，直線a:y=x+m與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=x2+mx的頂點(diǎn)為C，且與x軸左交點(diǎn)為D（1）當(dāng)AB=12時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上求一點(diǎn)P使得△BOP的周長最??；（2）當(dāng)點(diǎn)C在直線l上方時(shí)，求點(diǎn)C到直線l距離的最大值；（3）若把橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為“整點(diǎn)”．當(dāng)m=2021時(shí)，求出在拋物線和直線a所圍成的封閉圖形的邊界上的“整點(diǎn)”的個(gè)數(shù)．【考點(diǎn)6待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式】26．（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）拋物線y=ax2+114x?6與x軸交于At,0，B8,0兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝kx－6經(jīng)過點(diǎn)(1)求拋物線的表達(dá)式和t，k的值；(2)如圖1，連接AC，AP，PC，若△APC是以CP為斜邊的直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，若點(diǎn)P在直線BC上方的拋物線上，過點(diǎn)P作PQ⊥BC，垂足為Q，求CQ+127．（2022·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c交x軸于A(-1，0)，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C(0，3)，頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1．(1)求拋物線的解析式；(2)在y軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)過點(diǎn)C作直線l與y軸垂直，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為E，連接AD，AE，DE，在直線l下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MF⊥l，垂足為F，使以M，F(xiàn)，E三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與ΔADE相似？若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．28．（2022·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+x+m（a≠0）的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，其中點(diǎn)B(1)求此拋物線的函數(shù)解析式．(2)點(diǎn)D是直線AB下方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD、BD，探究是否存在點(diǎn)D，使得△ABD的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)點(diǎn)P為該拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，使得△PAB為直角三角形，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．29．（2022·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）綜合與探究如圖，某一次函數(shù)與二次函數(shù)y=x2+mx+n的圖象交點(diǎn)為A(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)C為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AC與BC的和最小時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為；(3)點(diǎn)D為拋物線位于線段AB下方圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥x軸，交線段AB于點(diǎn)E，求線段DE長度的最大值；(4)在（2）條件下，點(diǎn)M為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)F為直線AB上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，若以點(diǎn)C，M，F(xiàn)，N為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)．30．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖（1），二次函數(shù)y=?x2+bx+c的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為3,0，點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,3，直線l經(jīng)過B(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式及其圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P為直線l上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線與該二次函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)M，再過點(diǎn)M作y軸的垂線與該二次函數(shù)的圖像相交于另一點(diǎn)N，當(dāng)PM=12MN(3)如圖（2），點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，點(diǎn)Q為線段AP上一點(diǎn)，且AQ=3PQ，連接DQ，當(dāng)3AP＋4DQ的值最小時(shí)，直接寫出【考點(diǎn)7二次函數(shù)圖象的平移】31．（2022·廣西玉林·統(tǒng)考中考真題）小嘉說：將二次函數(shù)y=x2的圖象平移或翻折后經(jīng)過點(diǎn)①向右平移2個(gè)單位長度

②向右平移1個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度③向下平移4個(gè)單位長度

④沿x軸翻折，再向上平移4個(gè)單位長度你認(rèn)為小嘉說的方法中正確的個(gè)數(shù)有(

)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)32．（2022·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y=x?12+1A．y=x?22?1C．y=x2+133．（2022·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖①，已知拋物線L：y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0，3），B（1，0），過點(diǎn)A作AC∥x軸交拋物線于點(diǎn)C，∠AOB的平分線交線段AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線的關(guān)系式；(2)若動(dòng)點(diǎn)P在直線OE下方的拋物線上，連結(jié)PE、PO，當(dāng)△OPE面積最大時(shí)，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；(3)將拋物線L向上平移h個(gè)單位長度，使平移后所得拋物線的頂點(diǎn)落在△OAE內(nèi)（包括△OAE的邊界），求h的取值范圍；(4)如圖②，F(xiàn)是拋物線的對(duì)稱軸l上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△POF成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．34．（2022·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+3的自變量xx…?10123…y…430?5?12…(1)求二次函數(shù)y=ax(2)將二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖像向右平移k(k>0)個(gè)單位，得到二次函數(shù)y=mx2+nx+q的圖像，使得當(dāng)?1<x<3時(shí)，y隨x增大而增大；當(dāng)4<x<5時(shí)，y隨x增大而減小，請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的二次函數(shù)(3)A、B、C是二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖像上互不重合的三點(diǎn)．已知點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別是m、m+1，點(diǎn)C與點(diǎn)A35．（2022·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=?x2+c與y(1)直接寫出拋物線的解析式．(2)如圖，將拋物線y=?x2+c向左平移1個(gè)單位長度，記平移后的拋物線頂點(diǎn)為Q，平移后的拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．判斷以B、C(3)直線BC與拋物線y=?x2+c交于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)N在點(diǎn)M的右側(cè)），請(qǐng)?zhí)骄吭趚軸上是否存在點(diǎn)T，使得以B、N、T三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC(4)若將拋物線y=?x2+c進(jìn)行適當(dāng)?shù)钠揭?，?dāng)平移后的拋物線與直線BC【考點(diǎn)8二次函數(shù)與一元二次方程】36．（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y=x2+mx+m2?3（m為常數(shù)，m>0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(2，4)．(1)求m的值；(2)判斷二次函數(shù)y=x2+mx+m2?3的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由．37．（2022·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y=x2+bx+m圖像的對(duì)稱軸為直線x=2．將二次函數(shù)y=x2+bx+m圖像中(1)求b的值；(2)①當(dāng)m<0時(shí)，圖像C與x軸交于點(diǎn)M，N（M在N的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)P．當(dāng)△MNP為直角三角形時(shí)，求m的值；②在①的條件下，當(dāng)圖像C中?4≤y<0時(shí)，結(jié)合圖像求x的取值范圍；(3)已知兩點(diǎn)A(?1,?1),B(5,?1)，當(dāng)線段AB與圖像C恰有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出m的取值范圍．38．（2022·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）拋物線y=x2?2x?3交x軸于A，B兩點(diǎn)（A在B的左邊），C是第一象限拋物線上一點(diǎn)，直線AC交y(1)直接寫出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖（1），當(dāng)OP=OA時(shí)，在拋物線上存在點(diǎn)D（異于點(diǎn)B），使B，D兩點(diǎn)到AC的距離相等，求出所有滿足條件的點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；(3)如圖（2），直線BP交拋物線于另一點(diǎn)E，連接CE交y軸于點(diǎn)F，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m．求FPOP的值（用含m39．（2022·云南·中考真題）已知拋物線y=?x2?3x+c經(jīng)過點(diǎn)（0，2），且與x軸交于A、B兩點(diǎn)．設(shè)k是拋物線y=?x2?3x+c與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；M是拋物線y=?x2?3x+c(1)求c的值；(2)直接寫出T的值；(3)求k440．（2022·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y=ax(1)若a=?1，且函數(shù)圖象經(jīng)過0,3，2,?5兩點(diǎn)，求此二次函數(shù)的解析式，直接寫出拋物線與x軸交點(diǎn)及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在圖①中畫出（1）中函數(shù)的大致圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)值y≥3時(shí)自變量x的取值范圍；(3)若a+b+c=0且a>b>c，一元二次方程ax2+bx+c=0兩根之差等于a?c，函數(shù)圖象經(jīng)過P12【考點(diǎn)9利用二次函數(shù)的圖象確定一元二次方程的近似根】41．（2022·江蘇揚(yáng)州·?？家荒＃└鶕?jù)下面表格中的對(duì)應(yīng)值：x3.233.243.253.26ax2＋bx＋c－0.06－0.020.030.09判斷方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的一個(gè)解x的范圍是（

）A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.2642．（2022·四川眉山·一模）根據(jù)表格對(duì)應(yīng)值：x1.11.21.31.4ax2+bx+c-0.590.842.293.76判斷關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0a≠0的一個(gè)解A．1.1<x<1.2 B．1.2<x<1.3 C．1.3<x<1.4 D．無法判定43．（2022·湖北武漢·?？既＃┓匠蘹2+3x﹣1＝0的根可視為函數(shù)y＝x+3的圖象與函數(shù)y＝1x的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，那么用此方法可推斷出方程x3+x﹣1＝0的實(shí)根x0A．﹣1<x0<0 B．0<x0<44．（2022·陜西西安·統(tǒng)考中考模擬）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的xx?3?2?10123y111?1?115且方程ax2+bx+c=0的兩根分別為x1，x2A．x=?2，y=5 B．1<C．當(dāng)x1<x<x2時(shí)，y>0 D．當(dāng)45．（2022·山西·校聯(lián)考三模）閱讀與思考．小明在九年級(jí)總復(fù)習(xí)階段，針對(duì)“求一元二次方程的解”整理得出以下幾種方法，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)：九年級(jí)總復(fù)習(xí)筆記專題：一元二次方程解法歸納時(shí)間：2021年3月×日引例：求一元二次方程x2方法一：選擇合適的一種方法（公式法、配方法）求解．解方程：x2【解析】解：……公式法：……配方法：……方法二：利用二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)求解，如圖所示，把方程x2?2x?3=0的解看作是一個(gè)二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．由圖1可知該方程的近似解為方法三：將方程x2?2x?3=0移項(xiàng)可得x2=2x+3，此時(shí)原方程的解就是二次函數(shù)任務(wù)：（1）選擇一種合適的方法（公式法、配方法）解方程；（2）根據(jù)“方法二”的思路，直接寫出圖1中對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式為_______；（3）參照“方法三”的思路，求解一元二次方程x2【考點(diǎn)10二次函數(shù)與不等式】46．（2022·浙江寧波·?？既＃┮阎獟佄锞€y1=x2+bx+c與一次函數(shù)y(1)根據(jù)圖象直接寫出，當(dāng)y1?y2時(shí)，(2)將拋物線y147．（2022·廣東深圳·深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）?？既＃┳灾鲗W(xué)習(xí)，請(qǐng)閱讀下列解題過程．（1）【問題探究】解一元二次不等式：x2解：設(shè)x2?4x=0，解得：x1=0，x2=4，則拋物線y=x2?4x與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）和（4，0）．畫出二次函數(shù)y=x2?4x的大致圖像（如圖所示），由圖像可知：當(dāng)x<0或x>4時(shí)函數(shù)圖像位于（2）【知識(shí)理解】通過對(duì)上述解題過程的學(xué)習(xí)，按其解題的思路和方法解答下列問題：a．請(qǐng)歸納得到上述解一元二次不等式的基本步驟為．（按先后順序填序號(hào)）①解一元二次方程，并畫出大致圖像②將一元二次不等式轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的一元二次方程③利用數(shù)形結(jié)合求解一元二次不等式b．一元二次不等式x2?4x<0的解集為（3）【知識(shí)應(yīng)用】用類似的方法解一元二次不等式：x2（4）【拓展延伸】直接寫出一元二次不等式組?6<x48．（2022·江蘇鹽城·景山中學(xué)?？既＃╅喿x感悟：“數(shù)形結(jié)合”是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，同一個(gè)問題有“數(shù)”、“形”兩方面的特性，解決數(shù)學(xué)問題，有的從“數(shù)”入手簡單，有的從“形”入手簡單，因此，可能“數(shù)”→“形”或“形”→“數(shù)”，有的問題需要經(jīng)過幾次轉(zhuǎn)化．這對(duì)于初、高中數(shù)學(xué)的解題都很有效，應(yīng)用廣泛．解決問題：已知，點(diǎn)M為二次函數(shù)y=?x2+2bx?b2+4b+1圖象的頂點(diǎn)，直線y=mx+5分別交x軸正半軸和(1)判斷頂點(diǎn)M是否在直線y=4x+1上，并說明理由；(2)如圖1，若二次函數(shù)圖象也經(jīng)過點(diǎn)A，B，且mx+5>?x2+2bx?(3)如圖2，點(diǎn)A坐標(biāo)為5,0，點(diǎn)M在△AOB內(nèi)，若點(diǎn)C14,y1，D49．（2022·吉林長春·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣2mx+m2與y軸的交點(diǎn)為A，過點(diǎn)A作直線l垂直于y軸．(1)求拋物線的對(duì)稱軸（用含m的式子表示）；(2)將拋物線在y軸右側(cè)的部分沿直線l翻折，其余部分保持不變，組成圖形G，點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）為圖形G上任意兩點(diǎn)．①當(dāng)m＝0時(shí)，若x1＜x2，判斷y1與y2的大小關(guān)系，并說明理由；②若對(duì)于x1＝m﹣1，x2＝m+1，都有y1＞y2，求m的取值范圍；(3)當(dāng)圖象G與直線y＝m+2恰好有3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出m的取值范圍．50．（2022·遼寧沈陽·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線y=?x2+mx與直線y＝x＋n交于點(diǎn)A(1)求m和n的值；(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(3)結(jié)合圖象請(qǐng)直接寫出不等式?x(4)點(diǎn)P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)P向左平移5個(gè)單位長度得到點(diǎn)Q，若線段PQ與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)xP的取值范圍．專題12二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)（10個(gè)高頻考點(diǎn)）（強(qiáng)化訓(xùn)練）【考點(diǎn)1二次函數(shù)的定義】1．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）下列函數(shù)解析式中，一定為二次函數(shù)的是（

）A．y=3x-1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2-2t+1 D．y=x2+1【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：A、y=3x-1是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，不符合題意；B、y=ax2+bx+c，當(dāng)a=0時(shí)，不是二次函數(shù)，不符合題意；C、s=2t2-2t+1是二次函數(shù)，符合題意；D、y=x2+1x中1x不是整式，故y=x2+故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的定義．二次函數(shù)定義：一般地，把形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，且a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中a稱為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)．x2．（2022·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測）若y=m2+mxmA．?1 B．0 C．2 D．?1或2【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義求解即可，形如y=ax【詳解】解：y=m2+mx由m2?m=2可得m=2或由m2+m≠0可得m≠0，綜上m=2故答案為：C【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的定義，涉及了一元二次方程的求解，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的定義．3．（2022·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測）定義：由a，b構(gòu)造的二次函數(shù)y=ax2+a+bx+b叫做一次函數(shù)y＝ax＋b的“滋生函數(shù)”，一次函數(shù)y＝ax＋b叫做二次函數(shù)y=ax2+a+bx+b的“本源函數(shù)”（a，b為常數(shù)，且a≠0）．若一次函數(shù)【答案】y=【分析】由“滋生函數(shù)”和“本源函數(shù)”的定義，運(yùn)用待定系數(shù)法求出函數(shù)y=ax【詳解】解：由題意得﹣解得a∴函數(shù)y=ax2?3x+a+1故答案為：y=﹣【點(diǎn)睛】本題考查新定義運(yùn)算下的一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是充分理解新定義“本源函數(shù)”．4．（2022·浙江·模擬預(yù)測）無論a取什么實(shí)數(shù)，點(diǎn)Pa?1,2a2?4a+1都在二次函數(shù)y上，Q(m,n)是二次函數(shù)【答案】3【分析】由題意可知y=2x2-1，首先把點(diǎn)Q（m，n）代入二次函數(shù)y=2x2-1解析式，代入得出，關(guān)于m，n的等式進(jìn)一步整理得出答案即可．【詳解】解：由題意得，當(dāng)x=a-1時(shí)，y=2a2-4a+1=2（a-1）2-1，∴可得：y=2x2-1，∵Q（m，n）是二次函數(shù)y=2x2-1上的點(diǎn)，∴2m2-1=n，∴2m2-n=1，所以4m2-2n+1=2（2m2-n）+1=3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，注意適合解析式的點(diǎn)在圖象上，在圖象上的點(diǎn)都適合二次函數(shù)．5．（2013·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）請(qǐng)選擇一組你喜歡的a、b、c的值，使二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象同時(shí)滿足下列條件：①開口向下；②當(dāng)x【答案】答案不唯一，只要滿足b＝－4a，a＜0即可，如y＝－x2＋4x＋3，y＝－2x2＋8x－3等．【詳解】試題分析：仔細(xì)分析題中要求根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)果.答案不唯一，如y＝－(x＋1)2或y＝－(x＋1)2－2．考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)點(diǎn)評(píng)：二次函數(shù)的性質(zhì)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，是中考必考題，一般難度不大，需熟練掌握.【考點(diǎn)2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)】6．（2022·山東濱州·統(tǒng)考二模）拋物線y=12x2+12x的圖象如圖所示，點(diǎn)A1，A2，A3，A4…，A2022在拋物線第一象限的圖象上，點(diǎn)B1，B2，B3，B4.．．，B2022在y軸的正半軸上，【答案】2022【分析】先設(shè)第一個(gè)等腰直角三角形的直角邊長為x，表示出點(diǎn)A1的坐標(biāo)，代入二次函數(shù)的解析式，求出x；設(shè)第二個(gè)等腰直角三角形的直角邊長為m，表示出A2的坐標(biāo)，代入二次函數(shù)的解析式，求出m，同理求出第2022個(gè)等腰直角三角形的直角邊長，即可求出斜邊．【詳解】解：設(shè)A1B1=x，∵△OA1B1

是等腰直角三角形，∴OB1=x，則A1的坐標(biāo)為（x，x），代入二次函數(shù)y=12x2+12得x=12x2+12解得x=1或x=0（舍），設(shè)A2B2=m，∵△B1A2B2腰是等腰直角三角形，∴B1B2=m，∴A2的坐標(biāo)為（m，1+m），代入二次函數(shù)y=12x2+12得12m2+12m＝1+解得m=2或m=-1（舍），同理可求出A3B3=3，A4B4=4，∴B2022A2022=2022，根據(jù)勾股定理，得B2021A2022=20222故答案為：20222【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與規(guī)律綜合題，利用等腰直角三角形的性質(zhì)和二次函數(shù)的點(diǎn)坐標(biāo)特征是解決本題的關(guān)鍵．7．（2022·四川瀘州·?？寄M預(yù)測）已知拋物線y=ax2+bx+c上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)xx…-10123…y…30-103…①拋物線y=ax②拋物線y=ax2+bx+c③方程ax2+bx+c=0④當(dāng)y>0時(shí)，x的取值范圍是x<0或x>2．以上結(jié)論中，其中正確的有______．【答案】②③④【分析】從表格可以看出，函數(shù)的對(duì)稱軸是直線x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為1，?1，函數(shù)與x軸的交點(diǎn)為【詳解】從表格可以看出，函數(shù)的對(duì)稱軸是直線x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為1，?1，函數(shù)與x軸的交點(diǎn)為①拋物線y=ax②拋物y=ax2+bx+c③方程ax2+bx+c=0④當(dāng)y>0時(shí)，x的取值范圍是x<0或x>2，正確．故答案為：②③④．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的基本性質(zhì)，涉及函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、對(duì)稱軸等，此類表格題目通常先確定函數(shù)的對(duì)稱軸．8．（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于A?1,0，B3,0兩點(diǎn)，與y(1)求該拋物線的解析式；(2)連接BC，CD，BD，P為BD的中點(diǎn)，連接CP，則線段CP的長是______．注：拋物線y=ax2+bx+ca≠0的對(duì)稱軸是直線【答案】(1)y=?(2)5【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得；（2）先根據(jù)拋物線的解析式求出點(diǎn)C,D的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可得．【詳解】（1）解：將點(diǎn)A?1,0,B3,0代入y=?解得b=2c=3則該拋物線的解析式為y=?x（2）解：拋物線y=?x2+2x+3=?當(dāng)x=0時(shí)，y=3，即C(0,3)，∵P為BD的中點(diǎn)，且B3,0∴P(1+32,∴CP=(2?0)故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了求二次函數(shù)的解析式、兩點(diǎn)之間的距離公式，熟練掌握待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵．9．（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y=ax2+4ax+b．(1)求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含a，b的代數(shù)式表示）；(2)在平面直角坐標(biāo)系中，若二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，AB=6，且圖象過(1，c)，(3，d)，(?1，e)，(?3，f)四點(diǎn)，判斷c，d，e，f的大小，并說明理由；(3)點(diǎn)M(m，n)是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?2≤m≤1時(shí)，n的取值范圍是?1≤n≤1，求二次函數(shù)的表達(dá)式．【答案】(1)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2，b-4a)；(2)當(dāng)a<0時(shí)，e=f>c>d；當(dāng)a>0時(shí)，e=f<c<d；理由見解析(3)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=29x2+89x-19或y=?29x【分析】（1）利用配方法即可求解；（2）由對(duì)稱軸為直線x=-2，AB=6，得到A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-5，0)，(1，0)，畫出草圖，分兩種情況，利用數(shù)形結(jié)合求解即可；（3）分兩種情況，利用數(shù)形結(jié)合求解即可．（1）解：∵y=ax2+4ax+b=a(x2+4x+4-4)+b=a(x+2)2+b-4a，∴二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2，b-4a)；（2）解：由（1）知二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為直線x=-2，又∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，AB=6，∴A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-5，0)，(1，0)，當(dāng)a<0時(shí)，畫出草圖如圖：∴e=f>c>d；當(dāng)a>0時(shí)，畫出草圖如圖：∴e=f<c<d；（3）解：∵點(diǎn)M(m，n)是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)a<0時(shí)，根據(jù)題意：當(dāng)m=-2時(shí)，函數(shù)有最大值為1，當(dāng)m=1時(shí)，函數(shù)值為-1，即b?4a=1a+4a+b=?1，解得：a=?∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=?29x2?89當(dāng)a>0時(shí)，根據(jù)題意：當(dāng)m=-2時(shí)，函數(shù)有最小值為-1，當(dāng)m=1時(shí)，函數(shù)值為1，即b?4a=?1a+4a+b=1，解得：a=∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=29x2+89x綜上，二次函數(shù)的表達(dá)式為y=29x2+89x-19或y=?29x【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等知識(shí)和方法，解第（2）（3）題時(shí)應(yīng)注意分類討論，求出所有符合條件的結(jié)果．10．（2022·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)Pa,3在拋物線C：y=4?6?x2(1)寫出C的對(duì)稱軸和y的最大值，并求a的值；(2)坐標(biāo)平面上放置一透明膠片，并在膠片上描畫出點(diǎn)P及C的一段，分別記為P′，C′．平移該膠片，使C′所在拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)恰為y=?【答案】(1)對(duì)稱軸為直線x=6，y的最大值為4，a=7(2)5【分析】（1）由y=a(x??)2+k的性質(zhì)得開口方向，對(duì)稱軸和最值，把Pa,3代入（2）由y=?x2+6x?9=?(x?3)2，得出拋物線y=?x2【詳解】（1）y=4?6?x∴對(duì)稱軸為直線x=6，∵?1<0，∴拋物線開口向下，有最大值，即y的最大值為4，把Pa,3代入y=4?4?(6?a)解得：a=5或a=7，∵點(diǎn)Pa,3在C∴a=7；（2）∵y=?x∴y=?(x?3)2是由平移距離為32∴P′【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)y=a(x??)2+k【考點(diǎn)3二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系】11．（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線x=?1，有以下結(jié)論：①abc<0；②若t為任意實(shí)數(shù)，則有a?bt≤at2+b；③當(dāng)圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,3)時(shí)，方程ax2+bx+c?3=0的兩根為xA．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】利用拋物線開口方向得到a＞0，利用拋物線的對(duì)稱軸方程得到b=2a>0，利用拋物線與y軸的交點(diǎn)位置得到c＜0，則可對(duì)①進(jìn)行判斷；利用二次函數(shù)當(dāng)x=-1時(shí)有最小值可對(duì)②進(jìn)行判斷；由于二次函數(shù)y=ax2+bx+c與直線y=3的一個(gè)交點(diǎn)為（1，3），利用對(duì)稱性得到二次函數(shù)y=ax2+bx+c與直線y=3的另一個(gè)交點(diǎn)為（-3，3），從而得到x1=-3，【詳解】∵拋物線開口向上，∴a>0，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=?1，即x=?b∴b=2a>0，∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，∴c<0，∴abc<0，所以①正確；∵x=?1時(shí)，y有最小值，∴a?b+c≤at2+bt+c（t∵圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,3)時(shí)，代入解析式可得c=3?3a，方程ax2+bx+c?3=0可化為ax2+2ax?3a=0，消∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=?1，∴二次函數(shù)y=ax2+bx+c與直線y=3x1=?3，x2所以③正確．綜上所述，正確的個(gè)數(shù)是3．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。?dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置：當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在y軸右．常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)：拋物線與y軸交于（0，c）．12．（2022·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象過點(diǎn)（﹣1，0），對(duì)稱軸為直線x＝2，下列結(jié)論：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若點(diǎn)A（﹣2，y1）、點(diǎn)B（﹣12，y2）、點(diǎn)C（72，y3）在該函數(shù)圖象上，則y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【答案】C【分析】由圖象可知a<0,c>0，對(duì)稱軸為直線x=2，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為?1,0，然后可得b=?4a>0,a?b+c=0，則有c=?5a，進(jìn)而可判斷（1）（2）（3），最后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可進(jìn)行判斷（4）（5）．【詳解】解：由圖象及題意得：a<0,c>0，對(duì)稱軸為直線x=2，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為?1,0，∴b=?4a>0,a?b+c=0，∴a+4a+c=0，即c=?5a，∴abc<0,3b?2c=3×?4a由圖象可知當(dāng)x=-2時(shí)，則有4a?2b+c<0，即4a+c<2b，故（2）錯(cuò)誤；∵點(diǎn)A（﹣2，y1）、點(diǎn)B（﹣12，y2）、點(diǎn)C（72，y∴根據(jù)二次函數(shù)開口向下，離對(duì)稱軸的距離越近，其所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越大，∴y3由圖象可知當(dāng)x=2時(shí)，該函數(shù)有最大值，最大值為y=4a+2b+c，∴當(dāng)x=m時(shí)，（m為常數(shù)），則有y=am∴4a+2b+c≥am2+bm+c綜上所述：正確的有（1）（3）（5）共3個(gè)；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2022·遼寧撫順·統(tǒng)考中考真題）拋物線y=ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線x=?1，直線y=kx+c與拋物線都經(jīng)過點(diǎn)(?3,0)，下列說法：①ab>0；②4a+c>0；③?2,y1與12,y2是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)，則y1<yA．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】拋物線的對(duì)稱軸為直線x=?1，開口向下，可得a<0，b=2a<0，故①正確；根據(jù)拋物線過點(diǎn)(?3,0)，可得9a?3b+c=0，從而得到3a+c=0，故②錯(cuò)誤；由拋物線的對(duì)稱軸為直線x=?1，開口向下，可得當(dāng)x>?1時(shí)，y隨x的增大而減小，?2,y1關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為0,y1，可得到y(tǒng)1>y2，故③錯(cuò)誤；令y=0，則ax2+bx+c=0解得：x1=?3,【詳解】解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=?1，開口向下，∴a<0,?b∴b=2a<0，∴ab>0，故①正確；∵拋物線過點(diǎn)(?3,0)，∴9a?3b+c=0，∵b=2a，∴9a?3×2a+c=0，即3a+c=0，∵a<0，∴4a+c=a<0，故②錯(cuò)誤；∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=?1，開口向下，∴當(dāng)x>?1時(shí)，y隨x的增大而減小，?2,y1關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為∵?1<0<1∴y1令y=0，則a解得：x1∴方程ax2+bx+c=0y=ax∵a<0，∴當(dāng)x=?b?k2a時(shí)，函數(shù)∵直線經(jīng)過點(diǎn)(?3,0)，∴?3k+c=0，即k=1∵3a+c=0，∴c=?3a，∴k=?a，∵b=2a，∴x=?b?k∴當(dāng)x=?32時(shí)，函數(shù)∴正確的有2個(gè)．故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，并利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．14．（2022·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，與y軸交于(0,?1)，對(duì)稱軸為直線x=1．以下結(jié)論：①abc>0；②a>13；③對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，都有m(am+b)>a+b成立；④若(?2,y1)，(12,y2A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根據(jù)圖象可判斷a>0,c=?1,b<0，即可判斷①正確；令y=ax2?2ax?1=0，解得x=2a±4a2【詳解】∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象與y軸交于(0,?1)∴a>0,c=?1,?b∴b=?2a<0，∴abc>0，故①正確；令y=ax解得x=2a±由圖得，?1<1?a解得a>1∵b=?2a，∴m(am+b)>a+b可化為m(am?2a)>a?2a，即m(m?2)>?1，∴(m?1)若m(am+b)>a+b成立，則m≠1，故③錯(cuò)誤；當(dāng)x<1時(shí)，y隨x的增大而減小，∵?2<1∴y∵對(duì)稱軸為直線x=1，∴x=2時(shí)與x=0時(shí)所對(duì)應(yīng)的y值相等，∴yax2+bx+c=k（則ax2+bx+c=k（根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，當(dāng)有3個(gè)或4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，ax2+bx+c=k（當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，即k=0時(shí)，ax2+bx+c=k（故⑤錯(cuò)誤；綜上，正確的個(gè)數(shù)為2，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，一元二次方程求根公式，根與系數(shù)的關(guān)系等，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，能夠運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．15．（2022·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)）開口向下，過A?1,0，①b>0；②若m=32，則③若點(diǎn)Mx1,y1，Nx2④當(dāng)a≤?1時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程ax其中正確的是_________（填寫序號(hào)）．【答案】①③④【分析】首先判斷對(duì)稱軸x=?b2a＞0，再由拋物線的開口方向判斷①；由拋物線經(jīng)過A（-1，0），Bm,0，當(dāng)m=32時(shí)，y=ax+1x?32，求出c=?32a，再代入3a+2c判斷②，拋物線y=ax2+bx+c=ax+1x?m=ax2+a1?mx?am，由點(diǎn)M【詳解】解：∵拋物線過A?1,0，Bm,0兩點(diǎn)，且∴x=?b∵

1<m<2，∴0<?1+m2<∵拋物線開口向下，a<0，∴b＞若m=32，則∴c=?3∴3a+2c=3a+2×?∵拋物線y=ax2+bx+c=ax+1x?m∴y1=ax12∵a<0,x1<x2∴x∴y∴y依題意，將方程ax2+bx+c=1寫成a（x-m）（x∴Δ∵1<m<2，a≤?1，∴4<m+12<9∴m+12+綜上所述，①③④正確．故答案為；①③④．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．【考點(diǎn)4二次函數(shù)的對(duì)稱性】16．（2022·廣東廣州·?？寄M預(yù)測）已知，二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的部分對(duì)應(yīng)值如下表，則f（-2）=______．x-2-1012345y0-3-4-30512【答案】5【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性結(jié)合圖表數(shù)據(jù)可知，x＝?2時(shí)的函數(shù)值與x＝4時(shí)的函數(shù)值相同．【詳解】由圖表數(shù)據(jù)可知，拋物線的對(duì)稱軸為：x=1∴f?2故答案為5．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了二次函數(shù)的對(duì)稱性，理解圖表并準(zhǔn)確獲取信息是解題的關(guān)鍵．17．（2022·浙江杭州·?？既＃┮阎魏瘮?shù)y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1＜x2，若x1+x2＝4，當(dāng)x＝0時(shí)，y＞0，當(dāng)x＝3時(shí)，y＜0，且m＜x2＜n（m，n為相鄰整數(shù)），則m+n＝___．【答案】7【分析】求出該函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x＝2，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性可知x＝4時(shí)，y＞0，再根據(jù)x＝3時(shí)，y＜0，可得3＜x2【詳解】解：由題意得：該函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x＝12（x∵x＝0時(shí)，y＞0，∴根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性可得x＝4時(shí)，y＞0，∵當(dāng)x＝3時(shí)，y＜0，∴3＜x2∵m＜x2＜n（m，n∴m＝3，n＝4，∴m+n＝7，故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵．18．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)?2,m、2,p和4,q在二次函數(shù)y=ax2+bxa<0的圖像上．若pq<0，則p，【答案】m<q<p【分析】根據(jù)題意，判斷出拋物線的位置，畫出圖形，可得結(jié)論．【詳解】解：∵A（?2，m）、B（2，p）和C（4，q）在二次函數(shù)y=ax2+bx（a＜0）的圖象上．且pq＜0，∴拋物線的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，且對(duì)稱軸直線x=a（1＜a＜2），如圖所示，觀察圖象可知：m＜q＜p．故答案為：m＜q＜p．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用圖象法解決問題，屬于中考?？碱}型．19．（2022·北京·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)(1,m),(3,n)在拋物線y=ax2(1)當(dāng)c=2,m=n時(shí)，求拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)及t的值；(2)點(diǎn)(x0,m)(x0≠1)在拋物線上，若【答案】(1)（0，2）；2(2)t的取值范圍為32<t<2，x【分析】（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=2，可得拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；再根據(jù)題意可得點(diǎn)(1,m),(3,n)關(guān)于對(duì)稱軸為x=t對(duì)稱，可得t的值，即可求解；（2）拋物線與y軸交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸x=t的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（2t，c），根據(jù)拋物線的圖象和性質(zhì)可得當(dāng)x≤t時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x>t時(shí)，y隨x的增大而增大，然后分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)(1,m)，點(diǎn)(3,n)，點(diǎn)（2t，c）均在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)；當(dāng)點(diǎn)(1,m)在對(duì)稱軸的左側(cè)，點(diǎn)(3,n)，（2t，c）均在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)c=2時(shí)，y=ax∴當(dāng)x=0時(shí)，y=2，∴拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2）；∵m=n，∴點(diǎn)(1,m),(3,n)關(guān)于對(duì)稱軸x=t對(duì)稱，∴t=1+3（2）解：當(dāng)x=0時(shí)，y=c，∴拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c），∴拋物線與y軸交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸x=t的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（2t，c），∵a>0，∴當(dāng)x≤t時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x>t時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)點(diǎn)(1,m)，點(diǎn)(3,n)，（2t，c）均在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，t<1，∵m<n<c,1＜3，∴2t＞3，即t>3當(dāng)點(diǎn)(1,m)在對(duì)稱軸的左側(cè)，點(diǎn)(3,n)，（2t，c）均在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，點(diǎn)(x0,m)此時(shí)點(diǎn)(3,n)到對(duì)稱軸x=t的距離大于點(diǎn)(1,m)到對(duì)稱軸x=t的距離，∴t?1<3?t，解得：t<2，∵m<n<c,1＜3，∴2t＞3，即t>3∴32∵(x0,m)，(1,m)∴t=x∴32<x∴t的取值范圍為32<t<2，x0【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（2022·北京西城·?？寄M預(yù)測）已知拋物線y=x(1)求此拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若直線y=n與該拋物線交于點(diǎn)A、B，且AB=4，求n的值；(3)若這條拋物線經(jīng)過點(diǎn)P(2m+1,y1)，Q(2m?t,y2【答案】(1)(2m,?1)(2)3(3)t<?1或t>1【分析】（1）將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式求解；（2）由二次函數(shù)的對(duì)稱性及AB=4可得點(diǎn)A，B坐標(biāo)，進(jìn)而求解；（3）由點(diǎn)P坐標(biāo)及拋物線對(duì)稱軸可得點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)，由拋物線開口向上和點(diǎn)P(2m+1,y（1）解：∵y=x∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2m,?1)；（2）解：∵點(diǎn)A，B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，AB=4，對(duì)稱軸為直線x=2m，∴拋物線經(jīng)過(2m+2,n)，(2m?2,n)，將(2m+2,n)代入y=(x?2m)2?1（3）解：點(diǎn)P(2m+1,y1)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)P'∵a=1>0，∴拋物線開口向上，∵點(diǎn)P(2m+1,y∴當(dāng)2m+1<2m?t或2m?t<2m?1時(shí)，有y1解得t<?1或t>1．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)與不等式的關(guān)系．【考點(diǎn)5二次函數(shù)的最值】21．（2022·貴州黔西·?？家荒＃┢矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，拋物線G：y=ax2+bx+c(a<a<12)過點(diǎn)A(1,c?5a)，B(x1,3)，C(x2,3)．頂點(diǎn)D不在第一象限，線段BC上有一點(diǎn)E，設(shè)△(1)用含a的式子表示b；(2)求點(diǎn)E的坐標(biāo)：(3)若直線DE與拋物線G的另一個(gè)交點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為6a+3，求y=ax2+bx+c【答案】(1)b=?6a(2)(72(3)0≤y<9a【分析】（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入解析式即可得到a、b的數(shù)量關(guān)系；（2）根據(jù)S1=S2+32，得到BE=CE+1，由b=?6a（3）由題干條件表示出D、F的坐標(biāo)從而表示出DF的解析式，然后判斷E點(diǎn)的坐標(biāo)為(72,3)，表示出直線DE的解析式，再由DE、DF【詳解】（1）解：∵拋物線G：y=ax2∴c?5a=a+b+c∴b=?6a（2）解：如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為M∵B(x1,3)，C(x∴S1=∵S∴3∴BE=CE+1∵b=?6a∴拋物線G：y=a∴對(duì)稱軸為x=∴BC的中點(diǎn)M坐標(biāo)為(3,3)∵BE=BM+EM，CE=CM?EM，BM=CM，BE=CE+1∴EM=∴點(diǎn)E為(72（3）解：∵直線DE與拋物線G：y=ax2?6ax+c的另一個(gè)交點(diǎn)∴y=a∴點(diǎn)F(∵點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)∴點(diǎn)D(3,?9a+c)∴直線DF的解析式為：y=6x?18+c?9a∴點(diǎn)E坐標(biāo)為(又∵點(diǎn)D(3,?9a+c)∴直線DE解析式為：y=(6+18a?2c)x+7c?63a?18∵直線DE與直線DF是同一直線∴6=6+18a?2c∴c=9a∴拋物線解析式為：y=a∵1<x<6∴當(dāng)x=3時(shí)，ymin=0，當(dāng)x=6∴0≤y<9a【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，掌握二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)并能靈活運(yùn)用是解決本題的關(guān)鍵．22．（2022·浙江寧波·?？家荒＃┮阎魏瘮?shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，0),(4(1)求該二次函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)x，①當(dāng)y=32時(shí)，求②當(dāng)m≤x≤m+2時(shí)，y的最小值為?12，求【答案】(1)該二次函數(shù)的解析式為y=1(2)①x的值為1或5；②1≤m≤3【分析】（1）利用待定系數(shù)法求得即可；（2）①把y=32代入，即可求得；②把二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，求得函數(shù)的最小值為?12，所以【詳解】（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax?2把點(diǎn)0,4代入得4=8a，解得a=1∴y=1∴該二次函數(shù)的解析式為y=1（2）①y=32時(shí)，則解得x1=1，故x的值為1或5；②y=∴當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)有最小值?1∴當(dāng)m≤3≤m+2時(shí)，即1≤m≤3時(shí)，y有最小值?1故m的取值范圍是1≤m≤3．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（2022·河南鄭州·統(tǒng)考一模）已知，二次函數(shù)y=ax2+bx?3的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為?1,0(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)0≤x≤4時(shí)，求二次函數(shù)的最大值和最小值分別為多少？(3)設(shè)點(diǎn)C′與點(diǎn)C關(guān)于該拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱．在y軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCC′與△POB相似，且PC與PO【答案】(1)y(2)函數(shù)的最大值為5，最小值為?4(3)存在，P(0,?9)或P(0,?【分析】（1）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，再將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入解析式計(jì)算即可；（2）將函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答即可；（3）存在點(diǎn)P，設(shè)P0,m，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列得PCPO=【詳解】（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx?3的圖象與y軸交于C∵OB=OC，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，∴B3,0又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為?1,0，由題意可得：0=9a+3b?30=a?b?3，解得：a=1∴二次函數(shù)的解析式為y=（2）∵y=x2∴當(dāng)x=1時(shí)，y最小值∵當(dāng)0≤x≤1時(shí)，y隨著x的增大而減小，∴當(dāng)x=0時(shí)，y最大值∵當(dāng)1<x≤4時(shí)，y隨著x的增大而增大，∴當(dāng)x=4時(shí)，y最大值∴當(dāng)0≤x≤4時(shí)，函數(shù)的最大值為5，最小值為?4．（3）存在點(diǎn)P，如圖，設(shè)P0,m∵CC′∥OB，且PC∴PCPO=解得：m=?9或m=?9∴P0,?9或P【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)與圖形問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的對(duì)稱性，相似三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，正確掌握二次函數(shù)的綜合知識(shí)是解題的關(guān)鍵．24．（2022·山東臨沂·統(tǒng)考二模）如圖，直線l:y=?m與y軸交于點(diǎn)A，直線a:y=x+m與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=x2+mx的頂點(diǎn)為C，且與x軸左交點(diǎn)為D(1)當(dāng)AB=12時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上求一點(diǎn)P使得△BOP的周長最??；(2)當(dāng)點(diǎn)C在直線l上方時(shí)，求點(diǎn)C到直線l距離的最大值；(3)若把橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為“整點(diǎn)”．當(dāng)m=2022時(shí)，求出在拋物線和直線a所圍成的封閉圖形的邊界上的“整點(diǎn)”的個(gè)數(shù)．【答案】(1)P（?3，3

）(2)點(diǎn)C與l距離的最大值為1；(3)m＝2022時(shí)“整點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為4046個(gè)．【分析】（1）由題意求出m＝6，得出拋物線L的解析式為y＝x2＋6x，當(dāng)B、P、D三共線時(shí)，△OBP周長最短，此時(shí)點(diǎn)P為直線a與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，則可求出答案；（2）求出L的頂點(diǎn)C(?m2，?m（3）聯(lián)立兩個(gè)解析式得出y＝x2＋2022xy＝（1）解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝x＋m＝m，∴B（0，m），∵AB＝12，∵A（0，?m），∴m?（?m）＝12，∴m＝6，∴拋物線L的解析式為：y＝x2＋6x，∴拋物線L的對(duì)稱軸x＝?3，又知O、D兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，則OP＝DP，∴OB＋OP＋PB＝OB＋DP＋PB，∴當(dāng)B、P、D三共線時(shí)，△OBP周長最短，此時(shí)點(diǎn)P為直線a與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，當(dāng)x＝?3時(shí)，y＝x＋6＝3，∴P（?3，3）（2）解：y=x2+mx=(x＋m2)2?m24，∴L的頂點(diǎn)C(?m2，?m24)，∵點(diǎn)C在l上方，∴C與l的距離＝?m24?(?m（3）解：當(dāng)m＝2021時(shí)，拋物線解析式L：y＝x2＋2022x，直線解析式a：y＝x＋2022，聯(lián)立上述兩個(gè)解析式得方程組y＝x2＋2022xy＝x＋2022，可得：x1【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，靈活運(yùn)用軸對(duì)稱求最短距離解題是關(guān)鍵．25．（2022·山東濱州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，直線l:y=?m與y軸交于點(diǎn)A，直線a:y=x+m與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=x2+mx的頂點(diǎn)為C，且與x軸左交點(diǎn)為D（1）當(dāng)AB=12時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上求一點(diǎn)P使得△BOP的周長最??；（2）當(dāng)點(diǎn)C在直線l上方時(shí)，求點(diǎn)C到直線l距離的最大值；（3）若把橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為“整點(diǎn)”．當(dāng)m=2021時(shí)，求出在拋物線和直線a所圍成的封閉圖形的邊界上的“整點(diǎn)”的個(gè)數(shù)．【答案】（1）?3,3；（2）1；（3）4044個(gè)【分析】（1）先求出點(diǎn)B坐標(biāo)，B的縱坐標(biāo)減去A的縱坐標(biāo)等于12求出m值，再求出拋物線的對(duì)稱軸，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性和兩點(diǎn)之間線段最短知，當(dāng)B、P、D三點(diǎn)共線時(shí)△OBP周長最短，此時(shí)點(diǎn)P為直線a與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，進(jìn)而求解即可；（2）先求出拋物線的頂點(diǎn)C坐標(biāo)?m2,?m24，由（3）先求出拋物線與直線a的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)每一個(gè)整數(shù)x的值都對(duì)應(yīng)的一個(gè)整數(shù)y值，結(jié)合邊界由線段和拋物線組成求解即可．【詳解】解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=x+m=m，∴B(0,m)，∵AB=12，而A(0,?m)，∴m?(?m)=12，∴m=6，∴拋物線L的解析式為：y=x∴L的對(duì)稱軸x=?3，又知O、D兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，則OP=DP∴OB+OP+PB=OB+DP+PB∴當(dāng)B、P、D三點(diǎn)共線時(shí)△OBP周長最短，此時(shí)點(diǎn)P為直線a與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，當(dāng)x=?3時(shí)，y=x+6=3，∴P(?3,3)；（2）y=x+∴L的頂點(diǎn)C?∵點(diǎn)C在l上方，∴C與l的距離=?m∴點(diǎn)C與l距離的最大值為1；（3）當(dāng)m=2021時(shí)，拋物線解析式L:y=直線解析式a:y=x+2021聯(lián)立上述兩個(gè)解析式y(tǒng)=x2+2021xy=x+2021∴可知每一個(gè)整數(shù)x的值都對(duì)應(yīng)的一個(gè)整數(shù)y值，且-2021和1之間（包括-2021和1）共有2023個(gè)整數(shù)；∵另外要知道所圍成的封閉圖形邊界分兩部分：線段和拋物線，∴線段和拋物線上各有2023個(gè)整數(shù)點(diǎn)，∴總計(jì)4046個(gè)點(diǎn)∵這兩段圖象交點(diǎn)有2個(gè)點(diǎn)重復(fù)，∴“整點(diǎn)”的個(gè)數(shù)：4046?2=4044（個(gè)）；故m=2021時(shí)“整點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為4044個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、圖形與坐標(biāo)、最短路徑問題、二次函數(shù)的最值、兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題、解二元一次方程組等問題，綜合性強(qiáng)，難度適中，解答的關(guān)鍵是讀懂題意，找尋相關(guān)知識(shí)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題．【考點(diǎn)6待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式】26．（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）拋物線y=ax2+114x?6與x軸交于At,0，B8,0兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝kx－6經(jīng)過點(diǎn)(1)求拋物線的表達(dá)式和t，k的值；(2)如圖1，連接AC，AP，PC，若△APC是以CP為斜邊的直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，若點(diǎn)P在直線BC上方的拋物線上，過點(diǎn)P作PQ⊥BC，垂足為Q，求CQ+1【答案】(1)，y=?14x2(2)點(diǎn)P(3)169【分析】（1）分別把B8,0（2）作PM⊥x軸于點(diǎn)M，根據(jù)題意可得Pm,?14m2+114m?6（3）作PN⊥x軸交BC于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作NE⊥y軸于點(diǎn)E，則PN=?14m2+114m?6?34m?6=?1（1）解：∵B8,0在拋物線y=a∴64a+11∴a=?1∴拋物線解析式為y=?1當(dāng)y=0時(shí)，?1∴t1=3，∴t=3．∵B8,0在直線y=kx?6∴8k?6=0，∴k=3∴一次函數(shù)解析式為y=3（2）解：如圖，作PM⊥x軸于點(diǎn)M，對(duì)于y=?14x2+∴點(diǎn)C（0，-6），即OC=6，∵A（3，0），∴OA=3，∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．∴Pm,?∴PM=14m∵∠CAP=90°，∴∠OAC+∠PAM=90°，∵∠APM+∠PAM=90°，∴∠OAC=∠APM，∵∠AOC=∠AMP=90°，∴△COA∽△AMP，∴OAPM∴OA?MA=OC?PM，即3(m?3)=6?1∴m1=3（舍），∴m=10，∴點(diǎn)P10,?（3）解：如圖，作PN⊥x軸交BC于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作NE⊥y軸于點(diǎn)E，∵Pm,?∴點(diǎn)Nm,∴PN=?1∵PN⊥x軸，∴PN∥y軸，∴∠PNQ=∠OCB，∵∠PQN=∠BOC=90°，∴△PQN∽△BOC，∴PNBC∵OB=8，OC=6，∴BC=10，∴NQ=35PN∵EN⊥y軸，∴EN∥x軸，∴△CNE∽△CBO，∴CNBC=∴CN=5∴CQ+1∴CQ+1∴當(dāng)m=132時(shí)，CQ+1【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵，是中考的壓軸題．27．（2022·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c交x軸于A(-1，0)，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C(0，3)，頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1．(1)求拋物線的解析式；(2)在y軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)過點(diǎn)C作直線l與y軸垂直，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為E，連接AD，AE，DE，在直線l下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MF⊥l，垂足為F，使以M，F(xiàn)，E三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與ΔADE相似？若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)y=-x2+2x+3；(2)存在，P（0，-1）使∠APB＋∠ACB＝180°，理由見解析；(3)存在點(diǎn)M，使以M，F(xiàn)，E三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與ΔADE相似，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0）或（-3，-12）或?【分析】（1）由拋物線的對(duì)稱軸可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，由此設(shè)出交點(diǎn)式，代入點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可得出拋物線的解析式；（2）由題意可知，點(diǎn)A，C，B，P四點(diǎn)共圓，畫出圖形，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）由拋物線的對(duì)稱性可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得出AD，DE，AE的長，可得出△ADE是直角三角形，且DE∶AE=1：3，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出EF和FM的比例，由此可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，∵A（-1，0），∴B（3，0），設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x-3），把C（0，3）代入拋物線的解析式得：-3a=3，解得a=-1，∴拋物線的解析式為：y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3；（2）存在，P（0，-1），理由如下：∵∠APB+∠ACB=180°，∴∠CAP+∠CBP=180°，∴點(diǎn)A，C，B，P四點(diǎn)共圓，如圖所示，∵點(diǎn)A（0，-1），B（3，0），C（0，3），∴OB=OC=3，∴∠OCB=∠OBC=45°，∴∠APC=∠ABC=45°，∴△AOP是等腰直角三角形，∴OP=OA=1，∴P（0，-1）；（3）解：存在，理由如下：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴D（1，4），由拋物線的對(duì)稱性得：E（2，3），∵A（-1，0），∴AD=25∴AD∴△ADE是直角三角形，且∠AED=90°，DE∶AE=1∶3，∵點(diǎn)M在直線l下方的拋物線上，設(shè)M(t,?t2+2t+3)，則t∵M(jìn)F⊥l，∴點(diǎn)F（t，3），∴EF=|t?2|，MF=3??∵以M，F(xiàn)，E三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與ΔADE相似，∴EF:MF=DE:AE=1:3或MF:EF=DE:AE=1:3，∴|t?2|:(t2?2t)=1:3解得t=2（舍去）或t=3或t=-3或t=13（舍去）或∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0）或（-3，-12）或?1綜上所述，存在點(diǎn)M，使以M，F(xiàn)，E三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與ΔADE相似，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0）或（-3，-12）或?1【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，圓內(nèi)四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，分類討論思想等，第（2）問得出四點(diǎn)共固是解題關(guān)鍵；第（3）問得出△ADE是直角三角形并得出AD∶AE的值是解題關(guān)鍵．28．（2022·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+x+m（a≠0）的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，其中點(diǎn)B(1)求此拋物線的函數(shù)解析式．(2)點(diǎn)D是直線AB下方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD、BD，探究是否存在點(diǎn)D，使得△ABD的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)點(diǎn)P為該拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，使得△PAB為直角三角形，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)y=(2)（-2，-4）(3)P點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，3），（-1，-5），?1，?2+【分析】（1）直接將B（0，-4），C（2，0）代入y=ax（2）先求出直線AB關(guān)系式為：y=?x?4，直線AB平移后的關(guān)系式為：y=?x?4+n，當(dāng)其與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)D距AB最大，此時(shí)△ABD的面積最大，由此即可求得D點(diǎn)坐標(biāo)；（3）分三種情況討論，①當(dāng)∠PAB=90°時(shí)，即PA⊥AB，則設(shè)PA所在直線解析式為：y=x+z，將A（-4,0）代入y=x+z得，解得：z=4，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1,3）；②當(dāng)∠PBA=90°時(shí)，即PB⊥AB，則設(shè)PB所在直線解析式為：y=x+t，將B（0，-4）代入y=x+t得，t=?4，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1,-5）；③當(dāng)∠APB=90°時(shí)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為：?1，yp，由于PA所在直線斜率為：yp3，PB在直線斜率為：yp+4?1，yp【詳解】（1）解：將B（0，-4），C（2，0）代入y=ax得：m=?44a+2+m=0解得：m=?4a=∴拋物線的函數(shù)解析式為：y=1（2）向下平移直線AB，使平移后的直線與拋物線只有唯一公共點(diǎn)D時(shí)，此時(shí)點(diǎn)D到直線AB的距離最大，此時(shí)△ABD的面積最大，∵12x2+x?4=0時(shí)，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：（-4,0），設(shè)直線AB關(guān)系式為：y=kx+b（將A（-4,0），B（0，-4），代入y=kx+b（得：?4k+b=0b=?4解得：k=?1b=?4∴直線AB關(guān)系式為：y=?x?4，設(shè)直線AB平移后的關(guān)系式為：y=?x?4+n，則方程?x?4+n=1即12x∴n=?2，即12x2將x=-2代入拋物線解析式得，y=1∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（-2，-4）時(shí)，△ABD的面積最大；（3）①當(dāng)∠PAB=90°時(shí)，即PA⊥AB，則設(shè)PA所在直線解析式為：y=x+z，將A（-4,0）代入y=x+z得，?4+z=0，解得：z=4，∴PA所在直線解析式為：y=x+4，∵拋物線對(duì)稱軸為：x=-1，∴當(dāng)x=-1時(shí)，y=?1+4=3，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，3）；②當(dāng)∠PBA=90°時(shí)，即PB⊥AB，則設(shè)PB所在直線解析式為：y=x+t，將B（0，-4）代入y=x+t得，t=?4，∴PA所在直線解析式為：y=x?4，∴當(dāng)x=-1時(shí)，y=?1?4=?5，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，-5）；③當(dāng)∠APB=90°時(shí)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為：?1，∴PA所在直線斜率為：yp3，PB在直線斜率為：∵PA⊥PB，∴yp3·解得：yp1=?2+7∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：?1，?2+綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，3），（-1，-5），?1，?2+7，?1【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)、三角形的綜合，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．29．（2022·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）綜合與探究如圖，某一次函數(shù)與二次函數(shù)y=x2+mx+n的圖象交點(diǎn)為A(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)C為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AC與BC的和最小時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為；(3)點(diǎn)D為拋物線位于線段AB下方圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥x軸，交線段AB于點(diǎn)E，求線段DE長度的最大值；(4)在（2）條件下，點(diǎn)M為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)F為直線AB上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，若以點(diǎn)C，M，F(xiàn)，N為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)．【答案】(1)y=(2)（1，2）(3)25(4)N【分析】（1）將A（-1，0），B（4，5）代入y=x2+mx+n得到關(guān)于m（2）拋物線的對(duì)稱軸為x=1，求出直線AB與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即可求解；（3）設(shè)Dd,d2?2d?3，則（4）根據(jù)題意畫出圖形，分情況求解即可．【詳解】（1）解：將A（-1，0），B（4，5）代入y=x2+mx+n解這個(gè)方程組得m=?2n=?3∴拋物線的解析式為：y=x（2）解：如圖，設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，把點(diǎn)A（-1，0），B（4，5）代入y=kx+b，得?k+b=04k+b=5解得k=1b=1∴直線AB的解析式為：y=x+1，由（1）知拋物線y=x2?2x?3∵點(diǎn)C為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，AC+BC≥AB，∴當(dāng)點(diǎn)C在AB上時(shí)，AC+BC最小，把x=1代入y=x+1，得y=2，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2）；（3）解：如圖，由（2）知直線AB的解析式為y=x+1設(shè)Dd,d2則DE=(d+1)?d當(dāng)d=32時(shí)，DE有最大值為（4）解：如圖，∵直線AB的解析式為：y=x+1，∴直線與y軸的交點(diǎn)為D（0，1），OD=1∵A(?1,0)，OA=1∴OA=OD,∠DAO=∠ADO=45°，若以點(diǎn)C，M，F(xiàn)，N為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，分情況討論：①過點(diǎn)C作CM1⊥y軸于點(diǎn)M1，則ΔDM1依題意，知D與F重合，點(diǎn)N1②以M1為中心分別作點(diǎn)F，點(diǎn)C點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)M2,N2，連接C③延長N2M2到N3使N3M2=M④取M2C的中點(diǎn)N4，F(xiàn)C的中點(diǎn)F2，則M1綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：N【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，正方形的判定，根據(jù)題意正確畫圖是解本題的關(guān)鍵．30．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖（1），二次函數(shù)y=?x2+bx+c的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為3,0，點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,3，直線l經(jīng)過B(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式及其圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P為直線l上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線與該二次函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)M，再過點(diǎn)M作y軸的垂線與該二次函數(shù)的圖像相交于另一點(diǎn)N，當(dāng)PM=12MN(3)如圖（2），點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，點(diǎn)Q為線段AP上一點(diǎn)，且AQ=3PQ，連接DQ，當(dāng)3AP＋4DQ的值最小時(shí)，直接寫出【答案】(1)y=?x2(2)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為1+2或1?2或2+(3)DQ=【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）設(shè)P（t，?t+3），則M（3）由題意可知Q點(diǎn)在平行于BC的線段上，設(shè)此線段與x軸的交點(diǎn)為G，由QG∥BC，求出點(diǎn)G(2，0)，作A點(diǎn)關(guān)于GQ的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′D與AP交于點(diǎn)Q，則3AP+4DQ=4(DQ+34AP)=4(DQ＋AQ)≥4A′D，利用對(duì)稱性和∠OBC=45°【詳解】（1）解：將點(diǎn)B3,0，C0,3∴?9+3b+c=0解得b=2∴y=?∵y=?x∴頂點(diǎn)坐標(biāo)1,4；（2）解：設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，∴3k+b=0解得k=?1∴y=?x+3，設(shè)Pt,?t+3，則Mt,?t∴PM=t2?3t∵PM=1∴t2∴t2?3t=1當(dāng)t2?3t=1解得t1=1+2當(dāng)t2?3t=?1解得t3=2+3∴P點(diǎn)橫坐標(biāo)為1+2或1?2或2+3（3）解：∵C0,3，D點(diǎn)與C點(diǎn)關(guān)于x∴D0,?3令y=0，則?x解得x=?1∴A?1,0∴AB=4，∵AQ=3PQ，∴Q點(diǎn)在平行于BC的線段上，設(shè)此線段與x軸的交點(diǎn)為G，∴QG∥BC，∴AQAP∴34∴AG=3，∴G2,0∵OB=OC，∴∠OBC=45°，作A點(diǎn)關(guān)于GQ的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接AD與AP交于點(diǎn)Q∵AQ=A∴AQ+DQ=A∴3AP+4DQ=4DQ+∵∠QGA=∠CBO=45°，AA∴∠A∵AG=A∴∠AA∴∠AGA∴A′設(shè)直線DA′的解析式為∴b=?32k+b=3解得k=3b=?3∴y=3x?3，同理可求直線QG的解析式為y=?x+2，聯(lián)立方程組y=?x+2y=3x?3解得x=5∴Q5∵D0,?3∴DQ=5【點(diǎn)