平行線及其判定（單元教學設計）大單元教學人教版七年級數學下冊

5.2平行線及其判定(單元教學設計)

一、【單元目標】

通過情景導入，歸納總結出圖形出現的規(guī)律，從而得到平行線的概念；從平行線的關系

可以發(fā)現存在同位角、內錯角、同旁內角，我們就可以推導出平行線的判定方法；通過這種

循序漸進的教育模式，提高學生的參與度，促進對知識點的理解，并且加強學生對數學學習

的興趣；

(1)選擇特點鮮明的圖片，讓學生從中歸納出平行線的概念，再由平行線的情況發(fā)現

“三線八角”，就可以得到平行線的判定方法；學生通過完成相關的例題，加強對概念的理

解和應用，同時對復雜的平行線判定方法有一個直觀的感受；

(2)通過小組合作探究，讓學生參與教學過程，加深對基礎概念的理解，提升了學生

的數學抽象素養(yǎng)，進一步發(fā)展了學生的類比推理素養(yǎng)；

(3)通過典型例題的訓練，加強學生的做題技巧，訓練做題的方法，提升學生的邏輯

推理素養(yǎng)；

(4)在師生共同思考與合作下，學生通過概括與抽象、類比的方法，體會了歸因與轉

化的數學思想，同時提升了學生的數學抽象素養(yǎng)，并發(fā)展了學生的邏輯推理素養(yǎng)；

(5)通過觀察圖片，提高學生的觀察事物的能力，同時激發(fā)學生的學習興趣，提升學

生的人文素養(yǎng)；

二、【單元知識結構框架】

'1、平行線的概念

(同位角相等，兩直線平行

平行線及其判定｛2、平行線判定的方法《內錯角相等，兩直線平行

I同旁內角互補，兩直線平行

、3、平行線判定方法的綜合運用

三、【學情分析】

1.認知基礎

本節(jié)內容是本章的重點內容之一，是考試的?？键c；這一節(jié)內容讓我們學會了對平行線

的證明，加強對證明方法的理解；“三線八角”證明平行線關系，也是我們學好幾何證明的

基礎；

2.認知障礙

學生在理解同位角、內錯角、同旁內角證明平行線關系時易產生混亂，導致做題的依據

不充分，對于復雜的平行線判定問題，往往會出現束手無策的情況，這里需要加強對角的關

聯性計算，同時要靈活運用“三線八角”證明是否是平行線;

四、【教學設計思路/過程】

課時安排：約2課時

教學重點：平行線的概念；掌握同位角相等、兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行;

同旁內角互補，兩直線平行；

教學難點：平行線判定方法的綜合運用；

五、【教學問題診斷分析】

5.2.1平行線的概念

問題1：（情境導入）數學來源于生活，生活中處處有數學，觀察下面的圖片，你發(fā)現

了什么？

【破解方法】學會觀察周邊的事物，總結圖形中出現的規(guī)律，再形成基礎概念；通過具

體圖片，幫助學生掌握兩條線之間的位置關系，培養(yǎng)學生的洞察能力和總結能力，促進學生

思維的發(fā)展。

問題2：(平行線的概念)下列說法中正確的有：.

(1)在同一平面內不相交的兩條線段必平行；

(2)在同一平面內不相交的兩條直線必平行；

(3)在同一平面內不平行的兩條線段必相交；

(4)在同一平面內不平行的兩條直線必相交；

(5)在同一平面內，兩條直線的位置關系有三種：平行、相交和垂直.

【破解方法】同一平面內，兩條直線的位置關系只有兩種：平行和相交.兩條線段平行、

兩條射線平行是指它們所在的直線平行，因此，兩條線段不相交不意味著它們所在的直線不

相交，也就無法判斷它們是否平行.

【解析】根據平行線的概念進行判斷.線段不相交，延長后不一定不相交，(1)錯誤；

同一平面內，直線只有平行和相交兩種位置關系，(2)(4)正確，(5)錯誤；線段是有長度的，

不平行也可以不相交，(3)錯誤.故答案為(2)(4).

問題3：(過直線外一點畫已知直線的平行線)如圖所示，在/AOB內有一點P.

⑴過點尸畫/i〃0A；

(2)過點P畫/2〃0B；

(3)用量角器量一量Z1與/2相交的角與No的大小有怎樣的關系.

【破解方法】用兩個三角板，根據“同位角相等，兩直線平行”來畫平行線，然后用量

角器量一量4與A相交的角，該角與NO的關系為相等或互補.

【解析】⑴⑵如圖所示;

(3)∕ι與/2夾角有兩個：ZLZ2；Zl=ZO,Z2+ZO=180o,所以八和/2的夾角與

NO相等或互補.

易錯點撥：注意/2與N。是互補關系，解答時容易漏掉.

問題4：（平行公理）有下列四種說法：（1）過直線外一點有且只有一條直線與這條直線

平行；（2）同一平面內，過一點能且只能作一條直線與已知直線垂直；（3）直線外一點與直線

上各點連接的所有線段中，垂線段最短；（4）平行于同一條直線的兩條直線互相平行.其中

正確的個數是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【破解方法】平行線公理和垂線的性質兩者比較相近，兩者區(qū)別在于：對于平行線公理

中，必須是過直線外一點可以作已知直線的平行線，但過直線上一點不能作已知直線的平行

線，垂線的性質中，無論點在何處都能作出已知直線的垂線.

【解析】根據平行公理、垂線的性質進行判斷.（1）過直線外一點有且只有一條直線與

這條直線平行，正確；（2）同一平面內，過一點能且只能作一條直線與已知直線垂直，正確；

⑶直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短，正確；（4）平行于同一條直線

的兩條直線互相平行，正確；正確的有4個.故答案為D.

問題5：（平行公理的推論）四條直線mb,c,d互不重合，如果?！╞,b∕∕c,c∕∕d,

那直線”,d的位置關系為.

【破解方法】平行公理的推論是證明兩條直線相互平行的理論依據.

【解析】由于a〃6,b∕∕c,根據平行公理的推論得到a〃c,而c〃d,所以a〃d故答

案為a∕∕d.

5.2.2平行線的判定

問題6：（應用同位角相等，判斷兩直線平行）如圖，/1=/2=55°,/3等于多少

度？直線AB,CQ平行嗎？說明理由.

【破解方法】準確識別三種角是判斷兩條直線平行的前提條件,本題中易得到同位角（“F”

型）相等，從而可以應用“同位角相等，兩直線平行”.

【解析】Z3=55o,A8〃CD理由如下：VZ3=Z2,NI=/2=55°,ΛZ1=Z3

=55°,.?.AB"C￡＞（同位角相等，兩直線平行）.

問題7：（應用內錯角相等，判斷兩直線平行）如圖，已知BC平分NACn且Nl=

Z2,AB與Cz）平行嗎？為什么？

D

【破解方法】準確識別三種角是判斷兩條直線平行的前提條件,本題中易得到內錯角（“Z”

型）相等，從而可以應用“內錯角相等，兩直線平行”.

【解析】AB〃CD理由如下：YBC平分N4C。，ΛZl=ZBCD.VZl=Z2,ΛZ2=

N8CD,.?.A2"CQ（內錯角相等，兩直線平行）.

問題8：（應用同旁內角互補，判斷兩直線平行）如圖，Nl=25°,NB=65°,AB

J_4C.4。與BC有怎樣的位置關系？為什么？

D

【破解方法】準確識別三種角是判斷兩條直線平行的前提條件，本題中易得到同旁內角

（“U”型）相等，從而可以應用“同旁內角互補，兩直線平行”.

【解析】A力〃BC.理由如下：?.?∕1=25°,ZB=65o,ABLAC,：.ZBAD=90a+

250=115o.VZBAD+ZB=115°+65°=180°,.?AD∕∕BC.

問題9：（平行線判定方法的應用）如圖，下列說法錯誤的是（）

d,e

a??4Y-

A.若a〃b,b//c,貝!la〃C

B.若NI=N2,W∣Ja/∕c

C.若N3=N2,則6〃C

D.若/3+/4=180°,則.〃C

【破解方法】解決此類問題的關鍵是識別截線和被截線，找準同位角、內錯角和同旁內

角，從而判斷出哪兩條直線是平行的.

【解析】根據平行線的判定方法進行推理論證?A選項中，若a〃仇b∕∕c,則3〃G

利用了平行公理，正確；B選項中，若Nl=N2,則3〃0,利用了“內錯角相等，兩直線平

行”，正確；C選項中，N3=N2,不能判斷6〃c,錯誤；D選項中，若N3+N4=18（Γ,

則a〃c,利用了“同旁內角互補，兩直線平行”，正確.故選C.

5.1.3平行線判定方法的綜合應用

問題10：如圖，有以下四個條件：①/8+/BCD=I80°；②∕1=N2;③N3=∕4;

④/B=/5,其中能判定AB〃C。的條件有（）

BCE

A.1個B.2個C.3個D.4個

【破解方法】要判定兩直線是否平行，首先要將題目給出的角轉化為這兩條直線被第三

條直線所截得的同位角、內錯角或同旁內角，再看這些角是否滿足平行線的判定方法.

【解析】根據平行線的判定定理即可求得答案.Φ'.?Z^+Z^=180o,.?.AB∕∕CD?,

②?.?N1=N2,.?.AD∕∕BC-,③YN3=N4,：.AB//CD-,④：/8=/5,，熊〃CZZ，能得到

AB//3的條件是①③④.故選C.

問題11：如圖，直線48、CD、EF被直線G”所截，Zl=70o,Z2=110o,Z2+Z3

=180。.求證：⑴E/〃A&（2）C￡>〃4伙補全橫線及括號的內容）.

證明：(l)?.?N2+N3=180°,/2=110°(已知),

ΛZ3=70o().

又?.?∕l=70°(已知)，

ΛZ1=Z3(

.?EF∕∕AB(

(2)?.?∕2+N3=180°,

.?.//(

XVEFZzAB(BilE),

【破解方法】判定兩條直線平行的方法除了利用平行線的判定定理外，有時需要結合運

用“平行于同一條直線的兩條直線平行”.

【解析】：（1）先將N2=110°代入N2+N3=180°,求出N3=70°,根據等量代換

得到N1=N3,再由“內錯角相等，兩直線平行”即可得到）〃/8；（2）先由“同旁內角互

補，兩直線平行”得出CDHEF、再根據“兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線

平行”即可得到緲〃旗答案分別為：⑴等量代換；等量代換；內錯角相等，兩直線平行；

⑦CD；EF-,同旁內角互補，兩直線平行；CD-,AB-,平行于同一條直線的兩直線平行.

問題12：如圖，MFJ_NF于尸，M尸交AB于點E,NF交CD于點、G,Zl=140°,Z

2=50°,試判斷AB和Cz）的位置關系，并說明理由.

4j×EB

【破解方法】在解決與平行線相關問題時，有時需作出適當的輔助線.

【解析】通過觀察圖可以猜想48與⑺互相平行.過點尸向左作&?,使N版？=N2=

50°,則可得NΛR2=40°,再運用兩次平行線的判定定理可得出結果.

解：過點尸向左作&?,使N掰屯=N2=50°,則NNFQ=NMFN-NMFQ=頤°-50°=

40°,48〃又因為Nl=I40°,所以N1+N例?=180°,所以CD〃FQ、所以A8〃CQ

六、【教學成果自我檢測】

1.課前預習

設計意圖：落實與理解教材要求的基本教學內容.

1.下列說法正確的是（）

A.兩條直線的位置關系只有相交、平行兩種

B.同一平面內，兩條互相垂直的線段不一定相交

C.直線外一點到這條直線的垂線段叫做點到直線的距離

D.兩條直線沒有交點，則這兩條直線平行

【答案】B

【分析】根據兩條直線的位置關系、點到直線的距離的定義逐一判斷即可.

【詳解】A.在同一平面內，兩條直線的位置關系只有相交、平行兩種，故本選項錯誤；

B.同一平面內，兩條互相垂直的線段不一定相交，故本選項正確；

C.直線外一點到已知直線的垂線段的長度叫點到直線的距離，故本選項錯誤；

D.同一平面內，兩條直線沒有交點，則這兩條直線平行，故本選項錯誤.

故選：B.

【點睛】此題考查的是兩條直線的位置關系、點到直線的距離的定義，掌握兩條直線的位置

關系、點到直線的距離的定義是解決此題的關鍵.

則下列條件中.不能判定BC的是（）

B.Zl+Z2+Z6=180o

C.Z1=Z4D.Z5=Z1+Z2

【答案】A

【分析】利用平行線的判定方法判斷即可得到結果.

【詳解】解：?Z2=Z3,

.?.AB//CD,選項A符合題意;

Zl+Z2+Z6=180o,即+NAfiC=180°,

..AD//BC,選項B不合題意;

Z1=Z4.

.AD//BC,選項C不合題意；

Z5=Z1+Z2,g[JZDAB=ZABE,

.-.AD//BC,選項D不合題意，

故選：A.

【點睛】此題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解本題的關鍵.

3.如圖，過直線外一點作已知直線的平行線，其依據是（）

A.兩直線平行，同位角相等B.內錯角相等，兩直線平行

C.同位角相等，兩直線平行D.兩直線平行，內錯角相等

【答案】C

【分析】根據三角板在移動過程中，角度不變，故依據是同位角相等，兩直線平行，即可求

解.

【詳解】解：如圖，三角板在移動過程中，角度不變，其依據是同位角相等，兩直線平行.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了平行線的判定，熟練掌握同位角相等，兩直線平行是解題的關鍵.

4.經過直線外一點，有且只有條直線與已知直線平行.

【答案】-##i

【分析】利用平行公理進行分析即可.

【詳解】解：經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行；

故答案為：一.

【點睛】本題考查了平行公理，能熟記知識點的內容是解此題的關鍵.

5.如圖，01=30°,ABa4C,要使4）/3C,需再添加的一個條件是.（要求：

添加這個條件后，其它條件也必不可少，才能推出結論）

【答案】團8=60。（答案不唯一）

【分析】由題意可求出回區(qū)4。=120。，再根據"同旁內角互補，兩直線平行”即可知需添加的條

件為：05=60°.

【詳解】可添加條件:0B=6Oβ.

001=30",ΛB0AC,

00BAD=3Oo+9O°=12Oo.

EBB=60°,

00B+βlβΛD=18Oo,

SiAD//BC.

故答案為：囹8=60。.（答案不唯一）

【點睛】本題考查垂線的定義，平行線的判定.掌握同旁內角互補，兩直線平行是解題關鍵.

6.填寫下列推理中的空格：

己知：如圖，SBAD=^DCB,131=133.求證：AD〃BC.

證明：00BAD=0DCB,01=03（）,

EBBAO-EIl=IaOCB-EI（）,

BR0=E.

^AD//BC（）.

【答案】已知；3；等式的性質；/2=/4:內錯角相等，兩直線平行

【分析】先利用4山=NOCB,N1=N3得出∕2=N4,再利用“內錯角相等，兩直線平行”

證明AD〃BC.

【詳解】證明：ZBAD=ZDCB,Z1=Z3（已知），

ZBAD-Zl=ZDCB-Z3（等式的性質），

即/2=N4.

.??A力〃BC（內錯角相等，兩直線平行）

【點睛】本題考查了平行線的判定定理，熟練掌握平行線的性質與判定是解題的關鍵.

2.課堂檢測

設計意圖：例題變式練.

【變式1】直線。、b、C在同一平面內，下面的四個結論:

①如果a〃b,a//c,那么6〃c；

②如果CA,b±c,那么a〃c：

③如果a〃6,b±c,那么a_Lc；

④如果。與人相交，/?與C相交，那么。與C相交.

正確的結論為（）

A.①?@B.①?④C.①?@D.②③0

【答案】A

【分析】根據平行線的判定與性質定理一一判斷即可.

【詳解】解：①若。b,ac,則。c,說法正確，

②若a,b,b±c,則4c,說法正確，

③若αb,ft?e,則a_Lc,說法正確，

④若。與b相交，方與C相交，則。與C相交也可能是平行，故說法錯誤，

，正確的有①@③，

故選：A.

【點睛】本題考查平行線的判定與性質，解題的關鍵是掌握垂直于同一直線的兩條直線平行,

平行于同直線的兩條直線平行.

【變式2】如圖，點O,E,尸分別在AABC的邊BC,AB,AC上，連接。E,DF,在

下列給出的條件中，不能判定A8〃O尸的是（）

A.ZA+Z2=180oB./1=/4C.ZI=ZAD.?4=Z3

【答案】C

【分析】根據同位角相等，兩直線平行：內錯角相等，兩直線平行：同旁內角互補，兩直線

平行.依據平行線的判定方法進行判斷即可.

【詳解】解：A.若ZA+N2=180。，則AB〃。尸（同旁內角互補，兩直線平行）；

B.若N1=N4,則ΛB〃。尸（內錯角相等，兩直線平行）；

C.若N1=N4,則EO〃AC（同位角相等，兩直線平行）；

D.ZA=Z3,則AB〃0尸（同位角相等，兩直線平行）；

故選：C.

【點睛】本題主要考查了平行線的判定，掌握：同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩

直線平行；同旁內角互補，兩直線平行是解決問題的關鍵.

【變式3】如圖，在下列給出的條件中，可以判定45〃C。的有.

①NI=N2；②N1=N3;③/2=/4;④Za4S+ZABC=180。；⑤N8A￡）+ZA￡>C=180。.

【答案】②③⑤

【分析】根據平行線的判定條件進行逐一判斷即可.

【詳解】解；由N1=N2,不可以證明48〃S,故①錯誤；

由N1=N3,可以證明AB〃CD（內錯角相等，兩直線平行），故②正確；

由/2=4，可以證明43〃8（內錯角相等，兩直線平行），故③正確：

由Na45+NABC=180。，不可以證明AB〃C。，故④錯誤；

山NR4D+NADC=180。，可以證明A5〃CD（同旁內角互補，兩直線平行），故⑤正確；

故答案為；②③⑤.

【點睛】本題主要考查了平行線的判定，熟知內錯角相等，兩直線平行，同位角相等，兩直

線平行，同旁內角互補，兩直線平行是解題的關鍵.

【變式4】閱讀下面的解答過程，并填空.

如圖，ZABC=ZACB,BO平分NTIBC,CE平分∕AC8,ZDBF=ZF.求證：CE//DF.

證明：回8。平分NABC,CE平分/AC8,（已知）

0ZDBC=∣Z,NECB=g/.（角平分線的定義）

又13NABC=ZACB,（已知）

00=0.（等量代換）

XEZDBF=ZF,（已知）

000.（等量代換）

ΞCE∕∕DF.（）

【答案】ABCxACBiDBC；ECB；ECB；Fx同位角相等，兩直線平行

【分析】根據角平分線的定義，等量代換，同位角相等兩直線平行，聯系證明過程，可推理

出答案.

【詳解】證明：回平分NABC,CE平分-ACB,（已知）

ZDBC=-ΛABC,ZECB=-ZACB.（角平分線的定義）

22

又田/ABC=NACB,（已知）

⑦NDBC=NECB.（等量代換）

乂BlNDBF=NF,（已知）

0ZECB=ZF.（等量代換）

BCE//DF.（同位角相等，兩直線平行）.

【點睛】本題考查了平行線的判定，角平分線的定義，解決本題的關鍵是熟悉相關的幾何定

理，聯系證明過程進行推導.

3.課后作業(yè)

設計意圖：鞏固提升.

L如圖，四邊形ABC。中，下列條件可以判定ABS的是（）

B./3=/4

C.ZB=ZDD.N1+N3=N2+N4

【答案】A

【分析】根據平行線的判定定理對各選項進行逐一判斷即可.

【詳解】解：A.0Z1=Z2,EABCD,符合題意；

B.I3N3=∕4,^?AD∕∕BC,不符合題意；

C.NB=NE）不能判定ABCD,不符合題意；

D.NI+N3=N2+N4不能判定A8CD,不符合題意.

故選：A.

【點睛】本題考查的是平行線的判定，用到的知識點為：內錯角相等，兩直線平行.

2.如圖是兩條直線平行的證明過程，證明步驟被打亂，則下列排序正確的是（）

如圖，已知N1=N3,Z2+Z3=180o,求證：AB與OE平行.證明：

①：AB//DE；

②：Z2+Z4=180o,Z2+Z3=180o;

③：23=/4；

④：Zl=Z4；

A.①②③④⑤B.②③⑤④①C.②④⑤③①D.③②④⑤①

【答案】B

【分析】先證明/3=/4,結合N1=N3,證明Nl=/4,從而可得結論.

【詳解】根據平行線的判定解答即可.

證明：ElN2+/4=180。（已知），Z2+Z4=180o（鄰補角的定義），

回N3=∕4（同角的補角相等）.

0Z1=Z3（已知），

0Z1=Z4（等量代換），

^AB//DE（同位角相等，兩直線平行）.

所以排序正確的是②③⑤④①，

故選:B.

【點睛】本題考查的是補角的性質，平行線的判定，證明Nl=N4是解本題的關鍵.

3.如圖，將一副三角板按如圖放置，則下列結論：①N1=N3;②NC4O+N2=180。；③

如果/2=35。，則有BC〃AO；（4）Z4+Z2≈75o.其中正確的序號是（）

A.①②③④B.①②④C.①②③D.①③④

【答案】B

【分析】根據NCAB=Nl+N2=90。，ZE4P=Z3+Z2=90o,即可得Nl=N3；根據角之間

關系即可得Nag+/2=180。：根據角之間關系可得N3=65。，無法判斷BC與AD平行；由

題意得/4+45。=/3+30°,Z2+Z3=90o,得/4+/2=75。；綜上，即可得.

【詳解】解：EINCAB=Nl+N2=90。，ZEAD=Z3+Z2=90°,

I3Z1=Z3,

故①正確:

aZC4D+Z2=ZI+Z2+Z3+Z2=90o+90o=180o

故②正確；

0Z2=35o,

0Z3=9Oo-Z2=9Oo-35o=65o,

N8=」(180°-90°)=45°,

2

團8C與AQ不平行，

故③錯誤；

回N4+/CBA=Z3+NEDA,

即N4+45°=N3+30o,

X0Z2+Z3=9Oo,

0Z4+45o=9Oo-Z2+3Oo

N4+22=75。，

故④正確；

綜上，①②④正確，

故選：B.

【點睛】本題考查了三角形內角和定理，余角和同角的余角，平行線的判定，解題的關鍵是

理解題意，掌握這些知識點并認真計算.

4.同學們準備借助一副三角板畫平行線.先畫一條直線MN,再按如圖所示的樣子放置三

角板.小穎認為A