2023北京東城區(qū)高三年級上冊學期期末數(shù)學試題及答案

東城區(qū)2022-2023學年度第一學期期末統(tǒng)一檢測

高三數(shù)學2023.1

本試卷共6頁，150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}卡上，在

試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共1。小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符

合題目要求的一項。

(1)已知集合A={H|-1VHV2},則AU6=

(A)(—g,2)(B)(—1,+8)

(C)(-1,1](D)[1,2)

(2)在下列函數(shù)中，為偶函數(shù)的是

(A)/(々〉=7—COS.2：(B)/(X)=2：COS.7：

(C)/(j：)=ln|j：|(D)/'(J:;)=

(3)在Q+工”的展開式中，若第3項的系數(shù)為10,則"=

(A)4(B)5

(C)6(D)7

(4)在等比數(shù)列{“”>，ai=l,a2a3=8,則a?=

(A)8(B)16

(C)32(D)64

(5)北京中軸線是世界城市建設歷史上最杰出的城市設計

范例之一.其中鐘鼓樓、萬寧橋、景山、故宮、端門、

天安門、外金水橋、天安門廣場及建筑群、正陽門、

中軸線南段道路遺存、永定門，依次是自北向南位列

軸線4)央相鄰的11個雨要建筑及遺存.某同學欲從

這11個爪要建筑及遺存中隨機選取相鄰的3個

游覽，則選取的3個中一定有故宮的概率為

⑶=(B)|

(C)R3(D)高1

11o

高三數(shù)學第1頁(共6頁)

（6）在平面直角坐標系zQy中，角a以（方?為始邊，終邊位于第一象限，H與單位圓。

交于點P，PMU軸，垂足為M.若的而積為裊則sin2a=

（A）XF（B）

2525

（）（）

9C2—5D—25

⑺已知雙曲線。：4一4=1（口>0,6>0）的左、右焦點分別為居，6,其漸近線

a~tr

方程為y=±2z,P是C上一點，旦PB_LPH.若△PF1B的面積為4,則C

的焦距為

（A）73（B）273

（C）2y5（D）175

⑻在△A8C中，“對于任意,關1,|明一/配|>|旗|”是“△A3。為直角三角形”的

（A）充分而不必耍條件（B）必要而不充分條件

（C）充分必耍條件（D）既不充分也不必耍條件

（9）在平面直角坐標系xQy中，若點P（a"）在直線a#+"+4a+3=0上，則當a,6

變化時，直線。P的斜率的取值范圍是

（A）（―g,—g]U[%+8）（B）[一烏陰

（C）（―衿―多U[g，+8）（D）[—日爭

（10）如圖，在正方體43CD-A81G"中.點Q是棱上的動點，下列說法中

正確的是

①存在點Q,使得C\Q//AjC；夕/三-------71a

②存在點Q，使得GQLAC；」

③對于任意點Q，Q到AC的距離為定值；：\NQ

④對于任意點Q，/xACQ都不是銳角三角形.

（A）①③（B）②③------------

（C）②④（D）①④

高三數(shù)學第2頁（共6頁）

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

（11）若復數(shù)z滿足（z+i）i=-3,則|z|=.

（12）已知函數(shù)/（工）=Q"sirLr-cosz,則/（與）=;若將/（1）的圖象向左

O

平行移動方個單位K度得到小幻的圖象，則屋外的一個對稱中心為.

（13）經(jīng)過拋物線3,2=2。彳（力＞0）焦點F的直線與拋物線交于不同的兩點A,B,經(jīng)過

點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點。，則點13的縱坐標），“與點D

的縱坐標3，”的大小關系為酒（填或“=”）

（"）設函數(shù)/（幻=1''當”=。時，/（幻的值域為________;若/（工）

|x—a-1，工

的最小值為1，則”的取值范圍是.

（15）對于數(shù)列｛a”）,令T?=ai—a2+a3—a.i4---1-（—,給出下列四個結(jié)論：

①若劭=〃，則7'2（）23=1012；

②若T“=n，則“2022=-1；

③存在各項均為整數(shù)的數(shù)列（““｝，使得|了”|＞門；+1|對任意的nEN-都成立；

④若對任意的"GN”,都有門；|＜A4,則有一七|V2M.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

高三數(shù)學第3頁（共6頁）

三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。

(16)(本小題13分)

如圖，在銳角△ABC中,A6=3而，AC=6,點。在8c邊的延長線匕,

H8=10.

(I)求/人(：孫

(11)求AACD的周長.

(17)(本小題15分)

如圖，在四棱銖P-A13CD中，底面A13CD是邊長為2的正方形，PA=2,

PA_LAB,E為BC的中點,F為PD上一點，EF〃平面PAB.

(I)求證:F為PD的中點；

(11)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知,

求直線AD與平面AEF所成角的止弦值.

條件①:AD^PB；

條件②:PC=2遍.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答,按第一個解答

計分.

高三數(shù)學第4頁(共6頁)

（18）（本小題13分）

“雙減”政策執(zhí)行以來，中學生有更多的時間參加志愿服務和體育鍛煉等課、活動.

某校為了解學生課后活動的情況，從全校學生中隨機選取100人,統(tǒng)計了他們一周

參加課后活動的時間（單位：小時），分別位于區(qū)間[7,9）,[9,11）,[11,13）,[13,15）,

[15,17）,[17,19],用頻率分布直方圖表示如下：

假設用頻率估計概率，且每個學生參加課后活動的時間相互獨立.

（I）估計全校學生一周參加課后活動的時間位于區(qū)間[13,17）的概率；

（11）從全校學生中隨機選取3人，記￡表示這3人一周參加課后活動的時間在區(qū)間

[15,17）的人數(shù)，求￡的分布列和數(shù)學期望E8

（111）設全校學生一周參加課后活動的時間的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的估計值分別為

“，b,c,請直接寫出這三個數(shù)的大小關系.（樣本中同組數(shù)據(jù)用區(qū)間的中點值替代）

（19）（本小題14分）

已知橢圓C：的離心率為%長軸長與短軸長的和為6,

尸1，2分別為橢圓C的左、右焦點.

（I）求橢圓C的方程；

（11）設p為橢圓C上一點，“（1,0）.若|PBg|PM，|P6|成等差數(shù)列，求實數(shù)入

的取值范圍.

高三數(shù)學第5頁（共6頁）

（20）（本小題15分）

已知函數(shù),/'（x）=j?e'.

（I）求曲線3，=/（工）在點（0，/（0））處的切線方程；

（11）求/（幻的極值；

（山）證明：當機（1時，曲線。3=/（工）與曲線C2：），=lnH+z+m至多存在一個

交點.

（21）（本小題15分）

已知數(shù)列A：%,生，…，a?滿足:a；E{0,1}（￡=1,2,n,〃>2）,從A中選取

第。項、第0項、…、第i?,項（八<，2稱數(shù)列a,1,a,1,…，a,?>為A的

長度為m的子列.記T（A）為A所有子列的個數(shù).例如A：0,0,1,其T（A）=3.

（I）設數(shù)列A：l,1,0,0,寫出A的長度為3的全部子列，并求T（A）；

（11）設數(shù)列A：的，，…，a"，A'：a”，a“1,.A，z：1—?i,1—“2，…，1—a”,

判斷判A）,7（A'）,T（A'）的大小，并說明理由；

（111）對于給定的正整數(shù)〃，1）,若數(shù)列A：a「生，…，a?滿足：

ai+a2H---卜a”=4,求7XA）的最小值.

高三數(shù)學第6頁（共6頁）

東城區(qū)2022—2023學年度第一學期期末統(tǒng)一檢測

高三數(shù)學參考答案及評分標準2023.1

一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）

(1)A(2)C(3)B(4)D(5)D

(6)D(7)C(8)A(9)B(10)C

二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）

(11)2(12)1(0,0)（答案不唯一）

(13)(14)(I」')[y/2/)(15)①②④

三、解答題（共6小題，共85分）

（16）（共13分）

解：ACAB

（I）在△ABC中，由正弦定理----

sin3sin.ACB

ARsinB

得sinACB

AC2

又因為在銳角△A8C中，.ACB.（0,3,所以.ACB6分

23

（Il）因為/AC8,演，ACD2x

T,

2

在△AC。中，由余弦定理AD?AC2CD22AC.CD.cos美得A。14.

所以△AC。的周長為ACCDAD30.13分

(17)(共15分)

解：Q）在^PAD中，過點F作FG//AD交PA于點G,連接GB.

因為AO〃BC,

所以FG〃BC,

所以B,EF,G四點共面.

因為跖〃平面PAB,M平面BEFG,

平面PABf]BEFGBG,

平面

所以EF//BG.

所以四邊形BEFG是平行四邊形.

所以尸GBEho.

2

所以尸為PD的中點...............6分

(ID選條件①：AD^PB.

因為底面ABC。為正方形，

所以A。，AB.

又ADt.PB、ABCPB=B，

所以A。r平面PAB.

所以A。工PA.

如圖建立空間直角坐標系A孫z,因為底面ABCD是邊長為2的正方形，PA2

則40,0,0),0(0,2,0),E(2,l,0),尸(0,1,1),

所以而(0,2,0),AE(2,1,0),AF~(0,1,1).

設平面AEF的一個法向量為解(x,y,z),

,AE=0,12xy0,

則〃—即八

n.AF0,?>z0.

令尤I,則y2,z2.于是〃(1,2,2).

設直線AO與平面4E尸所成角為”，

則sinH|cosn,AD>\1^—=.

\n\\AD\3

2

所以直線AD與平面AEF所成角為的正弦值為-.15分

3

選條件②：PC28

如圖，連接AC.

因為底面ABCD是邊長為2的正方形，

所以AO,4B,AC2?

因為「A2,PC2，,

所以P/VAC23PC2

所以PA,AC.

因為PA/AB,AHr\AC=A,

所以PA｛平面ABCD

所以PA/AD_

以下同選條件①...............15分

(18)(共13分)

解：(I)根據(jù)頻率分布直方圖，可得學生一周參加課后活動的時間位于區(qū)間口3,17)的頻率

為(0.1250.200)K20.65,

因此估計全校學生一周參加課后活動的時間位于區(qū)間［13,17)的概率為0.65...............3分

(11)從全校學生中隨機選取1人，其一周參加課后活動的時間在區(qū)間”5,17)的概率為0.4.

因此。~8(3,0.4).

32

PC0)(I0.4)0.216;P(：1)C\.0.4'X(10.4)0.432;

P(：2)CTX0.42M(10.4)'0.288;P(：3)0.430.064.

則：的分布列為：

K

*0123

P0.2160.4320.2880.064

0.0.2161.0.4322,0.2883,0.0641.2.10分

(Ill)c<b<a.13分

(19)供14分)

2a2b6,

解：(I)由題設，￡且，

a2

a2b2c2.

解得/4/21.

所以橢圓C的方程為—25分

4yi.

(II)設產(chǎn)(為,%)為橢圓1上一點，

貝情產(chǎn)耳^F2\2a4.

由『甲，|尸鳥|成等差數(shù)列，得2).禺0|4,>.*0,

2

即|尸”

由朋(1,0),則Jxo1)2加2

X2

又產(chǎn)（%,%）在橢圓c上，有_上升2[,

4

故.1)2次212I

1)4丫4工。2沏2,

因為加[2,2],所以QW竹

9

所以聯(lián)661

所以實數(shù)）.的取值范圍是[3狗...............14分

3

(20)(共15分)

解：(I)因為f(x)xex

所以戶xx1ev.

所以/'00,f01.

所以曲線yfx在點（°）⑼）處的切線方程為yx.............4分

(H)令f'x”,得

X1.

當X，4,1時，X<0，fX單調(diào)遞減；

當1，+，時，Xo.fx單調(diào)遞增；

當X1時，f'x八在

0,fXX時取得極小值

所以函數(shù)的極小值為不存在極大值...............9分

fxe

(III)令g(x)xexInxx其定義域為(0,r).

g，(x)(xl)e*-1(xl)(exL),X|>o.

XX

令hxer—?h*xe'+—>0,

XX2

所以0,+'

hx上單調(diào)遞增.

在

因為加1)>0,/2(》<0,所以什?！?；,1),

當X-0,%0時，〃x?0，即g'x?°，gx單調(diào)遞減；

為

當工?rBl,hX0，即g'x>0，gx單調(diào)遞增：

當x1涓寸，hx0,即e"。二一

檢，gx取得極小值gx

o0

gxoxeAInxoxom,

o

因為e*。=—,所以xe%t,x()Inx

x(),

o0

所以

gxo1m.

因此，當"z61時，gx()>0,

所以x0+,,

7e,zgx0

即"、,r，fx>Inxxm,曲線,與曲線0

0+

無交點;

當加.寸，gx002

所以存在且僅存在一個X06(Ll),使得gX。0

2,

對x°+且％都有gx0fxAnxxm

Vw，x，即

所以當“1時，曲線。行曲線C有且僅有一個交點；

故當/??1時，曲線與曲線C2至多存在一個交點■15分

(21)(共15分)

解：(1)由7(A)的定義以及A：1,1,0,0,可得：A的長度為3的子列為：1,0,0；1,1,0,