北京市西城區(qū)2020年高二《數(shù)學(xué)》上學(xué)期期末試題與參考答案

北京市西城區(qū)2020年高二《數(shù)學(xué)》上學(xué)期期末試題與參考答案一?選擇題本大題共10小題,每小題4分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合要求的.1.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為,則的值為A. B. C. D.答案：A解：由于，所以.2.已知數(shù)列滿足,,則A. B. C. D.答案：B解：依題意.3.已知命題p：?x＜1，x2≤1，則￢p為（）A.?x≥1，x2≤1 B.?x＜1，x2＞1 C.?x＜1，x2＞1 D.?x≥1，x2＞1答案：C解：命題p：?x＜1，x2≤1，則￢p：?x＜1，x2＞1；4.已知,若,則A. B. C. D.答案：D解：對于A選項(xiàng)，若，如，但是，即，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對于B選項(xiàng)，若，如，但是，即，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對于C選項(xiàng)，若，如，但是，即，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對于D選項(xiàng)，若，則，則，所以.5.已知向量，且，那么（）A. B. C. D.答案：A解：根據(jù)題意，向量，2，，，，，且，則設(shè)，即，，，2，，則有，則，，則，，，故；6.已知直線a，b分別在兩個(gè)不同的平面，內(nèi)則“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案：A解：當(dāng)“直線a和直線b相交”時(shí)，平面α和平面β必有公共點(diǎn)，即平面α和平面β相交，充分性成立；當(dāng)“平面α和平面β相交”，則“直線a和直線b可以沒有公共點(diǎn)”，即必要性不成立.7.已知向量,,,若共面,則等于A. B. C.或 D.或答案：B解：由于共面，所以存在，使得，即，所以，所以.8.德國著名數(shù)學(xué)家高斯,享有“數(shù)學(xué)王子”之美譽(yù).他在研究圓內(nèi)整點(diǎn)問題時(shí),定義了一個(gè)函數(shù),其中表示不超過的最大整數(shù),比如.根據(jù)以上定義,當(dāng)時(shí),數(shù)列,,A.是等差數(shù)列,也是等比數(shù)列 B.是等差數(shù)列,不是等比數(shù)列C.是等比數(shù)列,不是等差數(shù)列 D.不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列答案：D解：由于，所以，所以，即三個(gè)數(shù)為.而，，所以數(shù)列,,不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列9.設(shè)有四個(gè)數(shù)的數(shù)列,該數(shù)列前項(xiàng)成等比數(shù)列,其和為m,后項(xiàng)成等差數(shù)列,其和為.則實(shí)數(shù)m的取值范圍為A. B. C. D.答案：B解：設(shè)的前項(xiàng)為，由于數(shù)列的前項(xiàng)成等比數(shù)列,其和為m,后項(xiàng)成等差數(shù)列,其和為，所以，由（3）（4）得，所以即，先將（2）代入（1），然后將（3）代入（1）得，整理得.10.曲線.給出下列結(jié)論:①曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱;②曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不小于1;③曲線只經(jīng)過個(gè)整點(diǎn)(即橫?縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)).其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是A.①② B.② C.②③ D.③答案：C解：①，將代入曲線，得，與原方程不相等，所以曲線不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故①錯(cuò)誤.②，對于曲線，由于，所以，所以對于任意一個(gè)，只有唯一確定的和它對應(yīng).函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù).當(dāng)時(shí)，有唯一確定的；當(dāng)時(shí)，有唯一確定的.所以曲線過點(diǎn)，這兩點(diǎn)都在單位圓上，到原點(diǎn)的距離等于.當(dāng)時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，，且，所以.綜上所述，曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不小于1，所以②正確.③，由②的分析可知，曲線過點(diǎn)，這是兩個(gè)整點(diǎn).由可得，當(dāng)且時(shí)，若為整數(shù)，必定不是某個(gè)整數(shù)的三次方根，所以曲線只經(jīng)過兩個(gè)整點(diǎn).故③正確.綜上所述，正確的為②③.二?填空題本大題共6小題,每小題5分,共30分.11.設(shè)是橢圓上的點(diǎn),到該橢圓左焦點(diǎn)的距離為,則到右焦點(diǎn)的距離為__________.答案：解：依題意，而到該橢圓左焦點(diǎn)的距離為,則到右焦點(diǎn)的距離為.故答案為：12.不等式的解集為________答案：解：因?yàn)樗?，即不等式的解集?13.能說明“若a﹥b，則”為假命題的一組a，b的值依次為_________.答案：（答案不唯一）解：分析：舉出一個(gè)反例即可．詳解：當(dāng)時(shí)，不成立，即可填．14.在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線的右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為，則其離心率的值是________．答案：2解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)到漸近線即的距離為所以，因此15.某漁業(yè)公司今年初用萬元購進(jìn)一艘漁船用于捕撈,已知第一年捕撈工作需各種費(fèi)用萬元,從第二年開始,每年所需費(fèi)用均比上一年增加萬元.若該漁船預(yù)計(jì)使用年,其總花費(fèi)(含購買費(fèi)用)為________萬元;當(dāng)______時(shí),該漁船年平均花費(fèi)最低(含購買費(fèi)用).答案：①.②.解：每年的費(fèi)用是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以總費(fèi)用.平均費(fèi)用為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，也即時(shí)，該漁船年平均花費(fèi)最低.16.若表示從左到右依次排列的9盞燈,現(xiàn)制定開燈與關(guān)燈的規(guī)則如下:(1)對一盞燈進(jìn)行開燈或關(guān)燈一次叫做一次操作;(2)燈在任何情況下都可以進(jìn)行一次操作;對任意的,要求燈的左邊有且只有燈是開燈狀態(tài)時(shí)才可以對燈進(jìn)行一次操作.如果所有燈都處于開燈狀態(tài),那么要把燈關(guān)閉最少需要_____次操作;如果除燈外,其余8盞燈都處于開燈狀態(tài),那么要使所有燈都開著最少需要_____次操作.答案：①.3②.21解：（1）如果所有燈都處于開燈狀態(tài),那么要把燈關(guān)閉最少需要的操作如下，設(shè)為開燈，0為關(guān)燈：初始狀態(tài)，操作如下，共次.（2）①關(guān)閉前個(gè)燈最少需要的操作如下，設(shè)為開燈，0為關(guān)燈：初始狀態(tài)，操作如下：，共次.②此時(shí)前盞燈的狀態(tài)如下：，操作次，變?yōu)?，打開.③將步驟①倒過來做一遍，打開前個(gè)燈，共次操作.綜上所述，如果除燈外,其余8盞燈都處于開燈狀態(tài),那么要使所有燈都開著最少需要次操作三?解答題本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.17.已知等比數(shù)列的公比為,且,,成等差數(shù)列.(Ⅰ)求的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)設(shè)的前項(xiàng)和為,且,求的值.答案：(Ⅰ).(Ⅱ)的值是.解：(Ⅰ)因?yàn)闉楣葹榈牡缺葦?shù)列,所以,,,依題意得,即,整理得,解得.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(Ⅱ)依題意,.所以,整理得,解得所以的值是.18.已知函數(shù),.(Ⅰ)若,求的取值范圍;(Ⅱ)若對恒成立,求的取值范圍;(Ⅲ)求關(guān)于的不等式的解集.答案：(Ⅰ)或.(Ⅱ).(Ⅲ)見解析解：(Ⅰ)由得,整理得,解得或.(Ⅱ)對恒成立,則,所以,整理得,解得.(Ⅲ)解,得,①當(dāng)時(shí),即時(shí),或;②當(dāng)時(shí),即時(shí),或;③當(dāng)時(shí),即時(shí),.綜上,當(dāng)時(shí),不等式的解集為或;當(dāng)時(shí),不等式的解集為或;當(dāng)時(shí),不等式的解集為.19.已知橢圓的右焦點(diǎn)為,離心率為.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上且位于第一象限,且,求的面積.答案：(Ⅰ)(Ⅱ)解：(Ⅰ)依題意,,解得,,所以橢圓的方程為.(Ⅱ)設(shè)點(diǎn),因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以…①,因?yàn)?所以,得…②,由①②消去得,,解得(舍),,代入方程②得,所以,所以,又,所以的面積20.如圖,四棱錐中,平面,,.,,,是的中點(diǎn).(Ⅰ)證明:⊥平面;(Ⅱ)若二面角的余弦值是,求的值;(Ⅲ)若,在線段上是否存在一點(diǎn),使得⊥.若存在,確定點(diǎn)的位置;若不存在,說明理由.答案：(Ⅰ)見解析(Ⅱ).(Ⅲ)不存在，見解析解：(Ⅰ)證明:因?yàn)槠矫?,所以平面.又因?yàn)槠矫?所以.在中,,是的中點(diǎn),所以.又因?yàn)?所以平面.(Ⅱ)解:因?yàn)槠矫?所以,.又因,所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系.則,,,,,,,.設(shè)平面的法向量為.則即令,則,,于是.因平面,所以.又,所以平面.又因?yàn)?所以取平面的法向量為.所以,即,解得.又因?yàn)?所以.(Ⅲ)結(jié)論:不存在.理由如下:證明:設(shè).當(dāng)時(shí),.,.由知,,,.這與矛盾.所以,在線段上不存在點(diǎn),使得.21.已知拋物線，拋物線C上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為3．（1）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；（2）過的直線l交拋物線C于不同的兩點(diǎn)A，B，交直線于點(diǎn)E，直線BF交直線于點(diǎn)D，是否存在這樣的直線l，使得？若不存在，請說明理由；若存在，求出直線l的方程．答案：（1）拋物線C的方程為，準(zhǔn)線方程為；（2）存在直線或．解：（1）因?yàn)闄M坐標(biāo)為的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為,所以,解得,所以，即準(zhǔn)線方程為.（2）顯然直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為,.聯(lián)立得，消去得.由,解得.所以且.由韋達(dá)定理得,.直線的方程為,又,所以,所以,因?yàn)?所以直線與直線的斜率相等又,所以.整理得,即,化簡得,,即.所以,整理得,解得.經(jīng)檢驗(yàn),符合題意.所以存在這樣的直線,直線的方程為或．22.若無窮數(shù)列滿足:對任意兩個(gè)正整數(shù),與至少有一個(gè)成立,則稱這個(gè)數(shù)列為“和諧數(shù)列”.(Ⅰ)求證:若數(shù)列為等差數(shù)列,則為“和諧數(shù)列”;(Ⅱ)求證:若數(shù)列為“和諧數(shù)列”,則數(shù)列從第項(xiàng)起為等差數(shù)列;(Ⅲ)若是各項(xiàng)均為整數(shù)的“和諧數(shù)列”,滿足,且存在使得，,求p的所有可能值.答案：(Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析(Ⅲ).解：(Ⅰ)證明:因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列,所以對任意兩個(gè)正整數(shù),有,所以.所以數(shù)列為“和諧數(shù)列”.(Ⅱ)證明:因?yàn)?/p>