江蘇省無(wú)錫市錫山區(qū)倉(cāng)下中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)（上）第一次段考數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）江蘇省無(wú)錫市錫山區(qū)倉(cāng)下中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)（上）第一次段考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將正確的選項(xiàng)編號(hào)填寫(xiě)在答卷紙相應(yīng)的位置處．）1．（3分）下列關(guān)于x的方程中，一定是一元二次方程的為（）A．2x2+xy＝3 B．x2＝1 C． D．a(chǎn)x2+bx+c＝02．（3分）若⊙O的半徑為4cm，點(diǎn)A到圓心O的距離為5cm，那么點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)A在圓外 B．點(diǎn)A在圓上 C．點(diǎn)A在圓內(nèi) D．不能確定3．（3分）點(diǎn)I是△ABC的外心，則點(diǎn)I是△ABC的（）A．三條垂直平分線交點(diǎn) B．三條角平分線交點(diǎn) C．三條中線交點(diǎn) D．三條高的交點(diǎn)4．（3分）若關(guān)于x的方程x2﹣x﹣m＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則m的值可以為（）A．﹣1 B．﹣ C．0 D．15．（3分）下列說(shuō)法：①優(yōu)弧比劣弧長(zhǎng)；②三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓；③長(zhǎng)度相等的弧是等弧；④經(jīng)過(guò)圓內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)條弦；其中不正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．（3分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠C＝45°，AB＝2，則⊙O的半徑為（）A．1 B． C．2 D．7．（3分）某廠一月份生產(chǎn)某機(jī)器100臺(tái)，計(jì)劃二、三月份共生產(chǎn)280臺(tái)．設(shè)二、三月份每月的平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意列出的方程是（）A．100（1+x）2＝280 B．100（1+x）+100（1+x）2＝280 C．100（1﹣x）2＝280 D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝2808．（3分）如圖，⊙O的直徑AB＝2，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，DC與⊙O相切于點(diǎn)C，連接AC．若∠A＝30°，則CD長(zhǎng)為（）A． B． C． D．9．（3分）如圖，點(diǎn)O是矩形ABCD對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且與AB邊相切于點(diǎn)E，若AB＝4，BC＝5，則⊙O的半徑長(zhǎng)為（）A． B． C． D．410．（3分）如圖，E是⊙O的直徑AB上一點(diǎn)，AB＝10，BE＝2，過(guò)點(diǎn)E作弦CD⊥AB，P是上一動(dòng)點(diǎn)，連接DP，過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥PD，垂足為Q，則OQ的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共8小題，每空3分，共24分．不需寫(xiě)出解答過(guò)程，只需把答案填寫(xiě)在答卷紙的相應(yīng)位置處．）11．（3分）若x＝2是方程x2+3x﹣2m＝0的一個(gè)根，則m的值為．12．（3分）方程x2＝x的根是．13．（3分）若一元二次方程mx2+4x+5＝0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍．14．（3分）如圖，⊙O的直徑CD垂直弦AB于點(diǎn)E，且CE＝3cm，DE＝7cm，則弦AB＝cm．15．（3分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠AOC＝112°，則∠ABC的大小為度．16．（3分）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，D為BC邊的中點(diǎn)，以AD上一點(diǎn)O為圓心的⊙O和AB、BC均相切，則⊙O的半徑為．17．（3分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示）．若直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3，小正方形的面積為49，則大正方形的面積為．18．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，點(diǎn)D是直徑AB所在直線下方一點(diǎn)，連接CD，且滿足∠ADB＝60°，BD＝2，AD＝3，則△ABD的面積為；CD的長(zhǎng)為．三、解答題（本大題共8小題，共72分．請(qǐng)?jiān)诖鹁砑埳现付▍^(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）19．（8分）解方程：（1）（x+3）2＝25；（2）x2﹣4x+1＝0．20．（8分）已知：?ABCD的兩邊AB、AD的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2﹣mx+m﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形ABCD是菱形？求出這時(shí)菱形的邊長(zhǎng)；（2）若AB的長(zhǎng)為3，那么?ABCD的周長(zhǎng)是多少？21．（8分）如圖，在⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)P，∠CAB＝45°，∠APD＝75°．（1）求∠B的大??；（2）已知圓心O到BD的距離為3，求AD的長(zhǎng)．22．（9分）無(wú)錫陽(yáng)山水蜜桃是中國(guó)國(guó)家地理標(biāo)志產(chǎn)品，軟香可口、汁多味甜，有“水做的骨肉”美譽(yù)．某水果批發(fā)商銷售陽(yáng)山水蜜桃，每箱成本是50元，經(jīng)過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價(jià)是60元時(shí)，平均每天的銷量是80箱，當(dāng)銷售單價(jià)每提高5元，平均每天就少售出10箱，但銷售單價(jià)不得超過(guò)90元．（1）若銷售單價(jià)為65元，求每天的銷售利潤(rùn)；（2）要使每天銷售陽(yáng)山水蜜桃盈利1200元，水蜜桃屬于易壞食品，批發(fā)商想要盡快銷售水蜜桃，那么每箱水蜜桃的售價(jià)應(yīng)為多少元？23．（9分）請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺作圖．（1）如圖1，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，點(diǎn)P在⊙O上一點(diǎn)，且＝．畫(huà)出△ABC中∠BAC的平分線；（2）如圖2，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，D是BC的中點(diǎn)．畫(huà)出△ABC中∠BAC的平分線；（3）如圖3，⊙O為△ABC的外接圓，BC是非直徑的弦，D是BC的中點(diǎn)，E是弦AB上一點(diǎn)，且DE∥AC，請(qǐng)畫(huà)出△ABC的內(nèi)心I．24．（10分）如果一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩根x1，x2均為正數(shù)，其中x1＞x2且滿足1＜x1﹣x2＜2，那么稱這個(gè)方程有“友好根”．（1）方程（x﹣）（x﹣）＝0“友好根”（填：“有”或“沒(méi)有”）；（2）已知關(guān)于x的方程x2﹣（t﹣1）x+t﹣2＝0有“友好根”，求t的取值范圍．25．（3分）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O與BC交于點(diǎn)D，DE⊥AB，垂足為E，ED的延長(zhǎng)線與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．（1）試說(shuō)明：DE是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為6，BE＝2，求CF的長(zhǎng)．26．（11分）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，點(diǎn)P以3cm/s的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以4cm/s的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜2），⊙M是△PQB的外接圓．（1）當(dāng)t＝1時(shí)，⊙M的半徑是cm，⊙M與直線CD的位置關(guān)系是；（2）在點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)⊙M與矩形ABCD相切時(shí)，求t的值．（3）連接PD，交⊙M于點(diǎn)N，如圖2，當(dāng)∠APD＝∠NBQ時(shí)，t的值是．參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將正確的選項(xiàng)編號(hào)填寫(xiě)在答卷紙相應(yīng)的位置處．）1．（3分）下列關(guān)于x的方程中，一定是一元二次方程的為（）A．2x2+xy＝3 B．x2＝1 C． D．a(chǎn)x2+bx+c＝0【解答】解：A、含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，不合題意；B、是一元二次方程，故本選項(xiàng)符合題意；C、分母中含有未知數(shù)，不是整式方程，故本選項(xiàng)不符合題意；D、當(dāng)a＝0時(shí)不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．2．（3分）若⊙O的半徑為4cm，點(diǎn)A到圓心O的距離為5cm，那么點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)A在圓外 B．點(diǎn)A在圓上 C．點(diǎn)A在圓內(nèi) D．不能確定【解答】解：∵⊙O的半徑為4cm，點(diǎn)A到圓心O的距離為5cm，5cm＞4cm，∴點(diǎn)A在圓外．故選：A．3．（3分）點(diǎn)I是△ABC的外心，則點(diǎn)I是△ABC的（）A．三條垂直平分線交點(diǎn) B．三條角平分線交點(diǎn) C．三條中線交點(diǎn) D．三條高的交點(diǎn)【解答】解：點(diǎn)I是△ABC的外心，則點(diǎn)I是△ABC的三條垂直平分線交點(diǎn)，故選：A．4．（3分）若關(guān)于x的方程x2﹣x﹣m＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則m的值可以為（）A．﹣1 B．﹣ C．0 D．1【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2﹣x﹣m＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣m）＝1+4m＜0，解得：，故選：A．5．（3分）下列說(shuō)法：①優(yōu)弧比劣弧長(zhǎng)；②三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓；③長(zhǎng)度相等的弧是等??；④經(jīng)過(guò)圓內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)條弦；其中不正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：①優(yōu)弧比劣弧長(zhǎng)，不一定，在同圓或等圓中結(jié)論成立，故①錯(cuò)誤．②三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，錯(cuò)誤，應(yīng)該是過(guò)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓．故②錯(cuò)誤．③長(zhǎng)度相等的弧是等弧，錯(cuò)誤，長(zhǎng)度相等的弧不一定相等，等弧的長(zhǎng)度相等，故③錯(cuò)誤．④經(jīng)過(guò)圓內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)條弦，故④正確．故選：C．6．（3分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠C＝45°，AB＝2，則⊙O的半徑為（）A．1 B． C．2 D．【解答】解：連接AO，并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，∵∠C＝45°，∴∠D＝45°，∵AD為⊙O的直徑，∴∠ABD＝90°，∴∠DAB＝∠D＝45°，∵AB＝2，∴BD＝2，∴AD＝＝＝2，∴⊙O的半徑AO＝＝．故選：D．7．（3分）某廠一月份生產(chǎn)某機(jī)器100臺(tái)，計(jì)劃二、三月份共生產(chǎn)280臺(tái)．設(shè)二、三月份每月的平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意列出的方程是（）A．100（1+x）2＝280 B．100（1+x）+100（1+x）2＝280 C．100（1﹣x）2＝280 D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝280【解答】解：設(shè)二、三月份每月的平均增長(zhǎng)率為x，則二月份生產(chǎn)機(jī)器為：100（1+x），三月份生產(chǎn)機(jī)器為：100（1+x）2；又知二、三月份共生產(chǎn)280臺(tái)；所以，可列方程：100（1+x）+100（1+x）2＝280．故選：B．8．（3分）如圖，⊙O的直徑AB＝2，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，DC與⊙O相切于點(diǎn)C，連接AC．若∠A＝30°，則CD長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【解答】解：如圖所示，連接BC，OC，∵AB是直徑，∴∠BCA＝90°，又∵∠A＝30°，∴∠CBA＝90°﹣30°＝60°，∵DC是切線，∴∠BCD＝∠A＝30°，∠OCD＝90°，∴∠D＝∠CBA﹣∠BCD＝60°﹣30°＝30°，∵AB＝2，∴OC＝1，∴OD＝2，∴CD＝＝＝，故選：D．9．（3分）如圖，點(diǎn)O是矩形ABCD對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且與AB邊相切于點(diǎn)E，若AB＝4，BC＝5，則⊙O的半徑長(zhǎng)為（）A． B． C． D．4【解答】解：連接OC、OE，作OF⊥BC于點(diǎn)F，則∠OFC＝∠OFB＝90°，∵⊙O與AB邊相切于點(diǎn)E，∴AB⊥AB，∵四邊形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝5，∴∠EBF＝90°，DA＝BC＝5，設(shè)⊙O的半徑為r，∵∠OEB＝∠EBF＝∠OFB＝90°，∴四邊形BEOF是矩形，∴BF＝OE＝OC＝r，∴CF＝5﹣r，∵∠BEO＝∠A＝90°，∠EBO＝∠ABD，∴△EBO∽△ABD，∴＝，∴EB＝?OE＝r，∴OF＝EB＝r，∵OF2+CF2＝OC2，∴（r）2+（5﹣r）2＝r2，整理得16r2﹣250r+625＝0，∴解得r＝或r＝（不符合題意，舍去），∴⊙O的半徑長(zhǎng)為，故選：B．10．（3分）如圖，E是⊙O的直徑AB上一點(diǎn)，AB＝10，BE＝2，過(guò)點(diǎn)E作弦CD⊥AB，P是上一動(dòng)點(diǎn)，連接DP，過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥PD，垂足為Q，則OQ的最小值為（）A． B． C． D．【解答】解：∵AQ⊥PD，垂足為Q，∴∠AQD＝90°，∴點(diǎn)Q在以AD為直徑的圓上，連接AD，以AD為直徑作⊙M，如圖，連接MO并延長(zhǎng)交⊙M于Q′，當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q′時(shí)，OQ的值最小，連接OD，在Rt△ODE中，∵OD＝5，OE＝5﹣2＝3，∴DE＝＝4，在Rt△ADE中，AD＝＝4，∴MA＝MQ′＝2，在Rt△AOM中，OM＝＝，∴OQ′＝MQ′﹣OM＝2﹣＝，∴OQ的最小值為．故選：A．二、填空題（本大題共8小題，每空3分，共24分．不需寫(xiě)出解答過(guò)程，只需把答案填寫(xiě)在答卷紙的相應(yīng)位置處．）11．（3分）若x＝2是方程x2+3x﹣2m＝0的一個(gè)根，則m的值為5．【解答】解：把x＝2代入，得22+3×2﹣2m＝0，解得：m＝5．故答案為：5．12．（3分）方程x2＝x的根是x1＝0，x2＝．【解答】解：方程整理得：x（x﹣）＝0，可得x＝0或x﹣＝0，解得：x1＝0，x2＝．故答案為：x1＝0，x2＝13．（3分）若一元二次方程mx2+4x+5＝0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍m＜且m≠0．【解答】解：∵一元二次方程mx2+4x+5＝0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×m×5＝16﹣20m＞0，解得：m＜，∵m≠0，∴m的取值范圍為：m＜且m≠0．故答案為：m＜且m≠0．14．（3分）如圖，⊙O的直徑CD垂直弦AB于點(diǎn)E，且CE＝3cm，DE＝7cm，則弦AB＝2cm．【解答】解：連接OA，如圖，∵CE＝3cm，DE＝7cm，∴CD＝10cm，∴OC＝OA＝5cm，OE＝2cm，∵AB⊥CD，∴AE＝BE，在Rt△AOE中，AE＝＝（cm），∴AB＝2AE＝2（cm）．故答案為2．15．（3分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠AOC＝112°，則∠ABC的大小為124度．【解答】解：∵∠AOC＝112°，∴∠D＝∠AOC＝56°，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠D+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣56°＝124°．故答案為：124．16．（3分）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，D為BC邊的中點(diǎn)，以AD上一點(diǎn)O為圓心的⊙O和AB、BC均相切，則⊙O的半徑為．【解答】解：過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，OF⊥BC于點(diǎn)F．∵AB、BC是⊙O的切線，∴點(diǎn)E、F是切點(diǎn)，∴OE、OF是⊙O的半徑；∴OE＝OF；在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，∴由勾股定理，得BC＝8；又∵D是BC邊的中點(diǎn)，∴S△ABD＝S△ACD，又∵S△ABD＝S△ABO+S△BOD，∴AB?OE+BD?OF＝CD?AC，即10×OE+4×OE＝4×6，解得OE＝，∴⊙O的半徑是，故答案為．17．（3分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示）．若直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3，小正方形的面積為49，則大正方形的面積為289．【解答】解：如圖，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為O，連接OE，OD，則四邊形EODC為正方形，∴OE＝OD＝3＝，∴AC+BC﹣AB＝6，∴AC+BC＝AB+6，∴（AC+BC）2＝（AB+6）2，∴BC2+AC2+2BC×AC＝AB2+12AB+36，而B(niǎo)C2+AC2＝AB2，∴2BC×AC＝12AB+36①，∵小正方形的面積為49，∴（BC﹣AC）2＝49，∴BC2+AC2﹣2BC×AC＝49②，把①代入②中得AB2﹣12AB﹣85＝0，∴（AB﹣17）（AB+5）＝0，∴AB＝17（負(fù)值舍去），∴大正方形的面積為289．故答案為：289．18．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，點(diǎn)D是直徑AB所在直線下方一點(diǎn)，連接CD，且滿足∠ADB＝60°，BD＝2，AD＝3，則△ABD的面積為；CD的長(zhǎng)為．【解答】解：AD交⊙O于E，連接BE，連接CA、CB，如圖，∵AB為直徑，∴∠AEB＝∠ACB＝90°，∵∠ADB＝60°，∴DE＝BD＝1，∴BE＝DE＝，∴△ABD的面積＝×3×＝；∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，∴＝，∴AC＝BC，∴△ACB為等腰直角三角形，把△CDB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CFA，過(guò)F點(diǎn)作FH⊥DA于H點(diǎn)，如圖，∴∠FCD＝90°，∠CFA＝∠CDB，CF＝CD，AF＝BD＝1，∵∠CFA+∠CDA＝∠CDB+∠CDA＝∠ADB＝60°，∴∠AFD+∠ADF＝30°，∴∠HAF＝30°，∴FH＝AF＝1，∴AH＝FH＝，在Rt△DFH中，DF＝＝＝7，∴CD＝DF＝．故答案為：；．三、解答題（本大題共8小題，共72分．請(qǐng)?jiān)诖鹁砑埳现付▍^(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）19．（8分）解方程：（1）（x+3）2＝25；（2）x2﹣4x+1＝0．【解答】解：（1）∵（x+3）2＝25，∴x+3＝±5，∴x1＝﹣8，x2＝2；（2）∵x2﹣4x+1＝0，∴x2﹣4x+1+3＝0+3，∴（x﹣2）2＝3，則x﹣2＝或x﹣2＝﹣，解得x1＝+2，x2＝﹣．20．（8分）已知：?ABCD的兩邊AB、AD的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2﹣mx+m﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形ABCD是菱形？求出這時(shí)菱形的邊長(zhǎng)；（2）若AB的長(zhǎng)為3，那么?ABCD的周長(zhǎng)是多少？【解答】解：（1）∵?ABCD為菱形，∴AB＝AD，∴關(guān)于x的方程x2﹣mx+m﹣1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（m﹣1）＝（m﹣2）2＝0，解得：m1＝m2＝2，∴當(dāng)m為2時(shí)，四邊形ABCD是菱形．將m＝2代入原方程得x2﹣2x+1＝0，即（x﹣1）2＝0，解得：x1＝x2＝1，∴這時(shí)菱形的邊長(zhǎng)為1．（2）將x＝3代入原方程得32﹣3m+m﹣1＝0，解得：m＝4，∴原方程為x2﹣4x+3＝0，又∵?ABCD的兩邊AB、AD的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2﹣mx+m﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴AB+AD＝4，∴?ABCD的周長(zhǎng)是2（AB+AD）＝2×4＝8．21．（8分）如圖，在⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)P，∠CAB＝45°，∠APD＝75°．（1）求∠B的大??；（2）已知圓心O到BD的距離為3，求AD的長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵∠CAB＝45°，∠APD＝75°．∴∠C＝∠APD﹣∠CAB＝30°，∵由圓周角定理得：∠C＝∠B，∴∠B＝30°；（2）過(guò)O作OE⊥BD于E，∵OE過(guò)O，∴BE＝DE，∵圓心O到BD的距離為3，∴OE＝3，∵AO＝BO，DE＝BE，∴AD＝2OE＝6．22．（9分）無(wú)錫陽(yáng)山水蜜桃是中國(guó)國(guó)家地理標(biāo)志產(chǎn)品，軟香可口、汁多味甜，有“水做的骨肉”美譽(yù)．某水果批發(fā)商銷售陽(yáng)山水蜜桃，每箱成本是50元，經(jīng)過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價(jià)是60元時(shí)，平均每天的銷量是80箱，當(dāng)銷售單價(jià)每提高5元，平均每天就少售出10箱，但銷售單價(jià)不得超過(guò)90元．（1）若銷售單價(jià)為65元，求每天的銷售利潤(rùn)；（2）要使每天銷售陽(yáng)山水蜜桃盈利1200元，水蜜桃屬于易壞食品，批發(fā)商想要盡快銷售水蜜桃，那么每箱水蜜桃的售價(jià)應(yīng)為多少元？【解答】解：（1）（65﹣50）×（80﹣10×）＝（65﹣50）×（80﹣10×）＝（65﹣50）×（80﹣10）＝15×70＝1050（元）．答：每天的銷售利潤(rùn)為1050元．（2）設(shè)每箱水蜜桃的售價(jià)為y元，則每箱的銷售利潤(rùn)為（y﹣50）元，平均每天的銷量是（80﹣10×）箱，依題意得：（y﹣50）（80﹣10×）＝1200，整理得：y2﹣150y+5600＝0，解得：y1＝70，y2＝80，又∵要盡快銷售水蜜桃，∴y＝70．答：每箱水蜜桃的售價(jià)應(yīng)為70元．23．（9分）請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺作圖．（1）如圖1，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，點(diǎn)P在⊙O上一點(diǎn)，且＝．畫(huà)出△ABC中∠BAC的平分線；（2）如圖2，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，D是BC的中點(diǎn)．畫(huà)出△ABC中∠BAC的平分線；（3）如圖3，⊙O為△ABC的外接圓，BC是非直徑的弦，D是BC的中點(diǎn)，E是弦AB上一點(diǎn)，且DE∥AC，請(qǐng)畫(huà)出△ABC的內(nèi)心I．【解答】解：（1）連接AP，∵＝，∴∠BAP＝∠CAP，∴AP是∠BAC的角平分線；（2）連接OD并延長(zhǎng)與圓交于點(diǎn)E，連接AE，∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，∴＝，∴∠BAE＝∠CAE，∴AE是∠BAC的平分線；（3）連接OD并延長(zhǎng)與圓交于點(diǎn)G，連接OE并延長(zhǎng)與圓交于點(diǎn)F，連接CF、AG相交于點(diǎn)J，∵D是BC的中點(diǎn)，DE∥AC，∴E是AB的中點(diǎn)，由（2）可知，CF是∠ACB的平分線，AG是∠BAC的平分線，∴J點(diǎn)是△ABC的內(nèi)心．24．（10分）如果一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩根x1，x2均為正數(shù)，其中x1＞x2且滿足1＜x1﹣x2＜2，那么稱這個(gè)方程有“友好根”．（1）方程（x﹣）（x﹣）＝0沒(méi)有“友好根”（填：“有”或“沒(méi)有”）；（2）已知關(guān)于x的方程x2﹣（t﹣1）x+t﹣2＝0有“友好根”，求t的取值范圍．【解答】解：（1）方程（x﹣）（x﹣）＝0沒(méi)有“友好根”，理由如下：∵（x﹣）（x﹣）＝0，∴x1＝，x2＝，這時(shí)x1＞0，x2＞0，但x1﹣x2＜1，∴滿足x1＞x2且不滿足1＜x1﹣x2＜2這個(gè)條件，∴方程（x﹣）（x﹣）＝0沒(méi)有“友好根”；故答案為：沒(méi)有；（2）x2﹣（t﹣1）x+t﹣2＝0由已知Δ＝（t﹣1）2﹣4×1×（t﹣2）＝（t﹣3）2＞0，∴x＝，∴當(dāng)t＞3時(shí)，x1＝t﹣2，x2＝1，當(dāng)t＜3時(shí)，x1＝1，x2＝t﹣2，∵一元二次方程ax2+bx+c＝0有“友好根”，∴x1，x2均為正數(shù)，x1＞x2且滿足1＜x1﹣x2＜2，若x1＝t﹣2，x2＝1，則1＜t﹣2﹣1＜2，解得4＜t＜5；若x1＝1，x2＝t﹣2，則，無(wú)解綜上，t的取值范圍是4＜t＜5．25．（3分）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O與BC交于點(diǎn)D，DE⊥AB，垂足為E，ED的延長(zhǎng)線與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．（1）試說(shuō)明：DE是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為6，BE＝2，求CF的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：如圖，連接OD，AD，∵AC是直徑，∴AD⊥BC，又∵在△ABC中，AB＝AC，∴BD＝CD，∵AO＝OC，∴OD∥AB，又∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，∵OD為⊙O半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）解：∵⊙O的半徑為6，AB＝AC，∴AC＝AB＝6+6＝12，∵BE＝2，∴AE＝12﹣2＝10，過(guò)O作OH⊥AB于H，則四邊形ODEH是矩形，∴EH＝OD＝6，OH∥EF，∴AH＝AE﹣OD＝10﹣6＝4，∴AH＝AO，∴∠AOH