2021年山東省高考數(shù)學二模試卷(三) (解析版)

2021年山東省新高考高考數(shù)學二模試卷（三）

一、單項選擇題（每小題5分）.

1.設/(z)=z,q=3+4i,z2=-2-z,則/(qp)等于()

A.1-3iB.-2+llzC.-2+7D.5+5i

2x-llogt(1-X))

2.集合4=集合8』辦二—f,則集合HUB等于（）

2

A.[0,--]B.(-1,+8)c.(-1,1)D.[-1,+8)

3.已知函數(shù)f（x）的定義域是（0,+8）,滿足/（2）=1且對于定義域內(nèi)任意心）都有

fCxy)=f(x)+f(y)成立，那么/(2)+f(4)的值為)

A.1B.2C.3D.4

4.一個等比數(shù)列前〃項的和為48,前2〃項的和為60,則前3〃項的和為（）

A.83B.108C.75D.63

兀

5.若向量a，b滿足lal=2,IW=l，且＜a，b＞=T，則＜a,-b，b＞=（）

A如7T兀兀

6B-~C-~3D-T

6.已知直線/：ax+y-2=0與G）C：(x-1)2+(y-a)2=4相交于A、B兩點,則△ABC

為鈍角三角形的充要條件是（)

A.ae(1,3)B.ae(2-V3,2+V3)

C.aE(2-x/3，1)U(1,2+V3)D.在(-8,2-Vs)U(24-73.Q)

7.已知函數(shù)f(x)=Acos<o)x+(p)(A>0,a）＞0,0＜（p＜iT）的部分圖象如圖所示，則

「7T

B.f(x)=V3cos(x+~^~)

D.f(x)=A/3COS

20

8.北京2022年冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”一亮相，好評不斷,

這是一次中國文化與奧林匹克精神的完美結合，是一次現(xiàn)代設計理念的傳承與突破.為

了宣傳2022年北京冬奧會和冬殘奧會，某學校決定派小明和小李等5名志愿者將兩個吉

祥物安裝在學校的體育廣場，若小明和小李必須安裝同一個吉祥物，且每個吉樣物都至

少由兩名志愿者安裝，則不同的安裝方案種數(shù)為()

B.10C.12D.14

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.

9.已知/(x),g(x)都是定義在R上的函數(shù)，且/(x)為奇函數(shù)，g(x)的圖象關于直

線x=l對稱，則下列說法中正確的有()

A.y=g(/(%)+1)為偶函數(shù)

B.y=g(/(x))為奇函數(shù)

C.尸八g(x))的圖象關于直線x=l對稱

D.y=/(g(x+1))為偶函數(shù)

10.如圖，在正方體中，點P在線段4c上運動，則()

0__________￡1

A.直線80_L平面

B.二面角4-CO-B的大小為今-

C.三棱錐P-的體積為定值

7T冗

D.異面直線AP與4。所成角的取值范圍是[一“，—]

11.已知實數(shù)a,6滿足a2-ab+b=0(a>l),下列結論中正確的是()

A.b24B.2?+b28C.->1D.ab,

12.在平面直角坐標系xO)，中，已知拋物線C：y2=4x的焦點為尸，準線為/,過點尸且斜

率大于0的直線交拋物線C于4,8兩點(其中4在8的上方)，過線段4B的中點M

且與x軸平行的直線依次交直線CM,OB,/于點尸，Q,N.則()

A.\PM\^\NQ\

B.若P,Q是線段例N的三等分點，則直線AB的斜率為2兩

C.若P,。不是線段MN的三等分點，則一定有IPQAIOQI

D.若P,0不是線段的三等分點，則一定有WQI>IOQ

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.已知二項式(34-工)”的展開式中，所有項的系數(shù)之和為64,則該展開式中的常數(shù)

X

項是.

14.如圖，某湖有一半徑為100機的半圓形岸邊，現(xiàn)決定在圓心。處設立一個水文監(jiān)測中心

(大小忽略不計)，在其正東方向相距200m的點A處安裝一套監(jiān)測設備.為了監(jiān)測數(shù)

據(jù)更加準確，在半圓弧上的點8以及湖中的點C處，再分別安裝一套監(jiān)測設備，且滿足

AB=AC,ZBAC=90°.定義：四邊形QAC8及其內(nèi)部區(qū)域為“直接監(jiān)測覆蓋區(qū)域”；

15.已知直線丁=履是曲線、=外的切線，也是曲線y=/〃x+機的切線，則實數(shù)4=,

實數(shù)團=.

16.已知函數(shù)f(x)=log：G1'*x)T—+2,xeR,若三8E[0,使關于e的不

2+12

等式/(2sin。cos0)+f-2sin0-2cos0-m)V2成立，則實數(shù)機的范圍為.

四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

*

17.已知數(shù)列｛4｝的前”項和為Sn(nEN).

(1)若｛。〃｝為等差數(shù)列，S]]=165,%+。8=28,求｛〃〃｝的通項公式；

(2)若數(shù)歹!!｛S“｝滿足/S[*$2+…,Sn=3n+5,求s”.

18.在平面四邊形ABC。中，Afi=4,AO=2&,對角線AC與BQ交于點E,E是8。的

中點，且正=2麗.

TT

(1)^ZABD=—,求8c的長；

(2)若AC=3,求cos/BAD

19.近年來，我國的電子商務行業(yè)發(fā)展迅速，與此同時，相關管理部門建立了針對電商的商

品和服務評價系統(tǒng).現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出200次成功的交易，并對其評價進行統(tǒng)計，對

Q7

商品的好評率為含，對服務的好評率為心■,其中對商品和服務均為好評的有80次.

(1)是否可以在犯錯誤概率不超過0.1的前提下，認為商品好評與服務好評有關？

(2)若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進行的4次購物中，設對商品和服務全好

評的次數(shù)為隨機變量X,求對商品和服務全好評的次數(shù)X的分布列及其期望.

參考公式：獨立性檢驗統(tǒng)計量K2=?—:內(nèi)卑,02―其中〃=°+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

臨界值表：

P(心》即)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

20.如圖，在四棱錐S-ABC。中，四邊形ABC。是邊長為2的菱形，ZABC=60°,NASD

=90°,且SC=2.

(1)證明：平面SA。，平面ABC。；

(2)當四棱錐S-ABC。的體積最大時，求二面角8-SC-Q的余弦值.

21.己知橢圓C：號+人＞0)的一個焦點為(-塞,Q),且過點(1,坐')?

(1)求橢圓c的方程：

(2)設4(-a,0),A2(a,0),B(0,%),點M是橢圓C上一點，且不與頂點重

合，若直線A聲與直線A2M交于點P,直線4眼與直線交于點。，求證：曲PQ為

等腰三角形.

22.已知函數(shù)/(x)=ex-ax-1,g(x)=kxi.

(1)當。＞0時，求/(x)的值域;

(2)令a=l,當x€(0,+8）時，f（Y）-K恒成立,求女的取值范圍.

參考答案

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.設/(z)=z,4=3+4。z2=-2-z,則/(4-Z2)等于()

A.1-3iB.-2+llzC.-2+iD.5+5z

解：Zj=3+4z,z2=-2-i,

則Z]-q=5+5i,

■:f(z)=z,

則/(Zj--)=q-z2=5+5i.

故選：D.

2.集合A={x竺[WO},集合8={力=\|1°%_(1->)},則集合AUB等于()

X+1V2

A.[0,&B.(-1,+8)C.(-1,1)D.[-1,+8)

解：...A={x|T<x4-^},B={x|logjJl-x)>0)={加<1_xWl}={xlO?l},

2

：.AUB=(-1,1).

故選：c.

3.已知函數(shù)f(x)的定義域是(0,+8),滿足/(2)=1且對于定義域內(nèi)任意x,y都有

f(xy)=f(x)+f(y)成立，那么/(2)+f(4)的值為()

A.1B.2C.3D.4

解：V/(4)=/(2X2)(2)+f(2)=2/(2),

：.f(4)=2.

：.f(2)+f(4)=1+2=3,

故選：C.

4.一個等比數(shù)列前"項的和為48,前2〃項的和為60,則前3"項的和為()

A.83B.108C.75D.63

解：等比數(shù)列的第一個〃項的和為：48,第二個"項的和為60-48=12

...第三個〃項的和為：12X：『=3

48

...前3〃項的和為60+3=63

故選：D.

_______—兀,

5.若向量a，b滿足以=2，I?=1，且<a，b>=_7T>則<a-b，b>=()

5兀7T7T71

A?丁B-Tc-TD-T

解：因為向量bf南足以=2,IH=l，月.<a，b>=■，

-'''a-bl=V(a-b)2=Va2-2a-b+b

—?—?

(a-b)?b2XIXy-l

?.cosV@-b，b>=

V3X1

又因為向量的夾角。6[0,nJ.

—?—?—*)I

?,v@-b，b>=~^~，

故選：B.

6.已知直線/：ax+y-2=0與OC：(x-1)2+(y-a)2=4相交于A、B兩點，PJijAABC

為鈍角三角形的充要條件是()

A.aE(1,3)B.aG(2-V3，2+A/3)

C.ae(2-6，1)u(1,2-fVs)D.a€(-8,2-73)U(2+73)心)

解：0C：(x-1)2+(y-a)2=4的圓心為C(1,a),半徑r=2,

-

|a+a-2|2|al|

故點C到直線/：ax+y-2=0的距離為廣寸％才f，

又CA=CB=2,

因為△48C為鈍角三角形,

故AC2+BCKAB2,即4+4<16

a4+l

化簡可得42-4〃+1V0,

解得2-6＜女＜2+近，

當三點A,B,C共線時，有a+a-2=o,即a=l,此時△ABC不存在,

所以△ABC為鈍角三角形的充要條件是ae（2-73，1）U（1,2+JE）.

故選：C.

7.已知函數(shù)f(x)=Acos(a)x+(p)（A>0,a）>0,0<（p<n）的部分圖象如圖所示，則

l7T

B.f(x)=V3cos

0

j■■-X冗

D.f(x)=\3cos(—+-T-)

2b

解：由圖知，A=?,

把點(0,"I*)代入/(x)得,V3cos(p=-|-,??.cos(p=夸，???<p€(0,n)TT

??cp—,

6

:?f(x)=V3cOS(CDX-K^-)

0

5兀l,,5兀兀5兀兀

把點(c,-y3)代入得，cos(仔3+-^)=-1,/.-r-0)+-7-=TT+2^K,keZ,

i3030

.16,,=

..u>=—+—k,k&l,

2.b

Vo)>0,.*.a)=—,

九

/./(x)=V3LcOS(—1X+-T-),

20

故選：D.

8.北京2022年冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”一亮相，好評不斷,

這是一次中國文化與奧林匹克精神的完美結合，是一次現(xiàn)代設計理念的傳承與突破.為

了宣傳2022年北京冬奧會和冬殘奧會，某學校決定派小明和小李等5名志愿者將兩個吉

祥物安裝在學校的體育廣場，若小明和小李必須安裝同一個吉祥物，且每個吉樣物都至

少由兩名志愿者安裝，則不同的安裝方案種數(shù)為（）

A.8B.10C.12D.14

解：根據(jù)題意，分2種情況討論：

①小明和小李兩個人安裝同一個吉祥物，則剩下3人安裝另外1個，有2種安裝方案，

②小明和小李和另外一人安裝同一個吉祥物，則剩下2人安裝另外1個，有C3IX2=6

種安裝方案，

則有2+6=8種不同的安裝方案,

故選：A.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.

9.已知/(x),g(x)都是定義在R上的函數(shù)，且/(公為奇函數(shù)，g(x)的圖象關于直

線x=l對稱，則下列說法中正確的有()

A.y=g(/(x)+1)為偶函數(shù)

B.y=g(/(x))為奇函數(shù)

C.y=f(g(x))的圖象關于直線x=l對稱

D.y=/(g(x+1))為偶函數(shù)

解：根據(jù)題意，/(X)為奇函數(shù)，則-X)=-f(X),g(X)圖象關于直線X=1對

稱，則g(1-X)=g(l+x),

據(jù)此分析選項：

對于A,對于y—g(/(x)+1),g(/(-x)+1)—g(1-/(x))—g(/(x)+1),

則函數(shù)y=g(/(x)+1)為偶函數(shù)，A正確；

對于B,對于y—g(/(x)),有g(/(-x))—gC-f(x))W-g(y(x)),不是

奇函數(shù)，8錯誤；

對于C,g(x)圖象關于直線x=l對稱，則函數(shù)(g(x))圖象關于直線x=l對稱，

C正確；

對于￡>,g(x)圖象關于直線x=l對稱，則g(l-x)=g(l+x),對于y=/(g(x+1)),

有/(g(-x+l))=f(g(x+1)),則/(g(x+1))為偶函數(shù)，O正確；

故選：ACD.

10.如圖，在正方體中，點P在線段81c上運動，則()

A.直線B0_L平面A|CQ

B.二面角片-CC-B的大小為子

C.三棱錐P-A|CQ的體積為定值

7T兀

D.異面直線4P與所成角的取值范圍是[一尸，—]

142

解：如圖，

在A中，?.,4￡_L8Q1,4|C|_LB81,8々尸84=%,

.?.A￡_L平面同理，

?.?4￡。?！?￡,."已上平面A￡D,故A正確；

在8中，由正方體可知平面々a）不垂直平面48C。，故8錯誤：

在C中，：4。〃片。，AQu平面AC。，qCC平面AG。，；.B|C〃平面41CQ,

?.?點P在線段4c上運動，到平面A,。的距離為定值，

又的面積是定值，，三棱錐P-A'Q的體積為定值，故C正確；

在。中，當點P與線段B}C的端點重合時，異面直線AP與A}D所成角取得最小值為

兀7T

故異面直線AP與所成角的取值范圍是L，—],故。錯誤，

故選：AC.

11.已知實數(shù)a,匕滿足。2-浦+。=0(a>l),下列結論中正確的是()

A.b24B.2a+b28C.--4y-1D.

解：實數(shù)4，b滿足02-岫+/?=0(a>l),

A..=-^-二21l：L=q+]+—^-="—[+-^-+2%/(&-1).—^-+2=4,當且僅當a

a-1a-1a-1a-1Va-1

=2時取等號，因此正確；

B.2a+6=2a+a+l+-^~=3(。-1)+-^-+4>2./3(3-1)-^-+4=2A/3+4,當且僅當a

a-1a-1Va-1

=1+苧取等號，因此不正確:

Iilla-l1910

C.:.—C(0，1)?-+丁=~~2-=--2~+~=-(--1)+1V1,因此不

aabaa4,aaa

正確；

2332x2

D,ab=a*a-=--,令/(x)=工1,(x>1).f'(X)

a-la-lx-1(x-1)2

2

可得時，函數(shù)/CO取得極小值，即最小值.

f(3)=J￡=27

723i4'

T-1

/./(x)》■卷，即因此正確.

故選：AD

12.在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線C：*=4x的焦點為F,準線為/,過點B且斜

率大于0的直線交拋物線C于4,8兩點(其中A在B的上方)，過線段4B的中點M

且與x軸平行的直線依次交直線OA,OB,/于點尸，Q,N.則()

A.\PM\=\NQ\

B.若P,。是線段的三等分點，則直線AB的斜率為久歷

C.若P,。不是線段MN的三等分點，則一定有1尸。1>10。1

D.若P,。不是線段MN的三等分點，則一定有INQAIOQI

解：拋物線的焦點為F(1,0),設直線AB的方程為y=&(x-1),k>0,

Aa/片),B(x2，y2),

(尸k(x-l)4

由，2，得皿2-(2^2+4)x+k2=0,貝i]X1+x,=2+—q,xtx,—1,

,y=4x-k

Xi+x222

???%=-2-9=1+乏’%=k(Xm'1)=~,直線MN的方程為y=,

VO,P,4共線，

.XpYpX]/p2X[y,_丫1

-Xp_

"yt'~yt2kyj~~2k'

y

同理x=—?M

Q2k

了1+V2/2

===2>

^-2^Tk

22

X+X

XM+XR=-1=~2=PQ^

KK

?\XM-xp=xQ-XN，即IMPI=WQI,A正確；

若尸，。是線段"N的三等分點，則

打~21212

(2)

2kYV

4(k2+l)

X72=~ir-

4

又)1+丫2=2)6=工，y?2=h又I-D(x2-1)=kz(x]x2-X1-x2+l)=-4,

=4(4±1),解得&=2廢,

(Vfc>0),B正確;

3k

k2+2±2Hl卜2+2-2^k2+l

由k2X2-(2Q+4)x+fc2=0,得x,2'X2="2

kk

2

???)'2=&(々7)=2-2^1yg=i-Vk+i

X

，Q2kk2

J245k2-272l

又％=為=看,(-笆a?)2k+

kk2

2

7i-y22A/1+k

\PQ\=—_-=—-~-

2kk29

5k2+2-27i^7j-4(l+k2)(在2―-3)

k4k4

當人>2&時，\OQ\>\PQ\,C錯誤；

2

由圖可知INQIWI,而IOQIN%=T，只要0VkV2,就有IOQ>1>WQI,。錯誤,

K

故選：AB.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.已知二項式(34-上)”的展開式中，所有項的系數(shù)之和為64,則該展開式中的常數(shù)

X

項是一1215.

解：?.?二項式(34-工)”的展開式中，所有項的系數(shù)之和為2“=64,??.“=6.

X

V-31

???它的通項公式為r+I=Cg-(-1)r-36

令3-爭=0,可得，=2,

故二項式(3^-—)”的展開式的常數(shù)項為吟34=1215,

故答案為：1215.

14.如圖，某湖有一半徑為100，”的半圓形岸邊，現(xiàn)決定在圓心。處設立一個水文監(jiān)測中心

(大小忽略不計)，在其正東方向相距200皿的點A處安裝一套監(jiān)測設備.為了監(jiān)測數(shù)

據(jù)更加準確，在半圓弧上的點8以及湖中的點C處，再分別安裝一套監(jiān)測設備，且滿足

AB=AC,NB4C=90°.定義：四邊形。4cB及其內(nèi)部區(qū)域為“直接監(jiān)測覆蓋區(qū)域”；

設NA08=a則“直接監(jiān)測覆蓋區(qū)域”面積的最大值為_(10000遙+25000)11?_.

解：由題意可知將“直接監(jiān)測覆蓋區(qū)域”面積轉化為三角形zMBC和三角形△AOB的面

積之和，

SAAOB=?2**0AXOBXsin9=1OOOOsinQ；

在三角形AA08中，AB2=OBI+OA2-208XOAXcos。=50000-40000cose,

112

三角形AABC為等腰直角三角形，；.sAABC而就XAC=yAB=25000-20000cos0,

所以“直接監(jiān)管覆蓋區(qū)域”面積為s.nR+sARr=25000+1OOOOsinS-2OOOOcos0=

25000+10000V5sin(0-a),其中tana=2,

當sin(0-a)=1時，面積取得最大值為25000+1000班，

故答案為：25000+10000/5.

15.已知直線尸區(qū)是曲線尸經(jīng)的切線，也是曲線y=/〃x+機的切線，則實數(shù)％=e,實

數(shù)m=2.

解：對于y=ex,設切點為(〃，en),

因為y'=ex,故切線斜率％=e〃，

故切線方程為y-(x-n),由已知得切線過(0,0),

所以-(-九)，故〃=1,所以4=e.

對于y=x+加，設切點為(c,Inc+m),

所以/二工，因為切線為y=ex,得y‘L=r^-=e,

xx-cc

所以所以切點為(1,1),代入尸勿x+〃7得l=lnL+ir,

eee

所以m=2.

故答案為：e；2.

7

16.已知函數(shù)￡々)=1。8；/^也)"一+2,XGR,若m8E[o,使關于0的不

2+12

等式/(2sin8cosO)+/(4-2sin0-2cos0-/H)V2成立，則實數(shù)加的范圍為m>2.

解：令g(x)=f(x)-1=log]"'一—+1,

2+1

則g(-X)=f—)-1=1熊"+'F)-zf—+1,

2+1

22X2女

而g(x)+g(-x)=log9l+2------------=0,

'2、+12XH

所以g(x)是奇函數(shù)，而log；nr、)在R上單調(diào)遞增，二薩；“在R上單調(diào)遞增，

zN十1

所以g(x)是在R上的單調(diào)遞增函數(shù)且為奇函數(shù)，

而f(2sin0cos0)+f(4-2sin0-2cos0-次)<2可變形成了(2sin0-cosO)-1<1-f(4

-2sin0-2cos0-加),

即g(2sin6cosO)<-g(4-2sin0-2cos0-m)=g(2sin0+2cos6+^i-4),

兀

由g(x)是在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則三6€[0-丁]使關于。的不等式2sine-cose

<2sin0+2cos0+/M-4成立，

即-tn<2(sin0+cos0)-2sin0cos9-4,

兀7T

設t=sin0+cos0=V2sin(0+-^-),8E[0,-7^-],則teElsV21，2sin6cos0=/2

-1,

令h(r)=2t-(n-1)-4=-n+2r-3=-(r-1)2-2,retl,&],貝〃(r)的

最大值為-2,

所以-mV-2即機>2.

綜上所述：實數(shù)機的范圍為m>2.

故答案為：相>2.

四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為Sn(nEN).

(1)若｛%｝為等差數(shù)列，S“=165,%+&=28,求｛%｝的通項公式；

(2)若數(shù)例J｛S,J滿足/S[*S2+…吃S“=3n+5,求s..

【解答】(1)由題意可設等差數(shù)列的公差為“，

"11ai+55d=165ra,=5

貝MCCC，解得<，二4=2〃+3;

2a1+9d=281d=2

(2)當”=1時，■^■S[=8,，4=5]=16,

當n》2時，3sl崇Sa+…寸S；3n+5,①

亂盅2+~^^75大「3"2,②

n

①-②得，^-Sn=3,.-.Sn=3'2,

當〃=1時，S]=16不適合上式,

[16,n=l

s=<

nI3'2n,n>2

18.在平面四邊形4BCD中，AB=4,A￡>=2對角線AC與8。交于點E,E是8。的

中點，且正=2的.

7T

(1)若NABO=-r，求8c的長；

4

(2)若AC=3,求cos/BAD

解：(1)在中，由余弦定理知，A￡>2=A82+B￡>2-Z48?8￡>?COS/ABD,

二8=I6+BD2-2?4?B￡>?co?，化簡得BD「4\/^。+8=0,

解得8。=26,

E是30的中點，BE*BD=?,

在△ABE中，由余弦定理知，AE2=AB2+BEI-2AB-BE-cosZABD^\6+2-2X4X\/2X

率=10,

2

.?.AE=V15,

一一33A/10

VAE=2BC>-'-AC=—AE=---,

AB2+AE2-BE216+10-2

由余弦定理知，cos/84C==,

2AB-AE2X4XV10VT0

在△ABC中，由余弦定理知，BC2=AB2+AC2-2ABMUcosNA4c=16+(當至)2-2

3。1035

X4X-X7T5=T

2

(2)-：AC=3,AE=2EC--'-AE=2,

,：NAEB+NAED=%

cosZAEB=-ZAED,

設BE=DE=x,

22222

nn]AE+BE-AB_人/+口臚…MP4+X-16_4+X-8

2AE-BE~~2AE-DE'2-2x2-2x

解得x=2?,

:.BD=2BE=4?,

16+8-32亞

在△中，由余弦定理知，COS

4BO/8A￡>=ABRD二BD-

2AB,AD2X4X26=V

19.近年來，我國的電子商務行業(yè)發(fā)展迅速，與此同時，相關管理部門建立了針對電商的商

品和服務評價系統(tǒng).現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出200次成功的交易，并對其評價進行統(tǒng)計，對

Q7

商品的好評率為含，對服務的好評率為木，其中對商品和服務均為好評的有80次.

31U

(1)是否可以在犯錯誤概率不超過0」的前提下，認為商品好評與服務好評有關？

(2)若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進行的4次購物中，設對商品和服務全好

評的次數(shù)為隨機變量X,求對商品和服務全好評的次數(shù)X的分布列及其期望.

參考公式：獨立性檢驗統(tǒng)計量R=—呼叫__其中”=a+Hc+d

7(a+-b)(c+d)(a+c)(b+d)

臨界值表：

P(心》勺)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

解：(1)由題意可知關于服務與評價的2X2列聯(lián)表

對服務好評對服務不滿意合計

對商品好評8040120

對商品不滿意602080

合計14060200

2

^=20QX(80X20-40X6Q)=1587

140X60X120X80

所以不可以在犯錯誤概率不超過0」的前提下，認為商品好評與服務好評有關;

2

⑵每次購物時，對商品和服務都好評的概率叼且X的取值可以是。,1,2,3,4,

P(X=0)=(卷)4=/；

P(X=1)=嘴12X

P(X=2)=C：停產(chǎn)(“2—空

-54；

P(X=3)=需尸x|_等;

P(X=4)=/)4=^

故X的分布列為：

X01234

p812162169616

FFFF54

9

由于X?8(4，w),

28

E(X)=4X—=—.

20.如圖，在四棱錐S-48C。中，四邊形A8C。是邊長為2的菱形，N48C=60°,ZASD

=90°,且SC=2.

(1)證明：平面S4O_L平面A8CQ：

(2)當四棱錐S-ABC。的體積最大時，求二面角5-SC-。的余弦值.

解：(1)證明：如圖，取A。的中點O,連接SO、CO.AC,

ZADC=ZABC=60°,且AD=OC,

又AQ=C￡>=2,則△ACO為正三角形，：.COLAD,CO=J§,

又?.?/4SO=90°,.?.△AS。為直角三角形，.?.SO=/AD=1,

在AACS中，CO2+SO2=SC2,貝iJCOLSO,

又A￡>nSO=。，AD,SO平面AOS,

?.CO_L平面ADS,

又,；COu平面A8CD,平面SAO_L平面A8CD

(2)VZA5D=90°,則點S在以4。為直徑的圓上，且SO=1,

設點S到平面ABCD的距離為d,：.V5ABCO=4'S矩形JUBCD玉，

o

而5矩形s=2x/x2X2Xsin60。=26，

，當d取最大值時四棱錐5-ABCD的體積最大，

此時SO_L平面A8C。，

又由(1)可知COLAZ),如圖建系，

則8(V3>-2,0),S(0,0,1),C(V3，0,0),。(0,1,0),

則函=(-VS，2,I),SC=(愿，0,-1),SD=(0,1,-1),

設平面SBC的法向量為7=(x，y,z),

m?SC=V3x_z=0

設平面SCO的法向量為1=(a,b,c),

n,SC=(/§a-c=0一「「

則_____,取“=1,得門=(1,近，,)，

rfSD=b-c=0

m?n4一2^7

則cosVms

n>—ImI?|n|2VV7

設二面角8-SC-。的平面角為仇經(jīng)觀察0為鈍角,

niI八|m?n|2>/7

貝(Jcos0=-—~t=-----,

ImrInIf

故二面角B-SC-D的余弦值為-2f.

22rr

21.已知橢圓C；三座萬=1(4>b>0)的一個焦點為《一a，0),且過點(1,浮).

a"b'2

(I)求橢圓c的方程;

(2)設A(-a,0),A2(a,0),B(0,b),點M是橢圓C上一