中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：旋轉(zhuǎn)變換在解題中的妙用

旋轉(zhuǎn)變換在解題中的妙用初中數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著許多數(shù)學(xué)思想和方法，靈活運(yùn)用好這些思想與方法，才能幫助我們解決問題．本文以旋轉(zhuǎn)變換為例，與大家一起感受將圖形旋轉(zhuǎn)的思想方法是如何幫助我們聚集條件，搭建橋梁，從而順利解題的．一、利用旋轉(zhuǎn)變換，把分散的條件集中到一個(gè)三角形中例1如圖1，在△ABC中，CD為AB邊上的中線，且AC＝3，BC＝4，CD＝，試判斷△ABC的形狀．分析本題給出的條件CD與AC.BC間并不在同一三角形中，條件顯得分散．但如果把△BCD繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，已知的三條線段就都能集中到△ACM中，從而通過旋轉(zhuǎn)集中了條件．例2如圖2，在正方形ABCD中，P為其內(nèi)部一點(diǎn)，且AP＝1，BP＝，PC＝，求∠APB度數(shù)．分析顯然已知P點(diǎn)到頂點(diǎn)A,B,C的距離，三個(gè)條件也是過于分散，但如果把△ABP繞B點(diǎn)順時(shí)旋轉(zhuǎn)90°，到△BMC處，則三個(gè)條件就可轉(zhuǎn)化到△PMC中，從而由直角三角形性質(zhì)可求出∠PMC,∠BMP的度數(shù)．二、利用旋轉(zhuǎn)變換，把分散的線段集中到一條直線上例3如圖3，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，E,F分別在BC與CD上，求證：EF＝BE＋DF．分析將△ADF旋轉(zhuǎn)到△ABM的位置即可求解．例4D是正△ABC外一點(diǎn)，且∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，E,F在AB,AC上．求證：EF＝BE＋CF．分析通過旋轉(zhuǎn)可把BE與CF集中到同一直線AC上，然后由△MDF≌△FDE可得所求結(jié)論．三、利用旋轉(zhuǎn)變換，把不規(guī)則的圖形變成規(guī)則的圖形例5在△ABC中，∠C＝90°，O為AB中點(diǎn)，將△ABC繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△DEF，若AC＝6，求重疊部分面積．分析兩直角重疊部分為不規(guī)則四邊形，若用常規(guī)方法，則要先求△BPQ面積，再求△BOR面積，然后相減得出重疊部分面積，顯然比較麻煩，若用旋轉(zhuǎn)則可達(dá)到意想不到的簡(jiǎn)化效果，作OM⊥PQ,ON⊥BC，把△POM旋轉(zhuǎn)到△RON位置，則不規(guī)則的重疊部分變成了正方形MONQ，由OM為中位線，得ON＝AC＝3，從而S陰＝9．例6在Rt△ABC中，D,E,F分別在AB.AC.BC上，且DECF為正方形，AD＝6，BD＝8，求S陰． 分析本題若從常規(guī)角度思考則感覺條件似乎不充分，無從下手，但若把△AED繞D點(diǎn)順時(shí)旋轉(zhuǎn)90°，則