2024屆安徽“江南十校”3月聯(lián)考數(shù)學(xué)解析

12024屆安徽省“江南十?！甭?lián)考數(shù)學(xué)試題評(píng)分參考一、單項(xiàng)選擇題x2x}【解析】由2x【答案】C【答案】A【答案】B.4．已知函數(shù)f(x)=3sin(2x+Q)(|Q|<)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x)是偶函數(shù)，則Q為【解析】將函數(shù)f(x)=3sin(2x+Q)(|Q|<0個(gè)單位長(zhǎng)度后得到g(x)的圖象，【答案】B.5．酒駕嚴(yán)重危害交通安全．為了保障交通安全，交通法規(guī)定：機(jī)動(dòng)車(chē)駕駛?cè)嗣?00ml血液中酒精含量達(dá)到20~79mg為酒后駕車(chē)，80mg及以上為醉酒駕車(chē)．若某機(jī)動(dòng)車(chē)駕駛員飲酒后，其血液中酒精含量上升到了1.2mg/ml．假設(shè)他停止飲酒后，其血液中酒精含量以每小時(shí)20%的速度減少，則他能駕駛需要2取值范圍為【解析】由f'(x)=+得f'(1)=2即ax2【答案】B8x+12=0，點(diǎn)M(0,)．過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與圓C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B,則------MA+MB的取值范圍為------------------【解析】設(shè)AB的中點(diǎn)為點(diǎn)P，則MA+MB=2MP，由垂徑定理知CPLOP，則可得點(diǎn)P的軌跡E為以O(shè)C為直徑的圓（圓C內(nèi)部的圓?。敬鸢浮緿使得Tn<M恒成立的實(shí)數(shù)M的最小值為26n2)=x2n一2【答案】C3二、多項(xiàng)選擇題9．箱線(xiàn)圖是用來(lái)表示一組或多組數(shù)據(jù)分布情況資料的統(tǒng)計(jì)圖，因形似箱子而得名．在箱線(xiàn)圖中（如圖1箱體中部的粗實(shí)線(xiàn)表示中位數(shù)；中間箱體的上下底，分別是數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)（75%分位數(shù)）和下四分位數(shù)（25%分位數(shù)）；整個(gè)箱體的高度為四分位距；位于最下面和最上面的實(shí)橫線(xiàn)分別表示最小值和最大值（有時(shí)候箱子外部會(huì)有一些點(diǎn)，它們是數(shù)據(jù)中的異常值）．圖2為某地區(qū)2023年5月和6月的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)箱線(xiàn)圖．AQI值越小，空氣質(zhì)量越好；AQI值超過(guò)200，說(shuō)明污染嚴(yán)重．則A．該地區(qū)2023年5月有嚴(yán)重污染天氣.B．該地區(qū)2023年6月的AQI值比5月的AQI值集中.C．該地區(qū)2023年5月的AQI值比6月的AQI值集中.D．從整體上看，該地區(qū)2023年5月的空氣質(zhì)量略好于6月.【解析】對(duì)于A(yíng)選項(xiàng)可以從圖2所示中5月份有AQI值超過(guò)200的異常值得到判斷（也可以通過(guò)異常值結(jié)合觀(guān)察5月份的平均值高于中位數(shù)輔助判斷）；對(duì)于B，C選項(xiàng)，圖2中5月份的箱體高度比6月份的箱體高度小，說(shuō)明5月的AQI值比6月的AQI值集中；對(duì)于D選項(xiàng)，雖然5月有嚴(yán)重污染天氣，但從圖2所示中5月份箱體整體上比6月份箱體偏下且箱體高度小，AQI值整體集中于較小值，說(shuō)明從整體上看，該地區(qū)2023年5月的空氣質(zhì)量略好于6月.【答案】ACD10．已知拋物線(xiàn)E:y2=2px的焦點(diǎn)為F，從點(diǎn)F發(fā)出的光線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)P（原點(diǎn)除外）反射，則反射光線(xiàn)平行于x軸．經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且垂直于x軸的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)E于B,C兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且垂直于x軸的直線(xiàn)交x軸于Q；拋物線(xiàn)E在點(diǎn)P處的切線(xiàn)l與x,y軸分別交于點(diǎn)M,N，則下列說(shuō)法成立的是22A．PQ=BF.QFB．PQ=BC.OQ22C．PF=MFD．FN」l則A選項(xiàng)錯(cuò)誤，又BC=2p,OQ=x，則B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，如下圖所示，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線(xiàn)RH，與拋物線(xiàn)E的準(zhǔn)線(xiàn)KH交于點(diǎn)H，又題意所給拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)可得經(jīng)SPR=經(jīng)MPF，又經(jīng)MPF=經(jīng)HPM，即PM為經(jīng)HPF的角平分線(xiàn)，又由拋物線(xiàn)定義知PH=PF，結(jié)合PF=MF，可得菱形MFPH，而y軸經(jīng)過(guò)線(xiàn)段FH中點(diǎn)，從而PM與y軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)N，所以FN」l.【答案】BCD11．已知點(diǎn)S,A,B,C均在半徑為的球面上，ΔABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，SA」BC，SA=3，則三棱錐S-ABC的體積可以為() 3 3【解析】方法一：如圖，設(shè)三棱錐S-ABC的外接球球心為O，ΔABC的中心為O1，連接AO,SO,AO1，延長(zhǎng)AO1交BC于D，連接SD，則D是BC中點(diǎn)，所以BC」AD,又BC」SA，所以BC」平面SAD，又因SG的同側(cè)，則在Rt‘SAG5【答案】BC.O方法二：設(shè)三棱錐S-ABC的外接球球心為O，連接AO并延長(zhǎng)交大圓于F，過(guò)S作AD的垂線(xiàn)，垂直為G，可證得SG」面ABC（1）若點(diǎn)S在直線(xiàn)AF的上方，設(shè)經(jīng)SAF=c,經(jīng)FAG=β,則tanc=,tanβ=（2）若點(diǎn)S在直線(xiàn)AF的下方，則tanc=,tanβ=45=S‘ABC.SG=，故選BC.【答案】BC.三、填空題12．從0,2,4,6中任意取1個(gè)數(shù)字，從1,3,5中任意選2個(gè)數(shù)字，得到?jīng)]有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．在所組成的三位數(shù)中任選一個(gè)，則該數(shù)是偶數(shù)的概率為.【解析】若0在，則三位數(shù)有CA=12；若0不在，則三位數(shù)有CCA=54．所以沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有66個(gè)，其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)是CA=24個(gè)，所以在所組成的三位數(shù)中任選一個(gè)，是偶數(shù)的概率是244 【答案】 4【解析】由f(x+2)為偶函數(shù)，得f(2一x)=f(2+x)，用2+x代換x得f(2+x)+f(x)=一6故f(x+4)=f(x)所以4是y=f(x)的一個(gè)周期交E的兩漸近線(xiàn)分別于M,N兩點(diǎn),且OM」MN．若OM+MN一ON=a，則雙曲線(xiàn)E的離心率又OM+MNON=a，所以MNON=a，在直角ΔOMN中，利用勾股定理可得MN=所以tan2θ=4,3求得tanθ= 12（負(fù)值舍去），也即tanc= atanθ【答案】.4 36四、解答題(2)若BC=2，將射線(xiàn)BA和CA分別繞點(diǎn)B,C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15O,30O，旋轉(zhuǎn)后相交于點(diǎn)D(如圖所示)，且所以sinCsinA+sinAcosC又因?yàn)閟inB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC 12 12（2）在ΔABC中，由正弦定理得AC=sinACsin經(jīng)ABC=236于是，在ΔACD中，由余弦定理得：7（1）求證：平面PAB」平面ABCD；（2）若二面角P一BD一A的大小為120。，點(diǎn)E在棱PD上，且PE=2ED，求直線(xiàn)CE與平面PBC所成角的正弦值.【解析】（1）證明：由余弦定理得22又因?yàn)锳B（PB=B,AB,PB一平面PAB所以BD」面PAB又因?yàn)锽D一平面ABCD在平面PAB內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線(xiàn)，交AP于F由平面PAB」平面ABCD得BF」平面ABCD建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B一xyz8設(shè)直線(xiàn)CE與平面PBC所成角為θ17．某產(chǎn)品的尺寸與標(biāo)準(zhǔn)尺寸的誤差絕對(duì)值不超過(guò)4mm就視為合格品，否則視為不合格品.假設(shè)誤差服從正態(tài)分布且每件產(chǎn)品是否為合格品相互獨(dú)立.現(xiàn)隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品，誤差的樣本均值為0，樣本方差為4.用樣本估計(jì)總體.（1）試估計(jì)100件產(chǎn)品中不合格品的件數(shù)(精確到1)；（2）在（1）的條件下，現(xiàn)出售隨機(jī)包裝的100箱該產(chǎn)品，每箱均有100件產(chǎn)品.收貨方對(duì)每箱中產(chǎn)品均不放回地隨機(jī)抽取進(jìn)行檢驗(yàn)且箱與箱之間檢驗(yàn)相互獨(dú)立.每箱按以下規(guī)則判斷是否接受一箱產(chǎn)品：如果抽檢的第1件產(chǎn)品為不合格，則拒絕整箱產(chǎn)品；如果抽檢的第1件產(chǎn)品合格，則再抽1件，如果抽檢的第2件產(chǎn)品合格，則接受整箱產(chǎn)品，否則拒絕整箱產(chǎn)品.若整箱產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)后生產(chǎn)方獲利1000元；整箱產(chǎn)品被拒絕，則虧損89元，求該100箱產(chǎn)品利潤(rùn)的期望值.附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則P(μ一σ≤Z≤μ+σ)心0.6827,P(μ2σ≤Z≤μ+2σ)心0.9545,P(μ3σ≤Z≤μ+3σ)心0.9973.【解析】（1）分別用樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)正態(tài)分布的參數(shù)μ和σ,得產(chǎn)品的尺寸誤差X~N(0,22)，P(x<4)=P(μ2σ≤Z≤μ+2σ)心0.9545，因此估計(jì)這批產(chǎn)品的合格率為95.45%.所以估計(jì)100件產(chǎn)品中有100x0.0455=4.55心5件不合格品.···········································(69=+x=.···········································設(shè)100箱產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)的箱數(shù)為Z，則Z~B(100,). 設(shè)100箱該產(chǎn)品的利潤(rùn)為隨機(jī)變量X，則X=100ξ18．已知矩形ABCD中，AB=2,BC=2，E,F,G,H分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，以矩形中心O為原點(diǎn)，HF所在直線(xiàn)為x軸，EG所在直線(xiàn)為y軸，如圖建立平面直角坐標(biāo)系．直線(xiàn)HF,BC上的動(dòng)------------點(diǎn)R,S滿(mǎn)足OR=λOF,CS=λCF(------------(1)求直線(xiàn)ER與直線(xiàn)GS交點(diǎn)P的軌跡方程；(2)當(dāng)λ=一時(shí)，過(guò)點(diǎn)R的直線(xiàn)m（與x軸不重合）和點(diǎn)P的軌跡交于M,N兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作直線(xiàn)l:x=3的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)Q．設(shè)直線(xiàn)MQ與x軸交于點(diǎn)K，求ΔKMN面積的最大值.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)P(x,y)，R(xR,0)，S(,yS)14n直線(xiàn)GS:y=-λx+14n②由①②消去參數(shù)λ得(y+)(y-)=-x2當(dāng)λ=0時(shí)，得交點(diǎn)P(0,)；綜上：直線(xiàn)ER與直線(xiàn)GS交點(diǎn)P的軌跡方程：+（2）當(dāng)λ=-時(shí)，點(diǎn)R(-2,0)，過(guò)點(diǎn)R的直線(xiàn)m可設(shè)為x=ty-2(t子-)+3y2即(t2+3)y2-4ty-2=0設(shè)M(x1,y1),N(x1,y2)由題得Q(-3,y2)則直線(xiàn)MQ:y-y2=(x+3)又因?yàn)閤1=ty1-2,2ty1y2=-(y1+y2)，代入上式得：-y2(ty1-2)-3y1-ty1y2+2y2-3y1(y1+y2)+2y2-3y1xk=y1-y2=y1-y2=y1-y2-y1+y25y1-y22所以直線(xiàn)MQ過(guò)定點(diǎn)所以直線(xiàn)MQ過(guò)定點(diǎn)y1-y2=y1-y252-2+Sy1-y2=y1-y252-2+t2+1而6t2+1而6(t22334所以ΔKMN面積的最大值為419．已知函數(shù)f(x)=(x_a)ex_x,aeR，f,(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).（1）證明：f,(x)在(_偽,+偽)上有唯一零點(diǎn)x0；（2）設(shè)函數(shù)g(x)=(