數(shù)學(xué)-河北省2024屆高三下學(xué)期省級(jí)聯(lián)測考試（3月）試題和答案

2023—2024高三省級(jí)聯(lián)測考試數(shù)學(xué)試卷2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題上無效3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.}D.⑦A.-iB.--iC.+iD.-+i3323A-BC-D5.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l,P是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作l的垂線，垂足為Q，若直線QF的傾斜角為150，則PF=()41A.2B.C.D.3中一項(xiàng)，則在甲同學(xué)報(bào)的活動(dòng)其他同學(xué)不報(bào)的情況下，4位同學(xué)所報(bào)活動(dòng)各不相同的概率為()A.B.C.D.7.已知雙曲線C:-=1(a>0,b---1----------兩點(diǎn)，若PF2=3PQ，且PF2=F1F2---1----------A.2B.4C.6D.3(1+0.1),b=sin0.1,c=，則下列大小關(guān)系正確的是()求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分9.已知正數(shù)a,b滿足(a-1)(b-1)=1，則下列選項(xiàng)正確的是()2210.下列說法正確的是()A.若數(shù)據(jù)1,3,4,4,m的極差和平均數(shù)相等，則m=C.若X~N(60,52)，則P(X”60)=0.511.如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M,N分別是AB,AD的中點(diǎn)，P為線段C1D1上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A.存在點(diǎn)P，使得直線PM與直線AD1為異面直線B.存在點(diǎn)P，使得MN」PNC.若P為線段C1D1的中點(diǎn)，則三棱錐P-MNC1與三棱錐C1-MNB體積相等合計(jì)合計(jì)D.過M,N,P三點(diǎn)的平面截正方體所得截面面積的最大值為4線l的方程為.f(x1)+f(x2)=4，則Φ的取值范圍為.15.（本小題滿分13分）記‘ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知asinB-bcosA=b.（1）求A；（2）若a=2，求b-2c的范圍.16.（本小題滿分15分）2020年11月，國務(wù)院辦公廳印發(fā)《新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展規(guī)劃（2021—2035年）》，要求深入實(shí)施發(fā)展新能源汽車國家戰(zhàn)略，推動(dòng)中國新能源汽車產(chǎn)業(yè)高質(zhì)量可持續(xù)發(fā)展，加快建設(shè)汽車強(qiáng)國.新能源汽車是指采用非常規(guī)的車用燃料作為動(dòng)力來源（或使用常規(guī)的車用燃料、采用新型車載動(dòng)力裝置），綜合車輛的動(dòng)力控制和驅(qū)動(dòng)方面的先進(jìn)技術(shù)，形成的技術(shù)原理先進(jìn)、具有新技術(shù)、新結(jié)構(gòu)的汽車.為了了解消費(fèi)者對(duì)不同種類汽車的購買情況，某車企調(diào)查了近期購車的100位車主的性別與購車種類的情況，得到如下數(shù)據(jù)：單位：人性別購車種類新能源汽車傳統(tǒng)燃油汽車男20女50合計(jì)30（1）補(bǔ)全上面的列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷購車種類與性別是否有關(guān)；（2）已知該車企的A型號(hào)新能源汽車有紅、白、黑、藍(lán)四種顏色.現(xiàn)有三個(gè)家庭各計(jì)劃購買一輛A型號(hào)新能源汽車，記購買的汽車顏色相同的家庭個(gè)數(shù)為ξ,求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望.a0.100.050.0100.001xa2.7063.8416.63510.82817.（本小題滿分15分）（2）延長CC1到E，使C1E=C1C，求直線A1C與平面BDE所成角的正弦值.18.（本小題滿分17分）已知函數(shù)f(x)=-aex-sinx-1在區(qū)間(|（0,內(nèi)有唯一極值點(diǎn)x1，其中a=R,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；19.（本小題滿分17分）信息熵是信息論之父香農(nóng)（Shannon）定義的一個(gè)重要概念，香農(nóng)在1948年發(fā)表的論文《通信的數(shù)學(xué)理論》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量稱為“信息熵”，并給出了計(jì)算信息熵的數(shù)學(xué)**定義X的信息熵H(X)=-pilog2pi.（1）當(dāng)n=1時(shí)，計(jì)算H(X)；，判斷并證明當(dāng)n增大時(shí)，H(X)的變化趨勢(shì)；（3）若n=2m(me**)，隨機(jī)變量Y所有可能的取值為1,2,…,m，且2023—2024高三省級(jí)聯(lián)測考試數(shù)學(xué)參考答案題號(hào)123456789答案AABCBCDCACDCDBCD[命題意圖]本題考查知識(shí)點(diǎn)為集合的運(yùn)算、解不等式，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).故選A.[命題意圖]本題考查知識(shí)點(diǎn)為復(fù)數(shù)的運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)的概念，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).2[命題意圖]本題考查知識(shí)點(diǎn)為平面向量的線性運(yùn)算，考查了學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).4.C解析：因?yàn)閟in+2c=sin2+c+=cos2[命題意圖]本題考查知識(shí)點(diǎn)為三角函數(shù)公式，考查了學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).2(12)142(12)14[命題意圖]本題考查知識(shí)點(diǎn)為拋物線的定義，直線的傾斜角，考查了學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).6.C解析：設(shè)A=“甲同學(xué)報(bào)的活動(dòng)其他同學(xué)不報(bào)”，B=“4位同學(xué)所報(bào)活動(dòng)各不相同”，由題得[命題意圖]本題考查知識(shí)點(diǎn)為條件概率，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).QF(2c)2+(2c)2(2a+2c)24c28ac4a28c222D.[命題意圖]本題考查知識(shí)點(diǎn)為雙曲線的離心率，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).f,(x)=cosx，令f,(x)單調(diào)遞增.又f,(x)>0,f(x).故選C.[命題意圖]本題考查知識(shí)點(diǎn)為利用導(dǎo)數(shù)比較大小，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).9.ACD解析：對(duì)于A，由題可得ab=a+b，即+=1，故A22時(shí)，等號(hào)成立，故B不正確；對(duì)于C，a22[命題意圖]本題考查知識(shí)點(diǎn)為基本不等式，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).當(dāng)m<1時(shí)，4-m=，無解，故A不正確；對(duì)于B，由于7x80%=5.故D正確.故選CD.[命題意圖]本題考查知識(shí)點(diǎn)為數(shù)據(jù)的平均數(shù)、極差、百分位數(shù)以及正態(tài)分布、二項(xiàng)分布的計(jì)算，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).11.BCD解析：對(duì)于A，如圖，連接AD1,BC1，由正方體的性質(zhì)知，AB∥C1D1，所以A,B,C1,D1四點(diǎn)共面，PM,AD1仁平面ABC1D1，故A不正確；對(duì)于B，如圖，設(shè)CD的中點(diǎn)為Q，連接MQ,PQ,NQ，若P為C1D1的中點(diǎn)，則PQ」平面ABCD，又MN仁平面ABCD，所以PQ」MN，在‘NMQ中，MN=NQ==,MQ=1，所以MN+NQ=MQ，故MN」NQ，又PQ八NQ=Q,PQ,NQ仁平面NPQ，所以MN」平面又PN仁平面NPQ，所以MN」PN，故B正確；外，設(shè)點(diǎn)O到直線l的距離為d外，設(shè)點(diǎn)O到直線l的距離為d，由（BD=O，連接NO,MO,OC1，則幾何體xx（BD=O，連接NO,MO,OC1，則幾何體xxxx1=，又PC1FNOM為斜三棱柱，從而VPMNC=1VPCFNOM=V1對(duì)于D，如圖，因?yàn)檎襟w中心對(duì)稱（類比為球體，MN看作弦），故過MN的截面經(jīng)過正方體的對(duì)稱中心時(shí)所得截面面積最大，此時(shí)截面交棱DD1,BB1,B1C1于中點(diǎn)，P也為中點(diǎn)，取DD1的中點(diǎn)E,B1C1的中點(diǎn)F,BB1的中點(diǎn)G，連接NE,EP,PF,FG,GM，所以過M,N,P三點(diǎn)的平面截正方體所得截面面積最大時(shí)，截面形狀為正六邊形，面積為6xNM2=6xx=，故D正確.故選BCD.[命題意圖]本題考查知識(shí)點(diǎn)為立體幾何中線面位置關(guān)系，截面面積、錐體體積計(jì)算，考查了學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).[命題意圖]本題考查知識(shí)點(diǎn)為等差數(shù)列的定義，考查了學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).））3PO解析：由題意得圓心O(0,0)，半徑r=,PO PB PAPA=AB232d2=23||PO|2d2綜上，直線l的方程為x=1或y=45 [命題意圖]本題考查知識(shí)點(diǎn)為直線與圓的位置關(guān)系，考查了學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).[命題意圖]本題考查知識(shí)點(diǎn)為三角函數(shù)圖象的性質(zhì)，考查了學(xué)生的直觀想象、謾輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).15.解：（1）由正弦定理得，sinAsinB-sinBcosA=sinB， 12 12（2）因?yàn)?===，則b-2c=(sinB-2sinC)，(-4,2).[命題意圖]本題考查知識(shí)點(diǎn)為解三角形中的求角和取值范圍問題，考查了學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).16.解1）單位：人性別購車種類合計(jì)新能源汽車傳統(tǒng)燃油汽車男202040女5060合計(jì)7030零假設(shè)H0：購車種類與性別無關(guān)，X220,001，根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即購車種類與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001.（2）由題得ξ的可能取值為0,2,3，所以ξ的分布列為ξ023P38 [命題意圖]本題考查知識(shí)點(diǎn)為獨(dú)立性檢驗(yàn)、離散型隨機(jī)變量的分布列及期望，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).17.解1）證明：如圖，連接AC，與BD交于點(diǎn)O，連接A1B,A1D,A1O，因?yàn)椤瓵BD是等邊三角形，所以BD」AO，又因?yàn)锳O（A1O=O，所以BD」平面A1AO..ACAC.ACAC（2）過點(diǎn)A1作A1A2」AC，垂足為A2，由（1）可知，BD」平面A1AO.因?yàn)锳C（BD=O，所以A1A2」平面ABCD，因?yàn)槿忮FA1-ABD為正四面體，所以A2為ΔABD的重心，則AA2以O(shè)為原點(diǎn)，OA,OB所在直線分別為x軸，y軸，過點(diǎn)O垂直于底面ABCD的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.-,0,)，-2,0,2)，(7)(7)設(shè)平面BDE的法向量為=(a,b,c)，設(shè)直線A1C與平面BDE所成角為θ,---1n---19則sinθ=cos,==53，---1n---19所以直線A1C與平面BDE所成角的正弦值為.[命題意圖]本題考查知識(shí)點(diǎn)為立體幾何中的線面關(guān)系和利用空間向量解決空間角，考查了學(xué)生的直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).因?yàn)閒,(0)=-a-1,