備考2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及幾何意義

專題4.1導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及幾何意義

日題型目錄

題型一平均變化率和瞬時(shí)變化率

題型二導(dǎo)數(shù)的定義運(yùn)算

題型三導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

題型四求曲線切線的斜率（傾斜角）

題型五曲線上一點(diǎn)處的切線問題

題型六過一點(diǎn)的切點(diǎn)問題

題型七已知切線（斜率）求參數(shù)

題型八兩切線的平行、垂直問題

題型九公切線問題

題型一平均變化率和瞬時(shí)變化率

例L（北京市第十四中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中測試數(shù)學(xué)試卷）下圖是函數(shù)y=的圖象，函數(shù)在

區(qū)間[-1,1],[1,3]上的平均變化率分別為機(jī)-m2,則加一加2的大小關(guān)系是（

C.ml=m2D.無法確定

例2.（福建省2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期質(zhì)優(yōu)生“筑夢”聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）某鐵球在0C時(shí)，半徑為1dm.當(dāng)溫度在很小

的范圍內(nèi)變化時(shí)，由于熱脹冷縮，鐵球的半徑會發(fā)生變化，且當(dāng)溫度為fC時(shí)鐵球的半徑為（l+〃）dm,其中。為常

數(shù)，則在r=0時(shí)，鐵球體積對溫度的瞬時(shí)變化率為（）

4

A.0B.冗aC.一兀。D.4兀。

3

第二反三

練習(xí)1.（2023春?江西?高二校聯(lián)考期中）某汽車在平直的公路上向前行駛，其行駛的路程y與時(shí)間t的函數(shù)圖象如

圖.記該車在時(shí)間段土"］，也⑷，［4，。］，［彳4］上的平均速度的大小分別為G，%，%，久，則平均速度最小的

是（）

A.斗B.v2C.v3D.v4

練習(xí)2.（2023春?貴州?高三校聯(lián)考期中）函數(shù)〃%）=2/+1在區(qū)間［1,5］上的平均變化率為（）

A.2B.6C.12D.48

練習(xí)3.（2023春?上海嘉定?高三上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)校考期中）蜥蜴的體溫與陽光照射的關(guān)系近似滿足函數(shù)關(guān)系

170

式：7（'）=1+15,其中7（。為蜥蜴的體溫（單位：。0,1為太陽落山后的時(shí)間（單位：min）.

⑴求T'（10）,并解釋其實(shí)際意義；

⑵蜥蜴體溫的瞬時(shí)變化率為-rC/min時(shí)的時(shí)刻t是多少（精確到0.01）?

練習(xí)4.（2023春?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?高一?？奸_學(xué)考試）如圖，從上端口往一高為H的水缸勻速注入水，水注滿所用

時(shí)間為T.若當(dāng)水深為/z時(shí)，水注入所用時(shí)間為f,則函數(shù)//=/"）的圖像大致是（）

練習(xí)5.（2023春?浙江杭州?高三杭州四中校考期中）若小球自由落體的運(yùn)動方程為s（f）=gg產(chǎn)（g為常數(shù)），該小球

在f=l到7=3的平均速度為工，在f=2的瞬時(shí)速度為匕，則工和％的大小關(guān)系為7匕（填或“=”）

題型二導(dǎo)數(shù)的定義運(yùn)算

例3.（江西省部分學(xué)校2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）己知廣⑴=3,則加川+3A^）-）⑴=

A.1B.3C.6D.9

例4.若〃x）在/處可導(dǎo)，則/'■）可以等于（）.

A一/（/一於）B1由"與+?）一""°-A》）

2Y.11111

-Ax——oAx

Clim/（X。+2醺）一/（/一D.lim_2AX）

Ax->0Ax.f。Ax

舉一反三

練習(xí)6.（2023春?湖北武漢?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)/。）=工+1,則1而/"-3?-"1）=（）

X-

A.3B.—C.—D.0

33

練習(xí)7.（2023春?四川達(dá)州?高三?？计谥校┮阎瘮?shù)/（x）=lnx,貝Ijlim正上且@=________.

12X-2

練習(xí)8.(2023?高三課時(shí)練習(xí))如圖，函數(shù)y=/(x)的圖象在點(diǎn)尸處的切線方程是＞=-尤+8,則

練習(xí)9.(2023春?山東荷澤?高三統(tǒng)考期中)已知函數(shù)/(X)在x=—l處可導(dǎo)，且/個(gè)1)=-3,則

lim"T)r(T+AY)

)

313Ax

A.-3B.-1C.1D.3

sin2(x+h)—sin(2x)

練習(xí)10.(2023春?上海楊浦?高三上海市控江中學(xué)?？计谥?計(jì)算：；可)

h

A.0B.cos2xC.2cosxD.2cos2%

題型三導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

例5.(四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期期中聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷)函數(shù)/⑴=2工+sir?的導(dǎo)函數(shù)

為()

A.f\x)=2X-cosxB./'(%)=2*In2—cos%

C./'(N)=2"+cos%D.f\x)=2xln2+cosx

例6.(黑龍江省哈爾濱市第九中學(xué)校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷)求下列已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)

⑴/⑺=3'+/

5

⑵4%)=(-兀+5"

(3)f(x)=cos2x—sin2x

(

⑷〃尤)=ln3x)

2x+l

舉一反三

練習(xí)11.（2023春?江西?高三校聯(lián)考期中）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

小cos%

(1)y=~

sinX—cosx

⑵廣一融

練習(xí)12.（2023春?四川成都?高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（）

A.(cosx)=sinx

,1

C.(logX)=——

3xln3

練習(xí)13.（2023春?貴州遵義?高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)〃尤）=ln（2x）+/'。），貝！j/

練習(xí)14.（2023春?黑龍江哈爾濱?高三哈九中?？计谥校ǘ噙x）下列求導(dǎo)運(yùn)算錯(cuò)誤的是（）

A.(尤+』]=1+4

B.[(X+3)3]‘=3(X+3)2

Vxjx

C.(3")'=31nxD?(Vcosx)=-2尤sinx

練習(xí)15.（2023春?上海楊浦?高三上海市控江中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)y=lnx的導(dǎo)函數(shù)的定義域?yàn)?

題型四求曲線切線的斜率（傾斜角）

例7.（山東省荷澤市2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷）正弦曲線y=sinQ+^|在點(diǎn)處的切線斜率

是（）

A.--B.yC.D.近

2222

例8.（江蘇省無錫市四校2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）已知函數(shù)與g（尤）的部分圖象如圖所

A.1)<。5-1)B.0<r(-l)</(-1)

c.r(-i)<o<^(-i)D.r(3)>g'⑶

第二反三

練習(xí)16.（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)y=/（x）的圖象如圖所示，（（無）是函數(shù)“X）的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排

B.2/(3)<2/(5)</(5)-/(3)

C./(5)-/(3)<2/(3)<2/(5)D.2/(3)<2/(5)</(5)-/(3)

練習(xí)17.（2023春?山東淄博?高三沂源縣第一中學(xué)?？计谥校┤糁本€>=履+"與曲線y=lnx+，相切，則上的取值

X

范圍是（）

D.%8

A.-oolB.[4,+8)C.[-4,+8)

I4

練習(xí)18.（2023春.江西.高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)/■（*）的導(dǎo)函數(shù)為尸（X）,〃尤）的圖象如圖所示，則（）

A./'（玉）＞/'（々）＞廣（W）B.7'（%）＞/'（無3）＞/'（玉）

,

C.f'（x3）＞f（x2）＞f'（xl）D.尸（不）＞/'（￡）＞/（尤2）

練習(xí)19.（2。23秋?江蘇鹽城?高三江蘇省阜寧中學(xué)校聯(lián)考期末）已知點(diǎn)尸是曲線『二三上一動點(diǎn)、，,為曲線在點(diǎn)

產(chǎn)處的切線的傾斜角，則。的取值范圍是（）

2

練習(xí)20.（2023春?四川德陽?高三德陽五中校考階段練習(xí)）若曲線〃x）=ln%+—在％=1處的切線的傾斜角為a,則

x

sinla..

-----2--------9=（）

5cosa-sina

題型五曲線上一點(diǎn)處的切線問題

例9.（遼寧省錦州市遼西育明高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷）曲線y=?在點(diǎn)x=4處的切線

方程為（）

A.x-2y=0B.%—4y+4=0C.2x-y-6=0D.x-4y+12=0

例10.（四川省成都市蓉城高中聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三下期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷）已知f（x）=xlnx,則曲線

〉=/（冷在點(diǎn)（1,八1））處的切線方程為（）

A.x-y-l=0B.x-y-2=0

C.%+y—1=0D.x+y-2=0

舉一反三

練習(xí)21.(2023春?四川成都?高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中)已知〃x)=lnx,則曲線y=〃力在點(diǎn)(e,〃e))

處的切線方程為()

A.y=-xB.y=x

e

C.y=x+lD.y=-x--

練習(xí)22.(2023春?江蘇無錫?高三江陰市華士高級中學(xué)校聯(lián)考期中)已知函數(shù)/⑺=Inx+xVX1)，則〃尤)在。/⑴)

處的切線方程為.

練習(xí)23.(2023.陜西榆林.統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=x2_e“(aeR),若/'(x)的圖象在x=0處的切線與坐標(biāo)

軸圍成的三角形的面積為1,則。=()

A.gB.2C.±2D.±-

22

練習(xí)24.(2023?江西上饒?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/")=爐-2111》在點(diǎn)(1,〃1))處的切線方程為.

練習(xí)25.(2023?浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測)函數(shù)〃x)=cosx-sinx的圖象在點(diǎn)停處的切線方程為.

題型六過一點(diǎn)的切點(diǎn)問題

例H.(天津市南開大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期階段檢測數(shù)學(xué)試卷)曲線丫=上過點(diǎn)4(1,0)的切線方程

X

為.

例12.已知經(jīng)過點(diǎn)(-2,2)的兩條直線4均與曲線＞=/+相相切，若直線1的方程為y=2,則機(jī)的值為,

直線4的方程為.

第二反三

練習(xí)26.（2023?全國?模擬預(yù)測）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y=（x+2）e工的切線，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

練習(xí)27.（2023春?上海嘉定?高三上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┮阎€了（尤）=2尤3-3天，過點(diǎn)（0,0）作曲線的

切線，則切線方程.

練習(xí)28.（2023?海南海口?校聯(lián)考模擬預(yù)測）過x軸上一點(diǎn)尸億0）作曲線C:y=（x+3）e'的切線，若這樣的切線不存

在，則整數(shù)f的一個(gè)可能值為.

練習(xí)29.（2023春?江西?高三校聯(lián)考期中）（多選）過點(diǎn)尸（1,2）且與曲線y=〃x）=2x3相切的直線的方程為（）

A.6x+y-8=0B.6x-y-4=0C.3x-2y+l=0D,3x+2y-7=0

e

二,x>0

x

練習(xí)30.（2023?海南?統(tǒng)考模擬預(yù)測）己知函數(shù)〃x）=<,過點(diǎn)0（0,0）作曲線y=/（x）的切線，則切線的

ex八

—<0

x

條數(shù)為_______________

題型七已知切線（斜率）求參數(shù)

例13.（2023?廣西?統(tǒng)考模擬預(yù)測）己知曲線/（x）=ae'+sinx在點(diǎn)（0,〃0））處的切線與直線2x+y-4=0平行，則

實(shí)數(shù)。的值為.

例14.（2023?重慶?統(tǒng)考三模）已知直線。與曲線y=x+@相切，則實(shí)數(shù)。=（）

X

143

A.0B.-C.-D.-

252

舉一反三

練習(xí)31.（2023春?四川成都?高三某中學(xué)校考階段練習(xí)）已知曲線〃%）=尤3-左+3在點(diǎn)尸處的切線與直線

%+2y-1=0垂直，則尸點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

練習(xí)32.（2023春?安徽馬鞍山?高三馬鞍山二中?？茧A段練習(xí)）若曲線>=/+依+6在點(diǎn)（0/）處的切線方程為

%+y+2=0,則（）

A.4=1,Z?=2B.a=1,b=—2

C.a=—lib=2D.a=—lyb=—2

練習(xí)33.（2023?廣西南寧?南寧三中?？家荒＃┮阎本€V=x是曲線/（x）=lnx+a的切線，則。=（）

A.-1B.1C.-2D.2

練習(xí)34.（2023春?廣東深圳?高三紅嶺中學(xué)校考期中）（多選）已知點(diǎn)尸（1M）不在函數(shù)/（%）="的圖象上，且過點(diǎn)尸

能作兩條直線與〃刈的圖象相切，則。的取值可以是（）

A.y/2,B.—C.0D.—1

練習(xí)35.（2023?浙江金華?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)=/-依+1,過點(diǎn)P（2,0）存在3條直線與曲線y=/（x）相

切，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

題型八兩切線的平行、垂直問題

/、fInx,x>1

例15.（2023?河南?洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）己知曲線/（尤）=,,,過曲線上A,2兩點(diǎn)分別作

I—Inx,（nJ<x<1

曲線的切線交于點(diǎn)尸，APLBP.記A,8兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為七,%，則（）

A.gB.1C.-D.2

22

例16.（2022秋?河北邢臺?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)7'（x）=（a+￡|lnx+，x（a>0）.

⑴當(dāng)a=l時(shí)，求曲線〃力在x=2處的切線方程；

⑵當(dāng)此3時(shí)，曲線〃力上存在分別以A（x”/a））和3住，"々））為切點(diǎn)的兩條互相平行的切線，求的最大

值.

舉一反三

練習(xí)36.（2022秋?青海?高三青海師大附中?？茧A段練習(xí)）已知曲線y=/（x）存在兩條互相平行的切線，請寫出一個(gè)

滿足條件的函數(shù)：.

練習(xí)37.（2023?全國?高三專題練習(xí)）（多選）已知函數(shù)/（尤）=，一/+尤_1,則（）

A./（X）有兩個(gè)零點(diǎn)B.過坐標(biāo)原點(diǎn)可作曲線Ax）的切線

C./（x）有唯一極值點(diǎn)D.曲線上存在三條互相平行的切線

練習(xí)38.（2023春?安徽?高三安徽省太和中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）若函數(shù)〃x）=ln（2x+l）+2f—g+l）x的圖

象上不存在互相垂直的切線，則實(shí)數(shù)”的值可以是（）

A.-1B.1C.2D.3

練習(xí)39.（2022春.江蘇蘇州.高三蘇州市相城區(qū)陸慕高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)/（彳）=土￥竺+lnx,若/

（x）的圖象存在兩條相互垂直的切線，則。的值可以是（）

A.14B.13C.—2D.—1

練習(xí)40.（2023?高三校考課時(shí)練習(xí)）（多選）已知函數(shù)則下列說法正確的有（）

A.（。）=0時(shí)，a=-2B./（X）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增時(shí)，a>-2

C.時(shí)，有極值D.a<-2時(shí)，/（X）的圖象存在兩條相互垂直的切線

題型九公切線問題

例17.（2023春?四川綿陽?高三?？计谥校┤糁本€>=依+萬是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln（x+l）的切線,

貝|后=（）

A.2B.3C.1D.1.5

例18.（2022秋?四川綿陽?高三四川省綿陽江油中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若存在斜率為3a（?>0）的直線/與曲線

/（x）=gf+2辦-26與g（x）=3a」nx都相切，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為（）

3:

-ooe-ooe—e3,+cxD—e3,+oo

4432

舉一m

練習(xí)41.（2023春?陜西咸陽?高二?？计谥校┘褐獌汕€/。）=丁+依和g（x）=/+bx+c都經(jīng)過點(diǎn)尸（1,2）,且在點(diǎn)尸

處有公切線，試求。、b、c的值.

練習(xí)42.（2023春?江蘇南京?高三江蘇省漂水高級中學(xué)校考期中）已知直線、=區(qū)+8是曲線f（x）=e-與

g（元）=ex+2022-2022的公切線，貝IJ人=.

練習(xí)43.（2023春?福建廈門?高三廈門一中校考期中）寫出曲線〉=/-1與曲線y=ln（x+l）的公切線的一個(gè)方向向量

練習(xí)44.（2023?河北唐山?統(tǒng)考三模）已知曲線y=lnx與〉=依2（。＞0）有公共切線，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

練習(xí)45.（2023?湖北?統(tǒng)考模擬預(yù)測）（多選）若存在直線與曲線/（x）=V-x,g（尤）=/-/+°都相切，則。的值可

以是（）

A.0B.-立C.log2幣D.―+^

專題4.1導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及幾何意義

題型一平均變化率和瞬時(shí)變化率

題型二導(dǎo)數(shù)的定義運(yùn)算

題型三導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

題型四求曲線切線的斜率（傾斜角）

題型五曲線上一點(diǎn)處的切線問題

題型六過一點(diǎn)的切點(diǎn)問題

題型七已知切線（斜率）求參數(shù)

題型八兩切線的平行、垂直問題

題型九公切線問題

集練

—

題型一平均變化率和瞬時(shí)變化率

例L（北京市第十四中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中測試數(shù)學(xué)試卷）下圖是函數(shù)y=〃x）的圖象，函數(shù)在

區(qū)間［1,3］上的平均變化率分別為機(jī)-m2,則犯，叫的大小關(guān)系是（）

【答案】B

【分析】根據(jù)平均變化率定義直接計(jì)算即可.

2-114-2

【詳解】由題可知，嗎=1/八=不，加2=「T=L

1一（-1），3—1

所以叫〈利.

故選：B

例2.（福建省2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期質(zhì)優(yōu)生“筑夢”聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）某鐵球在0C時(shí)，半徑為1dm.當(dāng)溫度在很小

的范圍內(nèi)變化時(shí)，由于熱脹冷縮，鐵球的半徑會發(fā)生變化，且當(dāng)溫度為fC時(shí)鐵球的半徑為（l+"）dm,其中。為常

數(shù)，則在7=0時(shí)，鐵球體積對溫度的瞬時(shí)變化率為（）

4

A.0B.naC.—naD.4na

3

【答案】D

47r-2

【分析】根據(jù)題意，由球的體積公式可得V=￡（l+m）,求導(dǎo)即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意可得，當(dāng)溫度為tc時(shí)，鐵球的半徑為（l+m）dm,

其體積V=,求導(dǎo)可得V=fx3a（l+a。-=4域（1+成『,

當(dāng)1=0時(shí)，V'=4na,所以在f=0時(shí)，鐵球體積對溫度的瞬時(shí)變化率為4M.

故選:D

舉一

練習(xí)1.（2023春?江西?高二校聯(lián)考期中）某汽車在平直的公路上向前行駛，其行駛的路程y與時(shí)間r的函數(shù)圖象如

圖.記該車在時(shí)間段上"］，［54］，上的平均速度的大小分別為弓，%，7，%，則平均速度最小的

A.斗B.v2C.弓D.%

【答案】C

【分析】根據(jù)平均速度的定義和兩點(diǎn)求斜率公式，可得平均速度為經(jīng)過兩點(diǎn)所對應(yīng)直線的斜率，結(jié)合圖形即可求解.

【詳解】由題意知，汽車在時(shí)間也由WLHJJPi，。］的平均速度大小分別為i，E，E，E，

設(shè)路程y與時(shí)間r的函數(shù)關(guān)系為了=/⑺，

則匕=2即為經(jīng)過點(diǎn)（九/（。）），區(qū)"區(qū)））的直線的斜率左，

h~h

同理正為經(jīng)過點(diǎn)伉，/伉）），03，/&））的直線的斜率心，

Z為經(jīng)過點(diǎn)"3"&）），9"&））的直線的斜率上,

E為經(jīng)過點(diǎn)（4，7'&）），&"伉））的直線的斜率心，如圖,

由圖可知，網(wǎng)最小，即%最小.

故選：C.

練習(xí)2.（2023春?貴州?高三校聯(lián)考期中）函數(shù)/（%）=2/+1在區(qū)間［1,5］上的平均變化率為（）

A.2B.6C.12D.48

【答案】C

【分析】根據(jù)平均變化率的計(jì)算公式，結(jié)合函數(shù)f（無）的解析式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.

【詳解】根據(jù)平均變化率的計(jì)算公式，可得函數(shù)〃耳=2/+1在區(qū)間［1,5］的平均變化率為：

/（5）-/（D（2x52+l）-（2xl2+l）

==12.

5-1----------------4

故選：C.

練習(xí)3.（2023春?上海嘉定?高三上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？计谥校狎娴捏w溫與陽光照射的關(guān)系近似滿足函數(shù)關(guān)系

120

式：T⑺=萬？+15,其中T⑺為蜥蜴的體溫（單位：。0,7為太陽落山后的時(shí)間（單位：min）.

（1）求T'（10）,并解釋其實(shí)際意義；

⑵蜥蜴體溫的瞬時(shí)變化率為-TC/min時(shí)的時(shí)刻才是多少（精確到0.01）?

Q

【答案】（1）7'。0）=-5,實(shí)際意義見解析；

（2）5.95min.

【分析】（1）求出7。）的導(dǎo)數(shù)，代入x=10可求T'（10）,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋其實(shí)際意義;

（2）求解T'⑺=-1即可.

-120-1208

【詳解】（1）『3=則7'。。）=

^57(10+5)215,

O

表示太陽落山后lOmin,蜥蜴的體溫下降的速度為-巳。。/min.

（2）令T'（，）=?+5）2=-1,解得f=2而-5.2x5.477-5^5.95,

故蜥蜴體溫的瞬時(shí)變化率為-L℃/min時(shí)的時(shí)刻是5.95min.

練習(xí)4.（2023春?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?高一?？奸_學(xué)考試）如圖，從上端口往一高為"的水缸勻速注入水，水注滿所用

時(shí)間為T.若當(dāng)水深為時(shí)，水注入所用時(shí)間為則函數(shù)人=/（。的圖像大致是（）

【分析】將容器看做一個(gè)球體，根據(jù)？的實(shí)際意義求解.

Ar

【詳解】將容器看做一個(gè)球體，在剛開始注水時(shí)，由于球體的截面積較小，對于相同的加時(shí)間，

高度M的變化較大，即后較大，即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值較大，到水注入球體的一半

時(shí)，由于球體的截面積較大，/??）的變化率較小，接近于球體的頂端時(shí)，的變化率又較大；

故選：D.

練習(xí)5.（2023春?浙江杭州?高三杭州四中?？计谥校┤粜∏蜃杂陕潴w的運(yùn)動方程為s（f）=gg產(chǎn)（g為常數(shù)），該小球

在t=l到t=3的平均速度為3,在7=2的瞬時(shí)速度為丫2,貝相和打的大小關(guān)系為1%（填或“=”）

【答案】=

【分析】根據(jù)給定條件，利用平均速度和瞬時(shí)速度的意義，求出［和乙即可作答.

【詳解】小球自由落體的運(yùn)動方程為s（t）=gg產(chǎn)，求導(dǎo)得s'?）=gf,

則小球在f=1至IJf=3的平均速度-_S（3）—s⑴一5g

V——=2g

3-12

在《=2的瞬時(shí)速度％=s'（2）=2g,

所以V=%.

故答案為：—

題型二導(dǎo)數(shù)的定義運(yùn)算

例3.(江西省部分學(xué)校2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷)已知尸⑴=3,則lim〃"的)-)⑴=

A.1B.3C.6D.9

【答案】D

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義式以及極限的性質(zhì)可求答案.

【詳解】Hm正竺3=3癡任匈H=3〃l)=9.

故選：D.

例4.若/(x)在/處可導(dǎo)，則/'(%)可以等于().

B.-Ax）

2A1.?11111一

-Ax—f。Ax

cHmf+2Ax）-/A-Ax）D.［加/（尤°+盤）一"/一2八）

-AxAxfOAx

【答案】A

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義對各選項(xiàng)逐一分析計(jì)算并判斷得出結(jié)果.

【詳解】由導(dǎo)數(shù)定義廣(%)=,%>(/+年一/(/),

對于A,八七)-螞x「(x°-Ax)一螞-------瓦-------，人胸足;

對于B,，（°）妗。（x0+Ax）-（x0-Ax）-2。2Ax

小戶如小。+’「。3,B不滿足;

f（玉+2-）-/（王一?）lim于（%+2囚）-〃龍0—

對于c,/,（x）=lim

'0/Ar—

（無。+2Ax）-（x0-Ar）-3Ax

,國戶口"2Al小…),c不滿足;

.“X。+板）-7（4-2Ar）

對于D,

小)逸陪能聾若―3Ax

/（x0）=Lim/0。+人）一〃々一2機(jī)）,口不滿足.

3-Ax

故選：A.

舉一反三

練習(xí)6.（2023春?湖北武漢?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)/。）=,+1,則lim凡二/匕幽=（

)

xAx

A.3B.--C.-D.0

33

【答案】A

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義以及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式求解.

【詳解】因?yàn)閘im7（—Ax）-/⑴=_3lim/（1-3Ax）-1⑴=_3/⑴，

-°Ax——3Ax

因?yàn)椤福ㄔ?一3,所以/'⑴=一1,所以一3/⑴=3,

故選:A.

練習(xí)7.（2023春四川達(dá)州?高三?？计谥校┮阎瘮?shù)〃x）=lnx,則理.

【答案】1/0.5

【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的定義及求導(dǎo)公式求出答案.

【詳解】由題意知皿）q,理省等L業(yè)

故答案為：a

練習(xí)8.（2023?高三課時(shí)練習(xí)）如圖,函數(shù)＞=的圖象在點(diǎn)尸處的切線方程是＞=-尤+8,則

i.m/(5+Ax)-f(5-Ar)

【答案】D

【分析】依題意可知切點(diǎn)坐標(biāo)，由切線方程得到了'（5）=-1,利用導(dǎo)數(shù)的概念解出即可.

【詳解】依題意可知切點(diǎn)P（5,3）,

函數(shù)y=/（尤）的圖象在點(diǎn)尸處的切線方程是y=f+8,

尸（5）=-1,即lim/（5+Ax）〃5）=_]

-Ax

...Km〃5+Ar）-〃5-M2]加〃5+Ax）-〃5-Ar）

-。Ax-o2Ax

又Hm/（5+&）-〃5-&）=Hm〃5+&）-/⑸=」

-2Ax-Ax

；.lim/（5+"/（53）=2lim〃5+Ar）-/（5Ar）=_2

Ax-。2Ax

即HmZ（5±M-Z（5-Ax）=_2

-Ax

故選：D.

練習(xí)9.（2023春?山東荷澤?高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)/（X）在x=-l處可導(dǎo)，且用」）=-3,則

lim（旦二七葉”（）

川3Ax）

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】C

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可得定義1）=,["-1+弋一"—11=-3,再根據(jù)極限的性質(zhì)計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)〃x）在尤=-1處可導(dǎo)，且用-1）=-3,

所以「㈠尸""等?一

1

——X（一3）=1.

所以山卜汕「㈠弋一3

故選：C

Sm2（%+/7）Sm（2x）

練習(xí)10.（2023春?上海楊浦?高三上海市控江中學(xué)校考期中）計(jì)算：lim；~=（）

20h

A.0B.cos2xC.2cosxD.2cos2%

【答案】D

【分析】變換得到lim電曳駕二迎02=2（sin2x）',計(jì)算得到答案.

【詳解】設(shè)〃%）=sin（2x）

limsin2（x+/z）-sin（2x）=/（—⑺=/（尤）=（劍2尤）'=2cos2x.

20h2。hV7V7

故選：D.

題型三導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

例5.(四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期期中聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷)函數(shù)/⑴=2工+si型的導(dǎo)函數(shù)

為()

A.f\x)=2X—cosxB.=2xln2—cosx

C.f\x)=2X+cosxD./'(%)=2*In2+cos%

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求解作答.

【詳解】函數(shù)/(x)=2,+sirw,求導(dǎo)得廣(x)=2，ln2+cos%.

故選：D

例6.(黑龍江省哈爾濱市第九中學(xué)校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷)求下列已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)

⑴〃x)=3'+f

5

⑵=(―x+5>

(3)/(x)=cos2x—sin2x

ln(3x)

(4)/("=

2x+l

【答案】⑴3"ln3+2x

5-

(2)--(-x+5)3

(3)-2sin2x

2x+l-2xln(3x)

⑷-x(2x+iy-

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可逐一求解.

【詳解】(1)/'(x)=3'ln3+2x

5-5-

3

(2)(x)=§(—尤+5](一尤+5)'=—§(-x+5)

(3)/'(X)=2cosx(cosx)-2sin尤(sinx)=-2sinxcosx-2sinxcos尤=-2sin2x

(4),往—.(2x+l)-21n(3x)2x+1-2xln(3.r)

/⑴-(2x+l)2--x(2x+l)2

舉一反三

練習(xí)11.(2023春?江西?高三校聯(lián)考期中)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

cosx

⑴產(chǎn).

sinx-cosx

(2)/=心m|.

]

【答案】⑴一

(sinx-cos尤J

⑵（4尤?+11+1

【分析】（1）利用商的求導(dǎo)法則可得答案；

（2）利用積的求導(dǎo)法則以及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得答案.

-sinx(sin%—cosx)-(cosx+sinx)cosx]

【詳解】（1）y

(sinx-cosx)2(sinx-cosx)2

2%2+122x2+1

（2）y=已2-1+%（2爐+1je=（4x+l）e.

練習(xí)12.（2023春?四川成者B?高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（

A.(cos%)=sinx

c-皿'=七

【答案】c

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式判斷各項(xiàng)正誤即可.

f,[

【詳解】由(cosx)'=-sin無，(2，)=2,In2,(logx)=-

35T

所以A、B、D錯(cuò)，C對.

故選：C

練習(xí)13.（2023春.貴州遵義.高三?？茧A段練習(xí)）己知函數(shù)/■（尤）=ln（2x）+/⑴，則/

【答案】1

【分析】求解導(dǎo)函數(shù)，即可得尸（1）=1,于是可得函數(shù)解析式，從而可求解的值.

【詳解】已知函數(shù)/（%）=ln（2x）+/⑴，貝|］尸（x）=*x2=f所以/"）=1

則/（x）=ln（2x）+l,故d￡|=lnl+l=l.

故答案為：L

練習(xí)14.（2023春?黑龍江哈爾濱?高三哈九中?？计谥校ǘ噙x）下列求導(dǎo)運(yùn)算錯(cuò)誤的是（）

B.[(x+3)3]'=3(尤+3)2

C.（3'）=31nxD.（x%osx）=-2xsinx

【答案】ACD

【分析】根據(jù)基本函數(shù)的求導(dǎo)公式以及求導(dǎo)法則即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.

【詳解】對于A,二+』］=1-A,故A錯(cuò)誤，

X）X

對于B,［（X+3）3］‘=3（x+3>,故B正確，

對于C,（3"）'=3，ln3，故C錯(cuò)誤，

對于D,（Ycosx）=2xcosx-x2sinx>故D錯(cuò)誤，

故選：ACD

練習(xí)15.（2023春?上海楊浦?高三上海市控江中學(xué)校考期中）函數(shù)y=lnx的導(dǎo)函數(shù)的定義域?yàn)?

【答案】（0,+8）

【分析】確定函數(shù)定義域，再求導(dǎo)確定導(dǎo)函數(shù)定義域得到答案.

【詳解】y=lnx,函數(shù)定義域?yàn)椋?,+動，V=p導(dǎo)函數(shù)需滿足xwO,

綜上所述：導(dǎo)函數(shù)定義域?yàn)椋?,+"）.

故答案為：（0,+8）.

題型四求曲線切線的斜率（傾斜角）

例7.（山東省荷澤市2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷）正弦曲線y=在點(diǎn)處的切線斜率

是（）

A.--B.1C.-3D.2

2222

【答案】B

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得切線的斜率.

【詳解】對函數(shù)y=sin（x+2求導(dǎo)得了=cos1x+。,

所以，正弦曲線y=sin、+"在點(diǎn)/g處的切線斜率是j=；

故選：B.

例8.（江蘇省無錫市四校2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）已知函數(shù)“力與g（