山東省淄博市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期高二教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每個(gè)小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共5分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角是（）A.0 B.C. D.不存在【答案】C【解析】【分析】利用直線傾斜角的定義即可得解.【詳解】因?yàn)橹本€與軸垂直，因此直線的傾斜角是．故選：C．2.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】把拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，再求出其準(zhǔn)線方程即得.【詳解】拋物線方程化為，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選：B3.過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線垂直滿(mǎn)足的斜率關(guān)系，即可由點(diǎn)斜式求解.【詳解】直線的斜率為，所以與直線垂直的直線斜率為，故由點(diǎn)斜式可得，即，故選：B4.甲乙兩人參加面試答辯，假設(shè)甲乙面試互不影響，且他們面試通過(guò)的概率分別為，，則兩人中至少有一人通過(guò)的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用相互獨(dú)立事件及對(duì)立事件的概率公式求解即得.【詳解】依題意，兩人中至少有一人通過(guò)的概率為.故選：A5.直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，以線段為直徑的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線方程求出A，B點(diǎn)的坐標(biāo)，法一：利用圓的直徑式方程直接求得；法二：求出AB中點(diǎn)即為圓心，AB長(zhǎng)的一半為半徑，利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程直接寫(xiě)出，再化為一般方程即可.【詳解】由題：法一：根據(jù)圓的直徑式方程可以得到：以線段AB為直徑的圓的方程為，即，故選：B.法二：AB中點(diǎn)為(2,1)，故以線段AB為直徑的圓的圓心為(2,1)，半徑為，所以圓的方程為，展開(kāi)化簡(jiǎn)得：，故選：B.6.如圖，在四面體中，分別為的中點(diǎn)，為的重心，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，將用表示即可.【詳解】因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)闉榈闹匦?，所以，所?故選：B.7.已知正方體，若是棱的中點(diǎn)，則異面直線和夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征，利用幾何法求出異面直線夾角的余弦值.【詳解】令正方體的棱長(zhǎng)為2，連接，則，四邊形是正方體的對(duì)角面，則四邊形是矩形，即，因此是異面直線和所成的角，在等腰中，，所以異面直線和夾角的余弦值為.故選：D8.雙曲線C：的左、右頂點(diǎn)分別為，，左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作直線與雙曲線C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn).若，且，則直線與的斜率之積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，利用雙曲線定義推出相關(guān)線段的長(zhǎng)，進(jìn)而在和中利用余弦定理，求出以及，繼而求得，再結(jié)合雙曲線方程推出，即可求得答案.【詳解】由題意結(jié)合雙曲線定義可知，且，不妨設(shè)，則，，，.在中，，由余弦定理得，即，即，解得.在中，由余弦定理得，即，即，結(jié)合，即得，故得，即.又可設(shè)，則，而，故，故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于根據(jù)所給，分別在和中利用余弦定理，求出，繼而求得，再結(jié)合雙曲線方程推出，即可求解.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則（）A. B.拋物線的準(zhǔn)線為直線C. D.的面積為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義以及焦半徑的長(zhǎng)度求出值判斷AB；求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)判斷；求出的面積判斷D.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線為直線，過(guò)點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線垂足為，由拋物線的定義知，解得，則拋物線的方程為，準(zhǔn)線為直線，A正確，B錯(cuò)誤；將代入拋物線方程，解得，C錯(cuò)誤；焦點(diǎn)，點(diǎn)，即，則，D正確.故選：AD10.若，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.事件與相互獨(dú)立C.事件與不互斥 D.【答案】BC【解析】【分析】利用對(duì)立事件概率計(jì)算判斷A；利用相互獨(dú)立事件的定義判斷B；利用互斥事件的意義判斷C；利用概率的基本性質(zhì)計(jì)算判斷D.【詳解】對(duì)于A，由，得，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，，，得，事件與相互獨(dú)立，B正確；對(duì)于C，由，得事件與可以同時(shí)發(fā)生，則事件與不互斥，C正確；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.故選：BC11.點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，則（）A.最小值為3 B.的最大值為7C.兩個(gè)圓心所在的直線斜率為 D.兩個(gè)圓相交弦所在直線的方程為【答案】ABC【解析】【分析】分別找出兩圓的圓心和的坐標(biāo)，以及半徑和，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出兩圓心間的距離，根據(jù)大于兩半徑之和，得到兩圓的位置關(guān)系是外離，又為圓上的點(diǎn)，為圓上的點(diǎn)，便可求出其最值，用斜率公式求出.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)，半徑圓，即的圓心坐標(biāo)，半徑∴圓心距又在圓上，在圓上則的最小值為，最大值為．故A、B正確；兩圓圓心所在的直線斜率為，C正確；圓心距大于兩圓半徑和，兩圓外離，無(wú)相交弦，D錯(cuò)誤.故答案為：ABC12.已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P滿(mǎn)足，，，（P，B，D，四點(diǎn)不重合），則下列說(shuō)法正確的是（）．A.當(dāng)時(shí)，的最小值是1B.當(dāng)，時(shí)，∥平面C.當(dāng)，時(shí)，平面平面D.當(dāng)，時(shí)，直線與平面所成角的正切值的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A：根據(jù)空間向量分析可知點(diǎn)在平面內(nèi)，利用等體積法求點(diǎn)到平面的距離；對(duì)于B：根據(jù)空間向量分析可知點(diǎn)在直線上，根據(jù)線面平行的判定定理分析判斷；對(duì)于C：根據(jù)空間向量分析可知點(diǎn)為取的中點(diǎn)，結(jié)合線面垂直關(guān)系分析證明；對(duì)于D：根據(jù)空間向量分析可知點(diǎn)在平面內(nèi)，根據(jù)線面夾角的定義結(jié)合基本不等式分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，即，則，可得，則，可知點(diǎn)在平面內(nèi)，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，可知，由可得，解得，所以的最小值是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)，時(shí)，則，可得，則，由正方體的性質(zhì)可知：∥，且，則為平行四邊形，可得∥，且，即，則，可知點(diǎn)在直線上，直線即為直線，且∥，平面，平面，所以∥平面，即∥平面，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)，時(shí)，則，取的中點(diǎn)，可得，可知點(diǎn)即為點(diǎn)，因?yàn)槠矫妫矫?，則，設(shè)，連接，可知，，平面，所以平面，且平面，可得，同理可得：，且，平面，所以平面，又因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則∥，可得平面，且平面，所以平面平面，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)，時(shí)，則，可知點(diǎn)在平面內(nèi)，因?yàn)槠矫妗纹矫?，則直線與平面所成角即為直線與平面所成的角，因?yàn)槠矫?，則直線與平面所成的角為，可得，又因?yàn)?，即，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，可知的最小值為，則的最大值，所以直線與平面所成角的正切值的最大值為，故D正確；故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，結(jié)合向量共線或共面的判定定理確定點(diǎn)的位置，方可結(jié)合立體幾何相關(guān)知識(shí)分析求解.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.從2至6的5個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為_(kāi)_________.【答案】##0.6【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用列舉法結(jié)合古典概率公式計(jì)算即得.【詳解】從2至65個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同數(shù)的試驗(yàn)的樣本空間為：（交換數(shù)字位置算一種情況），共10個(gè)樣本點(diǎn)，所取2個(gè)數(shù)互質(zhì)的事件，共6個(gè)樣本點(diǎn)，所以這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為.故答案為：14.經(jīng)過(guò)兩條直線的交點(diǎn)，且直線的一個(gè)方向向量的直線方程為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】求出交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線的方向向量得到直線方程.【詳解】，解得，故交點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)橹本€的一個(gè)方向向量，所以直線方程為，即.故答案為：15.為矩形所在平面外一點(diǎn)，平面，若已知，，，則點(diǎn)到的距離為_(kāi)_．【答案】##【解析】【分析】方法一：過(guò)作，交于，連結(jié)，則可得是點(diǎn)到的距離，然后求解即可，方法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可【詳解】方法一矩形中，，，，過(guò)作，交于，連結(jié)，平面，平面，，又，，平面，∵平面，，即是點(diǎn)到的距離，，，，點(diǎn)到的距離為．方法二∵平面，平面，∴，∵∴三線兩兩垂直，∴以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，，，，點(diǎn)到的距離為故答案為：16.已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，以為圓心且過(guò)橢圓左頂點(diǎn)的圓與直線相切．P為橢圓上一點(diǎn)，I為的內(nèi)心，且，則的值為_(kāi)_____．【答案】##1.5【解析】【分析】根據(jù)題意利用點(diǎn)到直線的距離公式求出橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用三角形內(nèi)接圓與三角形面積的關(guān)系列式，結(jié)合橢圓定義即可求出答案.【詳解】設(shè)，，為圓心且過(guò)橢圓左頂點(diǎn)的圓的半徑為，根據(jù)題意可知，解得設(shè)的內(nèi)接圓半徑為r，則，，故，化簡(jiǎn)可得，即，解得故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.如圖，在三棱柱中，分別是上的點(diǎn)，且.設(shè).（1）試用表示向量；（2）若，求的長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量加減法及向量數(shù)乘的幾何意義，基底法表示；（2）利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解向量的模.【小問(wèn)1詳解】，又，，，∴．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，．，，，?8.已知圓的圓心在直線上，與直線相切于點(diǎn).（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，若的面積為，求該直線的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑所在直線方程，再求出圓心坐標(biāo)即可得解.（2）根據(jù)給定條件，利用點(diǎn)到直線的距離公式及弦長(zhǎng)公式，列式計(jì)算即得.【小問(wèn)1詳解】依題意，過(guò)點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為，則圓的圓心在直線上，由，解得，即點(diǎn)，因此圓的半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，則點(diǎn)到直線的距離，，于是的面積，解得或，所以直線的方程為或，即或.19.已知橢圓，一組平行直線的斜率是.（1）當(dāng)它們與橢圓相交時(shí)，證明這些直線被橢圓截得線段的中點(diǎn)在同一條直線上；（2）這組直線中經(jīng)過(guò)橢圓上焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)這組平行直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理求得弦中點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷得解.（2）求出橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)及直線的方程，再利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算即得.【小問(wèn)1詳解】設(shè)這組平行直線的方程為，則，消去y得，由，得，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，則，因此這組平行直線與橢圓交點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，顯然點(diǎn)始終直線上，所以這些直線被橢圓截得的線段的中點(diǎn)在同一條直線上.【小問(wèn)2詳解】橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由對(duì)稱(chēng)性，不妨取焦點(diǎn)，直線，設(shè)，由（1）知，，所以..20.某高校自主招生考試分筆試與面試兩部分，每部分考試成績(jī)只記“通過(guò)”與“不通過(guò)”，兩部分考試都“通過(guò)”者，則考試“通過(guò)".并給予錄取.甲?乙兩人都參加此高校的自主招生考試，甲?乙兩人在筆試中“通過(guò)”的概率依次為，在面試中“通過(guò)”的概率依次為，筆試和面試是否“通過(guò)”是獨(dú)立的.（1）甲?乙兩人誰(shuí)獲得錄取的可能性大？請(qǐng)說(shuō)明理由：（2）求甲?乙兩人中至少有一人獲得錄取的概率.【答案】（1）甲獲得錄取的可能性大，理由見(jiàn)解析，（2）【解析】【分析】（1）由相互獨(dú)立事件概率乘法公式分別計(jì)算甲乙兩人被錄取的概率，再比較即可，（2）甲?乙兩人中至少有一人獲得錄取包括3種情況：甲被錄取乙沒(méi)被錄取，甲沒(méi)被錄取乙被錄取，甲?乙都被錄取，求出每種情況的概率，再利用互斥事件的概率加法公式可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】記“甲通過(guò)筆試”為事件，“甲通過(guò)面試”為事件，“甲獲得錄取”為事件，“乙通過(guò)筆試”為事件，“乙通過(guò)面試”為事件，“乙獲得錄取”為事件，則由題意得，筆試和面試是否“通過(guò)”是獨(dú)立的，所以,,因?yàn)?，即，所以甲獲得錄取的可能性大【小問(wèn)2詳解】記“甲?乙兩人中至少有一人獲得錄取”為事件，則由題意得所以甲?乙兩人中至少有一人獲得錄取的概率為.21.如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是線段的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，求平面與平面夾角的大小；（3）若線段上總存在一點(diǎn)，使得，求的最大值.【答案】（1）證明負(fù)了解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）設(shè)與交于點(diǎn)，連接，結(jié)合平行四邊形的判定性質(zhì)，再利用線面平行的判定定理推理即得.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用面面角的向量法求解即得.（3）由（2）的信息，利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示建立函數(shù)求解即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，連結(jié)，，矩形中，是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則，，于是為平行四邊形，則，又平面，平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】由平面平面，，平面平面，平面，得平面，又，則直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立如空間直角坐標(biāo)系，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，由，得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，則，解得，所以平面與平面夾角的大小為.【小問(wèn)3詳解】由（2）知，，則，，設(shè)，則，，于是，由，得，即，因此，又，所以，即的最大值