2022-2023學(xué)年廣東省汕尾市甲東中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析

2022-2023學(xué)年廣東省汕尾市甲東中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若某市8所中學(xué)參加中學(xué)生合唱比賽的得分用莖葉圖表示（如圖），其中莖為十位數(shù)，葉為個位數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A．91 B．91.5 C．92 D．92.5參考答案：B【考點】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】把莖葉圖中的數(shù)據(jù)按照大小順序排列，求出這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)即可．【解答】解：根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，按照大小順序排列為，87、88、90、91、92、93、94、97；∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是=91.5．故選：B．【點評】本題考查了利用莖葉圖中的數(shù)據(jù)求中位數(shù)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．2.若命題“”為假，且“”為假，則（

）A.“”為假

B.假

C.真 D.不能判斷的真假參考答案：B略3.一質(zhì)點做直線運動,由始點起經(jīng)過后的距離為,則速度為零的時刻是

（

）A.4s末

B.8s末

C.0s與8s末

D.0s,4s,8s末參考答案：D4.按照程序框圖(如右圖)執(zhí)行，第4個輸出的數(shù)是（

）A．4 B．5

C．6 D．7參考答案：D5.（本題滿分11分）設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－x2＋ax．(Ⅰ)函數(shù)f(x)在（11,2012）內(nèi)單調(diào)遞減，求a范圍；(Ⅱ)若實數(shù)a滿足1＜a≤2，函數(shù)g(x)＝4x3＋3bx2－6(b＋2)x(b∈R)的極小值點與f(x)的極小值點相同，求證：g(x)的極大值小于等于10．參考答案：(Ⅰ)解：f′(x)＝x2－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)．由題意2012≤a…………4分【其他方法酌情給分】(Ⅱ)(Ⅱ)解：f′(x)＝x2－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)．由于a＞1，所以f(x)的極小值點x＝a，則g(x)的極小值點也為x＝a．……6分而g′(x)＝12x2＋6bx－6(b＋2)＝6(x－1)(2x＋b＋2)，所以，即b＝－2(a＋1)．又因為1＜a≤2，……8分所以

g(x)極大值＝g(1)＝4＋3b－6(b＋2)Ks*5u＝－3b－8＝6a－2≤10．故g(x)的極大值小于等于10．…………11分略6.若a＞1，則的最小值是（）A．2 B．a(chǎn) C．3 D．參考答案：C【考點】基本不等式．【分析】將變形，然后利用基本不等式求出函數(shù)的最值，檢驗等號能否取得．【解答】解：因為a＞1，所以a﹣1＞0，所以=當(dāng)且僅當(dāng)即a=2時取“=”故選C7.在中，若，則的形狀一定是(

)A.等腰三角形

B.直角三角形C.等腰直角三角形

D.等邊三角形參考答案：A略8.拋物線的準(zhǔn)線方程是（

）(A)

（B）y＝2

（C）

（D）y=4參考答案：B略9.拋物線y2=4x的焦點為F，點A（3，2），P為拋物線上一點，且P不在直線AF上，則△PAF周長的最小值為（

）A.4 B.5 C. D.參考答案：C【分析】求周長的最小值，即求的最小值，設(shè)點在準(zhǔn)線上的射影為點，則根據(jù)拋物線的定義，可知，因此問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，根據(jù)平面幾何知識，當(dāng)、、三點共線時，最小，即可求出的最小值，得到答案?！驹斀狻坑蓲佄锞€為可得焦點坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為：，由題可知求周長的最小值，即求的最小值，設(shè)點在準(zhǔn)線上的射影為點，則根據(jù)拋物線的定義，可知，因此求的最小值即求的最小值，根據(jù)平面幾何知識，當(dāng)、、三點共線時，最小，所以又因為，所以周長的最小值為，故答案選C【點睛】本題考查拋物線的定義，簡單性質(zhì)的應(yīng)用，判斷出、、三點共線時最小，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題。10.集合，，若，則實數(shù)的范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)點為函數(shù)與圖象的公共點，以為切點可作直線與兩曲線都相切，則實數(shù)的最大值為

▲

．參考答案：略12.雙曲線的離心率為，且與橢圓=1有公共焦點，則該雙曲線的方程為．參考答案：【考點】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（a＞0，b＞0），由已知得，由此能求出雙曲線的方程．【解答】解：∵雙曲線的離心率為，且與橢圓=1有公共焦點，∴雙曲線的焦點坐標(biāo)為，，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（a＞0，b＞0），∴，解得a=2，c=，b=1，∴該雙曲線的方程為．故答案為：．【點評】本題考查雙曲線方程的求法，是中檔題，解題時發(fā)認(rèn)真審題，注意雙曲線性質(zhì)的合理運用．13.如圖，在一個面積為8的矩形中隨機撒一粒黃豆，若黃豆落到陰影部分的概率為，則陰影部分的面積為．參考答案：2【考點】幾何概型．【分析】設(shè)陰影部分的面積為x，由概率的幾何概型知陰影部分面積為矩形面積的，由此能求出該陰影部分的面積．【解答】解：設(shè)陰影部分的面積為x，由概率的幾何概型知，則=，解得x=2．故答案為：2．【點評】本題考查概率的性質(zhì)和應(yīng)用；每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概型，可以用來求不規(guī)則圖形的面積．14.如果三個球的表面積之比是，那么它們的體積之比是__________．參考答案：∵三個球的表面積之比是，∴三個球的半徑之比是，∴三個球的體積之比是．15.程序框圖（即算法流程圖）如圖所示，其輸出結(jié)果是

.參考答案：12716.已知向量，.若，則k=

．參考答案：

2

17.在數(shù)列{an}中，已知a1+a2+…+an=2n﹣1，則an=．參考答案：2n﹣1【考點】數(shù)列遞推式．【分析】由已知遞推式求得數(shù)列首項，且得到n≥2時的另一遞推式a1+a2+…+an﹣1=2n﹣1﹣1，與原遞推式作差后驗證首項得答案．【解答】解：由a1+a2+…+an=2n﹣1①，可得a1=1，且a1+a2+…+an﹣1=2n﹣1﹣1（n≥2）②，①﹣②得：．當(dāng)n=1時，上式成立．∴an=2n﹣1．故答案為：2n﹣1．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.選修4——5；不等式選講已知函數(shù).(1)解關(guān)于的不等式;(2)若的解集非空,求實數(shù)的取值范圍.參考答案：綜上原不等式的解集為…………5分(II)原不等式等價于的解集非空令,即,

由所以所以

…………10分

略19.已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，且，.（1）求證：平面PAB⊥平面ABCD；（2）求點D到平面APC的距離.參考答案：（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）取的中點，連接，證明，，進而得到平面平面（2）利用等體積法：計算得到答案.【詳解】（1）證明：取的中點，連接，由，知為等腰直角三角形，所以，，又知為等邊三角形，所以.又由得，所以，，所以平面，又因為平面，所以平面平面.（2）設(shè)點到平面距離為，由（1）知是邊長為2的等邊三角形，為等腰三角形，由，得，因為，所以，即點到平面的距離為.【點睛】本題考查了面面垂直，等體積法求點到平面距離，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力.20.

已知f（x）=x3－3x2+2x+1，寫出任意一個x的值對應(yīng)的函數(shù)值f（x）的求法程序.參考答案：（方法一）INPUT

“請輸入自變量x的值：”；xA=x∧3B=3*x∧2C=2*xD=A－B+C+1PRINT

“x=”；xPRINT

“f（x）=”；DEND(方法二）INPUT

“請輸入自變量x的值：”；xm=x*（x－3）n=x*（m+2）y=n+1PRINT

“x=”；xPRINT

“f（x）=”；yEND

21.根據(jù)所給條件求直線l的方程．（1）直線l經(jīng)過圓x2+y2+2y=0的圓心，且與直線2x+y=0垂直；（2）直線l過點（﹣4，8），且到原點的距離為4．參考答案：考點：直線與圓的位置關(guān)系；點到直線的距離公式．專題：綜合題；直線與圓．分析：（1）由已知中圓的方程，我們先確定出圓的圓心的坐標(biāo)，然后根據(jù)與已知直線垂直的直線的直線系方程，我們設(shè)出與直線2x+y=0垂直的直線方程（含參數(shù)λ），將圓心坐標(biāo)代入可以構(gòu)造一個關(guān)于λ的方程，解方程求出λ的值，即可得到答案．（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為x=﹣4，滿足條件．當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為y﹣8=k（x+4），由=4，解出k值，可得直線方程．解答：解：（1）由已知，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+（y+l）2=1，圓心坐標(biāo)為（0，﹣1）設(shè)與直線2x+y=0垂直的直線方程是x﹣2y+λ=0則2+λ=0，所以λ=﹣2故經(jīng)過圓x2+y2+2y=0的圓心，且與直線2x+y=0垂直的直線方程是x﹣2y﹣2=0；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為x=﹣4，滿足條件．當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為y﹣8=k（x+4），即kx﹣y﹣4k﹣8=0，由條件得=4，∴k=﹣，故直線方程為3x+4y﹣20=0．綜上，直線l的方程為x=﹣4或3x+4y﹣20=0．點評：本題考查的知識點是直線與圓相交的性質(zhì)，考查點到直線的距離公式的應(yīng)用，用待定系數(shù)法求直線方程，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．22.(1)已知a＝(2x－y＋1，x＋y－2)，b＝(2，－2)，①當(dāng)x、y為何值時，a與b共線？②是否存在實數(shù)x、y，使得a⊥b，且|a|＝|b|？若存在，求出xy的值；若不存在，說明理由．(2)設(shè)n和m是兩個單位向量，其夾角是60°，試求向量a＝2m＋n和b＝－3m＋2n的夾角．參考答案：(1)①∵a與b共線，∴存在非零實數(shù)λ使得a＝λb，∴?