2022-2023學(xué)年黑龍江省綏化市大羅中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析

2022-2023學(xué)年黑龍江省綏化市大羅中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.橢圓的長軸和短軸的長、離心率分別是（

）Ａ．10，8， Ｂ．5，4，

Ｃ．10，8，，

Ｄ．5，4，參考答案：A2.函數(shù)是

（）．周期為的奇函數(shù).周期為的偶函數(shù).周期為的奇函數(shù)

.周期為的偶函數(shù)參考答案：C3.直線（）和圓的位置關(guān)系是（

）

A.相離

B.相切

C.相交

D.三種可能都有參考答案：C4.已知P是橢圓+=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若△PF1F2的內(nèi)切圓的半徑為，則tan∠F1PF2=（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】作出圖形，利用內(nèi)切圓的性質(zhì)與橢圓的定義及半角公式即可求得tan∠F1PF2的值．【解答】解：根據(jù)題意作圖如下，設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓心為M，則內(nèi)切圓的半徑|MQ|=，設(shè)圓M與x軸相切于R，∵橢圓的方程為+=1，∴橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），∴|F1F2|=2，設(shè)|F1R|=x，則|F2R|=2﹣x，依題意得，|F1S|=|F1R|=x，|F2Q|=|F2R|=2﹣x，設(shè)|PS|=|PQ|=y，∵|PF1|=x+y，|PF2|=（2﹣x）+y，|PF1|+|PF2|=4，∴x+y+（2﹣x）+y=4，∴y=1，即|PQ|=1，又|MQ|=，MQ⊥PQ，∴tan∠MPQ===，∴tan∠F1PF2=tan2∠MPQ==．故選B．【點(diǎn)評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查內(nèi)切圓的性質(zhì)及半角公式，考查分析問題，通過轉(zhuǎn)化思想解決問題的能力，屬于難題．5.“直線與互相垂直”是“”的（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件參考答案：B6.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=，則f（2012）的值為（

）A．0

B．1

C．-1

D．2參考答案：C略7.已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線C的右支上|F1F2|=2|OM|，△MF1F2的面積為4a2，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C. D.參考答案：A【分析】由可得為直角三角形，且，可得，由雙曲線的定義，可得，結(jié)合三角形的面積，可得，從而可求雙曲線的離心率．【詳解】由可得，即有為直角三角形，且，因?yàn)榈拿娣e為，所以又因?yàn)椋?，由雙曲線定義可得，可得，，∴雙曲線的離心率為，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義及離心率，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解．8.的最小值是（

）A．1

B．2

C．3

D．8

參考答案：C略9.在等差數(shù)列{an}中，已知a1=2，a2+a3=13，則a4+a5+a6等于(

)A．40 B．42 C．43 D．45參考答案：B【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】先根據(jù)a1=2，a2+a3=13求得d和a5，進(jìn)而根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)知a4+a5+a6=3a5求得答案．【解答】解：在等差數(shù)列{an}中，已知a1=2，a2+a3=13，得d=3，a5=14，∴a4+a5+a6=3a5=42．故選B【點(diǎn)評】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)．屬基礎(chǔ)題．10.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.則函數(shù)的零點(diǎn)的集合為

A.

B.

C.

D.

參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖給出了一個(gè)“直角三角形數(shù)陣”：滿足每一列成等差數(shù)列，從第三行起，每一行的數(shù)成等比數(shù)列，且每一行的公比相等，記第i行第j列的數(shù)為aij（i≥j，i，j∈N*），則a88=．參考答案：【考點(diǎn)】F1：歸納推理．【分析】察這個(gè)“直角三角形數(shù)陣”，能夠發(fā)現(xiàn)ai1=a11+（i﹣1）×=，再由從第三行起，每一行的數(shù)成等比數(shù)列，可求出aij（i≥j），即可得出結(jié)論．【解答】解：ai1=a11+（i﹣1）×=，aij=ai1×（）j﹣1=×（）j﹣1=i×（）j+1．∴a88=8×（）9=故答案為：．12.若,且,則的最小值為__

__。

參考答案：13.已知復(fù)數(shù)z=1+2i（i為虛數(shù)單位），則||=

．參考答案：考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念即可得到結(jié)論．解答： 解：∵z=1+2i，∴=1﹣2i，則||==，故答案為：點(diǎn)評：本題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，比較基礎(chǔ)．14.已知函數(shù)，，若與的圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．參考答案：

15.已知圓，直線l：，當(dāng)圓上僅有2個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為1，則b的取值范圍為

．參考答案：由圓上僅有個(gè)點(diǎn)到直線的距離為可得圓心到直線的距離滿足，由于，即，解得，

16.將5個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個(gè)盒子里，使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有．參考答案：25【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意，可得1號盒子至少放一個(gè)，最多放3個(gè)小球，即分兩種情況討論，分別求出其不同的放球方法數(shù)目，相加可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號，分析可得，可得1號盒子至少放一個(gè)，最多放3個(gè)小球，分情況討論：①1號盒子中放1個(gè)球，其余4個(gè)放入2號盒子，有C51=5種方法；②1號盒子中放2個(gè)球，其余3個(gè)放入2號盒子，有C52=10種方法；③1號盒子中放3個(gè)球，其余2個(gè)放入2號盒子，有C53=10種方法；則不同的放球方法有5+10+10=25種，故答案為：25．17.在△ABC中，若A：B：C=1：2：3，則a：b：c=

．參考答案：1：：2【考點(diǎn)】正弦定理．【專題】解三角形．【分析】由三角形的內(nèi)角和以及三個(gè)角的比例關(guān)系，求出三個(gè)角，利用正弦定理即可求出比值．【解答】解：∵A：B：C=1：2：3，A+B+C=180°∴A=30°，B=60°，C=90°，∴由正弦定理，得：．∴a：b：c=1：：2故答案為：1：：2．【點(diǎn)評】此題考查了正弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，A為拋物線C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線交拋物線C于另一點(diǎn)B，交x軸的正半軸于點(diǎn)D，且有.當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時(shí)，為正三角形.（Ⅰ）求拋物線C的方程；（Ⅱ）若直線，且和拋物線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)E，試問直線AE（A為拋物線C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)）是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.參考答案：（1）由題意知，設(shè)，則的中點(diǎn)為，因?yàn)?，由拋物線的定義知：，解得或（舍去），由，解得，所以拋物線的方程為.（2）由（1）知，設(shè)，，因?yàn)?，則，由得，故，故直線的斜率為，因?yàn)橹本€和直線平行，故可設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程得，由題意知，得.設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，，可得直線的方程為，由，整理可得，所以直線恒過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，過點(diǎn)，所以直線恒過定點(diǎn).19.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，且過點(diǎn)P．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知斜率為1的直線l過橢圓的右焦點(diǎn)F交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的長．參考答案：（1）；（2）【分析】（1）先設(shè)橢圓的方程，再利用的橢圓C的離心率為，且過點(diǎn)（），即可求得橢圓C的方程；（2）設(shè)出A、B的坐標(biāo)，由橢圓方程求出橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到A、B所在直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得A、B橫坐標(biāo)的和與積，代入弦長公式求弦AB的長．【詳解】(1)設(shè)橢圓方程為，橢圓半焦距為c，∵橢圓C的離心率為，∴，∴，①∵橢圓過點(diǎn)（），∴②由①②解得：b2=，a2=4∴橢圓C的方程為．(2)設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為A（x1，y1）、B（x2，y2）．由橢圓的方程知a2=4，b2=1，c2=3，∴F（，0）．直線l的方程為y=x﹣．聯(lián)立，得5x2﹣8x+8=0，∴x1+x2=，x1x2=，∴|AB|===．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．20.已知函數(shù)f（x）=（λx+1）lnx﹣x+1．（Ⅰ）若λ=0，求f（x）的最大值；（Ⅱ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x+y+1=0垂直，證明：．參考答案：【考點(diǎn)】6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（Ⅰ）求得函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），當(dāng)λ=0，f（x）=lnx﹣x+1，求導(dǎo)，令f′（x）=0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取最大值；（Ⅱ）求導(dǎo)，f′（1）=1，即λ=1，由（Ⅰ）可知，lnx﹣x﹣1＜0，分類當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）=（x+1）lnx﹣x﹣1=xlnx+（lnx﹣x+1）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=lnx+（xlnx﹣x+1）=lnx﹣x（ln﹣+1）＞0，可知．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），當(dāng)λ=0，f（x）=lnx﹣x+1，求導(dǎo)，f′（x）=﹣1，令f′（x）=0，解得：x=1，∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，1）上是增函數(shù)；當(dāng)x＞1，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)；故f（x）在x=1處取最大值，f（1）=0，（Ⅱ）證明：求導(dǎo)，f′（x）=λlnx+﹣1，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x+y+1=0垂直，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率k=f′（1）=1，即λ=1，∴f（x）=（x+1）lnx﹣x+1，由（Ⅰ）可知，lnx﹣x﹣1＜0（x≠1），當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）=（x+1）lnx﹣x﹣1=xlnx+（lnx﹣x+1）＜0，∴＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=lnx+（xlnx﹣x+1）=lnx﹣x（ln﹣+1）＞0，∴＞0，綜上可知：＞0．21.某工廠生產(chǎn)一種汽車的元件，該元件是經(jīng)過A、B、C三道工序加工而成的，A、B、C三道工序加工的元件合格率分別為、、．已知每道工序的加工都相互獨(dú)立，三道工序加工都合格的元件為一等品；恰有兩道工序加工合格的元件為二等品；其它的為廢品，不進(jìn)入市場．（Ⅰ）生產(chǎn)一個(gè)元件，求該元件為二等品的概率；（Ⅱ）若從該工廠生產(chǎn)的這種元件中任意取出3個(gè)元件進(jìn)行檢測，求至少有2個(gè)元件是一等品的概率.參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）先分為互斥的三個(gè)事件，再根據(jù)獨(dú)立事件的概率求解；（Ⅱ）分為2個(gè)元件是一等品和3個(gè)元件是一等品兩種情況求解.【詳解】解：（Ⅰ）不妨設(shè)元件經(jīng)三道工序加工合格的事件分別為.所以,,.,,.

設(shè)事件為“生產(chǎn)一個(gè)元件，該元件為二等品”.由已知是相互獨(dú)立事件.根據(jù)事件的獨(dú)立性、互斥事件的概率運(yùn)算公式，

所以生產(chǎn)一個(gè)元件，該元件為二等品的概率為.

（Ⅱ）生產(chǎn)一個(gè)元件，該元件為一等品的概率為.

設(shè)事件為“任意取出3個(gè)元件進(jìn)行檢測，至少有2個(gè)元件是一等品”，則

.所以至少有2個(gè)元件是一等品的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件與互斥事件的概率，考查計(jì)算能力與轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.22.已知橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)，.（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過橢圓的右焦點(diǎn)F的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且直線l與以線段FP為直徑的圓交于另一點(diǎn)E（異于點(diǎn)F），求的最大值.參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）最大值為1【分析】（Ⅰ）將坐標(biāo)代入橢圓方程可解得，進(jìn)而得到結(jié)果；（Ⅱ）設(shè)直線方程為，與橢圓