高一數(shù)學(xué)寒假（人教B版 第一冊(cè)）第03講 函數(shù)的概念與性質(zhì)（教師卷）

第03講函數(shù)的概念與性質(zhì)【易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)】函數(shù)的概念及其表示1.函數(shù)的定義設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，稱(chēng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)y＝f(x)，x∈A2．函數(shù)的有關(guān)概念(1)函數(shù)的定義域、值域：在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.顯然，值域是集合B的子集．(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系．(3)相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)．(4)函數(shù)的表示法：解析法、圖象法、列表法．3．分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對(duì)于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．(1)確定函數(shù)的定義域常從解析式本身有意義，或從實(shí)際出發(fā)．(2)如果函數(shù)y＝f(x)用表格給出，則表格中x的集合即為定義域．(3)如果函數(shù)y＝f(x)用圖象給出，則圖象在x軸上的投影所覆蓋的x的集合即為定義域.值域是一個(gè)數(shù)集，由函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系共同確定．(1)分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分構(gòu)成，但它表示同一個(gè)函數(shù)．(2)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函數(shù)的定義域不可以相交.4．常用結(jié)論(1)若f(x)為整式，則函數(shù)的定義域?yàn)镽；(2)若f(x)為分式，則要求分母不為0；(3)若f(x)為對(duì)數(shù)式，則要求真數(shù)大于0；(4)若f(x)為根指數(shù)是偶數(shù)的根式，則要求被開(kāi)方式非負(fù)；(5)若f(x)描述實(shí)際問(wèn)題，則要求使實(shí)際問(wèn)題有意義．如果f(x)是由幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，求定義域常常等價(jià)于解不等式(組)．函數(shù)的基本性質(zhì)1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．2．函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿(mǎn)足條件對(duì)于任意x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M對(duì)于任意x∈I，都有f(x)≥M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論M為最大值M為最小值3.函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)三、函數(shù)的應(yīng)用1.函數(shù)的零點(diǎn)(1)概念：一般地，如果函數(shù)y＝f(x)在實(shí)數(shù)α處的函數(shù)值等于零，即f(α)＝0，則稱(chēng)α為函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn).(2)函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)、對(duì)應(yīng)方程的根的關(guān)系：2.函數(shù)零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的，并且f(a)·f(b)<0(即在區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào))，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)中至少有一個(gè)零點(diǎn)，即?x0∈(a，b)，f(x0)＝0.【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：函數(shù)的概念及其表示1．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)?，所以，解得，所以函?shù)的定義域是故選：A.2．已知函數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．6【答案】B【詳解】，則故選：B3．已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可得，解得故選：B考點(diǎn)二：函數(shù)的基本性質(zhì)4．已知，且，那么（

）A．10 B． C． D．【答案】C【詳解】令，,為奇函數(shù)，由已知得，由,得,∴所以，故選：C．5．若函數(shù)是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)槭巧系臏p函數(shù)，故，故，故選：C6．若函數(shù)是奇函數(shù)，則使的的取值范圍為A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)是奇函數(shù)，則，即，可得，則，有，解可得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，設(shè)，則，，則在上為增函數(shù)，而在上為增函數(shù)，則在上為增函數(shù)，若，即，解可得，則，即，解得，又由，則有，即的取值范圍為；故選：A.考點(diǎn)三：函數(shù)的綜合應(yīng)用7．下列區(qū)間中，方程有解的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】令，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，，由零點(diǎn)存在定理可知，方程的解在區(qū)間內(nèi).故選：B.8．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù).當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于的方程，有且只有個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由于關(guān)于的方程，有且只有個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則關(guān)于的二次方程必有兩根，其中，且，即，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.9．已知是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的取值范圍是A．） B．C． D．【答案】D【詳解】是偶函數(shù)，，即不等式等價(jià)于，是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，即，整理為：，，解得：.故選：D【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】一、單選題1．已知，則的值為（

）A．26 B．20 C．18 D．16【答案】C【詳解】由得，所以當(dāng)時(shí)，.故選：C.2．函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)樗?，所以函?shù)要有意義則：，即，即，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋汗蔬x：D.3．設(shè)函數(shù)，則（

）A． B． C．3 D．7【答案】D【詳解】.故選：D.4．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以滿(mǎn)足.故選：A5．若函數(shù)為上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B．1 C． D．3【答案】B【詳解】由函數(shù)為上的奇函數(shù)，所以且當(dāng)時(shí)，，所以.故選：B.6．函數(shù)的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】當(dāng)時(shí)，，故，又因?yàn)?，所以，排除C．因?yàn)?，不恒等?，且不恒等于，所以既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，排除B，D．故選：A7．已知函數(shù)，若存在唯一的整數(shù)，使得成立，則所有滿(mǎn)足條件的整數(shù)的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示，對(duì)于，則有：當(dāng)，即時(shí)，則，即，記對(duì)于，則或，且，可得：的整數(shù)解集為或，由題意可得：集合只有一個(gè)元素，即，則，滿(mǎn)足條件的整數(shù)的取值為；當(dāng)，即時(shí)，則，即，記，對(duì)于，則或，且，可得：的整數(shù)解集為或，由題意可得：集合只有一個(gè)元素，即，則，滿(mǎn)足條件的整數(shù)的取值為；綜上所述：所有滿(mǎn)足條件的整數(shù)的取值集合為.故選：B.8．函數(shù)，對(duì)且，，則實(shí)數(shù)的范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)閷?duì)且，，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是，所以，得.故選：B二、多選題9．已知函數(shù)，關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（

）A．的定義域是R B．的值域是C．若，則x的值為 D．【答案】BCD【詳解】A：函數(shù)的定義域?yàn)?，所以本選項(xiàng)不正確；B：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以有，綜上所述：的值域是，所以本選項(xiàng)正確；C：當(dāng)時(shí)，，不符合；當(dāng)時(shí)，，或不符合，綜上所述：當(dāng)時(shí)，x的值為，所以本選項(xiàng)正確；D：，所以本選項(xiàng)正確，故選：BCD10．德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷（1805~1859）在1837年時(shí)提出：“如果對(duì)于的每一個(gè)值，總有一個(gè)完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么是的函數(shù)．”這個(gè)定義較清楚地說(shuō)明了函數(shù)的內(nèi)涵．只要有一個(gè)法則，使得取值范圍中的每一個(gè)，有一個(gè)確定的和它對(duì)應(yīng)就行了，不管這個(gè)法則是用公式還是用圖象、表格等形式表示，例如狄利克雷函數(shù)，即：，以下關(guān)于狄利克雷函數(shù)的性質(zhì)正確的有（

）A． B．的值域?yàn)镃．定義域?yàn)?D．【答案】ACD【詳解】由函數(shù)，可知函數(shù)定義域?yàn)?，值域?yàn)?，故C正確、B不正確；當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，，；當(dāng)為無(wú)理數(shù)時(shí)，，；所以當(dāng)，，故A正確；當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，為有理數(shù)，當(dāng)為無(wú)理數(shù)時(shí)，為無(wú)理數(shù)，即，故D正確；故選：ACD.三、填空題11．已知函數(shù)，，若的最大值為8，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____．【答案】4【詳解】由或，又的最大值為8，，則.故答案為：412．已知函數(shù)，若值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)c的范圍是______.【答案】【詳解】當(dāng)x＝2時(shí)，，，∵值域?yàn)?，∴?dāng)時(shí)，由，得，此時(shí)，由，得，解得x＝2或x＝－1，作出圖像：有圖像可得：要滿(mǎn)足題意則：綜上，，即實(shí)數(shù)c的取值范圍是.故答案為：四、解答題13．（1）已知是二次函數(shù)，且滿(mǎn)足，，求解析式；（2）已知，求的解析式．【答案】（1）；（2）．【詳解】（1）令

，．因?yàn)?，所以，則．由題意可知：即.得，所以．所以（2）法一：配湊法根據(jù)．可以得到．法二：換元法令，則．.14．已知函數(shù)(1)根據(jù)定義證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；(2)任意都有成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析；(2).【詳解】（1）設(shè)是上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，則有，，因?yàn)?，所以，所以，因此函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；（2）由（1）可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，要想任意都有成立，只需，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.15．推行垃圾分類(lèi)以來(lái)，某環(huán)保公司新上一種把廚余垃圾加工處理為可重新利用的化工產(chǎn)品的項(xiàng)目.經(jīng)測(cè)算該公司每日處理廚余垃圾的成本（元）與日處理量（噸）之間的函數(shù)解析式可近似地表示為每處理一噸廚余垃圾，可得到價(jià)值100元的化工產(chǎn)品的收益.(1)求日純收益（元）關(guān)于日處理量（噸）的函數(shù)解析式；（純收益=總收益-成本）(2)該公司每日處理的廚余垃圾為多少?lài)崟r(shí)，獲得的日純收益最大？【答案】(1)(2)該公司每日處理的廚余垃圾為24噸時(shí)，獲得的日純收益最大.【詳解】（1）由題意可得（2）當(dāng)時(shí)，遞增，可得的最大值為；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，的最大值為1288.，該公司每日處理的廚余垃圾為24噸時(shí)，獲得的日純收益最大.【能力提升】一、單選題1．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【解答】函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)中，，解得，函數(shù)的定義域?yàn)椋蔬x：D2．下列函數(shù)是奇函數(shù)，且在上為增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】對(duì)于A(yíng)，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，又與在上均為增函數(shù)，根據(jù)“增+增=增”性質(zhì)，得在上單調(diào)遞增，所以A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以為偶函?shù)，故B錯(cuò)；對(duì)于C，D同樣可以判斷均為偶函數(shù)，不符合題意.故選：A3．已知函數(shù)，則使成立的實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題易知，函數(shù)為偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，所以不等式等價(jià)于，從而有，即，解得或，對(duì)應(yīng)區(qū)間為故選：C．4．設(shè)函數(shù)，若互不相等的實(shí)數(shù)，，滿(mǎn)足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】不妨設(shè)，，如圖所示，，由，故，，故.故選：D5．已知，若關(guān)于x的方程有四個(gè)不相等的實(shí)根，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，，由函數(shù)的圖象可知方程有四個(gè)不同的實(shí)根時(shí)，設(shè)與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，設(shè)，則，且，，設(shè)與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，由得，，，.故選：D.二、填空題6．設(shè)函數(shù)若存在最小值，a的取值范圍___________.【答案】【詳解】若時(shí)，，∴；若時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故沒(méi)有最小值，不符合題目要求；若時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，∴或，解得，綜上可得；故答案為：7．已知函數(shù)定義城為，恒有，時(shí)；若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則t的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【詳解】設(shè)，則，則，設(shè)，則，則，則，則，函數(shù)圖象如下：由，可得，或，由，可得，或，或，則僅有一根，又，，則，解之得，故答案為：.三、解答題8．已知函數(shù).(1)若函數(shù)在是增函數(shù)，求的取值范圍；(2)若對(duì)于任意的，恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以對(duì)稱(chēng)軸為，因?yàn)樵谑窃龊瘮?shù)，所以，解得（2）因?yàn)閷?duì)于任意的，恒成立，即在時(shí)恒成立，所以在時(shí)恒成立，設(shè)，則對(duì)稱(chēng)軸為，即在時(shí)恒成立，當(dāng)，即時(shí)，，解得；當(dāng)，即時(shí)，，解得（舍去），故.9．某家庭進(jìn)行理財(cái)投資，根據(jù)長(zhǎng)期收益率市場(chǎng)預(yù)測(cè)，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的年收益與投資額x成正比，其關(guān)系如圖1：投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的年收益與投資額x的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2．(1)分別寫(xiě)出兩種產(chǎn)品的年收益和的函數(shù)關(guān)系式；(2)該家庭現(xiàn)有20萬(wàn)元資金，全部用于理財(cái)投資，問(wèn)：怎么分配資金能使投資獲得最大年收益，其最大年收益是多少萬(wàn)元?【答案】(1)(2)當(dāng)投資穩(wěn)健型產(chǎn)品的資金為16萬(wàn)元，風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的資金為4萬(wàn)元時(shí)年收益最大，最大值為3萬(wàn)元.【詳解】（1）由題意可設(shè)，由圖知，函數(shù)和的圖象分別過(guò)點(diǎn)和，代入解析