甘肅省張掖市某校2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期模擬考試數(shù)學(xué)試題

理科數(shù)學(xué)本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.共4頁，總分150分，考試時(shí)間120分鐘.第I卷（選擇題共60分）一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）A.-4B.4C.D.2.已知，則（）A.B.C.D.3.歐拉公式（其中是虛數(shù)單位，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）是數(shù)學(xué)中的一個(gè)神奇公式.根據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限4.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，則實(shí)數(shù)（）A.-1B.0C.1D.25.已知復(fù)數(shù)，則（）A.9B.6C.3D.6.在復(fù)平面內(nèi)，一個(gè)正方形的3個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，則第4個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）A.B.C.D.7.若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（）A.1B.C.2D.38.不等式的解集是（）A.B.C.D.9.已知參數(shù)方程為參數(shù)，，則下列選項(xiàng)的圖中，符合該方程的是（）A.B.C.D.10.已知復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.若，則B.若是虛數(shù)，則C.不可能是純虛數(shù)D.可表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)11.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件12.已知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，為的共軛復(fù)數(shù)，有下列關(guān)于的四個(gè)命題：甲；乙丙丁.如果只有一個(gè)假命題，則該命題是（）A.甲B.乙C.丙D.丁第II卷（非選擇題共90分）二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若復(fù)數(shù)同時(shí)滿足①；②，則__________.14.曲線經(jīng)過變換得到曲線，則曲線的方程為__________.15.已知復(fù)數(shù)，則的虛部為__________.16.若對(duì)于任意，都存在，使，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.（10分）已知函數(shù).（1）在圖中畫出的圖象；（2）求不等式的解集.18.（12分）在直角坐標(biāo)系中，圓的圓心為，半徑為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求的極坐標(biāo)方程；（2）若與在第一象限的交點(diǎn)為，且射線的極坐標(biāo)方程為，求實(shí)數(shù)的值.19.（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.（12分）如圖，在極坐標(biāo)系中，方程表示的曲線是一條優(yōu)美的心臟線.在以極軸所在直線為軸，極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，且.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）當(dāng)時(shí)，與交于點(diǎn)，將射線繞極點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，交于點(diǎn)，求的值.21.（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程與直線的直角坐標(biāo)方程；（2）點(diǎn)分別為曲線與直線上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.22.（12分）已知為正數(shù)，且.證明：（1）；（2）.參考答案一?選擇題1.A【解析】.2.C【解析】設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以解得所?3.A【解析】由歐拉公式，得在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.4.C【解析】因?yàn)?，所以?dāng)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上時(shí)，且，解得.5.D【解析】由，得.6.B【解析】復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是，2），，由題意可知，正方形以為鄰邊，設(shè)另一點(diǎn)為，所以，則即解得所以.7.C【解析】設(shè)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，它表示以為圓心，1為半徑的圓，所以的最大值為2.8.C【解析】當(dāng)，即或時(shí)，不等式等價(jià)于不等式，即，解得，所以；當(dāng)，即時(shí)，不等式等價(jià)于不等式，即，解得或，所以.綜上，不等式的解集是.9.B【解析】由題意，參數(shù)方程為參數(shù)，，當(dāng)時(shí)，可得，所以圖象過原點(diǎn)，排除；當(dāng)時(shí)，可得，所以圖象過點(diǎn)，可排除和；當(dāng)時(shí)，可得，解得，從而得到，所以選項(xiàng)B適合.10.D【解析】若，則，所以，解得或.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)正確；若是虛數(shù)，則，即且，所以，故選項(xiàng)B正確；若表示純虛數(shù)，則無解，故選項(xiàng)C正確；若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則，無解，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.11.B【解析】，因?yàn)?，所以，故后者能推出前者；反之，比如，推不出后者，故為必要不充分條件.12.B【解析】設(shè)，由于對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以.甲：-1，乙，丙：，丁，得，由于“只有一個(gè)假命題”，所以乙是假命題，的值應(yīng)為.二?填空題13.【解析】設(shè)，由條件①可以得到，兩邊平方化簡可得.由得，則，故.14.【解析】由題設(shè)，將代入：，可得，整理得，所以曲線的方程為.15.-1012【解析】，則的虛部為-1012.16.【解析】設(shè)，，易得，所以所以當(dāng)時(shí)，.因?yàn)閷?duì)于任意，都存在，使，所以，故的取值范圍為.三?解答題17.解：（1）因?yàn)樽鞒龊瘮?shù)的圖象如圖所示：（2）由不等式得或，當(dāng)時(shí)，即或，可得-2或；當(dāng)時(shí)，即或，可得或.由圖象可得：的解集為或}的解集為，所以的解集為或或}.18.解：（1）圓的直角坐標(biāo)方程為，即，由，可得的極坐標(biāo)方程為.將的參數(shù)方程（為參數(shù)）消去參數(shù)，得的普通方程為，由，得的極坐標(biāo)方程為.（2）由的方程可知，原點(diǎn)為曲線的一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，代入中，可得，解得.把代入中，可得，解得.19.解：（1）當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，解得，所以；當(dāng)時(shí)，等價(jià)于6，解得；當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，解得，所以.綜上，不等式的解集為，.（2）當(dāng)時(shí)，趨近于趨近于，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，即，不成立，舍去；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)且時(shí)等號(hào)成立，所以.因?yàn)?，所以，?解，得；解，得-3或又，所以.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.20.解：（1）因?yàn)榍€的參數(shù)方程為（為參數(shù)，且，所以.又所以，即，所以曲線的極坐標(biāo)方程為.（2）當(dāng)時(shí)，則，再由可得，所以.21.解：（1）因?yàn)?，所以將（為參?shù)）消去參數(shù)，可得.由，得-2，因