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2-3二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形稱為n

元二次型（簡(jiǎn)稱二次型）。實(shí)數(shù)域上的二次型簡(jiǎn)稱實(shí)二次型。n元變量x1,x2,

,xn的二次齊次多項(xiàng)式 如果令aji=aij(1

i<j

n)，則上式可以表示為其中x=(x1,x2,

,xn)T

Rn，A=(aij)n

n

是實(shí)對(duì)稱矩陣,稱為二次型f對(duì)應(yīng)的矩陣。任給一個(gè)二次型，就唯一地確定一個(gè)對(duì)稱矩陣；反之，一個(gè)對(duì)稱矩陣；也可唯一地確定一個(gè)二次型。這樣，稱矩陣之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.因此，我們把對(duì)稱矩陣

A

叫做二次型f

的矩陣，也把f

叫做對(duì)稱矩陣A

的二次型.對(duì)稱矩陣A

的秩就叫做二次型的秩.即找矩陣C，使B=CTA

C

為對(duì)角陣。定義二次型化為不含混合項(xiàng)只含平方項(xiàng)的二次型，這種二次型稱其為標(biāo)準(zhǔn)形。注：化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形共有三種方法：正交變換法，配方法和初等變換法。一般二次型

定義

對(duì)矩陣A和B,如果存在可逆矩陣C，使得

B=CTA

C，就稱矩陣A

相合(或合同)于B（記作A?B)。矩陣的相合關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系，具有以下性質(zhì)：(1)自反性：A?

A；(2)對(duì)稱性：若A?

B,則

B?

A；(3)傳遞性：若A?

B,B?C，則

A?C。7定理任給可逆矩陣

C,令

B=CTAC，R(B)=R(A).若

A

為對(duì)稱矩陣，則

B

也為對(duì)稱矩陣.證A

為對(duì)稱矩陣，即有AT=A，于是即B

為對(duì)稱矩陣.因，所以R(B)≤R(AC)≤R(A)；又，所以R(A)≤R(BC-1)≤R(B).于是R(A)=R(B).定理說明:經(jīng)可逆變換x=Cy

后,二次型f

的矩陣由

A

變成CTAC(對(duì)角矩陣)，二次型的秩不變.問題：如何找到可逆矩陣C，使

CTAC

為對(duì)角矩陣？將實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化方法應(yīng)用到二次型中,得8例1求一個(gè)正交變換把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.解二次型的矩陣為定理任給二次型總有正交變換使

f

化為標(biāo)準(zhǔn)形其中是f

的矩陣

A=的特征值.9于是A

的特征值為其特征多項(xiàng)式為10當(dāng)時(shí)，解方程由即取11得基礎(chǔ)解系單位化即得解方程由當(dāng)時(shí)，得正交的基礎(chǔ)解系即若取得基礎(chǔ)解系不正交.12單位化即得于是正交變換為且有說明在正交變換下,二次型的標(biāo)準(zhǔn)型是唯一的.1314例2

證明二次型在時(shí)的最大值為矩陣A

的最大特征值.證設(shè)矩陣A

特征值為，則存在正交矩陣C，使得，Λ對(duì)角線上的元素即為，令則不妨設(shè)

A

的最大特征值為，則15用配方法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形例3

化二次型成標(biāo)準(zhǔn)型，并求所用的變換矩陣.解令即就把f

化成標(biāo)準(zhǔn)形所用變換矩陣為（|C|=1≠0）注對(duì)一般的f(x1,x2,

,xn)的配方法：若x12項(xiàng)的系數(shù)不為0，就按上例配方。如果x12項(xiàng)的系數(shù)為0，而x22項(xiàng)的系數(shù)不為0，就從x2開始配方。如果所有的二次項(xiàng)的系數(shù)都為0，就按下例的方法化為標(biāo)準(zhǔn)形。17例4

化二次型成標(biāo)準(zhǔn)型，并求所用的變換矩陣.解令代入可得再配方18令即即有所用變換矩陣為（|C|=－2≠0）.標(biāo)準(zhǔn)形中所含有的項(xiàng)數(shù)，就是二次型的秩.說明19如果二次型中不含平方項(xiàng)，但有某個(gè)則先作一個(gè)可逆線性變換：使二次型出現(xiàn)平方項(xiàng)，再用上面方法配方配方法如果二次型中含有變量xi的平方項(xiàng)，則先把含有xi的各項(xiàng)集中，按xi配成完全平方，然后按此法對(duì)其它變量配方，直至都配成平方項(xiàng)。注：任何n元二次型都可用配方法化為標(biāo)準(zhǔn)形，相應(yīng)的變換矩陣是例3中的主對(duì)角元為１的上三角矩陣和例4中的對(duì)角塊矩陣C1,或者是這兩類矩陣的乘積。

任意一個(gè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣A，也都可以通過一系列相同類型的初等行、列變換化成其相合的標(biāo)準(zhǔn)形（對(duì)角矩陣）。所謂相同類型的初等行、列變換指的是：(1)如果用倍加初等陣Eji(c)右乘A（即A的第i列乘c加到第j列），那么相應(yīng)地也用EjiT(c)=Eij(c)左乘A（即列變換后的A的第i行乘c加到第j行）。變換后的矩陣EjiT(c)A

Eji(c)仍是對(duì)稱陣。(2)如果用Ei(c)右乘A，則也用EiT(c)左乘A，即A的第i列和第i行都乘非零常數(shù)c，顯然EiT(c)A

EiT(c)仍是對(duì)稱陣。(3)如果用Eij

右乘A，則也用EijT左乘A，即A的第i列與第j

列及第i行與第j行同時(shí)對(duì)換位置，如此所得的EijTA

Eij

也是對(duì)稱陣。

(2)如果a11=0，但存在aii

0，先將第1列與第i列對(duì)換，第1行與第i行對(duì)換，就把a(bǔ)ii

換到第1行第1列的位置，化為(1)。(3)如果aii=0(i=1,2,

,n)，

aij

0,可將第j

列加到第i列,將第j行加到第i行,第i行第i列的元素化為2aij

0，就化為(2)。定理

對(duì)任意一個(gè)n

階實(shí)對(duì)稱矩陣A，都存在可逆矩陣C，使得 CTA

C=diag(d1,d2,,dn)其中A

1

仍為n-1階實(shí)對(duì)稱矩陣。(1)如果a11

0,由于a1j=aj1(j=1,2,

,n)，因此對(duì)A做相同類型的行、列倍加變換，可將第１行與第１列的其他元素全化為零，得證：設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣。用數(shù)學(xué)歸納法可以證明：對(duì)任一個(gè)n

階實(shí)對(duì)稱矩陣A，都存在初等矩陣P1,P2,

,Pk,使得PkT

P2TP1TAP1P2

Pk=CTAC

=diag(d1,d2,,dn)其中 C=P1P2

Pk

=IP1P2

Pk即對(duì)A做的列變換同樣施加于單位矩陣I，即得變換矩陣C?；癁闃?biāo)準(zhǔn)形，并求所做的坐標(biāo)變換x=C

y的變換矩陣C。

解將二次型的矩陣A與單位矩陣I上下排列，對(duì)A做相同類型的初等行、列變換使之化為對(duì)角陣，同樣的初等列變換，將I化為C。(以下[i],(j)分別表示i列,第j行)例5用初等變換法將二次型做變換x=Cy，其中則xTAx=

解同上題做法：

例6用初等變換法將二次型

f(x1,x2,x3)=2x1x2

2x1x3+2x2x3

化為標(biāo)準(zhǔn)形，并求所做的坐標(biāo)變換x=C