人教版七年級上冊數(shù)學(xué)重要知識點(diǎn)及應(yīng)用匯編

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第一章有理數(shù)

1.正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念

正數(shù)：比0大的數(shù).負(fù)數(shù)：比0小的數(shù).0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)

2.具有相反意義的量

若正數(shù)表示某種意義的量，則負(fù)數(shù)可以表示具有與該正數(shù)相反意義的量。

比如：如果零上8℃表示為+8℃,那么零下8℃就表示為-8℃

2.有理數(shù)的概念

⑴正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)（0和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù)）

⑵正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)

⑶正整數(shù)，0,負(fù)整數(shù)，正分?jǐn)?shù)，負(fù)分?jǐn)?shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，這樣的數(shù)稱為

有理數(shù)。

注意：（1）引入負(fù)數(shù)以后，奇數(shù)和偶數(shù)的范圍也擴(kuò)大了，像-2,-4,-6,-8…也

是偶數(shù)，-1,-3,-5…也是奇數(shù)。

（2）n不是有理數(shù)

1.有理數(shù)的分類

,正整數(shù)‘正整數(shù)

正有理數(shù)

.正分?jǐn)?shù)整數(shù)V0

有理數(shù)＜0有理數(shù)＜、負(fù)整

'負(fù)整數(shù)正分?jǐn)?shù)

負(fù)有理數(shù)分?jǐn)?shù)

.負(fù)分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)

總結(jié)：①正數(shù)、0統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)

②負(fù)數(shù)、0統(tǒng)稱為非正數(shù)

3

--O-S?l5

例1.把下面的有理數(shù)填在相應(yīng)的大括號里:830-128,

22

—,+20,—2.6.

5

（1）非負(fù)數(shù)：｛

⑵負(fù)數(shù)：｛,…｝；

⑶正整數(shù)：｛,…｝；

⑷負(fù)分?jǐn)?shù)：｛

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223

解：(1)15,O,O.15,三，+20(2)-30,-128,-2.6(3)15,+20

?O

/、3

(4)-—2.6

O

3.數(shù)軸的概念

規(guī)定了原點(diǎn)，正方向，單位長度的直線叫做數(shù)軸。

比如：在數(shù)軸上與表示2的點(diǎn)距離3個單位長度的點(diǎn)表示的數(shù)是—

解：-1或者5。如圖所示

-IO2025

在2的左邊3個單位長度在2的右邊3個單位長度

4.利用數(shù)軸表示兩數(shù)大小

⑴在數(shù)軸上數(shù)的大小比較，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；

⑵正數(shù)大于0,負(fù)數(shù)都小于0,正數(shù)大于負(fù)數(shù)；

⑶兩個負(fù)數(shù)絕對值大的反而小

比如:在一1,-2,1,2這四個數(shù)中，最小的是

解：-2V-1V1V2

相反數(shù)

1.一一只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，其中一個是另一個的相反數(shù)，0

的相反數(shù)是Oo

注意：⑴相反數(shù)是成對出現(xiàn)的；⑵相反數(shù)只有符號不同，若一個為正，則另一

個為負(fù)；

⑶0的相反數(shù)是它本身；相反數(shù)為本身的數(shù)是0.

2.相反數(shù)的性質(zhì)與判定

⑴互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0,和為0的兩數(shù)互為相反數(shù)，即a,b互為相反數(shù)，

貝!∣a+b=O

3.雙重符號的化簡：同號得正，異號得負(fù)

例2-2的相反數(shù)是,倒數(shù)是,絕對值是o

解析：①只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)。???-2的相反數(shù)是2；

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1

②數(shù)aM互為倒數(shù).2-

③一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；O的絕

對值是O0Λ-2的絕對值是它的相反數(shù)2；

絕對值

1.絕對值的幾何定義

一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做a的絕對值，記作Ia|。

2.絕對值的代數(shù)定義

⑴一個正數(shù)的絕對值是它本身；⑵一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；⑶。的絕

對值是0.

a(a>0)a(α≥0)

即：Ia∣=b(a=0)或?a?=<

-a(a<0)-a(α≤0)

3.絕對值的性質(zhì)：若∣x∣=a(a>0)，則x=±a；

例3絕對值小于4的所有整整數(shù)有—

解：0、±1、±2、±3

例4若IXI=3,IyI=5,則x+y=

解：∣x∣=3,Iy1=5

x=3或者X=-3y=5或者y=-5

當(dāng)x=3,y=5時(shí)x+y=3+5=8

當(dāng)x=3,y=-5時(shí)x+y=3+(-5)=-2

當(dāng)x=-3,y=5時(shí)x+y=-3+5=2

當(dāng)x=-3,y=-5時(shí)x+y=-3+(-5)=-8

二若IXI=3,IyI=5,則x+y=±2或者士8

例5解下列方程(1)∣x∣=3(2)Ix-11=5(3)∣x+2∣=8

分析：第(2)題要把x-1看作一個整體；第(3)題要把x+2看作一個整體

解：(1)∣x∣=3(2)Ix-1I=5(3)Ix+2I=8

x=3或者X=-3χ-l=5或者χ-l=-5x+2=8或者x+2=-8

x=6或者X=-4x=6或者X=-10

例6(1)若∣a-3∣=a-3,則a的取值范圍是一

解：由于褪絕對值符號褪得它本身

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①≥0)得絕對值符號里面的部分a-3是一個非正數(shù)

根據(jù)公式時(shí)

(α≤0)

即a-320,Λa≥3

(2)若∣a-3∣=3-a,則a的取值范圍是

解：由于褪絕對值符號褪得它的相反數(shù)

(°≥0)得絕對值符號里面的部分a-3是一個非負(fù)數(shù)

根據(jù)公式時(shí)

("≤O)

即a-3WO,Λa≤3

非負(fù)數(shù)(兩種非負(fù)數(shù)a?、∣b∣,即a?2。；∣b∣20)

非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：若兩個非負(fù)數(shù)的和為0,必須每個非負(fù)數(shù)都為0。

即若IaI+1bI=0,則a=0且b=0o

22

若a÷b=0,貝!ja=0且b=0o

2

若a÷∣b|=0，則a=0且b=0o

例7若(1)Ix+2I+Iy-3I=0,則xy=.

(2)若(x+2)2+(y-3)2=0,則個產(chǎn)O

(3)若Ix+2I+(y-3)2=0,貝∣J'=.

y

γ

(4)若Ix+2I與(廠3尸互為相反數(shù)，則一=o

y

分析：若兩個非負(fù)數(shù)的和為0,必須每個非負(fù)數(shù)都為0。

解：(1)?.?Ix+2INO,Iy-3I20(2)：(x+2)2^0,(y-3)2≥0

,

..Ix+2I=0,Iy-3I=0Λ(x+2)=0,(y-3)=0

x+2=0,y-3=0x+2=0,y-3=0

x=-2,y=3x=-2,y=3

xy=-2×3=-6χ-y=-2-3=-5

(3)??Ix+2IH,(y-3)2^O(4)Ix+2I與(y-3)2互為相反數(shù)

ΛI(xiàn)x+2I=0,(y-3)2=0即Ix+2I+(y-3)2=0

.Ix+2IH,(y-3)2>0

x+2=0,y-3=0??

..Ix+2I=0,(y-3)2=0

x=-2,y=3?

x__2__2x+2=0,y-3=0

x=-2,y=3

—22

—x=—=—

y33

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例8已知a,b互為相反數(shù)，c,d互為倒數(shù)，m的絕對值是2

求a+b+cd+mj的值

分析：a,b互為相反數(shù)，即a+b=O;c,d互為倒數(shù)，即cd=l；m的絕對值是2,

即m=+2或者m=-2,.*.m2=(+2)2=4或者m2=(-2)2=4

解：根據(jù)題意得，

a+b+cd+m^

=0+1+4

=5

例9計(jì)算：

+(+3.7)=,—(-3.7)=,+(-3.7)=,—(+3.7)=

+I+3.71=_—I-3.71=_+I-3.71=_—I+3.71=

注意區(qū)別：絕對值符號與括號不一樣

去括號時(shí)根據(jù)法則：同號得正，異號得負(fù)

去絕對值符號時(shí)要先算絕對值部分

解：

+(+3.7)=3.7,一(—3.7)=3/7,+(—3.7)=~3.7>—(+3.7)=~3.7.

++3.71=3.7,—I-3.71=~3.7,+-3.7=3.7,—|+3.7|=~3,7.

特殊的數(shù)

最小的正整數(shù)最大的負(fù)整數(shù)相反數(shù)等于絕對值等于倒數(shù)等于

本身的數(shù)本身的數(shù)本身的數(shù)

-1√√

0√√

丁~T~√√√

有理數(shù)的加減法

1.有理數(shù)加法的運(yùn)算律

⑴加法交換律：a+b=b+a

⑵加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)

在運(yùn)用運(yùn)算律時(shí)，一定要根據(jù)需要靈活運(yùn)用，以達(dá)到化簡的目的，通常有下列規(guī)

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律：

①互為相反數(shù)的兩個數(shù)先相加一一“相反數(shù)結(jié)合法”；

②符號相同的兩個數(shù)先相加一一“同號結(jié)合法”；

③分母相同的數(shù)先相加一一“同分母結(jié)合法”；

④幾個數(shù)相加得到整數(shù)，先相加一一“湊整法”；

⑤整數(shù)與整數(shù)、小數(shù)與小數(shù)相加一一“同形結(jié)合法”。

5.有理數(shù)加減混合運(yùn)算中運(yùn)用結(jié)合律時(shí)的一些技巧：

I.把符號相同的加數(shù)相結(jié)合(同號結(jié)合法)

(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)

原式=-33+18T5T+23(去括號)

=-33-15-1+18+23(歸歸類把符號相同的數(shù)結(jié)合在一起)

=-49+41(各算各的，加與加算，減與減算)

=-8(最后再合并)

II.把分母相同或便于通分的加數(shù)相結(jié)合(同分母結(jié)合法)

313217

524528

原r式s二.一一3—一2—一1+1一+3-——7

552248

=-l+0--

8

III.既有小數(shù)又有分?jǐn)?shù)的運(yùn)算要統(tǒng)一后再結(jié)合(先統(tǒng)一后結(jié)合)

32

(+0.125)-(-3-)+(-3^)-(-10^)-(+1.25)

43

]212I

原式=上+32-3乙+10±-1上

84834

31112

=3己-「+、3上+102

44883

=2,-3+1()2

23

=-3+13?

6

?lθ?

6

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IV.先拆項(xiàng)后結(jié)合

(l+3+5+7???+99)-(2+4÷6+8???+100)

=1+3+5+7…+99-2-4-6-8???-100

=1-2+3-4+5-6+?二§???+97-98+99-100(Ioo個數(shù)字2個一對共有50對)

=-l-l-l-l???-1-1

=-l×50

=-50

有理數(shù)的乘除法

1.有理數(shù)的乘法法則

①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘；

②任何數(shù)同0相乘，都得0；

③幾個不是0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積是正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個數(shù)是

奇數(shù)時(shí)，積是負(fù)數(shù)；

④幾個數(shù)相乘，如果其中有因數(shù)為0,則積等于0?

2.倒數(shù)

乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，其中一個數(shù)叫做另一個數(shù)的倒數(shù)，用式子表示為

a?1=1(a≠0),就是說a和L互為倒數(shù)，即a是L的倒數(shù)，［是a的倒數(shù)。

aaaa

注意：①。沒有倒數(shù)；

②求假分?jǐn)?shù)或真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，只要把這個分?jǐn)?shù)的分子、分母點(diǎn)顛倒位置即可；

求帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)時(shí)，先把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再把分子、分母顛倒位置；

③正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)。(求一個數(shù)的倒數(shù)，不改變這個數(shù)

的性質(zhì))；

④倒數(shù)等于它本身的數(shù)是1或-1,不包括Oo

3.有理數(shù)的乘法運(yùn)算律

⑴乘法交換律：ab=ba

⑵乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc).

⑶乘法分配律：a(b+c)=ab+ac

4.有理數(shù)的除法法則

(1)除以一個數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。

(2)兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除。0除以任何一個不等

于0的數(shù)，都得0

5.有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算

(1)乘除混合運(yùn)算往往先將除法化成乘法，然后確定積的符號，最后求出結(jié)果。

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(2)有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算，如無括號指出先做什么運(yùn)算，則按照'先乘

除，后加減'的順序進(jìn)行。

有理數(shù)的乘方

1.乘方的概念

求n個相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做第。在a"中，a叫

做底數(shù)，n叫做指數(shù)。

2.乘方的性質(zhì)

(1)負(fù)數(shù)的奇次塞是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次塞的正數(shù)。

(2)正數(shù)的任何次塞都是正數(shù)，O的任何次嘉都是0。

注意區(qū)分：-42和(-4-

-42=—4X4=116

(-4)2=(-4)×(—4)=16

有理數(shù)混合運(yùn)算的順序：

先乘方，再乘除，最后加減；同級運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；如有括號，先做

括號內(nèi)的運(yùn)算，按小括號，中括號，大括號依次進(jìn)行。

比如以下基礎(chǔ)題

(1)10-(-4)(2)10-1-41(3)10-(-4)(4)10-(-4)2÷(-2)

=10+4=10-4=10-16=10-16÷(-2)

=-6

=14=6=10-(-8)

(5)10÷(-3)×(-1)(5)10÷(-3)×(一1)=10+8

=18

=10÷l=IOX(-|)×(-|)

=10(錯誤)

=IOXt=E(正確)

例10計(jì)算(1)(-3)2-(—8)×(—2)+I—4∣-(-4)2÷(-2)

(2)-32—(—8)×(—2)+—4∣-(-4)2÷(-2)

(3)(-1)4×5-(1—|-|)X(-24)—(~4)2÷(-2)~22

(4)-14×5-(^―I—3)X(^24)一(一4)2÷(-2)~22

解：(1)(2)

(-3)2—(—8)×(—2)+I—4∣-(-4)2÷(-2)~32—(―8)X(―2)+|—4∣-(-4)2÷(-2)

=9-8×2+4-16÷(-2)=-9-8×2+4-16÷(-2)

=9-16+4-(-16÷2)第8貝共40貝=-9-16+4-(-16÷2)

=9-16+4-(-8)=-9-16+4-(-8)

(3)

(-1)4×5-(1—1-∣)×(-24)—(~4)2÷(-2)'i-2~

7ιS

=1×5-?×(-24)-?×(-24)-7×(-24)]-16÷(-8)-4

?oO

=5-[-16—(-3)—(-20)]-(-2)~4

=5-(-16+3+20)+2-4

=5-(-16+23)+2-4

=5-7+2-4

=5+2-7-4

=7-11

=-4

科學(xué)記數(shù)法：把一個很長很長的數(shù)表示成aXl(Γ的形式(其中IWlalV10,n

是正整數(shù))，這種方法叫做科學(xué)記數(shù)法。原數(shù)中小數(shù)點(diǎn)向左移動幾位n

就是幾。比如：52000000=52000000.=5.2XIO7；

-52000000=-52000000.=一5.2×IO7

近似數(shù)

1.只有近似數(shù)有精確度的問題，準(zhǔn)確數(shù)不存在精確度問題。

2.一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就近似到哪一位。

(近似到哪一位，看最后一個數(shù)字在哪個位數(shù)上，如：3?58×104,是一個萬位

數(shù)，最后一個數(shù)字8在百位上，所以精確到百位。)

例IL按括號內(nèi)的要求，用四舍五入法對下列各數(shù)取近似數(shù)：

⑴2.715(精確到百分位)；

(2)0.1395(精確到0.001)；

(3)561.53(精確到個位)；

(4)21.345(精確到0.1).

解：(1)2.72.(2)0.140.(3)562.(4)21.3.

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程序化

有理數(shù)的混合運(yùn)算先定運(yùn)算順序、再定每步運(yùn)算的符號、只需要處理好符號，

然后用絕對值進(jìn)行計(jì)算，轉(zhuǎn)化為小學(xué)的計(jì)算。

特別注意

1.概念題不要忽略“0”，注意“0”是有理數(shù)按符號分類中的一類，要把所有

情況都考慮到；

2.計(jì)算題不要丟符號，注意“一步定號”，再算絕對值；

3.遇到拿不準(zhǔn)的問題，回到定義、法則去考慮；

4.遇到讀不懂題的時(shí)候，把中文敘述和數(shù)學(xué)符號語言相互轉(zhuǎn)化試一試；

規(guī)律尋找題

結(jié)果與該數(shù)字(圖形)所處位置n之間的關(guān)系

(1)偶數(shù)倍(2n)

(2)奇數(shù)倍(2n+l或者2n-l)

(3)平方(?e、平方多1(n2+l).平方少1(n2-l)

(4)2的乘方(2n)

(5)幾倍(幾n)、幾倍多幾(幾n+幾)、幾倍少幾(幾n-幾)

(6)以上的綜合

流程為：觀察-猜想一驗(yàn)證

例1觀察下列各式數(shù)：0,3,8,15,24,......o試按此規(guī)律寫出的第100

個數(shù)是，

解答這一題，可以先找一般規(guī)律，然后使用這個規(guī)律，計(jì)算出第100個數(shù)。

我們把有關(guān)的量放在一起加以比較：

給出的數(shù)：0,3,8,15,24,......o

所處位置：1,2,3,4,5,......O

容易發(fā)現(xiàn)，己知數(shù)的每一項(xiàng)，都等于它的序列號的平方減1。因此，第n項(xiàng)

是M-1,第IoO項(xiàng)是Ioo2-1。

2.觀察下列單項(xiàng)式：一x,3x^,—5X3,7x',???,—37xl?39xa1,???,回答下列

問題：

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(1)這組單項(xiàng)式的系數(shù)的規(guī)律是什么？

⑵這組單項(xiàng)式的次數(shù)的規(guī)律是什么？

(3)根據(jù)上面的歸納，你可以猜想出第n個單項(xiàng)式是什么？

(4)請你根據(jù)猜想，寫出第2015,2016個單項(xiàng)式.

解：(1)這組單項(xiàng)式的系數(shù)的符號規(guī)律是(-1尸，系數(shù)絕對值的規(guī)律是2n—l.

(2)次數(shù)的規(guī)律是從1開始的連續(xù)自然數(shù).

(3)第n個單項(xiàng)式是(-1)n(2n—1)xn.

⑷第2015個單項(xiàng)式是一4029”,第2016個單項(xiàng)式是4031x2°16.

例2.用黑白兩顏色的正六邊形地面磚按如圖所示規(guī)律，拼成若干個圖案:

(1)第4個圖案中有白色地面磚.塊;

(2)第〃個圖案中有白色地面磚

第一個

觀察途徑一:

第一個

(1)每個黑色地磚周圍都有6塊白色地磚，理論來說第4個圖案中有白色地

磚6X4=24塊,但是每兩個相鄰黑色地磚之間都有2塊白色地磚重疊，第二個

圖形重疊2X(二-1)=2塊，第三個圖形重疊2義(三-1)=4塊，第四個圖形重

疊2X(四T)=6塊，.?.第4個圖案中的實(shí)際白色地磚=理論數(shù)-重疊數(shù)，即6

義4-2X(四T)=18塊;

(2)每個黑色地磚周圍都有6塊白色地磚，理論來說第n個圖案中有白色地

磚6n塊,但是每兩個相鄰黑色地彼之間都有2塊白色地磚重疊，第二個圖形重

疊2義(--1)=2塊，第三個圖形重疊2X(≡-l)=4塊，第四個圖形重疊2X

(四-1)=6塊，

……第n個圖形重疊2義(n-l)=2(n-l)塊，

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.?.第n個圖案中的實(shí)際白色地磚=理論數(shù)-重疊數(shù)，即6n第(nT)=4n+2塊,

觀察途徑二：

(1)第一個圖形有6塊白色地磚，后面每個圖形都比前一個圖形多4塊白色地

成，如圖所示第四個圖形比第一個圖形多4X(四-1)=12塊，.?.第四個圖形共

有白色地磚6+4X(四T)=18塊；

(2)第一個圖形有6塊白色地磚，后面每個圖形都比前一個圖形多4塊白色地

磚,如圖所示第n個圖形比第一個圖形多4X(n-l)=12塊，.?.第n個圖形共有

白色地磚6+4X(n-l)=4n+2塊;

觀察途徑三：

第一個第二個第三個

每個圖形最左邊的2塊白色地磚除外，剩余白色地磚都是黑色地磚的4倍，如圖

所示.?.第四個圖形共有白色地磚4X4+2=18塊:第n個圖形共有白色地磚4n+2

塊；

觀察途徑四：

第一個第二個第三個

每個圖形左上角和右下角的2塊白色地磚除外，都是由這種個體構(gòu)

成，

.?.第四個圖形共有白色地礦4X4+2=18塊;第n個圖形共有白色地地4n+2塊;

第二章整式的加減

知識點(diǎn)一

第12頁共40頁

1.單項(xiàng)式一一由數(shù)字與字母或字母與字母的相乘組成的代數(shù)式叫單項(xiàng)式.

2.單項(xiàng)式的系數(shù)一單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫單項(xiàng)式的系數(shù).

3.單項(xiàng)式的次數(shù)——單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)的和叫單項(xiàng)式的次數(shù).

例1如果單項(xiàng)式-Xyv和5aE都是五次單項(xiàng)式，那么m=_____,n=；單

項(xiàng)式-χy"z"的系數(shù)是,3aE'的系數(shù)是。

解：（1）單項(xiàng)式-χy"z"和5a'b"都是五次單項(xiàng)式

二單項(xiàng)式3a'b"的指數(shù)和4+n=5；單項(xiàng)式-XymZ"的指數(shù)和m+n=5

由4+n=5得n=l,把n=l代入上面m+n=5中得m+l=5解之得m=4

（2）單項(xiàng)式-χy"z”的系數(shù)是-1,3aE的系數(shù)是3

知識點(diǎn)二

L幾個單項(xiàng)式的和是多項(xiàng)式,每個單項(xiàng)式是多項(xiàng)式的項(xiàng),次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)是

多項(xiàng)式的次數(shù)，不含字母的項(xiàng)是多項(xiàng)式的.

2.單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式.

例2多項(xiàng)式5a2-2a?+ab2-4b2-6的項(xiàng)分別是

常數(shù)項(xiàng)是,它是—次一項(xiàng)式

解:它的項(xiàng)分別是5消-2a?,+ab2,-4b2,-6,常數(shù)項(xiàng)是-6

它是三次五項(xiàng)式（次數(shù)以-2a?b的或者+ab?的為準(zhǔn)）

1.同類項(xiàng)：（1）所含字母相同；

（2）相同字母的指數(shù)也相同.

例3若-2χ3y"與5x"y是同類項(xiàng)，則a+b=.

解析：?.?-2x"與5dy是同類項(xiàng)，

.?.x的指數(shù)與X的指數(shù)相同，y的指數(shù)與y的指數(shù)相同

即3=b,a=l,

.?.a+b=1+3=4.

（2）合并同類項(xiàng)——把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng)

合并同類項(xiàng)法則：就是根據(jù)分配律把同類項(xiàng)的系數(shù)相加減；字母部分保持不變.

歸納步驟：

（1）找出同類項(xiàng)并做標(biāo)記；

（2）運(yùn)用交換律、結(jié)合律將多項(xiàng)式的同類項(xiàng)結(jié)合；

（3）合并同類項(xiàng)；

第13頁共40頁

(4)按同一個字母的降幕(或升塞排列).

例4計(jì)算3x2y-χy2z-4xy-5xy2--yx+4y2x-7yx2+y2xz

3

_2_

解：3χ2y-χyZ4xy_5xy2Fyx+4y2x-7yx2+y2xz

2_22

二3χ2y-7yχLχy'+y'xz=4xy^-Qyx_5xy2+4y2x

_2

=3x1y-7Xv-Xy,z+xyZ4xyFxy-5xyj+4xy2

/2142

=~4xxy-χy

合并同類項(xiàng)法則：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加減；字母部分保持不變.

f3-7r=-4A-1…+1=2.0C4.—2=4----2----=---1--2----2-=---1--4?5L+4=?l

~=313333

例5若將X-y看成一個整體，則化簡(x—y)'—3(x—y)—4(x—y)'+5(χ-y)的結(jié)果是

()

解：(X—y)^-3(χ-y)-4(χ-y)"+5(χ-y)

=(χ-y)2—4(χ-y)2—3(χ-y)÷5(x-y)

=—3(χ-y)"÷2(χ-y)

去括號法則：利用乘法分配律把括號前的運(yùn)算符號連同倍數(shù)分給括號里的每一

項(xiàng)，分配符號時(shí)打打箭頭，同號得正，異號得負(fù)。

例6計(jì)算

(1)4a-b-3(a+2b-l)

=4a-b—3a—6b÷3

=4a—3a—b—6b÷3

=a-7b+3

第14頁共40頁

(2)(2χ-3y)+4(x+2y-6)

=2χ-3y+4x+8y-24

=2x+4χ-3y+8y-24

=6x+5y-24

化簡求值時(shí)，幕運(yùn)算中當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)或者是分?jǐn)?shù)時(shí)，要把底數(shù)用括號括起來。比

如：

22

當(dāng)a=-4,b=1時(shí)，a2+b2=-42+f2(錯誤)

當(dāng)a=-4,b=1時(shí)，a2+b2=(-4)2÷(1)2(正確)

當(dāng)兩個符號連在一起時(shí)，要把后一個符號連同數(shù)字用括號括起來

比如：10+-210一一210×-210÷-2(錯誤)

10+(-2)10-(-2)10×(-2)10÷(-2)(正確)

解應(yīng)用題的基本步驟：審清題意(分析題中各數(shù)量之間的關(guān)系)，關(guān)鍵在于

抓住問題中的有關(guān)數(shù)量關(guān)系，仔細(xì)讀題，找出題目里的關(guān)鍵字。有關(guān)常見應(yīng)用

題類型及各量之間的關(guān)系

1.和、差、倍、分問題：

相加的關(guān)系。例如：“大，多，增加，提高，上升，推遲，和，合，共，”，

利用這些關(guān)鍵字列出式子。

相減的關(guān)系。例如：“小，少，減少，減少，降低，提前，差，……”，利

用這些關(guān)鍵字列出式子。

相乘的關(guān)系。例如：“幾倍，幾分之幾，……”，利用這些關(guān)鍵字列出式子。

2.相關(guān)公式

行程問題：路程=時(shí)間X速度

總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量總量=單量×件數(shù)

總產(chǎn)量=畝產(chǎn)量X畝數(shù)總產(chǎn)量=公頃產(chǎn)量X公頃數(shù)

商品銷售問題：利潤=售價(jià)-成本，

總利潤=單件利潤義件數(shù)，或總利潤=總售價(jià)-總成本

商品售價(jià)=商品標(biāo)價(jià)X折扣率(即售價(jià)=定價(jià)?折?木)

A的具體數(shù)量=總數(shù)量XA所占總數(shù)的百分率

順逆流問題：V順?biāo)?V靜+v水,V逆水=V靜一V水；

第15頁共40頁

V順風(fēng)=V靜+v風(fēng)，V逆風(fēng)=V靜一V風(fēng)

周長、面積、體積問題：SA=5底Xj?,C圓=2冗R,S圓=nR)C長方形=2(長

+寬)，S長方形二長X寬，S平行四邊形二底×高，C正方形=4×邊長9S正方形二邊

長2,S環(huán)形=π(R2-r2),V長方體=長X寬X高,V正方體=邊長3,V圓柱=S底X高,

3.數(shù)字問題

(1)要搞清楚數(shù)的表示方法：一個兩位數(shù)，若a是十位上的數(shù)，b是個位上

的數(shù)數(shù)，則該兩位數(shù)表示為：10a+b；比如：58=5X10+8

一個三位數(shù)，若a是百位上的數(shù)，b是十位上的數(shù)，c是個位上的數(shù)，則

該三位數(shù)是：100a+10b+c;比如：358=3X100+5X10+8

(2)數(shù)字問題中一些表示：兩個連續(xù)整數(shù)之間的關(guān)系，較大的比較小的大1;

偶數(shù)用2n表示，連續(xù)的偶數(shù)用2n+2或2n-2表示；奇數(shù)用2n+l或

2n-1表示.

例1買一個籃球需要X元，買一個排球需要y元，買一個足球需要Z元，買3

個籃球、5個排球、2個足球一共需要多少錢？

分析：買籃球的錢=籃球的單價(jià)X籃球數(shù)量

買排球的錢=排球的單價(jià)X排球數(shù)量

買足球的錢=足球的單價(jià)×足球數(shù)量

總共買球的錢=買籃球的錢+買排球的錢+買足球的錢

即：總共買球的錢=3x+5y+2z

L填空：

(1)如果5元表示收入5元，那么一3元表示；

(2)如果7千克表示增加7千克，那么一8千克表示；

(3)如果一9米表示向左運(yùn)動9米，那么9米表示；

(4)如果5米表示向東運(yùn)動5米，那么一5米表示,

那么0米表示；

(5)如果0.2米表示水位高于正常水位0.2米，-0.2米表示,

那么0米表示.

L把下列各數(shù)填在相應(yīng)的大括號里：2016,1,-1,-2015,0.5,?,-?

LUO

-0.75,0,20%.

(1)整數(shù)：｛…｝；

第16頁共40頁

⑵正分?jǐn)?shù)：{…};

⑶負(fù)分?jǐn)?shù)：{…};

⑷正數(shù)：{…};

⑸負(fù)數(shù)：{…};

（6）非負(fù)數(shù)：{…}

1'.在下表適當(dāng)?shù)目崭窭锎蛏稀疤?

整數(shù)分?jǐn)?shù)正數(shù)負(fù)數(shù)自然數(shù)有理數(shù)

丁

5

7

0

-3.11

-12

1'.在數(shù)軸上與表示2的點(diǎn)距離5個單位長度的點(diǎn)表示的數(shù)是—

Γ.數(shù)軸上與原點(diǎn)距離為4個單位長度的點(diǎn)表示的數(shù)是.

2.填空

5-3I2

2^5

相反數(shù)

?

絕時(shí)值

3.絕對值小于5的所有整整數(shù)有

3'.絕對值不大于5的所有整整數(shù)有

4.若∣a∣=2,∣b∣=3,則a+b=

5解下列方程(1)∣x∣=2(2)∣χ-l∣=10(3)∣x+2∣=6

6.(1)若∣a-2∣=a-2,則a的取值范圍是。

7.(1)若Ia+2I+Ib-3I=0,貝IJab=.

(2)若(a+3F+(b-5)2=0,則a-b=□

(3)若Ia+3I+(b-5)-0,則q=________.

h

(4)若Ia+3I與(b-5)2互為相反數(shù)，貝IJf=____O

h

第17頁共40頁

(5)若a—2與-7互為相反數(shù)，求a的值.

8.已知a,b互為相反數(shù)，c,d互為倒數(shù)，m的絕對值是2

求2(a+b)-3(cd)+4m?的值

9.計(jì)算：

+(+5)=____,—(—5)=_____,+(-5)=_____,—(+5)=.

+1+5∣=,—I—5|=____,+1—5|=,—I+5∣=.

91下列各對數(shù)：-1與+(—1),+(+1)與一1,一(—2)與+(—2),—(—12)

與+(+12),—(+5)與一(一5),其中互為相反數(shù)的有()

A.O對B.1對

C.2對D.5對

10.計(jì)算(1)(-3)2-(-8)×(-2)+I—4∣-(-4)2÷(-2)

(2)~32—(―8)X(―2)+I—41-(-4)'÷(-2)

(3)(-1)4×5-(∣-∣-∣)×(-24)-(-4)2÷(-2)3-22

(4)-14×5-(∣-∣-∣)X(-24)-(-4)2÷(-2)3-22

(5)-I6-(1-0.5)×∣×[2-(-3)2]

(6)(-10)3+[(-4)2-(l-32)×2]

171133

(7)lO÷(-3)×(-3)÷6×?-?×U÷5

(8)計(jì)算：7016-1"706-D*(201廠)X…*(1000-

11.規(guī)定一種新運(yùn)算“X"，兩數(shù)a、b通過“X”運(yùn)算得(a+2)X2—b,即a

???b=(a+2)×2-b,例如：3X5=(3+2)X2—5=10—5=5.根據(jù)上面規(guī)定解答

下題：

(1)求7※(-3)的值；

(2)7※(一3)與(-3)X7的值相等嗎？

11'.“！”是一種運(yùn)算符號，并且1!=1,2!=1X2,3!=1×2×3,4!=

π,2016!,,.??,,、

1×2×3×4,則m-的值為()

L。Ulo!

A.2013B.2014C.2015D.2

016

H'.(銅仁中考)照下圖所示的操作步驟，若輸入X的值為5,則輸出的值為

I輸入XI--1加上5∣?1平方1--1減去31-?I輸出

6.36622500502

第18頁共40頁

12.用科學(xué)記數(shù)法表示下列各數(shù)

①3010000000②15800000③3618④216000⑤一80000(6)-712.3

13.下列用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)，原來分別是什么數(shù)？

3.5×10%1.20×105,-9.3×10',-2.34×10a.

14.按括號內(nèi)的要求，用四舍五入法對下列各數(shù)取近似數(shù)：

⑴2.715(精確到百分位)；

(2)0.1395(精確到0.001)；

(3)561.53(精確到個位)；

(4)21.345(精確到0.1).

15.在數(shù)軸上，一只螞蟻從原點(diǎn)出發(fā)，它先向右爬了4個單位長度到達(dá)點(diǎn)A,再

向右爬了2個單位長度到達(dá)點(diǎn)B,然后又向左爬了10個單位長度到達(dá)點(diǎn)C.

(1)畫出數(shù)軸并標(biāo)出A、B、C三點(diǎn)在數(shù)軸上的位置；

如圖：

⑵寫出A、B、C三點(diǎn)表示的數(shù)；

⑶根據(jù)點(diǎn)C在數(shù)軸上的位置，C點(diǎn)可以看作是螞蟻從原點(diǎn)出發(fā)，向哪個方向爬

了幾個單位長度得到的？

16.檢修小組從A地出發(fā)，在東西路上檢修線路，如果規(guī)定向東行駛為正，向西

行駛為負(fù)，一天中行駛記錄如下(單位：千米)：-4,+7,-9,+8,+6,-4,

-3.

(1)則收工時(shí)距A地多少千米？(說明方向和距離)

(2)檢修小組這天總共行駛了多少千米？

(3)若汽車每千米耗油0.2升，問從A地出發(fā)到收工時(shí)共耗油多少升？

16l.一只小蟲從某點(diǎn)0出發(fā)在一直線上來回爬行，假定向右爬行的路程記為正

數(shù)，向左爬行的路程記為負(fù)數(shù)，爬行的各段路程依次為(單位：厘米)：+5,-3,

+10,—8,—6,+12,—10.問：

⑴小蟲最后是否回到出發(fā)點(diǎn)0?

(2)小蟲離開出發(fā)點(diǎn)0最遠(yuǎn)是多少厘米？

(3)在爬行過程中，如果每爬行1厘米獎勵2粒芝麻，則小蟲一共得到多少粒芝

麻？

17.某公司2013年前四個月盈虧的情況如下(盈余為正)：一160.5萬元，一120

萬元，+65.5萬元，280萬元.

第19頁共40頁

試問2013年前四個月該公司總的盈虧情況.

17'.用簡便方法計(jì)算：

某產(chǎn)糧專業(yè)戶出售余糧10袋，每袋重量如下(單位：千克)：199、201、197、203、

200、195、197、199、202、196.

(1)如果每袋余糧以200千克為標(biāo)準(zhǔn)，求這10袋余糧總計(jì)超過多少千克或者不足

多少千克？

⑵這10袋余糧一共多少千克？

18.北京航天研究院所屬工廠，制造“神舟”10號飛船上的一種螺母，要求螺

母內(nèi)徑可以有±0?02mm的誤差，抽查5個螺母，超過規(guī)定內(nèi)徑的毫米數(shù)記作正

數(shù)，沒有超過規(guī)定內(nèi)徑的毫米數(shù)記作負(fù)數(shù)，檢查結(jié)果如下：

+0.01-0.018+0.026-0.025+0.015

(1)指出哪些產(chǎn)品是合乎要求的？(即在誤差范圍內(nèi)的)

(2)指出合乎要求的產(chǎn)品中哪個質(zhì)量好一些？(即最接近規(guī)定尺寸)

19.某只股票上周末的收盤價(jià)格是10.00元，本周一到周五的收盤情況如下表：

(“十”表示股票比前一天上漲，“一”表示股票比前一天下跌)

上周末

周一周二周田二一周四周五

收盤價(jià)

10.00+0.28—2.36+1.80-0.35+0.08

(1)周一至周五這只股票每天的收盤價(jià)各是多少元？

(2)本周末的收盤價(jià)比上周末收盤價(jià)是上漲了，還是下跌了，上漲(下跌)多少？

(3)這五天的收盤價(jià)中哪天的最高？哪天的最低？相差多少？

19l.上周五某股民小王買進(jìn)某公司股票IooO股，每股35元，下表為本周內(nèi)每

日股票的漲跌情況(單位：元)：

星期二—?五

每股漲跌+4+4.5-1—2.5—6

則在星期五收盤時(shí)，每股的價(jià)格是

第二章整式的加減

1.填表：

第20頁共40頁

3vt

-2a51.3h-xy2-t*2

~~Γ322

單項(xiàng)式2xy2πab

系數(shù)

次數(shù)

2.填表:

多項(xiàng)式m^n2+m3-2n-3a2+2a2b+ab2-b"+l3x^y-4xy-l

4次項(xiàng)

3次項(xiàng)

2次項(xiàng)

1次項(xiàng)

常數(shù)項(xiàng)

幾次幾項(xiàng)式

2.關(guān)于X的多項(xiàng)式(a—4)x,-x"+x—b是二次三項(xiàng)式，則a=,b=

.2m2n.,2q3,m—

2.下列式子：4xy,X÷χ-?,—,y9+y+一，2x—3,O,——+a,m,-7

32yabm÷

x-13

^^2^,?

其中單項(xiàng)式有；

其中多項(xiàng)式有;

整式有.

3.(1)當(dāng)k=時(shí),3x2ky與-XZy是同類項(xiàng).

(2)當(dāng)m=,n=時(shí)，3χ2"yii與-Xtyn是同類項(xiàng).

(3)已知-2a"b與Ib””是同類項(xiàng)，則2n-m=.

(4)若2xV與-3xV是同類項(xiàng)，則m=,n=.

(5)若一2xV與3x"y"能合并同類項(xiàng)，則m—3n的值是.

4.已知一個多項(xiàng)式與3xM?9x的和等于3(+4χ-l,則這個多項(xiàng)式是()

A.—5x—1B.5x+l

C.-13χ-lD.13x+l

4'.若A=X?-xy,B=xy÷y2,則A+B為()

第21頁共40頁

A.x2+y2B.2xy

C.-2xyD∏.X2-y2

41.計(jì)算3a'+2a-l與a'-5a+l的差，結(jié)果正確的是(

A.4a2-3a-2B.2a—3a—2

C.2a2+7aD.2a2+7a-2

4'.若m—(―3x)=2x“一3x—3,則m應(yīng)該是()

A.2x2—3B.2x'-3x-3

C.2X2-6x—3D.2χ2-9χ-3

41.X2—x+5減去3x"-4的結(jié)果是.

4'.多項(xiàng)式與m"+m—2的和是m2—2m.

5.計(jì)算：

(1)a+2b+3a—2b；(2)2(a—1)—(2a—3)+3；

⑶2(2a2+9b)+3(—5a2—4b)；(4)3(x3+2x^—1)—(3x3+4x2—2)；

(5)3(X2-x2y-2x2y2)—2(-x2÷2x2y-3)；

(6)—(2x'+3xy-1)+(3x2-3xy+χ-3)；

(7)a3b+(a?—2c)—2(a3b—c)；

(8)(4ab—b2)—2(a2+2ab-b2)；

6.先化簡，再求值：

(1)(4a+3a2-3-3a)-(-a+4a).其中a=-2；

(2)2(x2y÷xy)—3(x2y-xy)—4x2y,其中x=l,y=—L

(3)已知A=4ab—2b>—a2B=3b—2a2÷5ab,當(dāng)a=L5,b=一?時(shí),求3B一

4A的值.

61若a2+b2=r5,則式子(3a*—2ab—b2)—(a2—2ab—3b,)的值是.

7.已知χ2-χ+l的2倍減去一個多項(xiàng)式得到3χ2+4χ-l,求這個多項(xiàng)式.

8.已知x、y互為相反數(shù),且|y—3|=0,求2(x3-2y2)—(x—3y)—(χ-3y2÷2x3)

的值.

9.某工廠第一車間有X人，第二車間比第一車間人數(shù)的3少30人，如果從第二

車間調(diào)出10人到第一車間，那么：

(1)兩個車間共有多少人？

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（2）調(diào)動后，第一車間的人數(shù)比第二車間多多少人？

10.

（1）某種商品每袋4.8元，在一個月內(nèi)的銷售量是m袋，用式子表示在這個月

內(nèi)銷售這種商品的收入.

（2）圓柱體的底面半徑、高分別是r,h,用式子表示圓柱體的體積.

（3）有兩片棉田，一片有mhm2（公頃，Ihm2=104m2）,平均每公頃產(chǎn)棉花

akg；另一片有nhm2,平均每公頃產(chǎn)棉花bkg,用式子表示兩片棉田上棉花的

總產(chǎn)量.

（4）在一個大正方形鐵片中挖去一個小正方形鐵片，大正方形的邊長是。mm,

小正方形的邊長是bmm,用式子表示剩余部分的面積.

（5）5箱蘋果重mkg,每箱重__________kg；

（6）一個數(shù)比α的2倍小5,則這個數(shù)為；

（7）全校學(xué)生總數(shù)是X,其中女生占總數(shù)52%,則女生人數(shù)是,

男生人數(shù)是;

（8）某校前年購買計(jì)算機(jī)X臺，去年購買數(shù)量是前年的2倍，今年購買數(shù)量又

是去年的2倍，則學(xué)校三年共購買計(jì)算機(jī)臺；

（9）某班有。名學(xué)生，現(xiàn)把一批圖書分給全班學(xué)生閱讀，如果每人分4