特殊的平行四邊形-2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（全國通用）

考向25特殊的平行四邊形

【考點(diǎn)梳理】

L矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形。

2.矩形的性質(zhì)：矩形的四個角都是直角；矩形的對角線互相平分且相等；矩形是軸對有兩稱圖形，即經(jīng)過對邊

中點(diǎn)的兩條直線是對稱軸。（也是中心對稱圖形）

3.矩形判定定理：

①.有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。

②.對角線相等的平行四邊形是矩形。

.有三個角是直角的四邊形是矩形。

4菱形的定義：鄰邊相等的平行四邊形。

5.菱形的性質(zhì)：菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形是軸對

稱圖形，兩條對角線所在的直線是對稱軸。（也是中心對稱圖形）

6.菱形的判定定理：

①.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

C）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

?四條邊相等的四邊形是菱形。

7.S菱形=~ab（a、b為兩條對角線）=底X高

8.正方形定義：一個角是直角的菱形或鄰邊相等的矩形。

9.正方形的性質(zhì)：四條邊都相等，四個角都是直角。正方形既是矩形，又是菱形。

10.正方形判定定理：

（1）鄰邊相等的矩形是正方形。

（2）有一個角是直角的菱形是正方形。

或者先證一個四邊形是矩形，再證一個四邊形是菱形。反過來證也行

技巧、（D順次連接對角線互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的中點(diǎn)四邊形是矩形；

（2）順次連接對角線互相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的中點(diǎn)四邊形是菱形。

【題型探究】

題型一：矩形的性質(zhì)

1.（2023?廣東深圳??？家荒＃┤鐖D，在矩形ABCZ）中，對角線4C與8。相交于點(diǎn)。，已知NACe=25。，則NAoB

C.50oD.250

2.（2022.廣東佛山.校考一模）如圖，在矩形438中，BC=I2,點(diǎn)E為Ao的中點(diǎn)，點(diǎn)F為Co邊上一點(diǎn)，DF=2,

將線段EF繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)”恰好在線段BF上，過H作直線HW_LAD于點(diǎn)M,交Be于點(diǎn)N,

則CF的長為（）

C.6D.8

3.（2022.山東荷澤?統(tǒng)考二模）如圖，已知矩形A8CO中，點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn)AE=3C,DFlAE,BE=2,EC=I,

2

垂足為F下列結(jié)論：①Z?AD尸絲Z?fi4B;?AF=EBi③。尸平分工AOC；④SinNCz）F=I其中正確的結(jié)論有

C.3個D.4個

題型二：矩形的判定

4.（2022.河南鄭州.鄭州外國語中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，YABc。中的對角線AC,B。相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E、F在BD

上，且BE=DF,連接AE,EC,CRE4,下列條件能判定四邊形AECF為矩形的是（）

D

A.BE=EOB.EO=-ACC.ACA.BED.AE=AF

2

5.（2022.湖北襄陽.統(tǒng)考中考真題）如圖,。ABCD的對角線AC和BD相交于點(diǎn)。，下列說法正確的是（)

B.若AC=B。，則CABCQ是菱形

C.若CM=O￡>,則□A8CO是菱形D.若AC_LB。，貝心4?CZ）是菱形

6.（2022.湖北恩施.統(tǒng)考中考真題）如圖,在四邊形ABC。中，ZA=ZB=90o,AZ)=10cm,8C=8cm,點(diǎn)尸從點(diǎn)O

出發(fā)，以ICm/s的速度向點(diǎn)4運(yùn)動，點(diǎn)M從點(diǎn)B同時出發(fā)，以相同的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)其中一個動點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)

時，兩個動點(diǎn)同時停止運(yùn)動.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為f（單位：s）,下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)r=4s時，四邊形ABMP為矩形

B.當(dāng)f=5s時，四邊形CZ）PM為平行四邊形

C.當(dāng)CD=HW時，z=4s

D.當(dāng)CD=CW時，r=4s或6s

題型三：矩形的判定和性質(zhì)綜合問題

7.（2023?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，菱形ABa）中，AC、8。相交于點(diǎn)0,過點(diǎn)B作且BE=OC,

連接CE.

D

（1）求證：四邊形OCEB是矩形;

3

(2)連接。E,當(dāng)AB=5,SinNe48=M，求IanNBr)E的值.

8.（2022?湖南益陽?統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABC。中，AB=?5,BC=9,E是CO邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合）,

作AFLBE于F,CGLBE于G,延長CG至點(diǎn)C，，使CG=CG,連接CF,AC：

（1）直接寫出圖中與AAFB相似的一個三角形；

（2）若四邊形AFeC是平行四邊形，求CE的長；

（3）當(dāng)CE的長為多少時，以C，，F(xiàn),B為頂點(diǎn)的三角形是以C，F(xiàn)為腰的等腰三角形？

9.（2022?黑龍江佳木斯?統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCo的邊OC與X軸重合，與y軸重合,

BC=2,。是OC上一點(diǎn)，且0。，Z）C的長是一元二次方程V-5X+4=0的兩個根（OD>L>C）

（2）在線段AB上有一動點(diǎn)P（不與A、B重合），點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿AB方向勻速運(yùn)動,

到終點(diǎn)B停止，設(shè)運(yùn)動的時間為f秒，過P點(diǎn)作PE〃%）交A。于E,PF〃AD交BD于F,求四邊形Z）EPF的面

積S與時間/的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在（2）的條件下，在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，X軸上是否存在點(diǎn)Q,使以A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若

存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

題型四;菱形的性質(zhì)

10.（2022?貴州銅仁??？寄M預(yù)測）如圖，菱形ABC。的面積為120cn√,正方形AEb的面積為50cn√,則菱形的

邊長是（）

A.13cmB.15cmC.17cmD.20cm

11.（2022?廣東佛山??？既＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系XOy中，菱形AOBC的一個頂點(diǎn)。在坐標(biāo)原點(diǎn)，一邊。8

在X軸的正半軸上，sinNAOB=^,反比例函數(shù)工三在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A,與BC交于點(diǎn)F,則4。尸的

面積等于（）

A.30B.40C.60D.80

12.（2022?山東濟(jì)南??？家荒＃┤鐖D,菱形ABCQ的邊長為8,E、尸分別是AB、AO上的點(diǎn)，連接CE、CF、EF,

AC與EF相交于點(diǎn)G,若BE=AF=2,ZBAD=UOo,則FG的長為（）

一-D

二7

BC

A.巫B.√33

C.2D.—

題型五：菱形的判定

13.（2022?河南信陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測）關(guān)于菱形的判定，以下說法不正確的是（）

A.兩組對邊分別平行且相等的四邊形是菱形B.四條邊相等的四邊形是菱形

C.對角線垂直的平行四邊形是菱形D.對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形

14.（2023?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，平移△4BC到△BOE的位置，且點(diǎn)。在邊AB的延長線上，連接EC,CD,

若AB=BC,那么在以下四個結(jié)論：①四邊形ABEC是平行四邊形；②四邊形EC是菱形；@AClDC；④。C平

分NBDE,正確的有（）

C.3個D.4個

15.（2022?河南南陽?統(tǒng)考一模）如圖（1）,點(diǎn)P從平行四邊形ABCO的頂點(diǎn)A出發(fā)，以ICm/s的速度沿A—8—C

一。路徑勻速運(yùn)動到力點(diǎn)停止.圖（2）是△/?D的面積S（c∕）與運(yùn)動時間心）之間的函數(shù)關(guān)系圖象.下列說法：①平

行四邊形ABCD是菱形；②S平行四邊形AB8=50C〃/；③BC上的高∕?c=10a”;④當(dāng)"24s時，S=16α√.其中正確的

個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

題型六：菱形的判定和性質(zhì)的綜合問題

16.（2022?北京海淀?中關(guān)村中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在-43C中，8。平分/ABC,3。的垂直平分線分別交A8,

BD,BC于點(diǎn)E,F,G,連接。E,DG.

（1）求證：四邊形BGDE是菱形；

⑵若NA8C=30。，NC=45°,ED=G,求CG的長.

17.（2023?山東泰安?新泰市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮阎?，如圖（1）在平行四邊形ABeZ）中，點(diǎn)E,尸分別在BC,CD

上，且AE=AF,ZAEC=ZAFC.

（1）求證：四邊形ABCO是菱形.

（2）如圖（2）,若AD=AT,延長AE,OC交于點(diǎn)G,求證：AF2=AGDF.

（3）在第（2）小題的條件下，連接80,交AG于點(diǎn)H,若HE=4,EG=I2,求A”的長.

題型七：正方形的性質(zhì)

18.（2023,廣東深圳??？家荒＃┤鐖D，已知正方形ABCO的邊長為4,E是AB邊延長線上一點(diǎn)，BE=2,尸是AB

邊上一點(diǎn)，將△CEF沿CF翻折，使點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)G落在Ao邊上，連接EG交折痕CF于點(diǎn)H,則在H的長是（）

C.1d?T

19.（2023?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，正方形ABCr）的邊長為2,點(diǎn)E、尸分別為邊A。、BC上的點(diǎn)，點(diǎn)GH

分別為邊A8、Co上的點(diǎn)，線段G”與E尸的夾角為45。，GH=2叵.則EF=（）

3

AYb??c?￥DY

20.（2022?湖北省直轄縣級單位??？级＃┤鐖D，已知正方形A8C。的邊長為“，E為C。邊上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重

合），將Δ4OE沿AE翻折至A4FE,延長EF交邊BC于點(diǎn)G,連接AG,CF.則下列給出的判斷：①NE4G=45。；

②若CE=%，則tanNGFC=2;③若E為8的中點(diǎn)，則GFC的面積為\"；④若CF=FG,則OE=（√Σ-l）α,

)

B.①②④C.②③④D.①?@④

題型八：正方形的判定

21.（2022秋?九年級課時練習(xí)）四邊形ABCC的對角線AC、BO相交于點(diǎn)O,AD∕∕BC,AD=BC,使四邊形ABCo

為正方形，下列條件中：?AC=HD；②AB=AD；③AB=C￡＞；?ACVBD.需要滿足（）

A.①②B.②③C.②④D.①②或①④

22.（2021?安徽馬鞍山?統(tǒng)考三模）已知，在□ABC。中，NBAC=90。，AC的中點(diǎn)為。，點(diǎn)E,F是對邊BC,AD±.

的點(diǎn)，則下列判斷不正確的是（）

B.當(dāng)AE=C/時，四邊形AEb是平行四邊形

C.當(dāng)AE_LBC,EF經(jīng)過點(diǎn)。時，四邊形AECU是矩形

D.當(dāng)E,尸是8C,A。的中點(diǎn)，且EF=Ae時，四邊形AEC尸是正方形

23.（2022秋?遼寧遼陽?九年級校考階段練習(xí)）如圖，以ABC的三邊為邊分別作等邊ACD.ABE,ABCF,

則下列結(jié)論正確的是（）

A..EBFADFC

B.四邊形ADFE為矩形

C.四邊形ADFE為菱形

D.當(dāng)AB=AC,NBAC=120。時，四邊形Ar)FE是正方形

24.(2022.廣東東莞?可園中學(xué)校考一模)如圖1,YABCD的邊長A8=5,對角線AC平分-8s，點(diǎn)E從A點(diǎn)出

發(fā)沿AB方向以1個單位/秒的速度運(yùn)動，點(diǎn)F從C點(diǎn)出發(fā)沿C4方向以2個單位/秒的速度運(yùn)動，其中一點(diǎn)到達(dá)終

點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為r秒.

圖1圖2

(1)求證：四邊形ABa)是菱形；

(2)若對角線BD=6,當(dāng)f為多少秒時，AAE尸為等腰三角形；

(3)如圖2,若NBA。=60。，點(diǎn)G是。E是中點(diǎn)，作G4,DE交AC于H.點(diǎn)E在48邊上運(yùn)動過程中，線段G”存

在最小值，請你直接寫出這個最小值.

題型九：正方形的性質(zhì)和判定綜合

25.(2022?四川德陽?模擬預(yù)測)已知：四邊形A8C。是正方形，點(diǎn)E在CO邊上，點(diǎn)F在Ao邊上，且/3=Z)E.

(1)如圖1,AE與SF有怎樣的關(guān)系.寫出你的結(jié)果，并加以證明;

(2)如圖2,對角線AC與8。交于點(diǎn)0.BD,AC分別與HE,BF交于點(diǎn)G,點(diǎn)H.

①求證：OG=OH-,

②連接OP,若AP=4,OP=近,求AB的長.

26.(2022?吉林長春?統(tǒng)考模擬預(yù)測)在四邊形ABCD中，AB^AD=?,Z5=ZD=90。，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)(不與點(diǎn)

3,點(diǎn)C重合)，連接4E,將，A8E沿AE翻折得到，ABE,延長EB'交CD于點(diǎn)F.

(1)如圖①，當(dāng)NC=9O。時，四邊形ABCo的形狀為；

(2)在(1)的條件下，隨著點(diǎn)E位置的變化，ACEF的周長是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變化，請求

出它的值：

(3)如圖②，當(dāng)NC=60。時，請直接寫出ACEF的周長.

27.(2022?貴州黔西?統(tǒng)考中考真題)如圖1,在正方形ABCO中，E,尸分別是BC,8邊上的點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)8,

C重合)，且ZEAF=45。.

(1)當(dāng)8E=Z)F時，求證：AE=AFi

(2)猜想BE,EF,三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)如圖2,連接AC,G是C8延長線上一點(diǎn)，6〃，4萬，垂足為乂交4(7于點(diǎn)"且6"=4￡.若"'=。，CH=b,

請用含m6的代數(shù)式表示EF的長.

題型十：特殊平行四邊形的綜合

28.（2023?江蘇蘇州?統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCO中，AB=6,BC=IO,E是AB上一點(diǎn)，BE=2.F是BC上

HF

的動點(diǎn)，連接EF,H是CF上一點(diǎn)且==無（&為常數(shù)，Z≠0）,分別過點(diǎn)尸，H作EF,BC的垂線，交點(diǎn)為G.設(shè)

CF

M的長為*,G”的長為y.

⑵若％=ι時，求y的最大值.

（3）在點(diǎn)尸從點(diǎn)B到點(diǎn)C的整個運(yùn)動過程中，若線段AO上存在唯一的一點(diǎn)G,求此時人的值.

29.（2023?江蘇徐州?徐州市第十三中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，矩形ABs中，A8=6.3C=8,點(diǎn)E是CO的中點(diǎn)，P是

射線DA上一點(diǎn)，延長EP交直線AB于F，過戶作PGLEE,分別交射線CB、直線A3于G、H.

②點(diǎn)P在AD上取不同位置，力的值是否變化？若不變，求出它的值，若改變，請說明理由;

PG

（2）連接FG,當(dāng)APFG是等腰直角三角形時，求尸。的長；

（3）直接寫出CG的最小值.

30.（2023?山東泰安?東平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┰谡叫蜛BCO中，E是邊8上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)C、。重合）,

連結(jié)BE.

DAGDGD

感知：如圖①，過點(diǎn)A作A∕<LβE交BC于點(diǎn)求證二AfiFmBCE.

探究：如圖②，取BE的中點(diǎn)M,過點(diǎn)M作FGLBE交BC于點(diǎn)F,交Ao于點(diǎn)G.

（1）求證：BE=FG.

（2）連結(jié)CM,若CN=I,求尸G的長.

應(yīng)用如圖③，取8E的中點(diǎn)M,連結(jié)CM.過點(diǎn)C作。6,85交4。于點(diǎn)6,連結(jié)EG、MG.若CM=3,求四邊

形GMCE的面積.

【必刷基礎(chǔ)】

一、單選題

31.（2023?四川成都?統(tǒng)考一模）下列說法中，正確的是（）

A.有一個角是直角的平行四邊形是正方形

B.對角線相等的四邊形是矩形

C.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形

D.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

32.（2023?云南?校考一模）如圖，菱形45CD對角線交點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)。重合，點(diǎn)A（T,10）,則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）

A.(IoT)B.(4,-10)C.(4,10)D.(T,T0)

33.（2023?山東棗莊??？寄M預(yù)測）如圖所示,正方形ABC。的面積為12,&ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCZ）

內(nèi)，在對角線AC上有一點(diǎn)P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為（）

AD

A.4百B.2√3C.√6D.√3

34.（2023?河南??？寄M預(yù)測）如圖，菱形ABCD的對角線AC,8。相交于。點(diǎn)，E,F分別是AB,BC邊的中

點(diǎn)，連接EF.若EF=氐BD=A,則菱形ABC。的周長為（）

A.4B.?C.4√7D.28

35.（2022?江蘇無錫?模擬預(yù)測）如圖，D、E、尸分別是√1BC各邊中點(diǎn)，則以下說法中不正確的是（）

A.△友組和：。CF的面積相等B.四邊形AaF是平行四邊形

C.若NA=90。，則四邊形A互＞尸是矩形D.若AB=BC,則四邊形A皮歷'是菱形

36.（2022?廣東佛山.校考一模）如圖，點(diǎn)E,F,G,H分別為四邊形ABCQ四條邊AB,BC,CD,D4的中點(diǎn)，則

關(guān)于四邊形E尸GH,下列說法正確的是（）

A.不一定是平行四邊形B.當(dāng)4C=BO時，它為菱形

C.一定是軸對稱圖形D.不一定是中心對稱圖形

37.（2023?廣東江門?江門市華僑中學(xué)校考一模）如圖，己知四邊形ABC。的對角線AC,BD交于點(diǎn)O,。是的

中點(diǎn)，E,尸是Bz）上的點(diǎn)，且BE=DF,AF//CE.

AD

O

⑴求證；OEC會.OFA；

(2)若。A=OB,求證：四邊形48CC是矩形.

38.(2023?四川成都?統(tǒng)考一模)如圖，在RtABEZ)中，ZBDE=90°,點(diǎn)0、C分別是3。、8E邊的中點(diǎn).過點(diǎn)。

作49BE交Co的延長線于點(diǎn)A,連接力8、CD.

(1)求證：四邊形ABS是菱形；

⑵若Aβ=5,AC=6,求Z?6Z)E的面積.

39.(2023?安徽合肥?合肥市第四十五中學(xué)?？家荒?如圖(1),已知正方形ABcD,對角線AC、Q交于點(diǎn)。，點(diǎn)

E是線段上的點(diǎn)，以AE為邊作等邊AAEF(點(diǎn)/在點(diǎn)E上方)，連接CECF、DF.

⑴求NACF的度數(shù)：

(2)如圖(2),當(dāng)成〃CZ)時，設(shè)AD分別交CREF于點(diǎn)、G、H.

①求證：?ADF^ΛCDE-

PP

②求行的值

FG

【必刷培優(yōu)】

一、單選題

40.(2022?湖北省直轄縣級單位??？级?如圖，矩形ABC。的邊CO上有一點(diǎn)E,ZDAE=22.5°,EF1AB,垂

足為凡將aAEF繞著點(diǎn)尸順時針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)M落在E尸上，點(diǎn)E恰好落在點(diǎn)B處，連接BE.下

列結(jié)論：①3M,ΛE；②四邊形EmC是正方形；③4EBΛ∕=30°；④SBg邊形βcβw:SVBFM=Q√2+l)：1.其中結(jié)

論正確的序號是()

DE

A.①②B.Φ?③C.①②④D.③④

41.（2022?遼寧營口?校考模擬預(yù)測）如圖，在正方形ABcD中，E是BC邊上的一點(diǎn)，BE=4,EC=8,將正方形

邊AB沿AE折疊到AF,延長EF交DC于G,連接AG,FC,現(xiàn)在有如下4個結(jié)論：①NE4G=45°;②FG=FC；

③FC"AG；④SA,。=14.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（)

C.3D.4

42.（2022?內(nèi)蒙古包頭?模擬預(yù)測）如圖，在正方形ABcO中，E是對角線8。上一?點(diǎn)，且滿足B￡=">,連接CE并

延長交Ao于點(diǎn)F,連接4E,過B點(diǎn)作BG_LAE于點(diǎn)G,延長BG交A。于點(diǎn)H.在下列結(jié)論中：?AH=DF;

②ZAEF=45。；③SIM形EFHG=S即+S匐”；④5〃平分/ABE?其中不正確的結(jié)論有（）

C.3個D.4個

43.（2023?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，在正方形ABCq中，AB=BAB與直線/所夾銳角為60,延長CBl交

直線/于點(diǎn)A，作正方形ABCIB2，延長G4交直線/于點(diǎn)為，作正方形4與6鳥，延長C/3交直線/于點(diǎn)4,作正

方形AJ3C∕4…，依次規(guī)律，則線段4gA2g=（）

.4：.4;<4

/z-?20l9/L'2020/∣-?2O2l/r-?2Q22

?2、圖≡2停C.2俘O,2×[4J

二、解答題

44.(2023?湖南衡陽?衡陽市華新實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒?已知：如圖，矩形ABC。中和RtZ?E8尸中，點(diǎn)C在8尸上，

/￡BF=90。，AB=BF=Scm,AD=BE=6cm,連接8￡>,點(diǎn)例從點(diǎn)。出發(fā)，沿。B方向勻速運(yùn)動，速度為ICm∕s,

同時，點(diǎn)N從點(diǎn)E出發(fā)，沿E戶方向勻速運(yùn)動，速度為ICm∕s,過點(diǎn)M作GH_LAB交AB于點(diǎn)H,交8于點(diǎn)G.設(shè)

運(yùn)動時間t(s)為(0<t<10).

解答下列問題：

⑴當(dāng)/為何值時，MF工BD?

⑵連接MN,作NQ工BE交BE于Q,當(dāng)四邊形“"QN為矩形時，求，的值：

⑶連接NC,NH,設(shè)四邊形NCG”的面積為S(CmD,求S與f的函數(shù)關(guān)系式.

45.(2023?湖南湘潭?湘潭縣云龍中學(xué)校考一模)如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點(diǎn)。落在對角線上的點(diǎn)E處.過

點(diǎn)E作EG〃CD交所于點(diǎn)G,連接￡>G.

(1)判斷四邊形EEDG的形狀，并說明理由；

(2)探究線段EG、GF、AF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由:

(3)若GF=2,DF=2√3,求AG的長.

46.(2023?陜西西安??？家荒?(1)如圖1,A的半徑為2,AB=5,點(diǎn)P為A上任意一點(diǎn)，則B尸的最小值為

（2）如圖2,已知矩形438,點(diǎn)E為AB上方一點(diǎn)，連接AE,BE,作EFLAS于點(diǎn)F,點(diǎn)尸是的內(nèi)心,

求/BPE'的度數(shù).

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接AP,CP,若矩形的邊長AB=6,BC=A,BE=BA,求此時CP的最小值.

三、填空題

47.（2023?山東東營?校考一模）如圖，在邊長為4的菱形A8C3中，ZA=60o,M是Ao邊上的一點(diǎn)，且

4

N是48邊上的一動點(diǎn)，將AMN沿MN所在直線翻折得到ZVTMN,連接A'C,則AC長度的最小值是

48.（2023?山東泰安?校考一模）如圖，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8,0）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,4）,把矩形OABC

沿OB折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)。處，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為.

49.（2023?江蘇徐州?徐州市第十三中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在菱形ABa）中，M、N分別為48、AC的中點(diǎn)，若MN=2,

則菱形ABCD的周長為.

50.（2023?山東泰安?新泰市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮阎庑蜛8C。的邊長為1,ZZMS=60o,E為A。上的動點(diǎn)，F(xiàn)

在CD上，且AE+C尸=1,設(shè)ΔBEF的面積為V,AE=x,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動時，則V與X的函數(shù)關(guān)系式是

51.（2023?山東泰安?新泰市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，把一個矩形紙片。ABC放入平面直角坐標(biāo)系中，使。4OC

分別落在X軸，y軸上，連接。8,將紙片OABe沿OB翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)H位置，若08=6，tan/BOC=；,直線

52.（2023?山東泰安?新泰市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為1的正方形OABC的兩邊在

坐標(biāo)軸上，以它的對角線。與為邊作正方形。與孫今，再以正方形。8也6的對角線。與為邊作正方形OBEC3,以

此類推…、則正方形。825/239639的頂點(diǎn)B刈9的坐標(biāo)是

53.（2023?浙江寧波??？家荒＃┤鐖D，正方形ABC。中，P為邊A短上一點(diǎn)，點(diǎn)E與B關(guān)于直線CP對稱，射線EO

與C尸的延長線相交于點(diǎn)足若AE>=4PE>,EF=I6近,則Be的長為.

BC

54.（2023?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCO中，E為邊AB上一點(diǎn),,將VAr）E沿OE折疊，使點(diǎn)A的對

應(yīng)點(diǎn)尸恰好落在邊BC上，連接AF交OE于點(diǎn)G.若BF?AD12,則AF的長度為—

參考答案：

1.C

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：?.?矩形ABa)的對角線AC,BQ相交于點(diǎn)0,

ΛOA=OC=-AC,OB=OD=-BD,AC=BD,

22

/.OB=OC,

：.NoBC=ZACB=25。,

：.ZAoB=NoBC+ZACB=25O+25°=50°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握

矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.C

【分析】過H點(diǎn)作MNlA則MN〃CD,設(shè)B=x?先證明..MEH注。EE(AAS),則

ME=DF=2,MH=DE=6,得至IJ例=x+2-6=x-4,則BN=AM=6—2=4,證明

BNHSBCF,即可得到答案.

【詳解】解：過H點(diǎn)、作MN上AD,則MN〃CO,設(shè)Cr=L

VAB=CD=DF+CF=2+x,BC=12,E為邊AO的中點(diǎn),

：.AE=ED=6,

?//FEH=90。

；?ZMEH+NDEF=90。,

ZDEF+NDFE=90°,

：?ZMEH=ZDFE9

在JWEH和△。尸E中，

NMEH=/DFE

<NEMH=ND=90。,

EH=EF

：..MEH^iDFE(AAS)1

???ME=DF=2,MH=DE=6,

：.HN=x+2-6=x-4,

.*.BN=AM=6-2=4,

9：NH∕∕CF,

：?BNHSSBCF,

.BNHN4x-4

??-----=------，即ππ—=----

BCCF12X

解得x=6,

???C》的長是6,

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、旋

轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，熟練掌握相似三角形和全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.B

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)證明EΛB^ΛADFf/CDF=ZAEB,利用勾股定理求出AB,

然后逐一進(jìn)行判斷即可解決問題.

【詳解】解：四邊形ABCQ是矩形，

：.AD=BC,AD/7BC,IB90?,

BE=2,EC=I,

?,???==BC=3,=?/AE2—BE2=?/?，

AD?BC,

.?ZDAF=ZAEB,

DFLAE,

??.NAFQ=NB=90。，

.?^EAB^ΛADF9

.?.AF=BE=2,DF=AB=后,故①②正確，

不妨設(shè)。尸平分NAOC,則F是等腰直角三角形，這個顯然不可能，故③錯誤，

ADAF+ZADF=9Qo,NCDF+ZADF=90。,

:.ΛDAF=ACDF,

:.ΛCDF=ZAEB9

SinNCDF=SinNAEB=—,故④錯誤，

3

正確的結(jié)論有①②共2個.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理、銳角

三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

4.B

【分析】先證四邊形AEb是平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定、菱形的判定分別對各個選項(xiàng)

進(jìn)行推理論證即可.

【詳解】解：四邊形43CO是平行四邊形，

.-.OA=OC=-AC,OB=OD,

2

BE=DF,

..OB-BE=OD-DF,即OE=OF,

四邊形AECF是平行四邊形，

A、BE=EO時,不能判定四邊形AEb為矩形；故選項(xiàng)不符合題意；

B、Eo=JAC時，EF=AC,

2

四邊形AEb為矩形；故選項(xiàng)符合題意；

C、ACLBE時，四邊形AEC尸為菱形；故選項(xiàng)不符合題意；

D、AE=AF時，四邊形AEcF為菱形；故選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定、菱形的判定以及平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌

握矩形的判定和菱形的判定是解題的關(guān)鍵.

5.D

［分析］由矩形的判定和菱形的判定分別對各個選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、Y四邊形ABeZ）是平行四邊形，

：.OB=OD,故選項(xiàng)A不符合題意；

B、；四邊形ABCD是平行四邊形，AC=BD,

.?.□ABC。是矩形，故選項(xiàng)B不符合題意；

C、?.?四邊形ABCQ是平行四邊形，

.?OA=OC=AC,OB=OD=gBD,

OA=OD,

：.AC=BD,

.?.□ABC。是矩形，故選項(xiàng)C不符合題意；

D、?.?四邊形ABC。是平行四邊形，ACLBD,

：.-ABCD是菱形，故選項(xiàng)D符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定

和矩形的判定是解題的關(guān)鍵.

6.D

【分析】計(jì)算”和BM的長,得到判斷選項(xiàng)A；計(jì)算PD和CM的長,得到PD≠CM,

判斷選項(xiàng)B；按PM=CD,且PM與CZ)不平行，或PM=CZ),且PM〃C。分類討論判斷選

項(xiàng)C和D.

【詳解】解：由題意得尸Q=f,AP=AD-PD=IO-I,BM=t,CM=S-t,NA=NB=90°,

A、當(dāng)∕=4s時?，AP=10-/=6cm,BM=4cm,AP≠BM,則四邊形4BMP不是矩形，該選項(xiàng)不符

合題意；

B、當(dāng)∕=5s時，PD=5cm,CM=8-5=3cm,PD≠CM,則四邊形CDPM不是平行四邊形，該

選項(xiàng)不符合題意；

作C于點(diǎn)E,則NeEA=NA=NB=90。，

???四邊形ABCE是矩形，

.*.BC=AE=Scm,

DE=2cm,

當(dāng)PM=CD,且PM與CO不平行時，作M尸，4。于點(diǎn)尸，CEL4D于點(diǎn)E,

，四邊形CEFM是矩形，

：.FM=CE-,

,RtAPFM取RtADEC(HL),

：.PF=DE=2,EF=CM=8-t,

ΛAP=10-4-(8√)=10√,

解得t=6s；

當(dāng)PM=CD,且尸M〃CO時?，

???四邊形CQPM是平行四邊形，

IDP=CM,

.*.z=8√,

解得t=4s；

綜上，當(dāng)PM=C。時，U4s或6s；選項(xiàng)C不符合題意；選項(xiàng)D符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確地

作出解題所需要的輔助線，應(yīng)注意分類討論，求出所有符合條件的f的值.

7.⑴見解析

*

【分析】(1)證ACBE,再證四邊形OCEB是平行四邊形，然后由NQBE=90°即可得出

結(jié)論；

(2)由銳角三角函數(shù)定義得OB=3,則BD=2OB=6,再由勾股定理得OC=。4=4,然

后由銳角三角函數(shù)定義即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：四邊形ABCO是菱形，

.?.AC±BD,

.-.ZDOC=90°,

BEA.BD,

NOBE=NDoC=90°,

.-.AC//BE,

BE=OC,

四邊形OcEB是平行四邊形，

又NoBE=90°,

平行四邊形OCEB是矩形；

(2)解:如圖,

D

四邊形ABCo是菱形，

:.OA=OC1OB=ODfAClBDf

在Rt∕?A08中，AB=5?SinNCA6=-=,

5AB

...0B=3,

.?.BD=2OB=6,

.?OC=OA=y∣AB2-OB2=√52-32=4,

由（1）可知，四邊形OeEB是矩形，

.?.Z0BE=90o,BE=OC=4,

BE42

ImZBDE=——=-=

BD63

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、銳角三角

函數(shù)定義、勾股定理等知識，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)和菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.⑴答案不唯一，如"FBszXBCE

（2）CE=7.5

（3）當(dāng)CE的長為長為蓑或3時，以C,F,8為頂點(diǎn)的三角形是以C4為腰的等腰三角形

【分析】（1）因?yàn)锳AFB是直角三角形，所以和它相似的三角形都是直角三角形，有三個直

角三角形和AAFB相似，解答時任意寫出一個即可；

ApARAp,15S

（2）根據(jù)AAFBS∕J5GC,得訴=黑，即0=9=9,設(shè)A尸=5x,BG=3x,根據(jù)

D（JOCDCJ93

&AFBs∕?BCEs∕?BGC,列比例式可得CE的長：

（3）分兩種情況：①當(dāng)CF=BC時，如圖2,②當(dāng)C尸=B尸時，如圖3,根據(jù)三角形相似

列比例式可得結(jié)論.

【詳解】（1）解：（任意回答一個即可）；

①如圖1,?AFB^?BCE,理由如下：

圖1

???四邊形ABCD是矩形,

o

：.DC//AB9ZBCE=ZABC=90f

：.ABEC=ZABF,

λ:AFLBE,

：.NAFB=90。,

/.NAFB=NBCE=90。,

.*.AAFBs∕?BCE;

②XAFBsXCGE,理由如下:

?；CGtBE,

.?.ZCGE=90o,

：.ZCGE=ZAFB9

?：/CEG=NABF,

：.XAFBsRCGE-

③XXFBsXBGC,理由如下:

'."ZABF+ZCBG=ZCBG+ZBCG=90°,

.*.NABF=NBCG,

o

'：ZAFB=ZCGB=90f

：.AAFBs^BGa

(2)Y四邊形AfrC是平行四邊形,

：.AF=CC9

由（1）知：2AFBsABGC,

.AFAB,即這3二,

~BG~~BCBG93

設(shè)A∕7=5x,BG=3x,

：.CC=AF=Sx9

?：CG=CG

,CG=CG=2.5%,

β.?AAFBSdBCES∕?BGC,

.CGCE2.5xCE

??=，艮ππIJ—-

BGBC3x9

.?CE=7.5;

（3）分兩種情況：

①當(dāng)C/=Be時，如圖2,

圖2

VCGlBE,

IBG=GF,

VCG=CG,

???四邊形8CR7是菱形，

ICF=CB=O,

由（2）知：設(shè)A/=5x,BG=3x,

.*.BF=6x,

YXAFBsRBCE,

.AFBF5x6x

??=，πLπJ=,

BCCE9CE

.5x9

??CE-?-；

②當(dāng)CF=B尸時，如圖3,

圖3

由（1）知：“FBsABGC,

.ABBF\5_5

"SC-CG-T-3'

設(shè)BF=5a,CG=3a9

.?.CF=5a,

?：CG=CG,BELCC9

：?CF=CF=5cι,

22

；?FG=y∣CF-CG=4tz,

.CE=3a

??94g+5α'

.?.CE=3;

綜上，當(dāng)CE的長為長為日或3時，以C，，F(xiàn),8為頂點(diǎn)的三角形是以C尸為腰的等腰三角

形.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，相似三角形

的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所

學(xué)知識解決問題，屬于中考壓軸題.

9.(1)4,5,2√5;

9

Q)S.形DEPF=-V+2t(0<r<5);

3

⑶(5,0)或(4+2"θ).

【分析】(1)解出方程，求出O。、OC的長，再根據(jù)勾股定理求4。的長：

(2)通過AD、80、AB的長證明AABD是直角三角形，NAOB是直角，可證明四邊形DEP尸

是矩形，面積等于PEPE,通過相似三角形對應(yīng)線段成比例，求出PE、PF用/表示的長

度，根據(jù)面積公式即可求出S與/的關(guān)系式；

(3)區(qū)分A。是菱形的邊和是菱形的長兩種情況，分別求出，的值，從而求出OQ的長度，

即可以確定點(diǎn)。的坐標(biāo).

(?)

解方程必-5x+4=0

因式分解得(XT(X-4)=0

解得41或戶4,

OD,OC的長是一元二次方程--5χ+4=0的兩個根且OD>QC,

.?.0D=4,DC=I,

：.OC=OD+DC=4+↑=5,

四邊形ABCO是矩形，BC=2,

：.AO=BC=2,

?^?AD=y∣AO2+OD2=√22+42=2√5，

所以線段0。長為4,OC長為5,Ao長為26；

(2)

■：DC=\,BC=2,OC=5,AD=2非,四邊形ABC。是矩形,

.?.AB=0C=5,

；?BD=-JDC2+BC2=√l2+22=√5，

AD2+BD2=(2√5)2+(√5)2=25=AB2,

...△AOB是直角三角形，ZADB=90o,

VPE//BD,PF//AD,

/.四邊形OE尸尸是平行四邊形，

,.?ZΛDB=90o,

四邊形OEP尸是矩形，

.EPAPPFPB

S座"DEPF=PEPF,

'~DB~~AB~AD~~?B

根據(jù)題意，AP=t,則PB=5-t,

2石=乎(5—),

：.PE=-×DB=-×45=-t,*條39

AB55

；?S西邊/DEPF=PE?PF=冬上梟5-t)=-g+2t,

：點(diǎn)尸在AB上，且不與A、B重合,

Λ0<∕<5,

7

四邊形DEPF的面積S與時間f的函數(shù)關(guān)系式為SM9OEPF=-/+2/(0<r<5);

(3)

根據(jù)題意，有AD是對角線和AD是邊兩種可能,

①若4。是對角線，則四邊形APDQ是菱形，

AP-PD=DQ=AQ=t,

0Q=0D-DQ=4-t,

?..AQ2=AO2+OQ2=22+(4-/)2=t2,

解得f=|;

53

O(2=4-∕=4-∣=∣,

???點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（；，0）,

②若AZ）是邊，則四邊形AP。。是菱形,

AP=PQ=QD=AD=t,

??t=AD=2亞，

/.OQ=OD+DQ=4+t=4+2yf5,

點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4+2"θ）.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)形結(jié)合，解題關(guān)鍵是對矩形、菱形、勾股定理和相似三角形等相關(guān)知識

靈活運(yùn)用.

10.A

【分析】根據(jù)正方形的面積可用對角線進(jìn)行計(jì)算解答即可.

【詳解】解：如圖所示，連接8D,EF,AC,線段BD和AC的交點(diǎn)為O,

因?yàn)樗倪呅蜛8C。是菱形，

所以點(diǎn)O是AC和8。的中點(diǎn)，

因?yàn)樗倪呅蜛EC尸是正方形，

所以點(diǎn)。也是E尸的中點(diǎn)，

所以線段82EF,AC交于一點(diǎn)O,

因?yàn)檎叫蜛ECF的面積為50cπ√,

所以AC=√2×50=IOcm,

因?yàn)榱庑蜛BeO的面積為120cnf,

所以B。=—^=24Cm,

所以菱形的邊長==13cm.

故選:A.

【點(diǎn)睛】此題考查正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)正方形和菱形的面積進(jìn)行解答.

H.B

【分析】過點(diǎn)A作AMLX軸于點(diǎn)M,設(shè)Q4=",通過解直角三角形找出點(diǎn)A的坐標(biāo)，結(jié)合

反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出”的值，再根據(jù)四邊形QAC8是菱形、點(diǎn)廠在邊BC

上，即可得出5,8=gs菱形（MCA,結(jié)合菱形的面積公式即可得出結(jié)論.

【j詳解】?解：過點(diǎn)A作AAf_LX軸于點(diǎn)M,如圖所示.設(shè)OA=