四川省眉山市仁壽第一中學(xué)校南校區(qū)高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)（文）試題

仁壽一中南校區(qū)2021級眉山一診模擬考試文科數(shù)學(xué)試題一、選擇題：1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】配方求值域，得到，求出定義域得到或，從而求出交集.詳解】，故，，解得：或，故或，所以.故選：D2.如果復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，是虛數(shù)單位，則（）A.且 B.C. D.或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，即得，從而求解.【詳解】由復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，得解得:.故選:C.3.在中，“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)由，可得，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】在中，，由，可得，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.某程序框圖如圖，該程序運(yùn)行后輸出的值是（）A.3 B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定的程序框圖，逐項(xiàng)計(jì)算，得出輸出的周期性，進(jìn)而得到輸出結(jié)果.【詳解】根據(jù)給定的程序框圖，可得：第1次循環(huán)，滿足判斷條件，，，執(zhí)行循環(huán)；第2次循環(huán)，滿足判斷條件，，，執(zhí)行循環(huán)；第3次循環(huán)，滿足判斷條件，，，執(zhí)行循環(huán)；第4次循環(huán)，滿足判斷條件，，，執(zhí)行循環(huán)；第5次循環(huán)，滿足判斷條件，，，執(zhí)行循環(huán)；第6次循環(huán)，滿足判斷條件，，，執(zhí)行循環(huán)；可得的輸出，構(gòu)成以項(xiàng)為周期的周期性輸出，當(dāng)時(shí)，輸出的結(jié)果為.故選：D.5.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A. B. C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得.【詳解】設(shè)，由得，又，得，所以，.故選：B6.已知正三棱柱（底面為正三角形的直棱柱）中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義，取中點(diǎn)為，則為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，再由面面垂直的性質(zhì)定理解直角三角形即可求出.【詳解】如圖，取中點(diǎn)為，連接，，設(shè)，，，由，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，故（或其補(bǔ)角）為異面直線與所成角，由為等邊三角形，為的中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，所以.故選：B7.已知是第一象限角，滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以為整體，先求，再利用誘導(dǎo)公式結(jié)合倍角公式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)槭堑谝幌笙蓿瑒t為第一象限角或第二象限角，且，所以，由題意可得：.故選：B.8.同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，記轉(zhuǎn)盤甲得到的數(shù)為，轉(zhuǎn)盤乙得到的數(shù)為，構(gòu)成數(shù)對，則所有數(shù)對中滿足的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】列舉出數(shù)對所有可能的結(jié)果，并確定滿足的數(shù)對個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】數(shù)對所有可能的結(jié)果有：，，，，，，，，，共個(gè)；其中滿足數(shù)對有：，，，共個(gè)；所求概率.故選：C.9.將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，所得圖象在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，且在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)題目的要求伸縮變換得到解析式，然后結(jié)合函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)以及在上單調(diào)遞減，列出不等式組，即可求得本題答案.【詳解】依題意可得，因?yàn)椋?，因?yàn)樵谇∮?個(gè)零點(diǎn)，且，，所以，解得，令，，得，，令，得在上單調(diào)遞減，所以，所以，又，解得．綜上所述，，故的取值范圍是．故選：C.10.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性化簡，并判斷范圍，采用作差法結(jié)合基本不等式可判斷，即可得答案.【詳解】由題意可得，，，又，由于，故，綜合可得，故選：A11.半正多面體（semiregularsolid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形構(gòu)成（如圖所示），則二十四等邊體的體積與其外接球體積之比為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可以得出二十四等邊體的外接球半徑為，進(jìn)而求出其外接球體積，然后二十四等邊體可以看成一個(gè)長方體加上四個(gè)四棱錐拼接而成的幾何體，求出其體積，最后求出體積比.【詳解】設(shè)，則二十四等邊體的外接球半徑為，其外接球體積為，二十四等邊體可以看成一個(gè)長方體加上四個(gè)四棱錐拼接而成的幾何體，故所求體積，故二十四等邊體體積與其外接球體積之比為，故選：C．12.定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上所有零點(diǎn)之和為（）A.16 B.32 C.36 D.48【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)及推理可得出函數(shù)的周期、對稱中心，根據(jù)零點(diǎn)定義轉(zhuǎn)化為方程解的關(guān)系，結(jié)合圖象以及對稱性即可求解.【詳解】依題意函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，所以，又，所以函數(shù)關(guān)于軸對稱，且，所以，即，所以，所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，且函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱；令，得，由反比例函數(shù)性質(zhì)知函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱，又當(dāng)時(shí)，，結(jié)合對稱性和周期性作出函數(shù)和的圖象，如圖所示，由圖可知，函數(shù)和的圖象有8個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)關(guān)于中心對稱，所以函數(shù)在區(qū)間上所有零點(diǎn)之和為.故選：B二、填空題：13.已知向量，，則與夾角的余弦值為______．【答案】##【解析】【分析】求出的坐標(biāo)，再利用向量的夾角公式求解.【詳解】依題意，，故與夾角的余弦值為．故答案為：14.設(shè)命題，，若是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)命題的否定與原命題的關(guān)系得出命題是真命題，即可根據(jù)命題得出，，再根據(jù)基本不等式或?qū)春瘮?shù)的性質(zhì)得出在上的最小值，即可得出答案.【詳解】是假命題，是真命題，，，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立，，可取到，，，故答案為：.15.設(shè)雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，以為圓心的圓恰好與雙曲線的兩漸近線相切，且該圓過線段的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率是_____．【答案】##【解析】【分析】先由焦點(diǎn)到漸近線的距離求出半徑，再利用該圓過線段的中點(diǎn)得到，即可求出離心率,【詳解】由題意知：漸近線方程為，由焦點(diǎn)，，則圓的半徑為，又該圓過線段的中點(diǎn)，故，離心率為.故答案為：.16.的外心為，三個(gè)內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，，，則面積的最大值是______【答案】【解析】【分析】取邊的中點(diǎn)，作邊的中線，由三角形外心和中線的性質(zhì)，將化簡，即可由余弦定理求得，再由和余弦定理，借助基本不等式求得的最大值，即可求得三角形面積的最大值.【詳解】取邊的中點(diǎn)，連接、，∵為的外心，∴，即，∵為邊的中點(diǎn)，∴為邊的中線，，∴，又∵，∴，整理得，∴由余弦定理可得，∴，又，由余弦定理，即，∴由基本不等式，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，∴的面積，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，面積的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】解決向量與解三角形綜合問題，重點(diǎn)在于將向量與三角形中的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角形邊、角的數(shù)量關(guān)系，再結(jié)合題目進(jìn)行求解即可.三、解答題：17.已知數(shù)列中，，（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）由遞推公式可得，即可證明數(shù)列是等差數(shù)列，由等差數(shù)列定義即可求得；（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列的前n項(xiàng)和.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，由可得，易知；兩邊同時(shí)取倒數(shù)可得，即，由等差數(shù)列定義可得是以為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，所以，即，可得，顯然時(shí)，符合上式，即的通項(xiàng)公式為；【小問2詳解】由（1）可得，所以，，兩式相減可得，所以18.某校舉行中國共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年知識(shí)競賽，隨機(jī)抽取300名學(xué)生的競賽成績（總分：100分），統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下．分?jǐn)?shù)段男生3030女生1040（1）當(dāng)時(shí)，分別估計(jì)男、女生競賽成績的中位數(shù)與．（2）該校競賽委員會(huì)規(guī)定成績不低于80分者為優(yōu)秀，否則為非優(yōu)秀．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表．優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)男生女生總計(jì)300設(shè)，，若有的把握認(rèn)為男、女生競賽成績有差異，求的最小值．附：，其中．0.10.010.0012.7066.63510.828【答案】（1）82.5，83（2）填表見解析；41【解析】【分析】（1）先確定中位數(shù)所在分?jǐn)?shù)段，然后列不等式求解；（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表完成列聯(lián)表，然后求出，再根據(jù)附表列不等式求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，在男生成績樣本中，競賽成績在，，內(nèi)的頻數(shù)分別為30，30，60，顯然，，所以，則，解得．同理可知，，則，解得，因此男、女生競賽成績的中位數(shù)的估計(jì)值分別為82.5和83．【小問2詳解】列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)男生150女生150總計(jì)180120300由表中數(shù)據(jù)可知，，，．由題意可知，．整理，得．又，，所以的最小值為41．19.如圖所示，已知是邊長為6的等邊三角形，點(diǎn)M、N分別在，上，，O是線段的中點(diǎn)，將沿直線進(jìn)行翻折，A翻折到點(diǎn)P，使得平面平面，如圖所示.（1）求證：；（2）若，求點(diǎn)M到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）由，證得，利用面面垂直的性質(zhì)，證得平面，進(jìn)而證得；（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，結(jié)合，求得的值，結(jié)合平面，利用點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到平面的距離相等，即可求解.【小問1詳解】證明：因?yàn)槭沁呴L為6的等邊三角形，且，在中，可得，又因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面，平面平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所?【小問2詳解】解：由是邊長為6等邊三角形，可得的高為，因?yàn)?，可得，,則的面積為，又由平面，且，所以三棱錐的體積為，在直角中，，可得，所以的面積為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)椋傻?，解得，又由，且平面，平面，所以平面，則點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到平面的距離相等，所以點(diǎn)到平面的距離為.20.已知分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，，直線的斜率為.（1）求橢圓的方程；（2）直線，與軸交于點(diǎn)，與橢圓相交于點(diǎn)，求證：為定值.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)，因?yàn)椋本€的斜率為可得答案；（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)，利用韋達(dá)定理代入化簡計(jì)算可得答案.【小問1詳解】分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，，可得，因?yàn)?，所以，直線的斜率為，所以，解得，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】設(shè)直線的方程為，則，與橢圓方程聯(lián)立可得，由得，設(shè)，可得，，所以為定值.21.函數(shù)的最小值為.（1）判斷與2的大小，并說明理由：（2）求函數(shù)的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求出最小值，其中滿足；再由得；，求出；最后利用對勾函數(shù)的單調(diào)性即可求解.（2）先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求出最大值，其中滿足；再由及（1）中，，得；最后由函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，代入，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】.理由如下：由可得：函數(shù)定義域?yàn)椋?在上單調(diào)遞增.，存在唯一的，使得，即.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故.；，即.因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，，即故.【小問2詳解】由，得：函數(shù)定義域?yàn)?，?在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.存在唯一的，使得，即.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故.，即.由（1）知：，則.令函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增.函數(shù)在上單調(diào)遞增，.故函數(shù)的最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，屬于難題.解題關(guān)鍵在于：第（1）問利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求出最小值，難點(diǎn)在于對變形得及，進(jìn)而得出，之后利用對勾函數(shù)的單調(diào)性即可求解；第（2）問利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求出最大值，難點(diǎn)在于對變形得及結(jié)合（1）中，，得；最后構(gòu)造函數(shù)并判斷單調(diào)性，得，代入，即可求出結(jié)果.四、請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線與曲線的極坐標(biāo)方程；（2）曲線與曲線交于，兩點(diǎn)．求的值．【答案】（1）的極坐標(biāo)方程為，的極坐標(biāo)方程為；（2）【解析】【分析】（1）先將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程后進(jìn)行極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換即可求解.（2）聯(lián)立極坐標(biāo)方程后，化簡可得，利用韋達(dá)定理可知，便可求解.【小問1詳解】解：由題意得：由：（為參數(shù)），消去得：故的極坐標(biāo)方程為由：（為參數(shù)），消去得：故的極坐標(biāo)方程為【小問2詳解】設(shè)，．聯(lián)立所以故23.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）設(shè)，，記的最小值，的最大值為