2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與達(dá)標(biāo)檢測第41講直線平面垂直的判定與性質(zhì)（講）（原卷版）

第41講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)（講）思維導(dǎo)圖知識梳理1．直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義：直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直.(2)直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理：文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2．平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l?β,l⊥α))?α⊥β性質(zhì)定理兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α題型歸納題型1線面垂直的判定與性質(zhì)【例11】（2019秋?合肥期末）如圖，正方體中，（1）求證：；（2）求證：平面．【例12】（2020?新課標(biāo)Ⅲ）如圖，在長方體中，點，分別在棱，上，且，．證明：（1）當(dāng)時，；（2）點在平面內(nèi)．【跟蹤訓(xùn)練11】（2019?梅州二模）如圖，正方形所在平面與三角形所在平面相交于，平面．（1）求證：平面．（2）當(dāng)，且該多面體的體積為時，求該多面體的表面積．【跟蹤訓(xùn)練12】（2019秋?新余期末）如圖四棱錐，平面，四邊形是矩形，點為側(cè)棱的中點，過、、三點的平面交側(cè)棱于點．（1）求證：點為側(cè)棱的中點；（2）若，求證：．【名師指導(dǎo)】證明直線與平面垂直與利用線面垂直的性質(zhì)證明線線垂直的通法是線面垂直的判定定理的應(yīng)用，其思維流程為：題型2面面垂直的判定與性質(zhì)【例21】（2020?新課標(biāo)Ⅰ）如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點，．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，圓錐的側(cè)面積為，求三棱錐的體積．【例22】（2020?江蘇）在三棱柱中，，平面，，分別是，的中點．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面．【跟蹤訓(xùn)練21】（2019?新課標(biāo)Ⅲ）圖1是由矩形，和菱形組成的一個平面圖形，其中，，．將其沿，折起使得與重合，連結(jié)，如圖2．（1）證明：圖2中的，，，四點共面，且平面平面；（2）求圖2中的四邊形的面積．【跟蹤訓(xùn)練22】（2020春?本溪縣期末）在矩形中，，是的中點，沿將折起，得到如圖所示的四棱錐．（1）若平面平面，求四棱錐的體積；（2）若，求證：平面平面．【名師指導(dǎo)】1．面面垂直判定的2種方法與1個轉(zhuǎn)化(1)2種方法：①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．(2)1個轉(zhuǎn)化：在已知兩個平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進行轉(zhuǎn)化．在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．2．面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用(1)兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運用時要注意“平面內(nèi)的直線”．(2)兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面．題型3垂直關(guān)系中的探索性問題【例31】（2020?紅河州二模）在四棱錐中，側(cè)面是等邊三角形，且平面平面，，．（1）上是否存在一點，使得平面平面；若存在，請證明，若不存在，請說明理由；（2）若的面積為，求四棱錐的體積．【例32】（2019秋?新余期末）如圖，是半圓的直徑，，為圓周上一點，平面，，，，．（1）求證：平面平面；（2）在線段上是否存在點，且使得平面？若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由．【跟蹤訓(xùn)練31】（2020春?東城區(qū)期末）在正方體中，，分別為和的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）在棱上是否存在一點，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【跟蹤訓(xùn)練32】（2020?黃山二模）如圖，在四棱錐中，平面，，，，點是與的交點，點在線段上，且．（1）證明：平面；（2）在線段上是否存在一點，使得平面平面，若存在，求出點的位置；若不存在，說明理由．【跟蹤訓(xùn)練33】（2019秋?西湖區(qū)校級期末）如圖所示，在四棱錐中，底面是且邊長為的菱形，側(cè)面為正三角形，其所在平面垂直于底面，若為的中點，為的中點．（1）求證：平面；（2）求證：；（3）在棱上是否存在一點，使平面平面，若存在，確定點的位置；若不存在，說