第07講向量運算（十二大題型）

第07講向量運算【題型歸納目錄】【知識點梳理】知識點一：向量加法的三角形法則與平行四邊形法則1、向量加法的概念及三角形法則已知向量，在平面內(nèi)任取一點A，作，再作向量，則向量叫做與的和，記作，即．如圖本定義給出的向量加法的幾何作圖方法叫做向量加法的三角形法則．2、向量加法的平行四邊形法則已知兩個不共線向量，作，則三點不共線，以為鄰邊作平行四邊形，則對角線．這個法則叫做兩個向量求和的平行四邊形法則．求兩個向量和的運算，叫做向量的加法．對于零向量與任一向量，我們規(guī)定．知識點詮釋：兩個向量的和是一個向量，可用平行四邊形或三角形法則進行運算，但要注意向量的起點與終點．知識點二：向量求和的多邊形法則及加法運算律1、向量求和的多邊形法則的概念已知個向量，依次把這個向量首尾相連，以第一個向量的起點為起點，第個向量的終點為終點的向量叫做這個向量的和向量．這個法則叫做向量求和的多邊形法則．特別地，當與重合，即一個圖形為封閉圖形時，有2、向量加法的運算律（1）交換律：；（2）結(jié)合律：知識點三：向量的三角形不等式由向量的三角形法則，可以得到（1）當不共線時，；（2）當同向且共線時，同向，則；（3）當反向且共線時，若，則同向，；若，則同向，．知識點四：向量的減法1、向量的減法（1）如果，則向量叫做與的差，記作，求兩個向量差的運算，叫做向量的減法．此定義是向量加法的逆運算給出的．相反向量：與向量方向相反且等長的向量叫做的相反向量．（2）向量加上的相反向量，叫做與的差，即．求兩個向量差的運算，叫做向量的減法，此定義是利用相反向量給出的，其實質(zhì)就是把向量減法化為向量加法．知識點詮釋：（1）兩種方法給出的定義其實質(zhì)是一樣的．（2）對于相反向量有；若，互為相反向量，則．（3）兩個向量的差仍是一個向量．2、向量減法的作圖方法（1）已知向量，，作，則=，即向量等于終點向量（）減去起點向量（）．利用此方法作圖時，把兩個向量的始點放在一起，則這兩個向量的差是以減向量的終點為始點的，被減向量的終點為終點的向量．（2）利用相反向量作圖，通過向量加法的平行四邊形法則作出．作，則，如圖．由圖可知，一個向量減去另一個向量等于加上這個向量的相反向量．知識點五：數(shù)乘向量1、向量數(shù)乘的定義實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作：（1）；（2）①當時，的方向與的方向相同；②當時．的方向與的方向相反；③當時，．2、向量數(shù)乘的幾何意義由實數(shù)與向量積的定義知，實數(shù)與向量的積的幾何意義是：可以由同向或反向伸縮得到．當時，表示向量的有向線段在原方向（）或反方向（）上伸長為原來的倍得到；當時，表示向量的有向線段在原方向（）或反方向（）上縮短為原來的倍得到；當時，=；當時，=，與互為相反向量；當時，=．實數(shù)與向量的積得幾何意義也是求作向量的作法．3、向量數(shù)乘的運算律設(shè)為實數(shù)結(jié)合律：；分配律：，知識點六：向量共線的條件1、向量共線的條件（1）當向量時，與任一向量共線．（2）當向量時，對于向量．如果有一個實數(shù)，使，那么由實數(shù)與向量的積的定義知與共線．反之，已知向量與（）共線且向量的長度是向量的長度的倍，即，那么當與同向時，；當與反向時，．2、向量共線的判定定理是一個非零向量，若存在一個實數(shù)，使，則向量與非零向量共線．3、向量共線的性質(zhì)定理若向量與非零向量共線，則存在一個實數(shù)，使．知識點詮釋：（1）兩個向量定理中向量均為非零向量，即兩定理均不包括與共線的情況；（2）是必要條件，否則，時，雖然與共線但不存在使；（3）有且只有一個實數(shù)，使．（4）是判定兩個向量共線的重要依據(jù)，其本質(zhì)是位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的高度統(tǒng)一．知識點七：平面向量的數(shù)量積1、平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量叫與的數(shù)量積，記作，即有．并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為0．2、如圖（1），設(shè)是兩個非零向量，，，作如下變換：過的起點A和終點B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．如圖（2），在平面內(nèi)任取一點O，作．過點作直線的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量．知識點詮釋：1、兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別（1）兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由的符號所決定．（2）兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成；今后要學(xué)到兩個向量的外積，而是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴格區(qū)分．符號“·”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替．（3）在實數(shù)中，若，且，則；但是在數(shù)量積中，若，且，不能推出．因為其中有可能為0．2、投影也是一個數(shù)量，不是向量；當為銳角時投影為正值；當為鈍角時投影為負值；當為直角時投影為0；當=0時投影為；當=180時投影為．3、投影向量是一個向量，當對于任意的，都有．知識點八：平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積表示的長度與在方向上的投影的乘積，這是的幾何意義．圖所示分別是兩向量夾角為銳角、鈍角、直角時向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意義是，向量在向量方向上的投影是向量的數(shù)量，即．事實上，當為銳角時，由于，所以；當為鈍角時，由于，所以；當時，由于，所以，此時與重合；當時，由于，所以；當時，由于，所以．知識點九：向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)與為兩個非零向量，是與同向的單位向量．1、2、3、當與同向時，；當與反向時，．特別的或4、5、知識點十：向量數(shù)量積的運算律1、交換律：2、數(shù)乘結(jié)合律：3、分配律：知識點詮釋：1、已知實數(shù)、、（），則．但是；2、在實數(shù)中，有，但是顯然，這是因為左端是與共線的向量，而右端是與共線的向量，而一般與不共線．【典型例題】題型一：向量加法法則【例1】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，在中，設(shè)對角線，，試用、表示、．【解析】在中，，，由向量加法與減法法則可得，解得，，故，.【變式11】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，已知向量，，不共線，求作向量．【解析】解法一：（三角形法則），如下圖所示，作，，則，再作，則，即.解法二：（平行四邊形法則）因為向量，，不共線，如下圖所示，在平面內(nèi)任取一點O，作，，以，為鄰邊作平行四邊形，則對角線，再作，以，為鄰邊作平行四邊形，則.【變式12】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，已知向量、，用向量加法的平行四邊形法則作出向量．(1)

(2)

【解析】（1）作，，以、為鄰邊作，，則即為所求作的向量.（2）作，，以、為鄰邊作，，則即為所求作的向量.題型二：向量加法運算律的應(yīng)用【例2】（2024·全國·高一假期作業(yè)）化簡(1)；(2)．【解析】（1）.（2）.【變式21】（2024·全國·高一假期作業(yè)）化簡(1)；(2)．【解析】（1）（2）【變式22】（2024·全國·高一假期作業(yè)）化簡

【解析】題型三：向量加法的實際應(yīng)用【例3】（2024·全國·高一課堂例題）設(shè)是等邊三角形的中心，求．【解析】設(shè)．如圖所示：將等邊三角形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)120°，使頂點A，B，C分別轉(zhuǎn)到點B，C，A的位置，則跟著旋轉(zhuǎn)120°，變成了．由向量加法的交換律可知，向量旋轉(zhuǎn)120°之后仍是其自身．由于只有才有可能使旋轉(zhuǎn)120°后仍是，于是．【變式31】（2024·全國·高一課堂例題）求證：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．已知：如圖，四邊形ABCD的兩條對角線AC，BD的交點為O，且O是AC，BD的中點．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【解析】證明：由題知，，因此．所以AB，DC平行且相等，因此四邊形ABCD是平行四邊形．【變式32】（2024·高一課時練習(xí)）如圖，按下列要求作答．(1)以A為始點，作出；(2)以B為始點，作出；(3)若為單位向量，求、和．【解析】（1）將的起點同時平移到A點，利用平行四邊形法則作出，如下圖所示：（2）先將共線向量的起點同時平移到B點,計算出,再將向量與之首尾相接，利用三角形法則即可作出，如下圖所示：（3）由是單位向量可知，根據(jù)作出的向量利用勾股定理可知，；由共線向量的加法運算可知；利用圖示的向量和勾股定理可知，.【變式33】（2024·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，已知正方形ABCD的邊長等于1，，，，試作出下列向量并分別求出其長度.(1)；(2)【解析】（1），又，∴延長AC到E，使|,則,且，所以（2）作，連接CF，則，而，所以，且，所以.題型四：向量的減法運算【例4】（2024·高一課時練習(xí)）如圖，已知向量和向量，用三角形法則作出【解析】作法：作向量，向量，則向量,如圖所示，作向量，則【變式41】（2024·高一課時練習(xí)）如圖，已知向量，，，求作向量．【解析】由向量減法的三角形法則，令,則,令,所以.如下圖中即為.題型五：向量減法法則的應(yīng)用【例5】（2024·高一課前預(yù)習(xí)）化簡下列各式：(1)(＋)＋()；(2)；(3)；(4)；(5)【解析】（1）法一：原式；法二：原式；（2）法一：原式法二：原式（3）方法一：；方法二：；（4）（5）【變式51】（2024·全國·高一專題練習(xí)）化簡：(1)；(2)；(3)．(4)；(5)；(6)．【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.【變式52】（2024·高一課前預(yù)習(xí)）化簡：(1)；(2).【解析】（1）；（2）.題型六：向量的線性運算【例6】（2024·全國·高三專題練習(xí)）計算：(1)；(2).【解析】（1）原式=.（2）原式=.【變式61】（2024·全國·高一課時練習(xí)）化簡：(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）（2）（3）（4）【變式62】（2024·湖南·高一課時練習(xí)）已知，，求，與．【解析】因為，，則，，.題型七：用已知向量表示其他向量【例7】（2024·全國·高一課前預(yù)習(xí)）如圖所示，是平行四邊形，，C是其對角線的交點，試用表示向量．【解析】因為，所以，所以，又因為，所以.【變式71】（2024·重慶沙坪壩·高一重慶一中?？计谀┤鐖D所示，在中，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)向量的線性運算法則，可得：.故選：A.【變式72】（2024·海南·高一?？计谀┤鐖D，在等腰梯形中，，，點為線段的中點，點是線段上的一點，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，點為的中點，點是線段上的一點，且，則，因為，且，則有.故選：D.【變式73】（2024·海南省直轄縣級單位·高一?？计谀┤鐖D，在正六邊形ABCDEF中，（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由向量的加法法則，得.故選：A.【變式74】（2024·新疆阿克蘇·高一校聯(lián)考期末）如圖，在平行四邊形中，下列計算不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則知，故A正確；，故B錯誤；，故C正確；，故D正確．故選：B．題型八：向量共線的判定及應(yīng)用【例8】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）設(shè)，為不共線的非零向量，判斷下列各題中的，向量是否共線．(1)，；(2)，；(3)，．【解析】（1），則有，即共線；（2），則有，即共線；（3）設(shè)，共線，則由共線向量基本定理，得存在，使，即，所以，所以共線，這與已知條件不共線矛盾，不共線.【變式81】（2024·高一課時練習(xí)）在平行四邊形中，是的中點，在對角線上，且，求證：共線【解析】證明：設(shè)則所以故共線.【變式82】（2024·陜西西安·高一?？茧A段練習(xí)）已知兩個非零向量，不共線．(1)若，，，求證：A，B，D三點共線；(2)若與共線，求實數(shù)k的值．【解析】（1）證明：根據(jù)條件可知，，所以，共線，又因為，有公共點B，所以A，B，D三點共線．（2）因為與共線，所以存在，使得，所以，解得或，即．【變式83】（2024·高一課時練習(xí)）設(shè)兩個不共線的向量，若向量，，向量，問是否存在這樣的實數(shù)λ，μ，使向量與向量共線？【解析】∵要使與共線，則存在實數(shù)k使，即：.由得λ＝－2μ，故存在這樣的實數(shù)λ和μ，只要λ＝－2μ，就能使與共線．題型九：三點共線的常用結(jié)論（雞爪定理）【例9】（2024·湖南·長郡中學(xué)高一期末）（1）如圖，，不共線，是直線上的動點，證明：存在實數(shù)，，使得，并且.（2）用向量法證明下列結(jié)論：三角形的三條中線交于一點.【解析】（1）證明：因為是直線上的動點，所以不妨設(shè)（為實數(shù)），則，，令，，則有，并且,所以存在實數(shù)，，使得，并且.（2）如圖，中，D、E、F分別是邊BC、CA、AB的中點，求證：AD、BE、CF交于一點.證明：不妨設(shè)BE、CF交于一點G，連接AG，因為D、E、F分別是邊BC、CA、AB的中點，所以，，，根據(jù)（1）的結(jié)論得，在中，，，，為實數(shù).在中，，，，為實數(shù).所以，，解得，所以，即，，A、G、D三點共線，所以AD、BE、CF交于一點.【變式91】（2024·遼寧大連·高一大連二十四中?？计谀┤鐖D所示，已知點是的重心，過點作直線分別與邊、交于、兩點（點、與點、不重合），設(shè)，．(1)求的值；(2)求的最小值，并求此時，的值．【解析】（1）如圖所示，因為G為重心，所以，所以，因為M，G，N三點共線，所以，即．（2）由題意可知，且，所以當且僅當，即時取等號，又∵，∴，時，取得最小值為．題型十：求兩向量的數(shù)量積【例10】（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知向量與的夾角為，且，求：(1)；(2)．【解析】（1）由已知得（2）．【變式101】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）已知，，與的夾角為，計算下列各式：(1)；(2)．【解析】（1）因為，，所以.（2）因為，，與的夾角為，所以，所以.【變式102】（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知向量，向量與，的夾角都是60°，且，，，試求(1)；(2).【解析】（1）向量，向量與，的夾角都是60°，且，，，，，，，，，；（2）【變式103】（2024·江蘇連云港·高一連云港高中?？计谀┮阎叫兴倪呅沃?，，，，點是線段的中點．(1)求的值；(2)若，且，求的值．【解析】（1）在平行四邊形中，，，，所以，因為點是線段的中點，所以，則，故的值為.（2）由（1）知：，，則，，又因為，則，即，即，解得：，故的值為.題型十一：向量的模和夾角的計算問題【例11】（2024·河南鶴壁·高一統(tǒng)考期末）已知，，.(1)求；(2)求向量與的夾角的余弦值.【解析】（1）已知，，，，；（2）設(shè)向量與的夾角的夾角為，則，向量與的夾角的余弦值為.【變式111】（2024·全國·高一假期作業(yè)）在中，已知，，，、邊上的兩條中線、相交于點.(1)求、的長；(2)求的余弦值.【解析】（1）因為的中點，則，所以，，所以，，所以，，因為為的中點，所以，，則，故.（2）因為，所以，.【變式112】（2024·云南昆明·高一?？计谀┰O(shè)向量，滿足及.(1)求，夾角的大?。?2)求的值.【解析】（1）∵，，∴，即，可得，解之得設(shè)，夾角等于，則，∵，∴，即，夾角的大小為；（2）∵，，，∴【變式113】（2024·河北邢臺·高一統(tǒng)考期末）已知是兩個單位向量，且與的夾角為．(1)求；(2)求與的夾角的余弦值【解析】（1），，.（2），.題型十二：與垂直有關(guān)的問題【例12】（2024·陜西西安·高一期末）已知向量滿足，且的夾角為.(1)求的模；(2)若與互相垂直，求λ的值.【解析】（1）因為向量滿足，且的夾角為，所以，解得；（2）因為與互相垂直，所以，，即，解得或.【變式121】（2024·全國·高一課堂例題）已知，是夾角為的兩個單位向量，，．求證：．【解析】解依題意，得，．因為，所以．【變式122】（2024·全國·高一課堂例題）如圖所示，已知中，分別為邊上的高，而且與相交于點O，連接并延長，與相交于點D.求證：.【解析】因為，所以，即，因此①，又因為，所以，即，因此②，由①―②可得，因此，從而，故，即.【變式123】（2024·河北保定·高一定州市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知向量的夾角為，且，，．(1)求；(2)當時，求的值．【解析】（1）由，

得．（2）由題設(shè)得，

則，

解得．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2024·遼寧朝陽·高一統(tǒng)考期末）已知向量滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】向量滿足，則，當且僅當同向時取等號；，當且僅當反向時取等號，所以的取值范圍是.故選：B2．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知向量，，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得，所以，同理由和可得所以，故，故選：D3．（2024·全國·高一假期作業(yè)）在三角形中，，，，則（

）A．10 B．12 C． D．【答案】A【解析】記，則，，，．故選：A.4．（2024·河南省直轄縣級單位·高一?？茧A段練習(xí)）在邊長為2的等邊中，的值是（

）A．4 B． C．2 D．【答案】D【解析】∵，向量與的夾角為120°，∴.故選：D5．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知非零向量，滿足，且，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．1【答案】B【解析】因為，所以，當且僅當時，等號成立.故選：B6．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知平面向量，且與的夾角為，則（

）A． B．4 C．2 D．0【答案】C【解析】因為，所以，故選：C.7．（2024·山西·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，是平面內(nèi)兩個不共線的向量，，，，且A，C，D三點共線，則（

）A． B．2 C．4 D．【答案】D【解析】由已知可得，，.因為A，C，D三點共線，所以共線，則，使得，即，整理可得.因為，不共線，所以有，解得.故選：D.8．（2024·全國·高一假期作業(yè)）在中，，，與交于點，且，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】因為，則為的中點，可得，注意到三點共線，可得，又因為三點共線，則∥，則存在實數(shù)，使得，即，則，可得，綜上所述：，解得，可得.故選：B.二、多選題9．（2024·陜西西安·高一期末）下列命題正確的的有（

）A．B．C．若，則共線D．，則共線【答案】ABC【解析】對于A，，故正確；對于B，，故正確；對于C，因為，所以，所以共線，故正確；對于D，因為恒成立，所以不一定共線，故錯誤.故選：ABC.10．（2024·遼寧朝陽·高一統(tǒng)考期末）下列等式一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由向量加法運算律知，ABD選項正確;，所以選項C錯誤.故選：ABD.11．（2024·江蘇蘇州·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，在同一平面內(nèi)，兩個斜邊相等的直角三角形放置在一起，其中，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】由可得，則，所以，可得A錯誤；易知，所以可得，即B正確；易知，可得C錯誤；由，即D正確；故選：BD12．（2024·河北保定·高一校聯(lián)考期末）已知向量滿足，則有關(guān)的最值下列結(jié)論正確的是（

）A．最小值為2 B．最小值為4C．最大值為4 D．最大值為【答案】BD【解析】解析：法一：由向量三角不等式得，.當且僅當共線反向時等號成立.又,當且僅當時即時等號成立，的最小值為4，最大值為.法二：設(shè)的夾角為.令，則..即的最小值為4，最大值為.故選：BD.三、填空題13．（2024·全國·高一專題練習(xí)）若，則．【答案】【解析】因為，所以，所以，所以，故答案為：.14．（2024·江西·高一統(tǒng)考期末）已知，為平面內(nèi)向量的一組基底，，，若，則.【答案】【解析】