新高考數(shù)學(xué)圓錐曲線62種題型第三講 圓的方程（原卷版）

第三節(jié)圓的方程知識框架知識點歸納1.圓的定義和圓的方程定義平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合叫作圓方程標(biāo)準(zhǔn)(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圓心C(a，b)半徑為r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要條件：D2＋E2－4F＞0圓心坐標(biāo)：半徑r＝2.點與圓的位置關(guān)系平面上的一點M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：(1)|MC|＞r?M在，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?M在圓外；(2)|MC|＝r?M在，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；(3)|MC|＜r?M在，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?M在圓內(nèi).[常用結(jié)論]1.以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點的圓的方程為(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.2.圓心在過切點且與切線垂直的直線上.3.圓心在任一弦的垂直平分線上.題型歸類題型一圓的方程例1(1)已知圓M與直線3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圓心在直線y＝－x－4上，則圓M的方程為________________________.(2)(2022·全國甲卷)設(shè)點M在直線2x＋y－1＝0上，點(3，0)和(0，1)均在⊙M上，則⊙M的方程為________________.感悟提升求圓的方程時，應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程.(1)幾何法，通過研究圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的基本量.確定圓的方程時，常用到的圓的三個性質(zhì)：①圓心在過切點且垂直切線的直線上；②圓心在任一弦的中垂線上；③兩圓內(nèi)切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線；(2)代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解.題型二與圓有關(guān)的最值問題角度1利用幾何意義求最值例2已知點(x，y)在圓(x－2)2＋(y＋3)2＝1上.(1)求eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)求x＋y的最大值和最小值；(3)求eq\r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值和最小值.角度2利用對稱性求最值例3已知A(0，2)，點P在直線x＋y＋2＝0上，點Q在圓C：x2＋y2－4x－2y＝0上，則|PA|＋|PQ|的最小值是________.角度3建立函數(shù)關(guān)系求最值例4(2023·湘潭質(zhì)檢)設(shè)點P(x，y)是圓：x2＋(y－3)2＝1上的動點，定點A(2，0)，B(－2，0)，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最大值為________.感悟提升與圓有關(guān)的最值問題的求解方法(1)借助幾何性質(zhì)求最值：形如μ＝eq\f(y－b,x－a)，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題.(2)建立函數(shù)關(guān)系式求最值：列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法、基本不等式法等求最值.(3)求解形如|PM|＋|PN|且與圓C有關(guān)的折線段的最值問題的基本思路：①“動化定”，把與圓上動點的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；②“曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過對稱性解決.題型三與圓有關(guān)的軌跡問題例5如圖，等腰梯形ABCD的底邊AB和CD的長分別為6和2eq\r(6)，高為3.(1)求這個等腰梯形的外接圓E的方程；(2)若線段MN的端點N的坐標(biāo)為(5，2)，端點M在圓E上運動，求線段MN的中點P的軌跡方程.感悟提升求與圓有關(guān)的軌跡問題時，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根據(jù)題目提供的條件列出方程；(2)定義法，根據(jù)圓、直線等定義列方程；(3)幾何法，利用圓的幾何性質(zhì)列方程；(4)代入法，找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式.課時訓(xùn)練一、單選題1．圓C：關(guān)于直線對稱的圓的方程是（

）A． B．C． D．2．方程表示圓，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．3．圓關(guān)于原點對稱的圓的方程為（

）A． B．C． D．4．已知，兩點，以線段AB為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．5．已知圓的圓心在直線上，且圓與軸相切，則圓的方程為A． B．C． D．6．已知點，，點是圓上的動點，點是圓上的動點，則的最小值為（

）A．5 B． C． D．二、多選題7．已知圓的一般方程為，則下列說法正確的是（

）A．圓的圓心為B．圓的半徑為5C．點不在圓上D．圓關(guān)于對稱8．已知三角形的三個頂點分別為，，，則（

）A．三角形OMN外接圓的方程為B．三角形OMN外接圓的半徑長為5C．三角形OMN外接圓的圓心坐標(biāo)D．大于三角形OMN外接圓的半徑三、填空題9．已知點，，則以線段為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.10．方程表示一個圓，且過點有兩條直線與該圓相切，則實數(shù)的取值范圍是__________.11．已知圓，，是圓上兩點，點且，則線段中點的軌跡方程是______.12．已知圓：，在圓內(nèi)隨機(jī)取一點，直線交圓于，兩點（為坐標(biāo)原點），則的概率為_____．四、解答題13．求過點，且圓心在直線上的圓的方程.14．已知圓經(jīng)過點，，且圓與軸相切．(1)求圓的一般方程；(2)設(shè)是圓上的動點，求線段的中點的軌跡方程．15．若圓的內(nèi)接矩形的周長最大值為．(1)求圓O的方程；(2)