線性代數(shù)課件

1矩

陣一.矩陣概念二.矩陣的基本運(yùn)算三.逆矩陣四.矩陣的分塊五.初等變換與初等矩陣2一.矩陣概念矩陣的定義特殊矩陣矩陣的應(yīng)用實(shí)例1.矩陣的定義簡(jiǎn)記為3實(shí)矩陣:

元素是實(shí)數(shù)復(fù)矩陣：元素是復(fù)數(shù)例如：是一個(gè)實(shí)矩陣,是一個(gè)復(fù)矩陣,4是一個(gè)矩陣,是一個(gè)矩陣.是一個(gè)矩陣,52.一些特殊的矩陣零矩陣(ZeroMatrix):注意：不同階數(shù)的零矩陣是不相等的.例如：元素全為零的矩陣稱(chēng)為零矩陣，零矩陣記作或.6行矩陣(RowMatrix):列矩陣(ColumnMatrix):方陣(SquareMatrix):只有一行的矩陣稱(chēng)為行矩陣(或行向量).只有一列的矩陣稱(chēng)為列矩陣(或列向量).例如：是一個(gè)3階方陣.行數(shù)與列數(shù)都等于的矩陣，稱(chēng)為階方陣.也可記作7對(duì)角陣(DiagonalMatrix):方陣，主對(duì)角元素不全為零，非主對(duì)角元素都為零。數(shù)量矩陣(ScalarMatrix):方陣，主對(duì)角元素全為非零常數(shù)k，其余元素全為零。8單位矩陣(IdentityMatrix):記作:行列式與矩陣的區(qū)別:1.一個(gè)是算式，一個(gè)是數(shù)表2.一個(gè)行列數(shù)相同,一個(gè)行列數(shù)可不同.3.對(duì)n階方陣可求它的行列式.記為:方陣，主對(duì)角元素全為1，其余元素都為零。93.矩陣的應(yīng)用實(shí)例省兩個(gè)城市和例1：(通路矩陣)省三個(gè)城市的交通聯(lián)結(jié)情況如圖。每條線上的數(shù)字表示聯(lián)結(jié)該兩城市的不同通路總數(shù).由該圖提供的通路信息,可用矩陣形式表示,稱(chēng)之為通路矩陣.10例2：(系數(shù)矩陣)個(gè)變量與個(gè)變量之間的關(guān)系式表示從變量到變量的線性變換.其中為常數(shù).11系數(shù)矩陣12線性變換與矩陣之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.對(duì)應(yīng)恒等變換單位陣對(duì)應(yīng)13二.矩陣的基本運(yùn)算1.矩陣相等2.加減法3.數(shù)乘矩陣4.矩陣的乘法5.矩陣的轉(zhuǎn)置6.方陣的行列式1.矩陣相等.矩陣相等:例：同型矩陣：兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等142.矩陣的加減法設(shè)有兩個(gè)矩陣那末矩陣與的和記作，規(guī)定為加法:15注意：只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.例如：16減法:負(fù)矩陣：矩陣加法滿(mǎn)足的運(yùn)算規(guī)律:173.數(shù)與矩陣相乘數(shù)乘:注意：矩陣數(shù)乘與行列式數(shù)乘的區(qū)別.18數(shù)乘矩陣滿(mǎn)足的運(yùn)算規(guī)律：矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來(lái),統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的線性運(yùn)算.（設(shè)為矩陣，為數(shù)）19定義：并把此乘積記作4.矩陣與矩陣相乘設(shè)是一個(gè)矩陣，是一個(gè)矩陣，那末規(guī)定矩陣與矩陣的乘積是一個(gè)矩陣，其中20例１：例2：求AB21故解:22注意:只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘.例如:不存在.23例3:計(jì)算下列矩陣的乘積.解:24=(）25例4：計(jì)算下列矩陣的乘積.2627矩陣乘法滿(mǎn)足的運(yùn)算規(guī)律：（其中為數(shù)）;矩陣乘法不滿(mǎn)足交換律例:設(shè)則注意：28但也有例外，比如設(shè)則有29矩陣乘法不滿(mǎn)足消去律例如：有但是30

若A是n階方陣，則為A的次冪，即

方陣的冪：并且方陣的多項(xiàng)式：315.矩陣的轉(zhuǎn)置定義:

把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作.例:轉(zhuǎn)置矩陣滿(mǎn)足的運(yùn)算規(guī)律：32例5：已知解法1：33解法2：34對(duì)稱(chēng)陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱(chēng)軸對(duì)應(yīng)相等.說(shuō)明：例6:設(shè)為階方陣，如果滿(mǎn)足，即那末稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)陣.對(duì)稱(chēng)陣:35例8：注：對(duì)稱(chēng)矩陣的乘積不一定是對(duì)稱(chēng)矩陣?yán)?：366.方陣的行列式定義：由階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣的行列式，記作或運(yùn)算規(guī)律：:注：雖然但37定義：行列式的各個(gè)元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下矩陣稱(chēng)為矩陣的伴隨矩陣.38故同理可得性質(zhì)：證明：則39三.逆矩陣逆矩陣的定義、唯一性矩陣可逆的判別定理及求法可逆矩陣的性質(zhì)逆矩陣的定義、唯一性概念的引入:在數(shù)的運(yùn)算中，當(dāng)數(shù)時(shí)，有其中為的倒數(shù)，

（或稱(chēng)的逆）；

在矩陣的運(yùn)算中，單位陣相當(dāng)于數(shù)的乘法運(yùn)算中的1，

那么，對(duì)于矩陣，如果存在一個(gè)矩陣,使得則矩陣稱(chēng)為的可逆矩陣或逆陣.40定義：例:設(shè)41唯一性：若A是可逆矩陣，則A的逆矩陣是唯一的.證明：42則逆矩陣的求法一：待定系數(shù)法例1:設(shè)解：設(shè)是的逆矩陣,43又因?yàn)樗?42.矩陣可逆的判別定理及求法定理:證明：45奇異矩陣：非奇異矩陣：（退化矩陣）（非退化矩陣）46推論：證明：注：47(1)(2)逆矩陣的求法二：伴隨矩陣法483.可逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)證明：49證明：50證明：(5)若可逆，則有51例2：求方陣的逆矩陣.解52同理可得故53解:例3：545556解：

例4：5758例5：設(shè)解59于是6061例6：62解：給方程兩端左乘矩陣63給方程兩端右乘矩陣得64給方程兩端左乘矩陣右乘矩陣65得66例7：解：67而所以原方程兩端右乘矩陣,左乘矩陣則68注：69例8：所以可逆，且證：所以可逆，70練習(xí)：設(shè)方陣滿(mǎn)足方程證：(1)(2)71例9：設(shè)方陣B為冪等矩陣，（即，從而對(duì)正整數(shù)k，）證明：A是可逆矩陣，且證明：721.逆矩陣的概念及運(yùn)算性質(zhì).3.逆矩陣的計(jì)算方法：2.逆矩陣存在小結(jié)：73思考題：答：74

對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣，為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，經(jīng)常采用分塊法，使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算.具體做法是：將矩陣用若干條縱線和橫線分成許多個(gè)小矩陣，每一個(gè)小矩陣稱(chēng)為的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱(chēng)為分塊矩陣.四.矩陣的分塊.分塊矩陣的定義分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則分塊矩陣的定義75例：即76即77782.分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則7980例818283分塊對(duì)角矩陣的行列式具有下述性質(zhì):848586例1：設(shè)解87則88又89于是90例2：91其中其中9293949596例3：設(shè)解：9798在矩陣?yán)碚摰难芯恐?矩陣的分塊是一種最基本,最重要的計(jì)算技巧與方法.(1)加法:(2)數(shù)乘:(3)乘法:分塊矩陣之間與一般矩陣之間的運(yùn)算性質(zhì)類(lèi)似。小結(jié)：(4)轉(zhuǎn)置:99(5)分塊對(duì)角陣的行列式與逆陣100證明：思考題：證：1.矩陣的初等變換線性方程組的一般形式

什么是初等變換?五.矩陣的初等變換與初等矩陣1.矩陣的初等變換2.初等矩陣3.用初等變換求可逆矩陣的逆矩陣用矩陣形式表示此線性方程組：令則，線性方程組可表示為如何解線性方程組？可以用消元法求解。

始終把方程組看作一個(gè)整體變形，用到如下三種變換：（1）交換方程次序；（2）以不等于０的數(shù)乘某個(gè)方程；（3）一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍．由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的．故這三種變換是同解變換．若記則對(duì)方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對(duì)矩陣B（方程組的增廣矩陣）的變換．因?yàn)樵谏鲜鲎儞Q過(guò)程中，僅僅只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)算．即，求解線性方程組實(shí)質(zhì)上是對(duì)增廣矩陣施行3種初等運(yùn)算：(1)對(duì)調(diào)矩陣的兩行。(2)用非零常數(shù)k乘矩陣的某一行的所有元素。將矩陣的某一行所有元素乘以非零常數(shù)k后加到另一行對(duì)應(yīng)元素上。統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的初等行變換定義1：下面三種變換稱(chēng)為矩陣的初等行變換:同理可定義矩陣的初等列變換

(把“r”換成“c”)．矩陣的初等變換通常稱(chēng)(1)對(duì)換變換(2)倍乘變換(3)倍加變換初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類(lèi)型相同．逆變換逆變換逆變換等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱(chēng)為等價(jià)．例如，兩個(gè)線性方程組同解，就稱(chēng)這兩個(gè)線性方程組等價(jià)定義2：定義3：由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的方陣稱(chēng)為初等矩陣.三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等方陣.矩陣初等變換是矩陣的一種基本運(yùn)算，應(yīng)用廣泛.2.初等矩陣(1)對(duì)調(diào)兩行或兩列，得初等對(duì)換矩陣。(2)以數(shù)乘某行或某列，得初等倍乘矩陣。(3)以數(shù)乘某行（列）加到另一行（列）上，得初等倍加矩陣。初等矩陣是可逆的，逆矩陣仍為初等矩陣。初等變換初等矩陣初等逆變換初等逆矩陣?yán)?：計(jì)算定理：證明：具體驗(yàn)證即可另兩種情形同理可證一般記法：例2：(1)設(shè)初等矩陣解：解：3.用初等變換法求可逆矩陣的逆矩陣可逆矩陣可以經(jīng)過(guò)若干次初等行變換化為單位矩陣.定理：

可逆矩陣可以表示為若干個(gè)初等矩陣的乘積推論1：證明：由定理，知,即存在初等矩陣使得又因?yàn)槌醯染仃嚳赡?，所以等?hào)兩邊左乘初等矩陣的逆矩陣仍為初等矩陣，定理得證。等號(hào)兩邊右乘推論2：如果對(duì)可逆矩陣和同階單位矩陣作同樣的初等行變換，那么當(dāng)變成單位矩陣時(shí)，就變成。即，即，

解：例3：練習(xí)：用初等行變換求可逆矩陣A的逆矩陣若作初等行變換時(shí),出現(xiàn)全行為0，則矩陣的行列式等于0。結(jié)論：矩陣不可逆!求逆時(shí),若用初等行變換必須堅(jiān)持始終,不能夾雜任何列變換.注：即初等行變換另：利用初等行變換求逆矩陣的方法，還可用于求矩陣?yán)?：解：方法1：先求出，再計(jì)算。方法2：直接求。初等行變換列變換列變換又，解:例5:例6：將矩陣A表示成三個(gè)初等矩陣的乘積。解：1.單位矩陣初等矩陣.一次初等變換2.利用初等變換求逆陣的步驟是:小結(jié)：要求掌握內(nèi)容:(1)掌握三種初等變換及與之對(duì)應(yīng)的三種初等矩陣.做到給出變換會(huì)寫(xiě)相應(yīng)的初等矩陣,反之亦然.(2)明確初等矩陣與其他矩陣做乘積的含義.(3)會(huì)用初等變換求可逆矩陣的逆矩陣.思考題：將矩陣表示成有限個(gè)初等矩陣的乘積解：A可逆，所以存在初等矩陣使得二.化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形正交變換法配方法目標(biāo)：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為：回憶：此結(jié)論用于二次型所以，1.正交變換法主軸定理：任給二次型總有正交變換使之化為標(biāo)準(zhǔn)形2.配方法三.慣性定理和規(guī)范形（介紹）146三.慣性定理和規(guī)范形四.正定二次型一.二次型及其矩陣表示二.二次型的標(biāo)準(zhǔn)形二次型147一.二次型及其矩陣表示1.二次型、二次型的矩陣、二次型的秩1.二次型、二次型的矩陣、秩2.非退化線性變換3.矩陣的合同稱(chēng)為二次型。（1）含有個(gè)變量的二次齊次多項(xiàng)式定義1：148（我們僅討論實(shí)二次型）實(shí)二次型：為實(shí)數(shù)。復(fù)二次型：為復(fù)數(shù)。例如：都是二次型。不是二次型。149只含有平方項(xiàng)的二次型稱(chēng)為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形（或法式）。例如：都為二次型；為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。150取則則（1）式可以表示為二次型用和號(hào)表示151152令則其中為對(duì)稱(chēng)矩陣。二次型的矩陣表示例如：二次型153在二次型的矩陣表示中，任給一個(gè)二次型，就唯一確定一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣；反之，任給一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣，也可唯一確定一個(gè)二次型．這樣，二次型與對(duì)稱(chēng)矩陣之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．把對(duì)稱(chēng)矩陣稱(chēng)為二次型的矩陣也把二次型稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)矩陣的二次型對(duì)稱(chēng)矩陣的秩稱(chēng)為二次型的秩二次型定義2：154例1：求二次型的矩陣解：解：155解：156例2：求對(duì)稱(chēng)矩陣所對(duì)應(yīng)的二次型。解：例3：已知二次型的秩為2，求參數(shù)c。解：1572.非退化線性變換（可逆線性變換）系數(shù)矩陣線性變換，記作（2）則線性變換（2）可記作：158是可逆矩陣，則稱(chēng)線性變換（2）是非退化線性變換是正交矩陣，則稱(chēng)線性變換（2）是正交線性變換對(duì)于二次型，我們討論的主要問(wèn)題是：尋求可逆的線性變換使二次型只含平方項(xiàng).即二次型經(jīng)過(guò)可逆線性變換這種只含平方項(xiàng)的二次型，稱(chēng)為二次型的標(biāo)準(zhǔn)型使得1593.矩陣的合同經(jīng)過(guò)非退化線性變換可化為則160因?yàn)橐陨险f(shuō)明：161矩陣的合同：所以，通過(guò)非退化線性變換，新二次型的矩陣與原二次型的矩陣是合同的.矩陣合同的性質(zhì)：(1)反身性(2)對(duì)稱(chēng)性(3)傳遞性162注釋?zhuān)?.在變換二次型時(shí)，要求所作的線性變換是非退化的（可逆的）“合同”定義中，矩陣A、B為一般方陣，但實(shí)際中，多針對(duì)對(duì)稱(chēng)矩陣考慮合同關(guān)系任一對(duì)稱(chēng)矩陣，都存在對(duì)角矩陣與它合同與對(duì)角矩陣合同的矩陣必是對(duì)稱(chēng)矩陣163二.線性相關(guān)性三.向量組的秩一.n維向量空間

四.矩陣的秩向量空間五.內(nèi)積與正交化164一.n維向量空間分量全為復(fù)數(shù)的向量稱(chēng)為復(fù)向量.分量全為實(shí)數(shù)的向量稱(chēng)為實(shí)向量，1.n維向量定義：n個(gè)有次序的數(shù)所組成的有序數(shù)組稱(chēng)為一個(gè)n維向量。這n個(gè)數(shù)稱(chēng)為該向量的n個(gè)分量，第個(gè)數(shù)稱(chēng)為第個(gè)分量。以后我們用小寫(xiě)希臘字母來(lái)代表向量。165例如：n維實(shí)向量n維復(fù)向量第1個(gè)分量第n個(gè)分量第2個(gè)分量166向量通常寫(xiě)成一行：有時(shí)也寫(xiě)成一列：稱(chēng)為行向量。稱(chēng)為列向量。它們的區(qū)別只是寫(xiě)法上的不同。分量全為零的向量稱(chēng)為零向量。2.向量的運(yùn)算和性質(zhì)向量相等：如果n維向量的對(duì)應(yīng)分量都相等，即就稱(chēng)這兩個(gè)向量相等，記為167向量加法：向量稱(chēng)為向量的和，記為負(fù)向量：向量稱(chēng)為向量的負(fù)向量向量減法：數(shù)乘向量：設(shè)k為數(shù)域p中的數(shù)，向量稱(chēng)為向量與數(shù)k的數(shù)量乘積。記為168滿(mǎn)足運(yùn)算律：

注：（1）對(duì)任意的向量存在唯一的零向量使得（2）對(duì)任意的向量存在唯一的負(fù)向量使得（4）如果則（3）1693.n維向量空間說(shuō)明:

定義：設(shè)為維向量的集合，如果集合非空，且集合對(duì)于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉，那么就稱(chēng)集合為向量空間．集合對(duì)于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉指例1：3維向量的全體是一個(gè)向量空間。n維向量的全體，也是一個(gè)向量空間。170例2:判別下列集合是否為向量空間.解：所以，是向量空間。(2)不是向量空間。171是否為向量空間.（這個(gè)向量空間成為由向量a，b生成的向量空間）一般地，由向量組所生成的向量空間為例3：設(shè)a，b為兩個(gè)已知的n維向量，判斷集合解：所以V是一個(gè)向量空間。1721.線性組合與線性表示二.線性相關(guān)性1.線性組合與線性表示2.向量組等價(jià)3.線性相關(guān)、無(wú)關(guān)4.判斷線性相關(guān)性的定理5.線性相關(guān)及表示的定理定義1：給定向量組對(duì)于任何一組實(shí)數(shù)向量稱(chēng)為向量組A的一個(gè)線性組合，稱(chēng)為這個(gè)線性組合的系數(shù)。定義2：給定向量組和向量如果存在一組實(shí)數(shù)使得則稱(chēng)向量是向量組A的線性組合，或稱(chēng)向量能由向量組A線性表示。173例如：有所以，稱(chēng)是的線性組合，或可以由線性表示。174定理1:判斷向量可否由向量組線性表示的定理。

向量可由向量組線性表示的充分必要條件是：以為系數(shù)列向量，以為常數(shù)項(xiàng)列向量的線性方程組有解，且一個(gè)解就是線性表示的系數(shù)。線性方程組的矩陣表示和向量表示：175令方程組可表示為則方程組的向量表示為1762.向量組等價(jià)定義3：如果向量組中的每一個(gè)向量

都可以由向量組線性表示，那么就稱(chēng)向量組A可以由向量組B線性表示。若同時(shí)向量組B也可以由向量組A線性表示，就稱(chēng)向量組A與向量組B等價(jià)。即1773.線性相關(guān),線性無(wú)關(guān)及其幾何說(shuō)明幾何意義：(1)兩向量線性相關(guān)：兩向量共線.(2)三向量線性相關(guān)：三向量共面.定義4：例1：用定義判斷線性相關(guān)性。(1)向量線性______關(guān)。(2)向量線性______關(guān)。相相1784.判斷線性相關(guān)性的定理

至少有一個(gè)向量可由其余m-1個(gè)向量線性表示

向量組線性相關(guān)定理2：推論：

向量組線性無(wú)關(guān)任一個(gè)向量都不能由其余m-1個(gè)向量線性表示(1)(2)n維向量組線性相關(guān)定理3:推論：n維向量組線性無(wú)關(guān)179例2:試討論向量組及向量組的線性相關(guān)性.解：設(shè)數(shù)使得成立。即未知量為系數(shù)行列式齊次線性方程組有非零解，所以向量線性相關(guān)。向量對(duì)應(yīng)分量不成比例，所以線性無(wú)關(guān)。180例3:n維向量討論它們的線性相關(guān)性.結(jié)論:線性無(wú)關(guān)解:上述向量組又稱(chēng)基本向量組或單位坐標(biāo)向量組.問(wèn)題:n=3時(shí),分別是什么？181(3)則向量組也線性相關(guān)。則，向量組也線性無(wú)關(guān)。若向量組線性相關(guān)，定理4：若向量組線性無(wú)關(guān)，定理5：部分相關(guān)則整體相關(guān)整體無(wú)關(guān)則部分無(wú)關(guān)(4)定理6：n維向量組線性無(wú)關(guān)，把每個(gè)向量的維數(shù)增加后，得到的新向量組仍線性無(wú)關(guān)。定理7：n維向量組線性相關(guān)，把每個(gè)向量的維數(shù)減少后，得到的新向量組仍線性相關(guān)。1825.線性相關(guān)及表示的定理定理8：向量組線性無(wú)關(guān),而向量組線性相關(guān),6.一些結(jié)論(1)單個(gè)零向量線性相關(guān),單個(gè)非零向量線性無(wú)關(guān)；(2)包含零向量的任何向量組線性相關(guān)；(4)有兩個(gè)向量相等的向量組線性相關(guān)；(3)基本向量組線性無(wú)關(guān);183(5)m>n時(shí)，m個(gè)n維向量必線性相關(guān).特別：m=n+1(6)n個(gè)n維向量線性無(wú)關(guān)(7)n維向量空間任一線性無(wú)關(guān)組最多只能包含n向量.

它們所構(gòu)成方陣的行列式不為零.例4：已知向量線性無(wú)關(guān)，證明：向量線性無(wú)關(guān)。P89.例6184三.向量組的秩向量組的一個(gè)基本性質(zhì)極大線性無(wú)關(guān)組向量組的秩向量空間的基和維數(shù)1.向量組的一個(gè)基本性質(zhì)定理：設(shè)與是兩個(gè)向量組，如果(2)則向量組必線性相關(guān)。推論1：如果向量組可以由向量組線性表示，并且線性無(wú)關(guān)，那么推論2：兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的等價(jià)的向量組，必包含相同個(gè)數(shù)的向量。(1)向量組線性表示；可以由向量組1852.極大線性無(wú)關(guān)組定義1:注:（1）只含零向量的向量組沒(méi)有極大無(wú)關(guān)組.簡(jiǎn)稱(chēng)極大無(wú)關(guān)組。對(duì)向量組A，如果在A中有r個(gè)向量滿(mǎn)足：（2）任意r＋1個(gè)向量都線性相關(guān)。（如果有的話）線性無(wú)關(guān)。（1）那么稱(chēng)部分組為向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。（2）一個(gè)線性無(wú)關(guān)向量組的極大無(wú)關(guān)組就是其本身。（3）一個(gè)向量組的任一向量都能由它的極大無(wú)關(guān)組線性表示186例如：在向量組中，首先線性無(wú)關(guān)，又線性相關(guān)，所以組成的部分組是極大無(wú)關(guān)組。還可以驗(yàn)證也是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。注：一個(gè)向量組的極大無(wú)關(guān)組一般不是唯一的。187極大無(wú)關(guān)組的一個(gè)基本性質(zhì)：任意一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組都與向量組本身等價(jià)。又，向量組的極大無(wú)關(guān)組不唯一，而每一個(gè)極大無(wú)關(guān)組都與向量組等價(jià)，所以：向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組都是等價(jià)的。由等價(jià)的線性無(wú)關(guān)的向量組必包含相同個(gè)數(shù)的向量，可得一個(gè)向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià)，且所含向量的個(gè)數(shù)相同。定理：1883.向量組的秩定義2：向量組的極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱(chēng)為這個(gè)向量組的秩,記作例如：向量組的秩為2。189（4）等價(jià)的向量組必有相同的秩。關(guān)于向量組的秩的結(jié)論：（1）零向量組的秩為0。（2）向量組線性無(wú)關(guān)向量組線性相關(guān)（3）如果向量組可以由向量組線性表示，則注：兩個(gè)有相同的秩的向量組不一定等價(jià)。兩個(gè)向量組有相同的秩，并且其中一個(gè)可以被另一個(gè)線性表示，則這兩個(gè)向量組等價(jià)。1904.向量空間的基與維數(shù)定義：設(shè)V是向量空間，如果r個(gè)向量且滿(mǎn)足線性無(wú)關(guān)。（1）（2）V中任一向量都可由線性表示，那么，就稱(chēng)向量組是向量空間V的一個(gè)基，r稱(chēng)為向量空間V的維數(shù)，記作dimV＝r并稱(chēng)V是r維向量空間。注：（1）只含有零向量的向量空間沒(méi)有基，規(guī)定其維數(shù)為0。（2）如果把向量空間看作向量組，可知，V的基就是向量組的極大無(wú)關(guān)組，V的維數(shù)就是向量組的秩。（3）向量空間的基不唯一。191四.矩陣的秩1.行秩、列秩、矩陣的秩2.矩陣秩的求法3.向量組的秩的求法4.矩陣秩的性質(zhì)5.矩陣秩與行列式的關(guān)系1.行秩、列秩、矩陣的秩把矩陣的每一行看成一個(gè)向量，則矩陣可被認(rèn)為由這些行向量組成，把矩陣的每一列看成一個(gè)向量，則矩陣可被認(rèn)為由這些列向量組成。定義1：矩陣的行向量的秩，就稱(chēng)為矩陣的行秩;

矩陣的列向量的秩，就稱(chēng)為矩陣的列秩。例如：矩陣的行向量組是192可以證明，是A的行向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，因?yàn)?，由即可知即線性無(wú)關(guān)；而為零向量，包含零向量的向量組線性無(wú)關(guān)，線性相關(guān)。所以向量組的秩為3，所以矩陣A的行秩為3。193矩陣A的列向量組是可以驗(yàn)證線性無(wú)關(guān)，而所以向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組是所以向量組的秩是3，所以矩陣A的列秩是3。194問(wèn)題：矩陣的行秩＝矩陣的列秩引理1：矩陣的初等行變換不改變矩陣的行秩。（列）（列）證：把按行分塊，設(shè)（1）對(duì)換矩陣A的兩行A的行向量組所含向量未變，所以向量組的秩不變，所以矩陣A的行秩不變。（2）用非零常數(shù)k乘以A的第i行195顯然，向量組可以由向量組線性表示；而向量組也可以由向量組線性表示。所以矩陣的行向量組與的行向量組等價(jià)，又等價(jià)的向量組有相同的秩，的行秩＝的行秩，即A的行秩不變。196（3）非零常數(shù)k乘以第i行后加到第j行上顯然，中的行向量組可以由的行向量組線性表示而的行向量組可以由中的行向量組線性表示。所以?xún)蓚€(gè)向量組等價(jià)，所以行向量組的秩不變，所以矩陣的行秩不變。197引理2：矩陣的初等行變換不改變矩陣的列秩。（列）（行）證：設(shè)矩陣A經(jīng)過(guò)初等行變換變?yōu)锽，即存在有限個(gè)初等矩陣使得令則把按列分塊，設(shè)不妨設(shè)A的列向量組的極大無(wú)關(guān)組為（可交換列的次序把它們換到前r列，矩陣的秩不變）則198下面證明A的列向量組的極大無(wú)關(guān)組經(jīng)過(guò)初等行變換變?yōu)槭蔷仃嘊的列向量組的極大無(wú)關(guān)組。（1）先證線性無(wú)關(guān)。設(shè)數(shù)使得成立因?yàn)镻為初等矩陣的乘積，所以P可逆。又線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)。199（2）再證B的列向量組中任一向量可由向量組線性表示。是A的列向量組的極大無(wú)關(guān)組所以對(duì)于A中任一列向量都存在數(shù)使得等號(hào)兩邊左乘P有由(1)(2)可知是B的列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。所以，B的列秩＝r＝A的列秩200綜上，矩陣的初等變換不改變矩陣的行秩與列秩。定理：矩陣的行秩＝矩陣的列秩證：任何矩陣A都可經(jīng)過(guò)初等變換變?yōu)樾问?，而它的行秩為r，列秩也為r。又，初等變換不改變矩陣的行秩與列秩，所以，A的行秩＝r＝A的列秩定義2：矩陣的行秩＝矩陣的列秩，統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的秩。記為r(A),或rankA，或秩A。推論：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。2012.矩陣秩的求法.行階梯形矩陣：例如：特點(diǎn)：(1)可劃出一條階梯線，線的下方全為零；(2)每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非零元．202行最簡(jiǎn)形矩陣：在行階梯形矩陣的基礎(chǔ)上，還要求非零行的第一個(gè)非零元為數(shù)1，且這些1所在的列的其他元素全都為零。例如：注：對(duì)于任何矩陣，總可以經(jīng)過(guò)有限次初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣和行最簡(jiǎn)形矩陣。203例1：對(duì)矩陣作行初等變換,使成為行階梯矩陣.解:204205解：看行秩例2：求上三角矩陣的秩206看的線性相關(guān)性：線性無(wú)關(guān)，維數(shù)增加后得到的依然線性無(wú)關(guān)，而與都線性無(wú)關(guān)，所以矩陣的秩＝行向量組的秩＝3＝非零行的行數(shù)207結(jié)論：行階梯形矩陣的秩＝非零行的行數(shù)證明：只要證明在行階梯形矩陣中那些非零的行是線性無(wú)關(guān)就行了。設(shè)A是一階梯形矩陣，不為零的行數(shù)是r。因?yàn)槌醯攘凶儞Q不改變矩陣的秩，所以適當(dāng)?shù)刈儞Q列的順序，不妨設(shè)208其中顯然，左上角的r個(gè)r維行向量線性無(wú)關(guān)，當(dāng)分量增加為n維時(shí)依然無(wú)關(guān)，所以矩陣A的非零行的向量是線性無(wú)關(guān)的。加上任一零行即相關(guān)，所以矩陣A的秩＝矩陣A的行向量組的秩＝非零行的行數(shù)求矩陣秩的方法：把矩陣用初等行變換變成行階梯形矩陣，則行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是原來(lái)矩陣的秩。例3:求A的秩。209210211212由階梯形矩陣有三個(gè)非零行可知2133.向量組的秩、極大無(wú)關(guān)組的求法.（1）向量組作列向量構(gòu)成矩陣A。（2）初等行變換（行最簡(jiǎn)形矩陣）r(A)=B的非零行的行數(shù)（3）求出B的列向量組的極大無(wú)關(guān)組（4）A中與B的列向量組的極大無(wú)關(guān)組相對(duì)應(yīng)部分的列向量組即為A的極大無(wú)關(guān)組。（根據(jù)見(jiàn)引理2，幻燈片7）214例4：向量組求向量組的秩和一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。解：215又因?yàn)锽的1，2，5列是B的列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組所以，是的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組?？紤]：是否還有其他的極大無(wú)關(guān)組？與216例5：求向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并把其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表示。解：設(shè)則B的1，2列為極大無(wú)關(guān)組，且所以為所求的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，且2174.矩陣秩的性質(zhì)(1)等價(jià)的矩陣，秩相同。(2)任意矩陣有(3)任何矩陣與可逆矩陣相乘，秩不變。可逆，有(4)當(dāng)AB=0時(shí)，有（證明在習(xí)題課講）2185.矩陣的秩與行列式的關(guān)系定理:n階方陣A，即A為可逆矩陣（也稱(chēng)為滿(mǎn)秩矩陣）A的n個(gè)行（列）向量線性無(wú)關(guān)A的n個(gè)行（列）向量線性相關(guān)定義3：矩陣A中，任取k行k列，交叉處的元素保持原來(lái)的相對(duì)位置不變而組成的一個(gè)k階子式，稱(chēng)為矩陣A的k階子式。219矩陣的秩的另一種定義：定義4：設(shè)在矩陣A中有一個(gè)r階子式不為零，而所有的r＋1階子式（如果有的話）都為零，則r(A)=r.階矩陣A的秩r是A中不等于零的子式的最高階數(shù)。注：零矩陣的秩為零。例：?jiǎn)栴}：1)可研究它的幾階子式?2)各階子式分別有幾個(gè)?220例6:解：221解：例7：222五.內(nèi)積、正交化、正交矩陣.1.向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度、夾角。2.Schmidt正交化、單位化法。3.正交矩陣。1.向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度、夾角定義1：n維實(shí)向量稱(chēng)為向量與的內(nèi)積。若為行向量，則223向量?jī)?nèi)積的性質(zhì)：線性性對(duì)稱(chēng)性等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)正定性定義2：實(shí)數(shù)稱(chēng)為向量的長(zhǎng)度（或模，或范數(shù)）若稱(chēng)為單位向量。224把向量單位化：若則考慮即的模為1，為單位向量，稱(chēng)為把單位化。向量長(zhǎng)度的性質(zhì)：（1）非負(fù)性：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（2）齊次性：（3）柯西—施瓦茲不等式：（4）三角不等式：225非零向量和的夾角余弦:定義3：非零向量的夾角是注：（1）零向量與任何向量都正交。（2）定義了內(nèi)積的向量空間稱(chēng)為歐氏空間。當(dāng)向量的內(nèi)積為零時(shí)，即時(shí)，即時(shí)，稱(chēng)向量正交。定義4：2262.Schmidt正交化、單位化法。定義5：正交向兩組：非零實(shí)向量?jī)蓛烧?。正交單位向量組：（標(biāo)準(zhǔn)正交向量組）非零實(shí)向量?jī)蓛烧?，且每個(gè)向量長(zhǎng)度全為1。即定理：正交向量組是線性無(wú)關(guān)的。schmidt正交化、單位化法：例：書(shū)p100例3.5.12273.正交矩陣定義6：A是一個(gè)n階實(shí)矩陣，若則稱(chēng)A為正交矩陣。定理：設(shè)A、B都是n階正交矩陣，則或也是正交矩陣。也是正交矩陣。228定理：n階實(shí)矩陣A是正交矩陣A的列（行）向量組為單位正交向量組。證明：設(shè)將A按列分塊，設(shè)A是正交矩陣229即即A的列向量組是單位正交向量組。注：n個(gè)n維向量，若長(zhǎng)度為1，且兩兩正交，責(zé)備以它們?yōu)榱校ㄐ校┫蛄繕?gòu)成的矩陣一定是正交矩陣。230線性方程組一.高斯消元法二.齊次線性方程組三.非齊次線性方程組231一.高斯消元法

設(shè)一般線性方程組為則稱(chēng)矩陣為方程組(1)的系數(shù)矩陣。232稱(chēng)矩陣為方程組(1)的增廣矩陣。稱(chēng)為方程組（1）的導(dǎo)出組，或稱(chēng)為（1）對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組。當(dāng)時(shí),齊次線性方程組233

定義：線性方程組的初等變換（1）用一非零的數(shù)乘某一方程（2）把一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程（3）互換兩個(gè)方程的位置可以證明一個(gè)線性方程組經(jīng)過(guò)若干次初等變換，所得到的新的線性方程組與原方程組同解對(duì)一個(gè)方程組進(jìn)行初等變換，實(shí)際上就是對(duì)它的增廣矩陣做初等行變換初等行變換234化為行階梯形矩陣235則以矩陣（3）為增廣矩陣的方程組與方程組（1）同解?；癁樾凶詈?jiǎn)形矩陣236由矩陣（3）可討論方程組（1）的解的情況1)若，則方程組無(wú)解。2)若則方程組有解，當(dāng)有唯一解。有無(wú)窮多解。特別地，方程組(1)的導(dǎo)出組，即對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組一定有解。當(dāng)有唯一的零解。有無(wú)窮多解，即有非零解。237舉例說(shuō)明消元法具體步驟：例1：書(shū)P108例4.1.1例2：解線性方程組解：最后一行有可知方程組無(wú)解。238例3：解線性方程組解：239對(duì)應(yīng)的方程組為即所以一般解為（k為任意常數(shù)）240二.齊次線性方程組1.齊次線性方程組（2）有解的條件定理1：齊次線性方程組有非零解定理2：齊次線性方程組只有零解

推論：齊次線性方程組只有零解即即系數(shù)矩陣A可逆。有解的條件解的性質(zhì)基礎(chǔ)解系解的結(jié)構(gòu)241二.解的性質(zhì)（可推廣至有限多個(gè)解）解向量：每一組解都構(gòu)成一個(gè)向量性質(zhì)：若是（2）的解，則仍然是（2）的解。解空間:的所有解向量的集合，對(duì)加法和數(shù)乘都封閉，所以構(gòu)成一個(gè)向量空間，稱(chēng)為這個(gè)齊次線性方程組的解空間。2423.基礎(chǔ)解系設(shè)是的解，滿(mǎn)足線性無(wú)關(guān)；的任一解都可以由線性表示。則稱(chēng)是的一個(gè)基礎(chǔ)解系。定理：設(shè)是矩陣，如果則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系存在，且每個(gè)基礎(chǔ)解系中含有個(gè)解向量。243證明分三步:1.以某種方法找個(gè)解。2.證明這個(gè)解線性無(wú)關(guān)。3.證明任一解都可由這個(gè)解線性表示。注：的基礎(chǔ)解系實(shí)際上就是解空間的一個(gè)基。(1)(2)證明過(guò)程提供了一種求解空間基（基礎(chǔ)解系）的方法。(3)基（基礎(chǔ)解系）不是唯一的。(4)當(dāng)時(shí)，解空間是當(dāng)時(shí)，求得基礎(chǔ)解系是則是的解，稱(chēng)為通解。4.解的結(jié)構(gòu)的通解是244例4:求下列齊次方程組的通解。解：初等行變換245行最簡(jiǎn)形矩陣對(duì)應(yīng)的方程組為法1：先求通解，再求基礎(chǔ)解系即是自由未知量。令則即為任意常數(shù)。246法2：先求基礎(chǔ)解系，再求通解。由令得令得則通解為為任意常數(shù)）247解：初等行變換所以只有零解。248三.非齊次性線性方程組1.有解的條件定理3：非齊次線性方程組有解并且，當(dāng)時(shí)，有唯一解；當(dāng)時(shí)，有無(wú)窮多解。2.解的性質(zhì)性質(zhì)：是的解，則是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解。249分析:3.解的結(jié)構(gòu)若有解，則其通解為其中是（1）的一個(gè)特解，是（1）對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的通解。1.證明是解；2.任一解都可以寫(xiě)成的形式。例5:書(shū)P117例1250例6:求解非齊次方程組解：251令則為任意常數(shù)）法1：252法2：令得又原方程組對(duì)應(yīng)的齊次方程組的通解是令得基礎(chǔ)解系所以原方程組的通解是為任意常數(shù)）253例7：k取何值時(shí)有唯一解,無(wú)窮多解或無(wú)解，有無(wú)窮多解時(shí)求出通解.解：法1：254255法2：利用Cramer法則有無(wú)窮多解，即當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即且時(shí)，方程組有唯一解。256所以方程組無(wú)解。257矩陣的對(duì)角化問(wèn)題一.方陣的特征值與特征向量二.相似矩陣及其性質(zhì)三.矩陣可對(duì)角化的條件四.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化258一.方陣的特征值與特征向量1.特征值與特征向量的定義定義1:注：設(shè)是階方陣，若數(shù)和維非零列向量，使得成立，則稱(chēng)

是方陣的一個(gè)特征值，為方陣的對(duì)應(yīng)于特征值的一個(gè)特征向量。是方陣1.定義2.求法3.性質(zhì)（2）特征向量是非零列向量（4）一個(gè)特征向量只能屬于一個(gè)特征值（3）方陣的與特征值對(duì)應(yīng)的特征向量不唯一2592.特征值與特征向量的求法或已知所以齊次線性方程組有非零解或定義2：數(shù)是關(guān)于的一個(gè)多項(xiàng)式，稱(chēng)為矩陣的特征多項(xiàng)式。260稱(chēng)為矩陣的特征方程。求特征值、特征向量：求出即為特征值;把得到的特征值代入上式，求齊次線性方程組的非零解即為所求特征向量。261解：第一步：寫(xiě)出矩陣A的特征方程，求出特征值.例1：求矩陣的特征值和全部特征向量.特征值為第二步：對(duì)每個(gè)特征值代入齊次線性方程組求非零解。262齊次線性方程組為當(dāng)時(shí)，系數(shù)矩陣自由未知量:令得基礎(chǔ)解系:常數(shù))是對(duì)應(yīng)于的全部特征向量。263齊次線性方程組為當(dāng)時(shí)，得基礎(chǔ)解系常數(shù))是對(duì)應(yīng)于的全部特征向量。2643.特征值和特征向量的性質(zhì)性質(zhì)1：若的特征值是，是的對(duì)應(yīng)于的特征向量，則的特征值是是任意常數(shù))的特征值是是正整數(shù))若可逆，則的特征值是的特征值是且仍然是矩陣分別對(duì)應(yīng)于的特征向量。為x的多項(xiàng)式，則的特征值為265性質(zhì)2：矩陣和的特征值相同。定理2：設(shè)階方陣的個(gè)特征值為則稱(chēng)為矩陣A的跡。（主對(duì)角元素之和）266例2：例3：設(shè)解：（1）設(shè)為矩陣的特征值，求的特征值；若可逆，求的特征值。求：（1）的特征值和特征向量。（2）求可逆矩陣，使得為對(duì)角陣。267自由未知量:得基礎(chǔ)解系得268自由未知量:得基礎(chǔ)解系269取270存在本題啟示:

問(wèn)題：矩陣是否唯一？矩陣是否唯一？2.提供了一種求的方法.其中為對(duì)角陣。1.通過(guò)求A的特征值,特征向量,有可能把A寫(xiě)成271則定理3：設(shè)是方陣的個(gè)特征值，依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量。如果各不相等，則線性無(wú)關(guān)。書(shū)p138定理5.3.2即，方陣的屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)。證明：設(shè)常數(shù)使得272類(lèi)推之，有把上列各式合寫(xiě)成矩陣形式，得等號(hào)左邊第二個(gè)矩陣的行列式為Vandermonde行列式，當(dāng)各不相同時(shí)，該行列式的值不等于零，所以存在逆矩陣。273等號(hào)兩邊同時(shí)右乘它的逆矩陣，有即又因?yàn)闉樘卣飨蛄浚跃€性無(wú)關(guān)。274二.相似矩陣的定義及性質(zhì)定義:設(shè)都是階矩陣，若存在可逆矩陣，使得則稱(chēng)矩陣是矩陣的相似矩陣，對(duì)進(jìn)行運(yùn)算稱(chēng)為對(duì)進(jìn)行相似變換，可逆矩陣稱(chēng)為把矩陣變成矩陣的相似變換矩陣?；蚍Q(chēng)矩陣與矩陣相似，記作注：矩陣相似是一種等價(jià)關(guān)系（1）反身性：（2）對(duì)稱(chēng)性：若則（3）傳遞性：若則275性質(zhì)1:相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式、相同特征值、相同的行列式、相同的跡、相同的秩推論：若矩陣與對(duì)角陣相似，則是的個(gè)特征值。276(1)相似矩陣或者都可逆，或者都不可逆。當(dāng)它們可逆時(shí)，它們的逆矩陣也相似。其它的有關(guān)相似矩陣的性質(zhì)：（介紹）(3)若與相似，則與相似。（為正整數(shù)）(5)(6)（為任意常數(shù)）(2)若與相似，則與相似。（為正整數(shù)）(4)若與相似，而是一個(gè)多項(xiàng)式，則與相似。277（2）有相同特征多項(xiàng)式的矩陣不一定相似。注：（1）與單位矩陣相似的n階矩陣只有單位陣E本身，與數(shù)量矩陣kE相似的n階方陣只有數(shù)量陣kE本。三.矩陣可對(duì)角化的條件（利用相似變換把方陣對(duì)角化）對(duì)階方陣，如果可以找到可逆矩陣，使得為對(duì)角陣，就稱(chēng)為把方陣對(duì)角化。278定理1：階矩陣可對(duì)角化（與對(duì)角陣相似）

有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。（2）可逆矩陣由的個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量作列向量構(gòu)成。(逆命題不成立)推論：若階方陣有個(gè)互不相同的特征值,則可對(duì)角化。（與對(duì)角陣相似）注：（1）若則的主對(duì)角元素即為的特征值，矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形。如果不計(jì)的排列順序，則唯一，稱(chēng)之為279例1:

判斷下列實(shí)矩陣能否化為對(duì)角陣？解:得280得基礎(chǔ)解系當(dāng)時(shí)，齊次線性方程組為當(dāng)時(shí)，齊次線性方程組為281得基礎(chǔ)解系線性無(wú)關(guān)即A有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以A可以對(duì)角化。282得基礎(chǔ)解系所以不能化為對(duì)角矩陣.當(dāng)時(shí)，齊次線性方程組為283解：例2：設(shè)若能對(duì)角化，求出可逆矩陣使得為對(duì)角陣。問(wèn)能否對(duì)角化？284得基礎(chǔ)解系當(dāng)時(shí)，齊次線性方程組為當(dāng)時(shí)，齊次線性方程組為285得基礎(chǔ)解系線性無(wú)關(guān)，可以對(duì)角化。令則有286注意：若令即矩陣的列向量和對(duì)角矩陣中特征值的位置要相互對(duì)應(yīng)．則有287把一個(gè)矩陣化為對(duì)角陣，不僅可以使矩陣運(yùn)算簡(jiǎn)化，而且在理論和應(yīng)用上都有意義。可對(duì)角化的矩陣主要有以下幾種應(yīng)用：1.由特征值、特征向量反求矩陣?yán)?：已知方陣的特征值是相應(yīng)的特征向量是288解：因?yàn)樘卣飨蛄渴?維向量，所以矩陣是3階方陣。因?yàn)橛?個(gè)不同的特征值，所以可以對(duì)角化。即存在可逆矩陣,使得其中求得2892902.求方陣的冪例4：設(shè)求解：可以對(duì)角化。齊次線性方程組為當(dāng)時(shí)，系數(shù)矩陣令得基礎(chǔ)解系:291齊次線性方程組為當(dāng)時(shí)，系數(shù)矩陣令得基礎(chǔ)解系:令求得即存在可逆矩陣,使得2922933.求行列式例5：設(shè)是階方陣，是的個(gè)特征值，計(jì)算解：方法1求的全部特征值，再求乘積即為行列式的值。設(shè)的特征值是即的特征值是294方法2：已知有個(gè)不同的特征值，所以可以對(duì)角化，即存在可逆矩陣,使得2954.判斷矩陣是否相似解：方法1的特征值為令3階矩陣有3個(gè)不同的特征值，所以可以對(duì)角化。例6：已知3階矩陣的特征值為1，2，3，設(shè)問(wèn)矩陣能否與對(duì)角陣相似？296即存在可逆矩陣,使得方法2：因?yàn)榫仃囉?個(gè)不同的特征值，所以可以對(duì)角化，所以矩陣能與對(duì)角陣相似。297例7：設(shè)階方陣有個(gè)互異的特征值，

階方陣與有相同的特征值。證明：與相似。證：設(shè)的n個(gè)互異的特征值為則存在可逆矩陣,使得298又也是矩陣的特征值，所以存在可逆矩陣,使得即即存在可逆矩陣,使得即與相似。四.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣是一類(lèi)特殊的矩陣，它們一定可以對(duì)角化。即存在可逆矩陣,使得更可找到正交矩陣，使得定理1：實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值為實(shí)數(shù).證：設(shè)是的任一特征值，（往證）是對(duì)應(yīng)于的特征向量，則設(shè)用表示的共軛復(fù)數(shù)，表示的共軛復(fù)向量。則又是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，且由(1)(2)有等號(hào)兩邊同時(shí)左乘左邊右邊即考慮即為實(shí)數(shù)。定理1的意義：因?yàn)閷?duì)稱(chēng)矩陣的特征值為實(shí)數(shù)，所以齊次線性方程組又因?yàn)椋芍擙R次線性方程組一定有實(shí)的基礎(chǔ)解系，從而對(duì)應(yīng)的特征向量可以取實(shí)向量。是實(shí)系數(shù)方程組。定理2：實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量正交。是依次與之對(duì)應(yīng)的特征向量。證：設(shè)是對(duì)稱(chēng)矩陣的兩個(gè)特征值，且則于是為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，考慮即正交。定理3：為階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，是的重特征值，即的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為則對(duì)應(yīng)于的特征向量中，線性無(wú)關(guān)的向量的個(gè)數(shù)為（則）知道結(jié)論即可定理4：(實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣必可對(duì)角化)對(duì)于任一階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，一定存在階正交矩陣使得其中是以的個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角陣。證：設(shè)實(shí)對(duì)稱(chēng)陣的互不相等的特征值為它們的重?cái)?shù)依次為則由定理，特征值（重?cái)?shù)為）對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量為個(gè)。把它們正交化，再單位化，即得個(gè)單位正交的特征向量。所以，可得這樣的單位正交向量個(gè)。又是實(shí)對(duì)稱(chēng)陣，上面得到的個(gè)單位特征向量?jī)蓛烧?。以它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交矩陣，有不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交，其中的對(duì)角元素含有個(gè)個(gè)個(gè)恰是的個(gè)特征值。求正交矩陣，把實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣化為對(duì)角陣的方法：1.解特征方程求出對(duì)稱(chēng)陣的全部不同的特征值。即求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。3.將屬于每個(gè)的特征向量先正交化，再單位化。2.對(duì)每個(gè)特征值，求出對(duì)應(yīng)的特征向量，這樣共可得到個(gè)兩兩正交的單位特征向量4.以為列向量構(gòu)成正交矩陣有即必須注意：對(duì)角陣中的順序要與特征向量的排列順序一致。例1：設(shè)求正交矩陣，使得為對(duì)角陣。解：當(dāng)時(shí)，齊次線性方程組為得基礎(chǔ)解系令令先正交化：再單位化：令當(dāng)時(shí)，齊次線性方程組為令得基礎(chǔ)解系單位化得得正交矩陣有例2：設(shè)求正交矩陣，使得為對(duì)角陣。解：當(dāng)時(shí)，由即得基礎(chǔ)解系只需把單位化，得（考慮為什么？）當(dāng)時(shí)，由即得基礎(chǔ)解系只需把單位化，得當(dāng)時(shí)，由即得基礎(chǔ)解系只需把單位化，得得正交矩陣有318五.行列式按行（列）展開(kāi)對(duì)于三階行列式，容易驗(yàn)證：可見(jiàn)一個(gè)三階行列式可以轉(zhuǎn)化成三個(gè)二階行列式的計(jì)算。問(wèn)題：一個(gè)